北京市昌平區(qū)市級名校2022年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項:1答題時請按要求用筆。請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。xy101．已知實數(shù)x、y滿足約束條件3xy30，則z2xy的最大值為（ ）y0A．1 B．2 C．7 D．82．已知集合AB{x|2x2}，則A B等于（ ）．2 ．2,1,0,1,2} ．2,,0,1,2,3．2如圖是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為（ ）A．53

B．2 C．52

D．3x2FC：a2

y2b2

1（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|C的離心率為2C．2

3D．5x0y0 已知x，y滿足不等式 ，且目標(biāo)函數(shù)z＝9x+6y最大值的變化范圍[20，22]，則t x 2y t2xy4A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]用一個平面去截正方體，則截面不可能是（ ）A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形2x,x2 f

fx1

fx x

，滿足對任意的實數(shù)xx，都有 1

2

成立，則實數(shù)a

的取值范2 1,x22

1 2 xx1 2圍為（ ）8A．B．,138

C．,13 D．13,

8 8 8AAABBB

，混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來，每次隨機1 2 1 2 3檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2A3B類產(chǎn)品時，檢測結(jié)束，則第一次檢測出B類產(chǎn)品，第二次檢測出A類產(chǎn)品的概率為（ ）1 3A． B．2 5

2 3C． D．5 10f(x)＝sin(wx＋)(w＞02

)的最小正周期是π，若將該函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的函數(shù)圖象6

對稱，則函數(shù)f(x)的解析式為（ ）2 A．f(x)＝sin(2x＋)3C．f(x)＝sin(2x＋)6

B．f(x)＝sin(2x－)3D．f(x)＝sin(2x－)6《易經(jīng)》包含著很多哲理，在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用——八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田．已知正八邊形的邊長為10m，陰陽太極圖的半徑為4m，則每塊八卦田的面積約為（ ）A．C．

B．54.07m2已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，則滿足A∪C＝B的集合C的個數(shù)為（ ）A．4 B．3 C．2 D．1

fx

exx

tln

x

2x恰有兩個極值點，則實數(shù)tx

的取值范圍是（ ）A．,1 B．1,2 22 C．1,e e,

D．,1 e,23 23

2 2 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。fx

xlogx的定義域為 ．2正三棱柱ABCAB

2，側(cè)棱長為3DBC中點，則三棱錐AB

的體積為 ．1 1 1 1 1如圖是一個算法的偽代碼，運行后輸出b的值為 ．4kx4yk0y2xBAB4ABx .三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

10的距離等于217（12分）以直角坐標(biāo)系xOy的原點為極坐標(biāo)系的極點，x軸的正半軸為極軸．已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為4cos8sinP是C1

上一動點，OP2OQ，點Q的軌跡為C．2求曲線C的極坐標(biāo)方程，并化為直角坐標(biāo)方程；2xtcosM(0,1)，直線ly1tsin

（t為參數(shù)l與曲線C2

的交點為A，B，當(dāng)MAMB取最小值時，求直線l的普通方程．18（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）fxe0.05x1（2）fx2x19（12分）已知函數(shù)f(x)sinxcosx，其中xR，0．當(dāng)1

6 6的值；3 f(x的最小正周期為f(x0,上的值域．420（12分PABCDAD/BCAD2BC4ABC6PAD為等邊三角形，且點P在底面ABCD上的射影為AD的中點G，點E在線段BC上，且CE:EB1:3.求證：DE平面PAD .APCD的余弦值.21（12分）設(shè)數(shù)列a是公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為S

a1aa

成等比數(shù)列．n求a及S ；n n

n 1 1 2 5設(shè)b

1 (nN*)，設(shè)數(shù)列

的前n項和T

，證明：T1．n a2 1n1

n n n 422（10分已知直線l:ykxm

x2y2

b0)Px2y2

a2相交于A,Ba2 b2兩點.k與m的關(guān)系式；點QP關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱k1QAB的面積取到最大值a2，求橢圓的離心率.2參考答案125601、C【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，結(jié)合圖象知當(dāng)直線過點Cz取得最大值.【詳解】解：作出約束條件表示的可行域是以(1,0),(1,0),(2,3) 為頂點的三角形及其內(nèi)部，如下圖表示當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點C2,3時，z取得最大值，最大值為7.【點睛】屬于中檔題2、A【解析】進行交集的運算即可．【詳解】A{0，1，2，3}，B{x|x 2}，A B{0，12}A．【點睛】3、A【解析】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．再由球與圓柱體積公式求解．【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，該幾何體為組合體，上半部分為半球，下半部分為圓柱，半球的半徑為1，圓柱的底面半徑為1，高為1．V V 則幾何體的體積為 13 121 ．2 3 3A．【點睛】4、A【解析】準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】PQxAPQx軸，又 PQOFcPA

c, PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，2A為圓心|OA|c．2 PccPx2y2a 2 2 c2 c2 c2 c2 a2，即 a2, e2 2．4 4 2 a2e 2A．【點睛】功倍，信手拈來．5、B【解析】作出可行域，對t進行分類討論分析目標(biāo)函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】

x0畫出不等式組 y0 所表示的可行域如△AOB2xy4t≤2△OAMz＝9x+6yA（2，0）Z＝18不符合題意x2yt 8t 2t4t＞2Z＝9x+6y2xy4的交點（

