2019-2020學年上海市南模中學高二上學期期末數(shù)學試題

2019-2020學年上海市南模中學高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1.設5，o為復數(shù)，則下列命題中一定成立的是（）A.女口果才+公=0,那么Zl=Z2=0B.如果憶|=|冬|,那么z,=±z2C.如果|^|<6/（0為正實數(shù)），那么一a<zY<aD.如果\z]=a3為正實數(shù)），那么召?虧=，答案：D對A,舉出反例判斷正誤；對B,舉出反例判斷正誤；對C,利用復數(shù)的幾何意義判斷正誤；對D,設出復數(shù)即可化簡結果，再判斷正誤即可.解：對于A,如果石=1一i,Z2=1+/,才+=0,所以石=°=0不正確o對于B,如果^=1-/,z2=l+i,\zl\=\z2\,但3=±z2不正確。對于c,\zL\<a,a是正實數(shù)，說明復數(shù)對應的點到原點的距離小于d,且復數(shù)不能比較大小，故一a<z,不成立.對于D,\z,\=a3為正實數(shù)），設wZ）,則叔+才=a,故石?石=（兀+）”）?（x_刃）=F+y2=ci2成立.故選:D.點評:本題主要考查了復數(shù)的基本性質(zhì)與判定，需要根據(jù)題意舉出反例或者直接設復數(shù)形式進行推導，屬于中檔題.2.在AABC中,則AABC是（）iun->inn2.在AABC中,則AABC是（）AB^=ABAC+BABC+CA?CB?D-鈍角三角形A.等邊三角形B?銳角三角形C.D-鈍角三角形答案：C此題考查向量的數(shù)量積的計算、余弦定理的應用。由已知得

▲門,c，b?+c?_cra^+c?_trA+cr—c?f-,,L=becosA+accosB+abcosC=>c"=++=>/?"+?"222,所以是直角三角形，選C3.在平面直角坐標系中，￡3分別是x軸和y軸上的動點，若以43為直徑的圓C與直線2x+)一4=0相切，則圓C面積的最小值為()4A.—7t4A.—7t5答案：A

B?一龍4C.（6-2厲）龍5D.-7T4解：試題分析：設直線l.2x+y-4=0因為\OC\=hAB\=dc_lt表示點C到直線/的距離，所以圓心C的軌跡為以O為焦點，/為準線的拋物線，圓C直線/的距離，所以圓心C的軌跡為以O為焦點，/為準線的拋物線，圓C的半徑最小值為*如4兀5?故本題的正確選項為A.【考點】拋物線定義.4?在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓r：—+—=1和GX+匸=1?P為G上TOC\o"1-5"\h\z1364-9的動點，0為C?上的動點，w是胡?起的最大值?記G={(P,0)|P在C」，0在C?上，且OPOQ=w},則0中元素個數(shù)為()A.2個B.4個C.8個D.無窮個答案：D橢圓C:—+^-=1和C.:x2+^-=bP為C］上動點，0為C、上動點，1364-9"可設P(6cos%2sina),0(6cos0.2sin0),0<a.fi<2^tULOUUL￥則OP?OQ=6cosacos0+6sinasin0=6cos(a一0),當a_0=2k7t、kwZ時，w取得最大值6,LLOULXV則G={(P,0)』在C\上，0在C2±,且Op.OQ=w}中的元素有無窮對對，故選D.二、填空題5.以原點為頂點，x軸為對稱軸，并且經(jīng)過p(_2,-4)的拋物線的標準方程為.答案：于=—8x設拋物線的標準方程，再代入P(-2,-4)求解即可.解：由題，設拋物線方程為y2=2/zv，代入P(—2,—4)有(-4)2=2p(-2)=>p=-4.故拋物線y2=-8x.故答案為：y2=點評：本題主要考查了拋物線的標準方程，屬于基礎題.已知復數(shù)乙滿足(2-/)2-z=l,則？的虛部為.答案:召根據(jù)復數(shù)的基本運算求解乙再判定即可.解：、113+4/34.