計(jì)算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題

計(jì)算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題計(jì)算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題計(jì)算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題資料僅供參考文件編號：2022年4月計(jì)算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：計(jì)算迎面相遇和追及相遇次數(shù)的問題高等有趣，值得一探【題目】一游泳池道長100米，甲乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員從泳道的兩端同時(shí)下水做往返訓(xùn)練15分鐘，甲每分鐘游81米，乙每分鐘游89米。甲運(yùn)動(dòng)員一共從乙運(yùn)動(dòng)員身邊經(jīng)過了多少次【解答】從身邊經(jīng)過，包括迎面和追上兩種情況。能迎面相遇【（81＋89）×15＋100】÷200，取整是13次。第一次追上用100÷（89－81）＝分鐘，以后每次追上需要×2＝25分鐘，顯然15分鐘只能追上一次。因此經(jīng)過13＋1＝14次。如果甲乙從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，甲乙第n次迎面相遇時(shí)，路程和為全長的2n-1倍，而此時(shí)甲走的路程也是第一次相遇時(shí)甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）?？偨Y(jié)：若兩人走的一個(gè)全程中甲走1份M米，兩人走3個(gè)全程中甲就走3份M米。（含義是說，第一次相遇時(shí)，甲乙實(shí)際就是走了一個(gè)全程，第二次相遇時(shí)，根據(jù)上面的公式，甲乙走了2x2-1=3個(gè)全程，如果在第一次相遇時(shí)甲走了m米，那么第二次相遇時(shí)甲就走了3個(gè)m米）下面我們用這個(gè)方法看一道例題。湖中有A，B兩島，甲、乙二人都要在兩島間游一個(gè)來回。兩人分別從A，B兩島同時(shí)出發(fā)，他們第一次相遇時(shí)距A島700米，第二次相遇時(shí)距B島400米。問：兩島相距多遠(yuǎn)【解】從起點(diǎn)到第一次迎面相遇地點(diǎn)，兩人共同完成1個(gè)全長，從起點(diǎn)到第二次迎面相遇地點(diǎn)，兩人共同完成3個(gè)全長，此時(shí)甲走的路程也為第一次相遇地點(diǎn)的3倍。畫圖可知，由3倍關(guān)系得到：A，B兩島的距離為700×3－400=1700米小學(xué)奧數(shù)行程問題分類討論2010-06-0812:00:20來源：網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)入論壇行程問題是小升初考試和小學(xué)四大杯賽四大題型之一(計(jì)算、數(shù)論、幾何、行程)。具體題型變化多樣，形成10多種題型，都有各自相對獨(dú)特的解題方法?，F(xiàn)根據(jù)四大杯賽的真題研究和主流教材將小題型總結(jié)如下，希望各位看過之后給予更加明確的分類。一、一般相遇追及問題。包括一人或者二人時(shí)(同時(shí)、異時(shí))、地(同地、異地)、向(同向、相向)的時(shí)間和距離等條件混合出現(xiàn)的行程問題。在杯賽中大量出現(xiàn)，約占80%左右。建議熟練應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)解法，即s=v×t結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)畫圖(基本功)解答。由于只用到相遇追及的基本公式即可解決，并且要就題論題，所以無法展開，但這是考試中最常碰到的，希望高手做更為細(xì)致的分類。二、復(fù)雜相遇追及問題。(1)多人相遇追及問題。比一般相遇追及問題多了一個(gè)運(yùn)動(dòng)對象，即一般我們能碰到的是三人相遇追及問題。解題思路完全一樣，只是相對復(fù)雜點(diǎn)，關(guān)鍵是標(biāo)準(zhǔn)畫圖的能力能否清楚表明三者的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。(2)多次相遇追及問題。即兩個(gè)人在一段路程中同時(shí)同地或者同時(shí)異地反復(fù)相遇和追及，俗稱反復(fù)折騰型問題。分為標(biāo)準(zhǔn)型(如已知兩地距離和兩者速度，求n次相遇或者追及點(diǎn)距特定地點(diǎn)的距離或者在規(guī)定時(shí)間內(nèi)的相遇或追及次數(shù))和純周期問題(少見，如已知兩者速度，求一個(gè)周期后，即兩者都回到初始點(diǎn)時(shí)相遇、追及的次數(shù))。標(biāo)準(zhǔn)型解法固定，不能從路程入手，將會(huì)很繁，最好一開始就用求單位相遇、追及時(shí)間的方法，再求距離和次數(shù)就容易得多。如果用折線示意圖只能大概有個(gè)感性認(rèn)識，無法具體得出答案，除非是非考試時(shí)間仔細(xì)畫標(biāo)準(zhǔn)尺寸圖。