3，3

）處取得最大值，此時Z＝t+16由題意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選：B．【點睛】此題考查線性規(guī)劃，根據(jù)可行域結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍，涉及分類討論思想，關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標(biāo)函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.6、C【解析】試題分析：畫出截面圖形如圖顯然A正三角形，B正方形：D正六邊形，可以畫出五邊形但不是正五邊形；故選C．考點：平面的基本性質(zhì)及推論．7、B【解析】由題意可知函數(shù)

yfx

R上為減函數(shù)，可知函數(shù)

y2x

2a2121

，由此可解得實 a的取值范圍.【詳解】

yfx R

a20 132 a由題意知函數(shù)

是上的減函數(shù)，于是有2a21

1，解得 8， 2 13因此，實數(shù)a的取值范圍是,

8．B.【點睛】.8、D【解析】根據(jù)分步計數(shù)原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測出B類產(chǎn)品的概率，不放回情況下第二次檢測出A類產(chǎn)品的概率，即可得解.【詳解】AAABBBB，1 2 1 2 33則第一次檢測出B類產(chǎn)品的概率為5；2不放回情況下，剩余4件產(chǎn)品，則第二次檢測出A類產(chǎn)品的概率為1；24 2BA313；5 2 10D.【點睛】9、D【解析】w2x2

對稱，得到22

3

k2

，由此求得滿足條件的的值，即可求得答案.【詳解】分析：由函數(shù)的周期求得ω2，再由平移后的函數(shù)圖像關(guān)于直線x得滿足條件的φ.詳解：因為函數(shù)fxsinφ的最小正周期是π，2ππ，解得ω2，所以fxsin2xφ，ω

對稱，得到2 φ kπ ，由此求π π π 2 2 3 2π π π π將該函數(shù)的圖像向右平移個單位后，6

π πysin2x6φsin2xφ

3，x

π對稱，得：π π

2 φ kππ，即φkππkZ，2 3 2 6k0，得φπφπ，6 2所以函數(shù)fx的解析式為fxsin2x

π6，故選D.6【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及函數(shù)的解析式的求解，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換得到y(tǒng)sin(2x.310、B【解析】1由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積，再計算出圓面積的8【詳解】

，兩面積作差即可求解.由圖，正八邊形分割成8個等腰三角形，頂角為

36045，設(shè)三角形的腰為a，2a 102

135由正弦定理可得sin135 sin45，解得a102所以三角形的面積為：

sin ，22sin452sin455021cos135225 21，22S 1022

sin2

1所以每塊八卦田的面積約為：25故選：B

21 4254.07.8【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式，需熟記定理與面積公式，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】由ACB可確定集合C中元素一定有的元素，然后列出滿足題意的情況，得到答案.【詳解】ACB可知集合C2，所以符合要求的集合C有4種情況，所以選A項.【點睛】考查集合并集運算，屬于簡單題.12、C【解析】fx恰有兩個極值點，則f x 0恰有兩個不同的解，求出f x可確定x1是它的一個解，另一個解由方程exx2

t0gx

exx

x0通過導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個不是1的解時t應(yīng)滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)

fx

的定義域為0,

xxex

t112，fx2，f ex

x x2 x

extx2x2

x1 x2x2

x2t.因為fx恰有兩個極值點，所以f x 0恰有兩個不同的解，顯然x1是它的一個解，另一個解由方程ex t01.x2gx

ex x2

0

gxxex22

0

gx在0,

上單調(diào)遞增，從而

gxg01，2g

e.所以，當(dāng)t

且t

efx

ex 2 t lnx x 13 2 311,e e,.

xx x23 3 故選：C【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)與方程的應(yīng)用，屬于中檔題.452013、【解析】根據(jù)函數(shù)成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】

x0 解要使函數(shù)有意義則 x 0即0x1.則定義域為:故答案為:0,1【點睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數(shù)成立的條件.14、1【解析】ABCAB

的底面邊長為2，側(cè)棱長為3,DBC中點，所以底面

的面積為31 1 13

BDC312 3

3A到平面3

的距離為就是底面正三角形的高

AB

的體積為1 3

31．32 BDC

1 1 3考點：幾何體的體積的計算．15、13【解析】A=1,b=2,i=4,A=3,b=5,i=6,A=8,b=13,i=8不滿足條件，故得到此時輸出的b值為13.故答案為13.916、4【解析】由已知可知直線4kx4yk0過拋物線y2x的焦點，求出弦AB的中點到拋物線準(zhǔn)線的距離，進一步得到弦ABx【詳解】