因為(2—=故込_(2_j『_3_4,_(3_4。(3+4/)_方+方J4故乙的虛部為丁?234故答案為：—2〉點評：本題主要考查了復數(shù)的除法運算與虛部的概念,屬于基礎題.已知向量d=(2,1),壯=10,彈+曲=5血，則円=?答案：5rIIrr本題首先可以根據(jù)丄(2,1)得出|彳=5,然后根據(jù)”片=5血得出"+葉=50,最后通過化簡即町得出結果。解：-r2因為d=(2,1),所以a=5,rrrrrr因為ci+b=5忑,所以a+b=a+b+2ab=509rrI即5+b「+20=50,b=5。點評：本題考查向量的模以及向量的運算，考查向量的模的求法，若a=(x,y),則彳=疋+尸，考查計算能力，是簡單題。雙曲線x2+ky：=l的一條漸近線的斜率是2,則k的值為答案：4試題分析：由題意k<0,漸近線為x土/Ty=O,所以-t==2,解得k=丄.\J-k4【考點】雙曲線的漸近線.設向量｛=(1,2),b=(2,3),若向量+Z?與向量c=(—4,—7)共線，則幾=答案：2由題意首先求得向量Aa+b，然后結合向量平行的充分必要條件可得兄的值.解：Aa+b-(兄，2幾)+(2,3)=(2+2,2A+3),由向量共線的充分必要條件有：(兄+2)?(一7)=(2兄+3)?(—4)二>幾=2.故答案為2.點評：本題主要考查平面向量的坐標運算，向量平行的充分必要條件等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.過點(2,—3)且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為.分析：分類討論截距為0和截距不為零兩種情況求解直線方程即可.3詳解：當截距為0時,直線的方程為y=--x,滿足題意：乙當截距不為0時，設直線的方程為△+丄=1,a-a把點(2,-3)代入直線方程可得d=5,此時直線方程為y=x-5.3故答案為y=--x!^y=x-5.點睛：求解直線方程時應該注意以下問題：一是根據(jù)斜率求傾斜角，要注意傾斜角的范闈；

二是求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應對斜率存在與不存在加以討論;三是在用截距式時，應先判斷截距是否為0,若不確定，則需分類討論.x+y>211.已知O是坐標原點，點4(—1,1),若點M(x,刃為平面區(qū)域｛xWl上的一個動點，則OAOM的取值范圍是?答案：[0,2]解：x+y>2,令2=OA-OM=~x+y,則)，=x+乙畫出｛x<L對應的可行域，可得在點(by<21)處取得最小值0,在點(0,2)處取得最人值2\3\■Z/\11i、、\\■T/^4111-2-1q-1-2■■345“、\已知動圓過定點A(-4,0),且與圓X2+y2-Sx-S4=0相切，則動圓的圓心P的軌跡方程是.答案:25答案:259根據(jù)圓心P到定點4(—4,0)與圓亍+r-8x-84=0圓心的距離之和為定值判斷即可.解：圓x2+y2-8x-84=0即圓(x-4)2+/=100,圓心為B(4,0),半徑為10.又因為4(—4,0)在圓(x-4)2+y2=100內(nèi)，故動圓與圓(x-4)2+y2=100內(nèi)切.設動圓半徑為■則圓心P到4(一4,0)與3(4,0)的距離之和為J=,-+iO-r=lO.故動圓的圓心P是以4(—40)與3(4,0)為焦點，2a=10的橢圓，故q=5,c=4,心居_42=3?故動圓的圓心P的軌跡方程是—+—=1.259故答案為：—+22=i259點評：本題主要考查了根據(jù)動圓相切時半徑之和的關系以及橢圓的定義求解橢圓的方程的方法，重點在于找到半徑之和為定值的關系.屬于基礎題.x=2+t直線｛尸(t為參數(shù))與雙曲線x2-y2=l交于A、B兩點，求AB的弦長y=V3/答案：2>/10直線方程：y=*x-2羽,聯(lián)立雙曲線方程得:f~'~l=>2x2-12x+13=0y=>J3x-2yji過拋物線x2=2py(p>0)的焦點F作傾角為30。的直線，與拋物線分別交于4、b兩點(人在y軸左側)，答案：I解:

