1 問(wèn)：有界數(shù)列是否一定收斂？無(wú)界數(shù)列是否一定發(fā)散_第1頁(yè)
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1問(wèn)：有界數(shù)列是否一定收斂？無(wú)界數(shù)列是否一定發(fā)散?答：有界數(shù)列不一定是收斂數(shù)列，例如，擺動(dòng)數(shù)列（―1嚴(yán)<1是有界的，因?qū)σ磺衝,有八丿一，但它是發(fā)散的；而數(shù)列3氏十1■■■■■■門十1yr1?甩十1r<2lim=1也是有界的，因?qū)σ磺衝,有甩，但數(shù)列是收斂的，有f兇。無(wú)界數(shù)列一定是發(fā)散的，因?yàn)槿绻鞘諗康模鶕?jù)收斂數(shù)列是有界的，得出數(shù)列有界的結(jié)論。2問(wèn)什么叫數(shù)列的上有界（有上界），下有界（有下界）？它們和數(shù)列有界有何關(guān)系？［答］如果數(shù)列｛心｝滿足：對(duì)一切的n,有心蘭其中M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，稱數(shù)列｛耳｝上有界（有上界），并稱M是它的一個(gè)上界；如果數(shù)列｛耳｝滿足：對(duì)一切的n,有^>m，其中m是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，稱數(shù)列｛x訂下有界（有下界），并稱m是它的一個(gè)下界。數(shù)列上有界，下有界與數(shù)列有界的關(guān)系是：數(shù)列衣J有界的充分必要條件是數(shù)列即上有界又下有界。證明如下：充分性證明，設(shè)數(shù)列｛心｝上有界且下有界，則存在常數(shù)m和M,使對(duì)一切的n有取加1二m閔閥阿D，那么陸》Q,且對(duì)一切的n,有＜MX,即憶|《皿]所以數(shù)列｛?｝有界。必要性證明：設(shè)數(shù)列｛心｝有界，則對(duì)一切的n,存在正常數(shù)M],有耳卜蛆或-陸《心1込,取m=-，M二血\，則對(duì)一切的n,有xH＜血界口工用＞m同時(shí)成立，故數(shù)列｛?｝上有界且下有界。3問(wèn)為什么“單調(diào)遞增上有界數(shù)列一定有極限”，“單調(diào)遞減下有界數(shù)列一定有極限”？答：因?yàn)閱握{(diào)遞增數(shù)列的第一項(xiàng)心就是它的一個(gè)下界，因此數(shù)列有上界，則該數(shù)列有界，因而收斂。當(dāng)數(shù)列｛?｝單調(diào)遞減，那

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