10的距離．2解：如圖，4kx4yk0過定點10)，141而拋物線y2x的焦點F為( ，0)，4弦AB的中點到準(zhǔn)線x1的距離為1|AB|2，4 2ABx9故答案為：．4

10的距離等于21 ．92 4 49【點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）2cos4sin，x2y22

5（）xy10.【解析】P,Q極坐標(biāo)分別為

，由OP2OQ0

12cos4sin整理即可得到極坐標(biāo)方2 0程,進而求得直角坐標(biāo)方程；B對應(yīng)的參數(shù)分別為tt1 2

，則MA=t1

，MB=t2

，將直線l的參數(shù)方程代入C2

的直角坐標(biāo)方程中,再利用韋達定理可得tt1 2

2cossin，tt12

3，則MBttt1 2 1

t2

，求得(tt)24tt1 2 12MAMB(tt)24tt1 2 12【詳解】P,Q極坐標(biāo)分別為

,，,，0OP2OQOP2OQ2 0

2cos4sin，所以曲線C2cos4sin，2,22cos4sin，所以Cx2y22

2x4y,即x2y2

5.

xtcosB對應(yīng)的參數(shù)分別為tt1 2

，則MA=t1

,MB=t2

，將直線l的參數(shù)方程y1tsin

（t參數(shù)，代入C的直角坐標(biāo)方程x2y22

5中，整理得t22cossint30.由韋達定理得tt4co4cossin2124sin163

2cossin，tt12

3，所以MAMBt t t1 2

t (t(tt)2t1 2 12

2

，當(dāng)且僅當(dāng)sin1tan1，所以當(dāng)MB取得最小值時，直線l的普通方程為xy10.【點睛】18（）fx0.0e0.05x1（）fx2sin4x4cos2x.【解析】..【詳解】（）令ux0.0x1，uu，則fxux，而ux0.05ueufxe0.05x10.050.05e0.05x1.（）令uxsin2x1，uu2，則fxux，而ux2cos2xufx2cos2x4cos2x2x1，fx2sin4x4cos2x.【點睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，此類問題一般是先把函數(shù)分解為簡單函數(shù)的復(fù)合，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可得所求的導(dǎo)數(shù)，本題屬于容易題.31 319（1） （2） ,12 2【解析】 根據(jù)1，得到函數(shù)f(x)sinxcos(x )，然后，直接求解f( )的值；6 3f(xsin(x2x0,，及正弦函數(shù)的性3 4質(zhì)解答即可．【詳解】因為1f(x)sinxcosx

6 63 3f3sin3

cos3

6 2 f(x)sinxcosx=sinxcosxcos6

6 6sinxsin631= sinx cosx312 2sinx 3 3即f(x)sinx 3 3因為T

，所以2sin 2x3所以fsin 2x3x0,2x

4,3 3 6x0f(x)

x323

f(x)1（最大值）12x

f(x14 2f(x)0,是減函數(shù)．12

12

4 2 f(x)的值域是 ,1 ．【點睛】65本題主要考查了簡單角的三角函數(shù)值的求解方法，兩角和與差的正弦、余弦公式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，考查了運算求解能力，屬于中檔題．6520（1）證明見解析（2）13【解析】DEADPGABCD,進而求證；BCF,連接GFG為原點GAx軸GFy軸GPz軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)PCDPC的法向量.【詳解】ABCD中,EBC上且CEEB1:3,EBCC點的四等分點,AD2,BC4,CE1,DEAD,點P在底面ABCD上的射影為AD的中點G,連接PG,PG平面ABCD,DE平面ABCD,PGDE.ADPGG,ADPADPGPAD,DE平面PAD .BCF,連接GFG為原點GAx軸GFy軸GPz軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,由（1）易知DECBCE1,又ABCDCB60,DEGF 3,AD2,為等邊三角形,PG 3,則G(0,0,0),A(1,0,0),D(1,0,0),P(0,0, 3),C(2, 3,0),AC(3,,AP3),DC,DP(1,0, 3),設(shè)平面APC 的法向量為m(x,y,z),1 1 1mAC0

3x

3y0則 ，即 1 1 ,mAP0

x1

3z01令x 3,則y1

3,z1

1,m( 3,,DPC的法向量為n(xyz,2 2 2nDC0

3y 0nDP

,x2

2 2 , 3z 02令x 3,則y2

1,z2

1,n( 3,1,1),設(shè)平面APC與平面DPC的夾角為則mnmnmnmn331135651365二面角APCD的余弦值為 .6513【點睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運算能力與空間想象能力.n21（）a 2n1，S n2（）證明見解析.nn【解析】根據(jù)題中條件求出等差數(shù)列n

的首項和公差，然后根據(jù)首項和公差即可求出數(shù)列an

的通項和前n項和；根據(jù)裂項求和求出Tn

，根據(jù)Tn

的表達式即可證明T .n14n1