下數(shù)學(xué)《平行四邊形》競(jìng)賽試卷

××學(xué)校八年級(jí)數(shù)學(xué)《平行四邊形》競(jìng)賽試題總分120分，時(shí)間120分鐘一、填空題（共9小題，每小題4分，滿分36分）1．在矩形ABCD中，已知兩鄰邊AD=12，AB=5，P是AD邊上異于A和D的任意一點(diǎn)，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分別是垂足，那么PE+PF= ．2（2003寧波）BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)、F在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需要增加的一個(gè)條件是

（填一個(gè)即可）如圖，已知矩形ABCD，對(duì)角線AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，則AE= ．如圖，以△ABCBC△ABD、△BCE、△ACF．（1）四邊形ADEF是

（2）當(dāng)△ABC滿足條件

時(shí)，四邊形ADEF為菱形；（3）當(dāng)△ABC滿足條件

時(shí)，四邊形ADEF不存在．1題 2題 3題 4題已知一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)為2，這邊上的中線為1，另兩邊之和為1+，則這兩邊之積．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交點(diǎn)P在BD上，圖中有

對(duì)四邊形面積相等；它們是 ．如圖菱形ABCD的對(duì)角線ACBD相交于的周長(zhǎng)為則菱形ABCD的面積為 ．如圖，矩形ABCD中BD相交于點(diǎn)平分交BC于若則∠BOE的度數(shù)為 度．如圖矩形ABCD中將矩形沿AC折疊點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處則重疊部分△AFC的面積為 ．6題 7題 8題 9題二、選擇題（共9小題，每小題5分，滿分45分）如圖，ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，則∠AED的大小是（ A．60° B．65° C．70° D．75°10題 11題 12題 13題如圖，正△AEF的邊長(zhǎng)與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)、F分別在BC、CD上，則∠B的度數(shù)是（ A．70° B．75° C．80° D．95°如圖，正方形ABCD外有一點(diǎn)P，P在BC外側(cè)，并在平行線AB與CD之間，若PA=，PB=，PC=，則PD=（ ）A．2 B． C．3 D．13．如圖，平行四邊形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，若∠AEF=54°，則∠B=（A．54° B．60° C．66° D．72°四邊形ABCD的四邊分別為bd其中ac為對(duì)邊且滿足a2+2+2+=2ac+2b則這個(gè)四邊形一定（ A．兩組角分別相等的四邊形 B．平行四邊形C．對(duì)角線互相垂直的四邊形 D．對(duì)角線相等的四邊形周長(zhǎng)為68的長(zhǎng)方形ABCD被分成7個(gè)全等的長(zhǎng)方形，如圖所示，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為（ A．98 B．196 C．280 D．28415題 16題16（2003吉林）如圖，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠A=120°，其中由兩個(gè)正六邊形組成的圖形部分種花，則種部分圖形的周長(zhǎng)為（ ）A．12m B．20m C．22m 17．在凸四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，則（ ）A．AD＞BC B．AD＜BCC．AD=BC D．ADBC已知四邊形ABC從下列條件中1AB∥CD（BC∥AD（AB=C4BC=A（∠A=∠C6∠B=∠D任取其中兩個(gè)，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有（ ）A．4種 B．9種 C．13種 D．15三、解答題（共11小題，滿分0分）如圖，在△ADC中AF∠ABC、∠DACADG，求證：GF∥AC．設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊ABAC于點(diǎn)E，PFBC于點(diǎn)F，PG垂直EF于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GPD，使得PD=PC，試證：BC⊥BD，且BC=BD．如圖，在等腰三角形ABC中，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)EAE=BD，連接DE．如果AD=BC=CE=DE，求的度數(shù)．如圖，△ABC、F分別為BCABCD=BF，以AD△ADE．求證：△ACD△CBF；點(diǎn)DBCCDEF∠DEF=30°．23（200?河南）如圖所示，在Rt△ABCAB=A，∠A=90°，點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，DF⊥AB于，DE⊥AC于BC△MEF24（200?咸寧）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCAE，交∠BCAF．求證：EO=FO；當(dāng)點(diǎn)OAECF25．如圖，在Rt△ABC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，DAC的中點(diǎn)，以DDE⊥ACCB的延長(zhǎng)線交于EAB、BEABEF，連接DF，求DF26（200?陜西）閱讀下面短文：如圖①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，現(xiàn)將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，那么符合要求的矩形可以畫(huà)出兩個(gè)矩形ACBD和矩形AEFB（如圖②）解答問(wèn)題：設(shè)圖②中矩形ACBD和矩形AEFB的面積分別為SS，則S1 2 1