53UAAi”O(jiān)F//BBir.竺=!2^il=k加…而=兩=云，又已知巧1<0.ns>()f\AF\\FB\—hb'T直線AB方程為y=2tail3(f5+彳即2/=—z+^f32與以=2pg聯(lián)立得工2—px—=0=—曽(巧+咗+2h“3)二3巧+3工務+1Uxj[xb=0兩邊同除以@務（龍務尹（））得又T兀兩邊同除以@務（龍務尹（））得又T兀1+工〃IA>-TJ3,^AHR\AF\^AHR***|F^i故答案為：15?將一圓的六個等分點分成兩組相間的三點，它們所構成的兩個正三角形扣除內(nèi)部六

條線段后可以形成一正六角星，如圖所示的正六角星的中心為點0,其中〉，?分別為點0到兩個頂點的向量：若將點0到正六角星12個頂點的向量，都寫成Cix+by的形式，貝怙+方的最大值為.答案：5利用等和線判斷取a+b的最人值時的頂點位置,再利用基底向量的方法求解即可.解：先推導等和線定理：AP"三點共線AP=AAB（a^O）<^OP=（L-A）OA+AOB,（o為平面內(nèi)?札4A4LAJUMLAU任意一點，/IwR）U>OP=xOA+yOB（O為平面4P3內(nèi)任意一點，x9yeR,x+y=l)V*JUML4深化：若OP=xOA+yOB,x+y=A,(xe/?),則做平行線有:x^y=()1Y+J二x^y=()1Y+J二X+J=1y=-IVKA1IIU如圖，顯然當過C作與4〃平行的直線時，OC=ax+by能使得a+b取最大值.W?JIC4UULAAML4UJIk4L4MkAJUC4l4MCCAM此時OC=OB+BE+EC=OB+BE+OF=OB+BE+OB+BFU4IIM||U4=y+x+y+2x=3x+2y，此時d+b=3+2=5?故答案為：5點評：本題主要考查了平面向量的等和線的運用，需要根據(jù)題意找到使得a+b取得最人值時的點，再求解即可?屬于中檔題.16?己知直角坐標平面上任意兩點"心）［）、0（心兒），定義d(P@)=卜2d(P@)=卜2-打,區(qū)一打》卜2-刃仏一川，區(qū)一打＜|兒一川為P、0兩點的“非常距離”?當平面上動點M（x,y）到定點4仏b）的距離滿足|伽|=3時，則d（MM）的取值范|韋|是由題意可知點M（x,y）在以A（a,b）為圓心，半徑r=3的圓周上，由“非常距離”的新定義求出d（M,4）表達式,再分析最小值與最人值，即可得出結論.解：由題意可知點M（x,y）在以4仏b）為圓心半徑r=3的圓周上，如圖所示:由“非常距離”的新定義可知：當\x-a\=\y-b\時，d（M.A）取得最小值,d(M,A).=辺\/min2當\x-a\=3,\y-b\=0或\x-a\=Q,\y-b\=3時,d(M,A)取得最大值,故故d（M,4）的取值范闈為本題主要考查了新定義的距離問題，需要根據(jù)題意畫圖分析新距離的幾何意義,屬于中檔題.三、解答題17.復數(shù)z=（1-/）?2-3?+2+/（awR）,（1）若Z=Z，求國；（II）若在復平面內(nèi)復數(shù)？對應的點在第一彖限，求d的范闈.答案：（I）國=0或同=6；（II）-l<a<l.解：試題分析：將復數(shù)化簡得Z=ci2-3a+2+（l-a2）i（1）中z=Z，所以虛部為0,（2）中復數(shù)對應點為（亍一3。+2,1-?。?，在第一彖限得到不等式，求得。范圍試題解析：z=ei2-3a+2+（l-a2）i,（1）由z二E知，l-a2=09故±1?當g=1時，z=0：當。=一1時，Z=6?（2）由已知得，復數(shù)的實部和虎部皆大于0,即｛"一?"+2>0,即｛">2<1l-cr>0-!<?<!LXAMULUfULUf18.己知平面內(nèi)向量OA=（1,7）,OB=（5,1）,OP=（2,1），點0是直線莎上的一個動點.