2018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及解答.(A卷)

20182018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題（A卷）第頁(yè)共9頁(yè)2018A二、（本題滿分40分）如圖所示，AABC為銳角三角形，ABvAC,M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D和E分別為AABC的外接圓弧BAC和BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AABC內(nèi)切圓在AB邊上的切點(diǎn)，G為AE與BC的交點(diǎn)，N在線段EF上，滿足NB丄AB.證明：若BN=EM，則DF丄FG。（答題時(shí)請(qǐng)將圖畫(huà)在答卷紙上）D1>3M￥H★證明：由條件知，de為AABC外接圓的直徑，DE丄BC于M，AE丄AD。記I為AABC的內(nèi)心，則I在AE上，IF丄AB。由NB丄AB可知，｛〔2的n｛〔2的n元子集，證明：區(qū)間★證明：用反證法。假設(shè)存在整數(shù)xe|6,n）k—1丿不可表示為a—a/,其中a，a/eA。作帶余除法ZNBE二ZABE-ZABN二（180-ZADE）-90二90-ZADE二ZMEI又根據(jù)內(nèi)心性質(zhì)，有ZEBI=ZEBC+ZCBI=ZEAC+ZABI=ZEAB+ZABI=ZEIB從而B(niǎo)E=EI。結(jié)合BN=EM，所以anbe仝AMEI，于是ZEMI=ZBNE=90）+ZBFE=18（0-ZEFI，故E,F,I,M四點(diǎn)共圓。進(jìn)而可知ZAFM=9C0+ZIFM=9C0+ZIEM=ZAGM，故A,F,G,M四點(diǎn)共圓。再由ZDAG=ZDMG=90知，A,G，M,D四點(diǎn)共圓，所以A,F,G,M，D五點(diǎn)共圓，從而ZDFG=ZDAG=9C0，即DF丄FG。2018A三、（本題滿分50分）設(shè)是正整數(shù)，滿足k>2，且n<mv2-n，設(shè)A是中的每個(gè)整數(shù)均可表示為a—a/，其中a,a/eA。m=xq+r,其中0<r<x.將〔2…,m按模x的同余類劃分成x個(gè)公差為x的等差數(shù)列，其中個(gè)等差數(shù)列有q+1項(xiàng)，x-r個(gè)等差數(shù)列有q項(xiàng)?由于A中沒(méi)有兩數(shù)之差為x,故A不能包含公差為x的等差數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)從而n=A|<r「q+q+'x-r僧由條件，我們有n>[m=["xq+r)②y,knJ，故n>（k-i）x③⑴若q是奇數(shù)，則由①知，n<x?q；1④結(jié)合②知x?q；1nn>勺二xq，從而q<2k-1,再由q是奇數(shù)得q<2k-3，于是n<x?M2<(k—1x，與③矛盾；q)（xq+r）2,得q<2（k-1）?再曹是偶數(shù)誌2k-4，從而xq<⑴若q是偶數(shù)，則由（xq+r）2,得q<2（k-1）?再曹是偶數(shù)誌2k-4，從而xq<于是n<x?q+r<-k-2巡-<)xk-1)x，與③矛盾.2(2k-1)2k-12k-1丿，與③矛盾,')2與刃a與刃a互n+1ii=12018A四、本題滿分50分)數(shù)列a定義如下：a是任意正整數(shù)，對(duì)整數(shù)1>1,an1素，且不等于a,a,…,.a的最小正整數(shù)，證明：每個(gè)正整數(shù)均在數(shù)歹||｝中出現(xiàn)?！镒C明:顯然中出現(xiàn).記者a==土下面考慮整數(shù)出>1?，設(shè)5有k個(gè)不同的素因子，我們對(duì)k歸納證12明m在aaann12nk=1時(shí)，m是素?cái)?shù)方冪，記m=更，其中a>0，p是素?cái)?shù).假設(shè)m不在｛｝中出現(xiàn)由于｛｝各nn項(xiàng)互不相同，因此存在正整數(shù)，當(dāng)n>N時(shí)，都有a>p,.若對(duì)某個(gè)n>N，p/S，那么pa與nnS互素，又a，a，.a中無(wú)一項(xiàng)是Pa，故有數(shù)列定義知a<Px，但是a>Px，矛盾！n12nn+1n+12018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題（A卷）第8頁(yè)共9頁(yè)20182018年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題(A卷)第9頁(yè)共9頁(yè)TOC\o"1-5"\h\z因此對(duì)每個(gè)n>N，都有p|S.又p|S，可得p|a，從而a與S不互素，這與a的定義nn+1n+1n+1n葉1矛盾！12k是存在正整數(shù)N/,當(dāng)n>N/時(shí)，都有a>m.取充分大的正整數(shù)卩,卩n1假設(shè)k>2，且結(jié)論對(duì)<-1成立?設(shè)m的標(biāo)準(zhǔn)分解為m二12k是存在正整數(shù)N/,當(dāng)n>N/時(shí)，都有a>m.取充分大的正整數(shù)卩,卩n1n，…P,使得2k-1M=PpPp…Pp>maXa12k-112k-11<n<N/n我們證明，對(duì)n>N/，有a豐M?'n+1中均未出現(xiàn)，而n對(duì)于任意n>N/，若S與pp…p互素，則口與S互素，又m在a,a，…中均未出現(xiàn)，而nn12kn12n12ka>m,這與數(shù)列的定義矛盾，因此我們得到：對(duì)于任意i>N/,S與pp…p不互素*,nn12k⑴若存在iC1<i<k-1),使得)|S，貝ifa/S)=1故p/a,從而a豐M(因?yàn)閜|M)。in葉1ni葉1n+1i⑵若對(duì)每個(gè)i(1<i<k-1)，均有p/S,則由*知，必有p|S.于是p/a，進(jìn)而inknkn+1p/S+a，即p/S.故由*知：存在ic1<i<k—1),使得p」s，再由S二S+aknn+1kn+100i0n+1n+1nn及前面的假設(shè)p/S，可知p/|a，故a主M。ini0n+1n+1，而因此，對(duì)n>N/+1,均有a主M，而M=