S（填“＞”“=”或“＜”．2如圖③，△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫(huà) 用圖③把它畫(huà)出來(lái)．

個(gè)，利如圖④，△ABC是銳角三角形且三邊滿足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它補(bǔ)成矩形，那么符合要求的矩形可以畫(huà)出

個(gè)，利用圖④把它畫(huà)出來(lái)．在中所畫(huà)出的矩形中，哪一個(gè)的周長(zhǎng)最??？為什么？△ABCMBCAC與BN相交于如圖，在銳角△ABCCE分別是BCABCE相交于F，BF的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為Q，連接PQ、DE．求證：直線PQDE如果△ABC是鈍角三角形，∠BAC＞90°，并給予必要的說(shuō)明．新課標(biāo)八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽培訓(xùn)第15講：平行四邊形參考答案與試題解析一、填空題（共9小題，每小題4分，滿分36分）1．在矩形ABCD中，已知兩鄰邊是AD邊上異于A和D的任意一點(diǎn)，且F分別垂足，那么PE+PF= ．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)。專題：幾何圖形問(wèn)題。分析：首先過(guò)A作AG⊥BD于G．根據(jù)等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高，則PE+PF=AG．利用勾股定理求得BD的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式求得AG的長(zhǎng)，即為PE+PF的長(zhǎng)．解答：解：如圖，過(guò)AAG⊥BDG，則S =×OD×AGS +S =×AO×PF+×DO×PE=×DO×PE+P，△AOD △AOP △POD∵S =S +S ，△AOD △AOP △POD∴PE+PF=AG，∴等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高，∴PE+PF=AG．∵AD=12，AB=5，∴BD==13，∴，∴．點(diǎn)評(píng)：本題考查矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算．解決本題的關(guān)鍵是明白等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰距離的和等于腰上的高．2（2003寧波）BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，點(diǎn)、F在BD上，要使四邊形AECF增加的一個(gè)條件是BE=DF（填一個(gè)即可）考點(diǎn)：平行四邊形的判定。專題：開(kāi)放型。分析：要使四邊形AECF也是平行四邊形，可增加一個(gè)條件：BE=DF．解答：解：使四邊形AECF也是平行四邊形，則要證四邊形的兩組對(duì)邊相等，或兩組對(duì)邊分別平行，如果BE=DF，則有：∵AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE，∵AD=BC，BE=DF，∴△ADF≌△BCE，∴CE=AF，同理，△ABE≌△CFD，∴CF=AE，∴四邊形AECF是平行四邊形．故答案為：BE=DF．點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，是開(kāi)放題，答案不唯一，本題利用了平行四邊形和性質(zhì)，通過(guò)證△ADF≌△BCE，△ABE≌△CFD，得到CE=AF，CF=AE利用兩組對(duì)邊分別相等來(lái)判定平行四邊形．如圖，已知矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，則AE= 考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：矩形各內(nèi)角為直角，在直角△ABD中，已知AB、AD，根據(jù)勾股定理即可求BD的值，根據(jù)面積法即可計(jì)算AE的長(zhǎng)．解答：解：矩形各內(nèi)角為直角，∴△ABD為直角三角形在直角△ABD中，AB=6，AD=8則BD==10，∵△ABD的面積S=AB?AD=BD?AE，∴AE==．故答案為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了三角形面積的計(jì)算，本題中根據(jù)勾股定理求BD題的關(guān)鍵．如圖，以△ABCBC△ABD、△BCE、△ACF．四邊形ADEF是平行四邊形；當(dāng)△ABC滿足條件AB=AC時(shí)，四邊形ADEF當(dāng)△ABCAB=AC=BC時(shí)，四邊形ADEF考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的判定。