一般用到的時(shí)間公式是(只列舉甲、乙從兩端同時(shí)出發(fā)的情況，從同一端出發(fā)的情況少見，所以不贅述)：單程相遇時(shí)間：t單程相遇=s/(v甲+v乙)單程追及時(shí)間：t單程追及=s/(v甲-v乙)第n次相遇時(shí)間：Tn=t單程相遇×(2n-1)第m次追及時(shí)間：Tm=t單程追及×(2m-1)限定時(shí)間內(nèi)的相遇次數(shù)：N相遇次數(shù)=[(Tn+t單程相遇)/2t單程相遇]限定時(shí)間內(nèi)的追及次數(shù)：M追及次數(shù)=[(Tm+t單程追及)/2t單程追及]注：[]是取整符號之后再選取甲或者乙來研究有關(guān)路程的關(guān)系，其中涉及到周期問題需要注意，不要把運(yùn)動(dòng)方向搞錯(cuò)了。簡單例題：甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)，在相距300千米的A、B兩地之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時(shí)30千米，乙車的速度是每小時(shí)20千米，問(1)第二次迎面相遇后又經(jīng)過多長時(shí)間甲、乙追及相遇(2)相遇時(shí)距離中點(diǎn)多少千米(3)50小時(shí)內(nèi)，甲乙兩車共迎面相遇多少次三、火車問題。特點(diǎn)無非是涉及到車長，相對容易。小題型分為：(1)火車vs點(diǎn)(靜止的，如電線桿和運(yùn)動(dòng)的，如人)s火車=(v火車±v人)×t經(jīng)過(2)火車vs線段(靜止的，如橋和運(yùn)動(dòng)的，如火車)s火車+s橋=v火車×t經(jīng)過和s火車1+s火車2=(v火車1±v火車2)×t經(jīng)過合并(1)和(2)來理解即s和=v相對×t經(jīng)過把電線桿、人的水平長度想象為0即可?；疖噯栴}足見基本公式的應(yīng)用廣度，只要略記公式，火車問題一般不是問題。(3)坐在火車?yán)?。本身所在火車的車長就形同虛設(shè)了，注意的是相對速度的計(jì)算。電線桿、橋、隧道的速度為0(弱智結(jié)論)。四、流水行船問題。理解了相對速度，流水行船問題也就不難了。理解記住1個(gè)公式(順?biāo)?靜水船速+水流速度)就可以順勢理解和推導(dǎo)出其他公式(逆水船速=靜水船速-水流速度，靜水船速=(順?biāo)?逆水船速)÷2，水流速度=(順?biāo)?逆水船速)÷2)，對于流水問題也就夠了。技巧性結(jié)論如下：(1)相遇追及。水流速度對于相遇追及的時(shí)間沒有影響，即對無論是同向還是相向的兩船的速度差不構(gòu)成“威脅”，大膽使用為善。(2)流水落物。漂流物速度=水流速度，t1=t2(t1：從落物到發(fā)現(xiàn)的時(shí)間段，t2：從發(fā)現(xiàn)到拾到的時(shí)間段)與船速、水速、順行逆行無關(guān)。此結(jié)論所帶來的時(shí)間等式常常非常容易的解決流水落物問題，其本身也非常容易記憶。例題：一條河上有甲、乙兩個(gè)碼頭，甲碼頭在乙碼頭的上游50千米處。一艘客船和一艘貨船分別從甲、乙兩碼頭同時(shí)出發(fā)向上游行駛，兩船的靜水速度相同?？痛霭l(fā)時(shí)有一物品從船上落入水中，10分鐘后此物品距客船5千米?？痛谛旭?0千米后掉頭追趕此物品，追上時(shí)恰好和貨船相遇。求水流速度。五、間隔發(fā)車問題?？臻g理解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助。一旦掌握了3個(gè)基本公式，一般問題都可以迎刃而解。(1)在班車?yán)?。即柳卡問題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時(shí)間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可完成。如果不畫圖，單憑想象似乎對于像我這樣的一般人兒來說不容易。例題：A、B是公共汽車的兩個(gè)車站，從A站到B站是上坡路。每天上午8點(diǎn)到11點(diǎn)從A、B兩站每隔30分同時(shí)相向發(fā)出一輛公共汽車。已知從A站到B站單程需要105分鐘，從B站到A站單程需要80分鐘。問8：30、9：00從A站發(fā)車的司機(jī)分別能看到幾輛從B站開來的汽車(2)在班車外。聯(lián)立3個(gè)基本公式好使。汽車間距=(汽車速度+行人速度)×相遇事件時(shí)間間隔------1汽車間距=(汽車速度-行人速度)×追及事件時(shí)間間隔------2汽車間距=汽車速度×汽車發(fā)車時(shí)間間隔------31、2合并理解，即汽車間距=相對速度×?xí)r間間隔分為2個(gè)小題型：1、一般間隔發(fā)車問題。用3個(gè)公式迅速作答;2、求到達(dá)目的地后相遇和追及的公共汽車的輛數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)方法是：畫圖-盡可能多的列3個(gè)好使公式-結(jié)合s全程=v×t-結(jié)合植樹問題數(shù)數(shù)。例題：小峰在騎自行車去小寶家聚會(huì)的路上注意到，每隔9分鐘就有一輛公交車從后方超越小峰。小峰騎車到半路車壞了，于是只好坐出租車去小寶家。這時(shí)小峰又發(fā)現(xiàn)出租車也是每隔9分鐘超越一輛公交車，已知出租車的速度是小峰騎車速度的5倍，如果這3種車輛在行駛過程中都保持勻速，那么公交車站每隔多少分鐘發(fā)一輛車六、平均速度問題。