（1）當芮?宓取最小值時，求徒的坐標;（2）當點0滿足（1）中的條件時，求的值.答案：答案：(1)左=(4,2)；(2)-解：.札札qV4C4U.札札q(1)設O0=(x,y),Q0在直線OP±,/.向量00與0P共線.Q0P=(2,l),?"-2)，=0,??.x=2兒???0Q=(2y,y)MUMMUMCUJIUA4MUA4MkXXl又QQA=OA-OQ=(l-2y97-y),0B=OB—O0=(5—2”l_y),L14U???04?0B=(1—2”7—y)(5—2”1—y)=5才一20y+12=5(y—2)「一8?V?C?MkX4J故當y=2時，0A0B有最小值一8，此時O0=(4、2)?kAAU(2)由⑴知,QA=(-3,5),QB=QAQB=-8:ULIU——.CLW|l.?.0A=阿，|綱=QTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"/.cosZAQB=蜀鉉==8=松州刎734x^217■n*19.設片和E是雙曲線(-二=1上的兩點，線段用只的中點為M，直線人匕不經(jīng)crb?過坐標原點0?若直線人只和直線OM的斜率都存在且分別為任和人，求證：=—:"CT若雙曲線的焦點分別為林(-JIo)、&(JJ,O)，點片的坐標為(2,1),直線OM3的斜率為亍，求由四點片、JP-&所閑成四邊形P'FRF：的面積?答案：(1)見解析；(2)座7(1)法一：設不經(jīng)過點o的直線片4方程為y=￡/+1，與雙曲線方程聯(lián)立，利用中點坐標表示人，再求叭；法二：利用點差法表示叭；(2)先由已知求得雙曲線方程和直線人人的方程，由條件表示四邊形的面積5=令解，利用片鬥的中點是M，直接求點人的坐標，再表示四邊形的面積S=丄応??悅一兒|?2解:（1）證明：法1：設不經(jīng)過點o的直線PR方程為y=k\X+1，代入雙曲線二一匚=1a~b~方程得：{b2-a2k~^x2-la-k^x-crb2-a2V=0.設片坐標為（心兒），匕坐標為（花,％），中點坐標為M（x,y）,則x=亠；亠,乙2兀+乙=/2"，”,‘k、=丄匸上=人+-一學&-'所以，=crk;+b2-crk;,~b~-a~k~~x{+x2a~kY-法2：設人（兀,兒）、E（耳，兒），中點M（x,y）,則.丫=號1,），=衛(wèi)尹且#嶋=】⑴，乎存⑵（1）-（2）得：（兀7）^7）_（）1+凡心-兒）=0crtr因為，直線片4和直線OM的斜率都存在，所以（兀+疋）（無一兀）工0,TOC\o"1-5"\h\z1y+yy—y]k2等式兩邊同除以（兀+無）（屯一X）得：飛一亠亠1?丄—^77=°,即k,k.=—?CI%!+v"q-[—1?。?）由已知得\a2b2,求得雙曲線方程為—r=1,直線片人斜率為[a2+b2=32b23_1產(chǎn)丁亍一亍’直線片￡方程為y-l=|（x-2）,代入雙曲線方程可解得A]-歲—中點M坐面積扌恥I?I兒一兒I=的?齊竽?3另解：線段片人中點M在直線y=〒丫上.所以由中點M（x,y）,可得點巴的坐標為

￡(2x—2,3x—1),代入雙曲線方程可得(2x~2)-(3x_l)2=b即7疋—2x=0,解得兀=扌(y=弓)’所以2.面積*応代卜|)1一yj=?孕=?點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系的綜合問題，已知考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和計算能力，涉及雙曲線中定值和四邊形面積的求法，在解決圓錐曲線與動直線問題中，韋達定理，弦長公式都是解題的基本工具.20.已知定點f(i,o),動點p在y軸上運動，過點p作直線pm交x軸于點m，延長MP至點N,使PM?PF=0?