專題：證明題。分析：（1）先證明△ABC≌△DBE，△ABC≌△FEC，則DE=AC=AF，F(xiàn)E=AB=AD，則四邊形ADEF是個(gè)平行四邊形；當(dāng)AB=ACADEF當(dāng)AB=AC=BC時(shí)，四邊形ADEF解答：（）四邊形ADEF是個(gè)平行四邊形在△ABC和△DBE中，∵BC=BEBA=B，∠DBE=∠ABC（與∠ABE之和都等于60°，∴△ABC≌△DBE，∴DE=AC，在△ABC和△FEC中，∵BC=ECCA=C，∠ACB=∠FCE（都為60°角與=∠ACE之和，∴△ABC≌△FEC，∴FE=AB，∴DE=AC=AF，F(xiàn)E=AB=AD，∴四邊形ADEF是個(gè)平行四邊形；當(dāng)△ABCAB=AC由第（1）題中可知四邊形ADEF的四邊都相等，此時(shí)四邊形ADEF是菱形；當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，即AB=AC=BC時(shí)，四邊形ADEF中的A點(diǎn)與E此時(shí)以AD、、F點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形、菱形的判定以及等邊三角形的性質(zhì)．5．已知一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)為2，這邊上的中線為1，另兩邊之和為1+，則這兩邊之積為 考點(diǎn)：勾股定理的逆定理；勾股定理。專題：探究型。分析：2，1xy完全平方公式可用x2+y2表示出xyx2+y2，進(jìn)而可求出xy解答：解：∵三角形的一邊長(zhǎng)為2，這邊上的中線為1，可知這邊上的中線等于這條邊的一半，∴此三角形是個(gè)直角三角形，斜邊為2，設(shè)另兩邊分別為xy，兩邊之和∴（x+y）2=（1+）2=4+2，∴xy=2+﹣，又∵直角三角形兩直角邊的平方等于斜邊的平方，∴x2+y2=4，∴xy=2+﹣2=．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：1+1，另一邊為．如圖所示，在平行四邊形ABCD，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交點(diǎn)PBD上，圖中有5對(duì)四邊形面積相等；它們是?AEPG?PHCF?EFCB?ABHG?GHCD?EFDAABPG與梯形BCFPPHCDAEPD．考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)。分析：由題意可證四邊形EPHB為平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線將平行四邊形的面積平分，從而求解．解答：解：∵EF∥BC，GH∥AB，∴四邊形EPBH為平行四邊形，∵BP為平行四邊形EPBH的對(duì)角線，∴△EBP與△BHP的面積相等，∵BD為平行四邊形ABCD的對(duì)角線，∴△ABD與△BCD面積相等，∵PD為平行四邊形PFDG的對(duì)角線，∴△GPD與△PFD面積相等，∴?AEPG?PHCFEFCB?ABHGGHCD?EFDAABPG與梯形BCFP、PHCDAEPD5?AEPG?PHCF、?EFCB?ABHG、?GHCD?EFDA、梯形ABPG與梯形BCFP、梯形PHCDAEPD．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的性質(zhì)及其面積公式，比較簡(jiǎn)單．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，△AOB的周長(zhǎng)為3+，∠ABC=60°，則菱形ABCD的面積為 ．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；勾股定理。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°，即AB=2AO，設(shè)AO=x，則AB=2x，根據(jù)勾股定理即可求得OB=x，求得的值即可求得AC，BDABCD解答：解：菱形對(duì)角線即角平分線∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°，即AB=2AO，設(shè)AO=x，則AB=2x，則OB==x，即（3+）x=3+即x=1，∴菱形的對(duì)角線長(zhǎng)為2、2，故菱形ABCD的面積為S=×2×2=2．故答案為2．點(diǎn)評(píng)：勾股定理求x如圖，矩形ABCD、BD相交于點(diǎn)O，AE∠BAD，交BCE，若∠EAO=15°，則∠BOE75度．考點(diǎn)：矩形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)可得△BOA為等邊三角形，得出BA=BO，又因?yàn)椤鰾AE為等腰直角三角形，BA=BE，由此關(guān)系可求出∠BOE的度數(shù)．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD=45°，又知∠EAO=15°，∴∠OAB=60°，∵OA=OB，∴△BOA為等邊三角形，∴BA=BO，∵∠BAE=45°，∠ABC=90°，∴△BAE為等腰直角三角形，∴BA=BE．∴BE=BO，∠EBO=30°，∠BOE=∠BEO，此時(shí)∠BOE=75°．故答案為75°．點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了等邊三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．