相對容易的題型。大公式要牢牢記住：總路程=平均速度×總時(shí)間。用s=v×t寫出相應(yīng)的比要比直接寫比例式好理解并且規(guī)范，形成行程問題的統(tǒng)一解決方案。七、環(huán)形問題。是一類有挑戰(zhàn)性和難度的題型，分為“同一路徑”、“不同路徑”、“真實(shí)相遇”、“能否看到”等小題型。其中涉及到周期問題、幾何位置問題(審題不仔細(xì)容易漏掉多種位置可能)、不等式問題(針對“能否看到”問題，即問甲能否在線段的拐角處看到乙)。仍舊屬于就題論題范疇，不展開了。八、鐘表問題。是環(huán)形問題的特定引申?；娟P(guān)系式：v分針=12v時(shí)針(1)總結(jié)記憶：時(shí)針每分鐘走1/12格，°;分針每分鐘走1格，6°。時(shí)針和分針“半”天共重合11次，成直線共11次，成直角共22次(都在什么位置需要自己拿表畫圖總結(jié))。(2)基本解題思路：路程差思路。即格或角(分針)=格或角(時(shí)針)+格或角(差)格：x=x/12+(開始時(shí)落后時(shí)針的格+終止時(shí)超過時(shí)針的格)角：6x=x/2+(開始時(shí)落后時(shí)針的角度+終止時(shí)超過時(shí)針的角度)可以解決大部分時(shí)針問題的題型，包括重合、成直角、成直線、成任意角度、在哪兩個(gè)格中間，和哪一個(gè)時(shí)刻形成多少角度。例題：在9點(diǎn)23分時(shí)，時(shí)針和分針的夾角是多少度從這一時(shí)刻開始，經(jīng)過多少分鐘，時(shí)針和分針第一次垂直(3)壞鐘問題。所用到的解決方法已經(jīng)不是行程問題了，變成比例問題了，有相應(yīng)的比例公式。這里不做討論了，我也討論不好，都是考公務(wù)員的題型，有難度。九、自動(dòng)扶梯問題。仍然用基本關(guān)系式s扶梯級數(shù)=(v人速度±v扶梯速度)×t上或下解決最漂亮。這里的路程單位全部是“級”，唯一要注意的是t上或下要表示成實(shí)際走的級數(shù)/人的速度?？梢訮K掉絕大部分自動(dòng)扶梯問題。例題：商場的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子在行駛的扶梯上上下走動(dòng)，女孩由下向上走，男孩由上向下走，結(jié)果女孩走了40級到達(dá)樓上，男孩走了80級到達(dá)樓下。如果男孩單位時(shí)間內(nèi)走的扶梯級數(shù)是女孩的2倍，則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級有多少級十、十字路口問題。即在不同方向上的行程問題。沒有特殊的解題技巧，只要老老實(shí)實(shí)把圖畫對，再通過幾何分析就可以解決。十一、校車問題。就是這樣一類題：隊(duì)伍多，校車少，校車來回接送，隊(duì)伍不斷步行和坐車，最終同時(shí)到達(dá)目的地(即到達(dá)目的地的最短時(shí)間，不要求證明)分4種小題型：根據(jù)校車速度(來回不同)、班級速度(不同班不同速)、班數(shù)是否變化分類。(1)車速不變-班速不變-班數(shù)2個(gè)(最常見)(2)車速不變-班速不變-班數(shù)多個(gè)(3)車速不變-班速變-班數(shù)2個(gè)(4)車速變-班速不變-班數(shù)2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)解法：畫圖-列3個(gè)式子：1、總時(shí)間=一個(gè)隊(duì)伍坐車的時(shí)間+這個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間;2、班車走的總路程;3、一個(gè)隊(duì)伍步行的時(shí)間=班車同時(shí)出發(fā)后回來接它的時(shí)間。最后會(huì)得到幾個(gè)路程段的比值，再根據(jù)所求代數(shù)即可。此類問題可以得到幾個(gè)公式，但實(shí)話說公式無法記憶，因?yàn)橄鄬?fù)雜，只能臨考時(shí)抱佛腳還管點(diǎn)兒用。孩子有興趣推導(dǎo)一下倒可以，不要死記硬背。簡單例題：甲班與乙班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)去15千米外的公園游玩，甲、乙兩班的步行速度都是每小時(shí)4千米。學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)48千米，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。為了使兩班學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)公園，那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步行的距離是多少千米十二、保證往返類。簡單例題：A、B兩人要到沙漠中探險(xiǎn)，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可以攜帶一個(gè)人24天的食物和水。如果不準(zhǔn)將部分食物存放于途中，其中一個(gè)人最遠(yuǎn)可深入沙漠多少千米(要求兩人返回出發(fā)點(diǎn))這類問題其實(shí)屬于智能應(yīng)用題類。建議推導(dǎo)后記憶結(jié)論，以便考試快速作答。每人可以帶夠t天的食物，最遠(yuǎn)可以走的時(shí)間T(1)返回類。(保