|PM冃PN|點N的軌跡是曲線C?ML4MkAAM若S,卩是曲線C上的兩個動點，滿足OS07=0,證明：直線ST過定點；V9.4MVK4MLI若直線/與曲線C交于3兩點，且Q4?OB=-4，4V6<|AB|<4V30,求直線/的斜率k的取值范闈.答案：(1)y答案：(1)y2=4x(x>0)；(2)直線ST過定點(4,0)；(3)ke⑴設出動點N,則M/的坐標可表示出，利用pm?PF=0,可求得九)'的關系式，即N的軌跡方程.(2)設直線ST:x=ty+mt聯(lián)立直線與(1)中所得拋物線的方程，利用韋達定理表示OSOT=Q^進而求得〃7即可.⑶設出直線/的方程,A,B的坐標，根據(jù)x內(nèi)+)［兒=-4推斷出兒兒=-8,把直線與拋物線方程聯(lián)立消去尤求得)1兒的表達式，進而求得b=—2k,利用弦長公式表示出44ILMlpLMM\ab\,再根據(jù)網(wǎng)的范I札求得￡的范i札解：z\⑴設動點N(x,y),則M(—兀0),P0i,x>0vJWPF=O>即一兀一*(1*)=0’化簡得y2=4x(x>0).fy2=4x(x>0)A(2)設直線ST:x=ty+my聯(lián)立Jv7=>r-4^-4/w=0.[x=<y+in設S(X],yJ,T(X2,力)，則X-兒=一4加，兀?x,=上■?準=兒)=m2?'4416MLAM又OS?OT=0,故由題有不丘+兒兒=0，即in2-4m=0?由題意可知〃詳0,故〃7=4.故直線S7\x=/y+4,恒過定點(4,0).⑶設直線/方程為y=lcx+bfI與拋物線交于點力(兀,yj,3(耳,兒),■■則由O4?OF=-4,得兀兀+兒比=一4，即丄?丄+丿”=一4,44兒人???()1〉'2)'+16〉'』‘2+64=0,解得兒兒=一8,由卩=4心>0)?—y+4"0g0),[y=kx+b4b/?y2==-8—b=-2k,當厶=16—16肋>0二>1+2/>0恒成立，ILW、AB'ILW、AB'1+右[(〉1一兒)'=(1+（兒+八仙訃（1+甘（存器16(1+疋)(1+2旳=UK4Mf由題意，4>/6<|AB|<4V30可得16x6516(1+妒)(可得16x651516x30,即4諾+車22玉匚+冷k4k24[k22）因為-^+->0,故？<占+嘰耳=>1<亠54k_22k-22k-解得^-<k2<l,4:.-<k<l^-l<k<--.22即所求R的取值范圍是即所求R的取值范圍是-1,-舟本題主要考查了軌跡方程的求解以及直線與拋物線中的定點問題，同時也考查了弦長范圍求解參數(shù)的問題，需要根據(jù)題意將題中所給的數(shù)量積關系轉(zhuǎn)換為斜率的表達式，再列出不等式進行求解等?屬于難題.21.教材曾有介紹：圓x2+y2=r2±.的點（心凡）處的切線方程為V+>0>?=,-2?我們將其結論推廣：橢圓4+4=1（。>b〉0）上的點（％，兒）處的切線方程為crb"鷲+辱=1,在解本題時可以直接應用.已知，直線x-y+y^=0與橢圓crZrEI二+才=1（。>1）有且只有一個公共點.（1）求“的值；（2）設O為坐標原點，過橢圓E上的兩點4、B分別作該橢圓的兩條切線A、/2,且厶與人交于點M（2,〃?）.當加變化時，求△如面枳的最人值；（3）在（2）的條件下，經(jīng)過點M（2,〃?作直線/與該橢圓E交于C、D兩點，在線\CN\\MC\段CD上存在點N,使鬲=帚才成立，試問：點N是否在直線ABh，請說明理由.答案：（1）a=y/2（2）返（3）見解析2

（1）將直線y代入橢圓方程，得到x的方程，由直線和橢圓相切的條件：判別式為0,解方程可得a的值;（2）設切點A（x”yj）,B（x:,y2）t可得切線xxIcnIImcI?專+幾丫=1，崗=品），再將M代入上式，結合兩點確定一條直線，可得切點弦方程，AB的方程為x+my=l,將直線與橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，求得AOAB的面積，化簡整理，運用基本不等式即可得到所求最人值；（3）點N