如圖，矩形ABCDAB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC10．考點(diǎn)：勾股定理；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：BC為AF△AFC的面積，求得AF△AFD′≌△CFB，得BF=D′F，設(shè)D′F=x，Rt△AFD′中，根據(jù)勾股定理求x，∴AF=AB﹣BF．解答：解：易證△AFD′≌△CFB，∴D′′F=BF，D′F=x，則AF=8﹣x，在Rt△AFD′解之得：x=3，∴AF=AB﹣FB=8﹣3=5，∴S△AFC=?AF?BC=10．故答案為10．點(diǎn)評(píng)：D′F=xAFD′中運(yùn)用勾股定理求x是解題的關(guān)鍵．二、選擇題（共9小題，每小題5分，滿分45分）如圖，ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，則∠AED的大小是（ A．60° B．65° C．70° D．75°考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線。專題：計(jì)算題。分析：由DE=2AB，可作輔助線：取DE中點(diǎn)O，連接AO，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．解答：解：取DE中點(diǎn)O，連接AO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAB=180°﹣∠ABC=105°，∵AF⊥BC，∴AF⊥AD，∴∠DAE=90°，∴OA=DE=OD=OE，∵DE=2AB，∴OA=AB，∴∠AOB=∠ABO，∠ADO=∠DAO，∠AED=∠EAO，∵∠AOB=∠ADO+∠DAO=2∠ADO，∴∠ABD=∠AOB=2∠ADO，∴∠ABD+∠ADO+∠DAB=180°，∴∠ADO=25°，∠AOB=50°，∵∠AED+∠EAO+∠AOB=180°，∴∠AED=65°．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角三角形的性質(zhì)（直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半、平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)邊平行）以及等腰三角形的性質(zhì)（等邊對(duì)等角，解題的關(guān)鍵是注意方程思想的應(yīng)用．如圖，正△AEF的邊長(zhǎng)與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等，點(diǎn)、F分別在BC、CD上，則∠B的度數(shù)是（ A．70° B．75° C．80° D．95°考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：正△AEF的邊長(zhǎng)與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等，所以AB=AE，AF=AD，根據(jù)鄰角之和為180°即可求得∠B的度數(shù)．解答：解：正△AEF的邊長(zhǎng)與菱形ABCD的邊長(zhǎng)相等，所以AB=AE，AF=AD，設(shè)∠B=x，則∠BAD=180°﹣x，∠BAE=∠DAF=180°﹣2x，即180°﹣2x+180°﹣2x+60°=180°﹣x解得x=80°，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了正三角形各內(nèi)角為60°、各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，考查了菱形鄰角之和為180°的性質(zhì)，本題中根據(jù)關(guān)于x的等量關(guān)系式求x的值是解題的關(guān)鍵．如圖，正方形ABCD外有一點(diǎn)P，P在BC外側(cè)，并在平行線AB與CD之間，若PA=，PB=，PC=，則PD=（ ）A．2 B． C．3 D．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；勾股定理。專題：計(jì)算題。分析：用EF，BE，AB分別表示AP，BP，用CF，PF，DC分別表示DP，CP，得AP2+CP2=DP2+BP2，已知AP，BP，CP代入上式即可求DP．解答：解：延長(zhǎng)AB，DC，過(guò)P分作PE⊥AE，PF⊥DF，則AP2=AE2+EP2，BP2=BE2+PE2，DP2=DF2+PF2，CP2=CF2+FP2，DP2+BP2=DF2+PF2+BE2+PE2，AP2+CP2=DP2+BP2，代入AP，BP，CP得DP==2，故選A．點(diǎn)評(píng)：AP2+CP2=DP2+BP2題的關(guān)鍵．如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，若∠AEF=54°，則∠B=（ A．54° B．60° C．66° D．72°考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：FABCD的平行線FG，由于FAD的中點(diǎn)，那么GBC的中點(diǎn)，即Rt△BCE都是等腰三角形，因此求∠B∠BEGABGF∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG∠AEG解答：解：過(guò)FFG∥AB∥CD，交BCG；則四邊形ABGF是平行四邊形，所以GBC連接EG，在Rt△BEC中，EG是斜邊上的中線，則BG=GE=FG=BC；∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，∴∠B=∠BEG=180°﹣108°=72°．故選D．點(diǎn)評(píng)：關(guān)的等腰三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．四邊形ABCD的四邊分別為bd其中ac為對(duì)邊且滿足a2+2+2+=2ac+2b則這個(gè)四邊形一定（ A．兩組角分別相等的四邊形 B．平行四邊形C．對(duì)角線互相垂直的四邊形 D．對(duì)角線相等的四邊形考點(diǎn)：平行四邊形的判定；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；完全平方公式。專題：規(guī)律型。分析：對(duì)于所給等式a+b2+c+d2=2ac+2b，先移項(xiàng)，故可配成兩個(gè)完全式，即﹣2（b﹣d=0，進(jìn)而可得a=，b=d，四邊形中兩組對(duì)邊相等，故可判定是平行四邊形．解答：解：a2+b2+c2+d2=2ac+2bd可化簡(jiǎn)為（a﹣c）2+（b﹣d）2=0∴a=c，b=d∵a，b，c，d分別為四邊形ABCD的四邊∴a=c，b=d即兩組對(duì)邊分別相等，則可確定其為平行四邊形．故選B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的判定問(wèn)題，正確的對(duì)式子進(jìn)行變形，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．周長(zhǎng)為68的長(zhǎng)方形ABCD被分成7個(gè)全等的長(zhǎng)方形，如圖所示，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為（ A．98 B．196 C．280 D．284考點(diǎn)：一元一次方程的應(yīng)用。專題：幾何圖形問(wèn)題。分析：此題要理解長(zhǎng)方形ABCD7積和與大長(zhǎng)方形的面積相等．還要注意設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為x，則其長(zhǎng)為34﹣6x34﹣5x，長(zhǎng)5x，根據(jù)等量關(guān)系列方程即可．解答：解：設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為x．根據(jù)題意得：7x（34﹣6x）=5x（34﹣5x）化簡(jiǎn)得：7（34﹣6x）=5（34﹣5x）解得：x=4則大長(zhǎng)方形的面積為5x（34﹣5x）=280故選C．點(diǎn)評(píng)：此題鍛煉了學(xué)生的識(shí)圖能力，關(guān)鍵是分清7個(gè)小長(zhǎng)方形是如何組合成大長(zhǎng)方形的，還要注意設(shè)小的比較簡(jiǎn)單．16（2003吉林）如圖，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠A=120°，其中由兩個(gè)正六邊形組成的圖形部分種花，則種部分圖形的周長(zhǎng)為（ ）A．12m B．20m C．22m 考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：應(yīng)用題。分析：AC，根據(jù)已知可得到△ABC△ABC10解答：解：連接AC，已知∠A=120°，ABCD為菱形，則∠B=60°，從而得出△ABC△ABC的頂點(diǎn)所在的小三角形也是△ABC10×6×10=20m，B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．在凸四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，則（ ）A．AD＞BC C．AD=BC D．ADBC考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)。分析：根據(jù)條件AB+BC=CD+DA，可以延長(zhǎng)AB至E使BE=BC，延長(zhǎng)CD至F使DF=DA，連接CE，AF，這樣的輔助線，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理得出四邊形AECF為平行四邊形，再利用三角形全等可以得出AD與BC的大小關(guān)系．解答：解：延長(zhǎng)ABE使BE=BC，延長(zhǎng)CDFDF=DA，連接CE，AF，∵AB+BC=CD+DA，∴AE=CF，又∵AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∴∠E=∠F，CE=AF，又∵BE=BC，DF=AD，∴∠E=∠BCE=∠F=∠DAF，∵CE=AF，∴△AFD≌△BEC，∴AD=BC，故選C．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，延長(zhǎng)ABEBE=BC，延長(zhǎng)CD至FDF=DA是由條件AB+BC=CD+DA已知四邊形ABC從下列條件中1AB∥CD（BC∥AD（AB=C4BC=A（∠A=∠C6∠B=∠D任取其中兩個(gè)，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有（ ）A．4種 B．9種 C．13種 D．15種考點(diǎn)：平行四邊形的判定。分析：平行四邊形的五種判定方法分別是（）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（）四邊形是平行四邊形）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（）5）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．根據(jù)平行四邊形的判定，任取兩個(gè)進(jìn)行推理．解答：ABCD是平行四邊形條件的有九種（2（34（（6（1）（32（41（5（162（2（6）共九種．B．點(diǎn)評(píng)：平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．三、解答題（共11小題，滿分0分）如圖，在△ADC中AF∠ABC、∠DACADG，求證：GF∥AC．考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：從角的角度證明困難，連接EF，在四邊形AGFE的背景下思考問(wèn)題，證明四邊形AGFE為特殊平行四邊形，證題的關(guān)鍵是能分解出直角三角形中的基本圖形．解答：證明：連接EF．∵∠BAC=90°，AD⊥BC．∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．∵BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線．∴∠ABG=∠EBD．∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，∴∠AGE=∠AEG，∴AG=AE，∵AF是∠DAC的平分線，∴AO⊥BE，GO=EO，∵∴△ABO≌△FBO，∴AO=FO，∴四邊形AGFE是平行四邊形，∴GF∥AE，即GF∥AC．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用．設(shè)P為等腰直角三角形ACB斜邊ABAC于點(diǎn)E，PFBC于點(diǎn)F，PG垂直EF于點(diǎn)G，延長(zhǎng)GPD，使得PD=PC，試證：BC⊥BD，且BC=BD．考點(diǎn)：等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質(zhì)。專題：證明題。分析：此題關(guān)鍵是證△PBC≌△PDB，已有PC=PD，PB是公共邊，只需再證明∠BPD=∠CPB，而∠BPD=∠APG，則證明∠APG=∠CPB，進(jìn)而需要證明∠1=∠2，解答：解：∵PE⊥ACE，PF⊥BCF，∠ACB=90°，∴CEPF是矩形（三角都是直角的四邊形是矩形，∴OP=OF，∠PEF+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵PG⊥EF，∴∠PEF+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠ABC=45°，∴∠APE=∠BPF=45°，∴∠APE+∠2=∠BPF+∠1，即∠APG=∠CPB，∵∠BPD=∠APG，∴∠BPD=∠CPB，又∵PC=PD，PB是公共邊，∴△PBC≌△PBDSA，∴BC=BD，∠PBC=∠PBD=45°，∴∠PBC+∠PBD=90°，即BC⊥BD．故證得：BC⊥BD，且BC=BD．點(diǎn)評(píng)：難度較大．如圖，在等腰三角形ABC中，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)EAE=BD，連接DE．如果AD=BC=CE=DE，求的度數(shù)．考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)。專題：綜合題。分析：DDF∥BC，且使DF=BC，連CFEF，則四邊形BDFCBD=CF，SAS判定△DEF∠BAC=x°，則∠ADF=∠ABC=，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分別表示出∠ADE，∠ADF，難求得∠BAC解答：解：過(guò)D作DF∥BC，且使DF=BC，連CF、EF，則四邊形BDFC是平行四邊形，∴BD=CF，DA∥FC，∴∠EAD=∠ECF，∵AD=CE，AE=BD=CF，∴△ADE≌△CEF（SAS）∴ED=EF，∵ED=BC，BC=DF，∴ED=EF=DF∴△DEF為等邊三角形設(shè)∠BAC=x°，則∠ADF=∠ABC=，∴∠DAE=180°﹣x°，∴∠ADE=180°﹣2∠DAE=180°﹣2（180°﹣x°）=2x°﹣180°，∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°∴+（2x°﹣180°）=60°∴x=100．∴∠BAC=100°．點(diǎn)評(píng)：綜合運(yùn)用．如圖，△ABC、F分別為BCABCD=BF，以AD△ADE．求證：△ACD≌△CBF；點(diǎn)DBCCDEF∠DEF=30°．考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：（1）在△ACD和△CBF中，根據(jù)已知條件有兩邊和一夾角對(duì)應(yīng)相等，可根據(jù)邊角邊來(lái)證明全等．（2）當(dāng)∠DEF=30°，即為∠DCF=30°，在△BCF，∠CFB=90°，即F為AB△ACD≌△CBF，所以點(diǎn)DBC解答：1）由△ABC所以△ACD≌△CBF．（2）當(dāng)D在線段BC上的中點(diǎn)時(shí)，四邊形CDEF為平行四邊形，且角DEF=30按上述條件作圖，連接BE，在△AEB和△ADC中，AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，即∴△AEB≌△ADCSA，又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB，∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，∴△EFB為正三角形，∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，又∵∠ABC=60°，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥BC，CDBC，∴EFCD，∴四邊形CDEF為平行四邊形，∵D在線段BC∴F在線段AB∴∠FCD=×60°=30°則∠DEF=∠FCD=30°．點(diǎn)評(píng)：23（2002河南）如圖所示，在Rt△ABCAB=A，∠A=90°，點(diǎn)D為BC上任一點(diǎn)，DF⊥AB于，DE⊥AC于BC△MEF考點(diǎn)：等腰三角形的判定。專題：證明題。分析：根據(jù)已知，利用SAS判定△AEM≌△BFM，從而得到EM=FM；根據(jù)角之間的關(guān)系可求得∠EMF=90°，即△MEF是等腰直角三角形．解答：解：△MEF是等腰直角三角形．證明如下：連接AM，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∠BAC=90°，AB=AC，∴AM=BC=BM，AM平分∠BAC．∵∠MAC=∠MAB=∠BAC=45°．∵AB⊥AC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE∥AB，DF∥AC．∵∠BAC=90°，∴四邊形DFAE為矩形．∴DF=AE．∵DF⊥BF，∠B=45°．∴∠BDF=∠B=45°．∴BF=FD，∠B=∠MAE=45°，∴AE=BF．∵AM=BM∴△AEM≌△BFMSA．∴EM=FM，∠AME=∠BMF．∵∠AMF+∠BMF=90°，∴∠AME+∠AMF=∠EMF=90°，∴△MEF是等腰直角三角形．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定的理解及運(yùn)用；得到AE=BF是正確解答本題的關(guān)鍵．24（2008咸寧）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MNBCAE，交∠BCAF．求證：EO=FO；當(dāng)點(diǎn)OAECF考點(diǎn)：矩形的判定。專題：幾何綜合題。分析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)和角平分線性質(zhì)及，由平行線所夾的內(nèi)錯(cuò)角相等易證．（2）根據(jù)矩形的判定方法，即一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形可證解答：（1）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，又∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴EO=CO2分）FO=C3分）∴EO=FO．（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．∵EO=FO，點(diǎn)OAC∴四邊形AECF6分）∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，又∴∠2+∠4=×180°=90°．即∠ECF=90（7分）∴四邊形AECF8分）點(diǎn)評(píng)：結(jié)論．如圖，在Rt△ABC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，DAC的中點(diǎn)，以DDE⊥ACCB的延長(zhǎng)線交于EAB、BEABEF，連接DF，求DF考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)。專題：計(jì)算題。分析：求證△DEC≌△BAC，得DE=AB，再求證DF=DE解答：解：∵△ABC，∠C=60°，∴∠BAC=30°，∴BC=AC，∵D為AC的中點(diǎn)，∴BC=DC，∴在△DEC≌△BAC中，，∴△DEC≌△BAC，即AB=DE，∠DEB=30°，∴∠FED=60°，∵EF=AB，∴EF=DE，∴△DEF為等邊三角形，即DF=AB，在直角三角形ABC中，BC=2，則AC=4AB==．答：DF的長(zhǎng)為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形各邊均相等，考查了矩形內(nèi)角均為直角的性質(zhì)，本題中求證△DEF是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．菱形的對(duì)角線ACBDO，若菱形ABCD24，AC=6，則菱形的邊長(zhǎng)為5．分析：根據(jù)菱形ABCD的面積和AC可以計(jì)算BD的長(zhǎng)，在Rt△ABO中，已知AO、BO根據(jù)勾股定理即可求得AB的值，即可解題．解答：解：菱形ABCD的面積S=AC?BDS=24，AC=6，則BD=8，∴AO=CO=3，BO=DO=4Rt△ABOAB==55．點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形面積的計(jì)算公式，考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中根據(jù)AO、BO的值求AB的值是解題的關(guān)鍵．27（200?陜西）閱讀下面短文：如圖①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，現(xiàn)將△ABC補(bǔ)成矩形，使△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)為矩形一邊的兩個(gè)端點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊的對(duì)邊上，那么符合要求的矩形可以畫(huà)出兩個(gè)矩形ACBD和矩形AEFB（如圖②）解答問(wèn)題：設(shè)圖