因式分解教學課件

復習與回顧:整式的乘法計算下列各式:x(x+1)=；(x+1)(x－1)=.x2+xx2－115.4.1

提公因式法復習與回顧:整式的乘法計算下列各式:x2+xx2－115

把一個多項式化成幾個整式積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解（或分解因式）.觀察、探究與歸納請把下列多項式寫成整式乘積的形式.把一個多項式化成幾個整式積的形式，這種變形叫做

想一想：因式分解與整式乘法有何關系?因式分解與整式乘法是互逆過程.(x+y)(x－y)x2－y2因式分解整式乘法類比與比較想一想：因式分解與整式乘法有何關系?因式分解與整式乘法是互練習一理解概念

判斷下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

(1)x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；

(2)2x(x－3y)=2x2－6xy(3)(5a－1)2=25a2－10a+1；

(4)x2+4x+4=(x+2)2；

(5)(a－3)(a+3)=a2－9(6)m2－4=(m+2)(m－2)；

(7)2πR+2πr=2π(R+r).因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解練習一理解概念判斷下列各式哪些是整公因式：多項式中各項都有的因式，叫做這個多項式的公因式.

把多項式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形式，其中m是各項的公因式，另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc

除以m的商，像這種分解因式的方法，叫做提公因式法.探究怎樣分解因式:.公因式：多項式中各項都有的因式，叫做這個多項式的公因式.說出下列多項式各項的公因式：(1)ma+mb；(2)4kx－

8ky；(3)5y3+20y2；(4)a2b－2ab2+ab.m4k5y2ab找公因式方法：一看系數(shù)：應取各項系數(shù)的最大公約數(shù).二看字母：取各項相同的字母.

三看指數(shù)：字母的指數(shù)取最低次冪的.說出下列多項式各項的公因式：m4k5y2ab找公因式方法：

分析：應先找出與的公因式，再提公因式進行分解.例1分析：應先找出與

分析：(b+c)是這兩個式子的公因式,可以直接提出.例2分解因式分析：(b+c)是這兩個式子的公因式,可以直隨堂測驗因式分解：24x3y－18x2y

；7ma+14ma2；(3)－16x4+32x3－56x2；(4)－

7ab－14abx+49aby；(5)2a(y－z)－3b(y－z)；(6)p(a2+b2)－q(a2+b2).隨堂測驗因式分解：24x3y－18x2y；拓展與提高1.20042+2004能被2005整除嗎?

拓展與提高1.20042+2004能被2005整除嗎?

你能將多項式x2－16與多項式m2－4n2分解因式嗎?這兩個多項式有什么共同的特點嗎?(a+b)(a－b)=a2－b2a2－b2=(a+b)(a－b)

兩個數(shù)的平方差,等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.15.4.2

公式法(1)你能將多項式x2－16與多項式m2－4n2分例3

分解因式:(1)4x2–9;(2)(x+p)2–(x+q)2.

分析：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x2－9=(2x)2–32，即可用平方差公式分解因式.

在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一個整體，假設x+p=m，x+q=n，則原式化為m2－n2.4x2–9=(2x)2–32

=(2x+3)(2x–

3).(x+p)2–(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)]=(2x+p+q)(p–q).例3分解因式:分析：在(1)中，4x2

例4分解因式:(1)x4—y4;(2)a3b—ab.

分析:(1)x4－y4寫成(x2)2－

(y2)2的形式，這樣就可以利用平方差公式進行因式分解了.(2)a3b－ab有公因式ab，應先提出公因式,再進一步分解.解:(1)x4－y4

=(x2+y2)(x2－y2)=(x2+y2)(x+y)(x－y).(2)a3b－ab=ab(a2－

1)=ab(a+1)(a－

1).分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解為止.例4分解因式:分析:(

練習

1.下列多項式能否用平方差公式來分解因式?為什么?(1)x2+y2;(2)x2－y2;(3)－x2+y2;(4)－x2－y2.2.分解因式:(1)a2－

b2;(2)9a2－4b2;(3)x2y－4y;(4)－a4+16.練

思維延伸

1.觀察下列各式:32－12=8=8×1;52－32=16=8×2;72－52=24=8×3;……

把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含n的等式表示出來.2.對于任意的自然數(shù)n，(n+7)2－

(n－5)2能被24整除嗎?為什么?思維延伸

思考：

你能將多項式a2+2ab+b2

與a2－2ab+b2分解因式嗎？這兩個多項式有什么特點？(a+b)2=a2+2ab+b2,(a－b)2=a2－2ab+b2.

兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的２倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方.a2+2ab+b2=(a+b)2a2－2ab+b2=(a－b)215.4.2

公式法(2)思考：(a+b)2=a2+2ab+b2,兩個·

例5

分解因式：

(1)16x2+24x+9；

分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一個完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32a22abb2+·解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2+·例5分解因式：分析：在(1)中解：(2)

－x2+4xy－4y2

=－

(x2－4xy+4y2)=－

[x2－2·x·2y+(2y)2]=－

(x－2y)2.

例5

分解因式：

(2)

–x2+4xy–4y2.解：(2)－x2+4xy－4y2例5分解因式：

例6

分解因式:

(1)3ax2+6axy+3ay2;

(2)(a+b)2－12(a+b)+36.

分析：在（1）中有公因式3a，應先提出公因式，再進一步分解.解：(1)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.(2)(a+b)2－12(a+b)+36=(a+b)2－2·(a+b)·6+62=(a+b－6)2.將a+b看作一個整體，設a+b=m,則原式化為完全平方式m2－12m+36.例6分解因式:分析：在（1）中有

練習1.下列多項式是不是完全平方式？為什么？

(1)a2－4a+4;(2)1+4a2;(3)4b2+4b－1;(4)a2+ab+b2.2.分解因式：

(1)x2+12x+36;(2)－2xy－x2－y2;(3)a2+2a+1;(4)4x2－4x+1;(5)ax2+2a2x+a3;(6)－3x2+6xy－3y2.練應用提高、拓展創(chuàng)新1.把下列多項式分解因式，從中你能發(fā)現(xiàn)因式分解的一般步驟嗎？

（1）；（2）；（3）；（4）（5）.

歸納：（1）先提公因式（有的話）；（2）利用公式（可以的話）；（3）分解因式時要分解到不能分解為止.應用提高、拓展創(chuàng)新1.把下列多項式分解因式，從中你能2.證明：連續(xù)兩個奇數(shù)的平方差可以被8整除.

2.證明：連續(xù)兩個奇數(shù)的平方差可以被8整除.今天你有什么收獲?你還有什么疑問嗎?小結作業(yè)：習題15.4，2、3、5.今天你有什么收獲?小結作業(yè)：習題15.4，2、3、5.復習與回顧:整式的乘法計算下列各式:x(x+1)=；(x+1)(x－1)=.x2+xx2－115.4.1

提公因式法復習與回顧:整式的乘法計算下列各式:x2+xx2－115

把一個多項式化成幾個整式積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解（或分解因式）.觀察、探究與歸納請把下列多項式寫成整式乘積的形式.把一個多項式化成幾個整式積的形式，這種變形叫做

想一想：因式分解與整式乘法有何關系?因式分解與整式乘法是互逆過程.(x+y)(x－y)x2－y2因式分解整式乘法類比與比較想一想：因式分解與整式乘法有何關系?因式分解與整式乘法是互練習一理解概念

判斷下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

(1)x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；

(2)2x(x－3y)=2x2－6xy(3)(5a－1)2=25a2－10a+1；

(4)x2+4x+4=(x+2)2；

(5)(a－3)(a+3)=a2－9(6)m2－4=(m+2)(m－2)；

(7)2πR+2πr=2π(R+r).因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解練習一理解概念判斷下列各式哪些是整公因式：多項式中各項都有的因式，叫做這個多項式的公因式.

把多項式ma+mb+mc分解成m(a+b+c)的形式，其中m是各項的公因式，另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc

除以m的商，像這種分解因式的方法，叫做提公因式法.探究怎樣分解因式:.公因式：多項式中各項都有的因式，叫做這個多項式的公因式.說出下列多項式各項的公因式：(1)ma+mb；(2)4kx－

8ky；(3)5y3+20y2；(4)a2b－2ab2+ab.m4k5y2ab找公因式方法：一看系數(shù)：應取各項系數(shù)的最大公約數(shù).二看字母：取各項相同的字母.

三看指數(shù)：字母的指數(shù)取最低次冪的.說出下列多項式各項的公因式：m4k5y2ab找公因式方法：

分析：應先找出與的公因式，再提公因式進行分解.例1分析：應先找出與

分析：(b+c)是這兩個式子的公因式,可以直接提出.例2分解因式分析：(b+c)是這兩個式子的公因式,可以直隨堂測驗因式分解：24x3y－18x2y

；7ma+14ma2；(3)－16x4+32x3－56x2；(4)－

7ab－14abx+49aby；(5)2a(y－z)－3b(y－z)；(6)p(a2+b2)－q(a2+b2).隨堂測驗因式分解：24x3y－18x2y；拓展與提高1.20042+2004能被2005整除嗎?

拓展與提高1.20042+2004能被2005整除嗎?

你能將多項式x2－16與多項式m2－4n2分解因式嗎?這兩個多項式有什么共同的特點嗎?(a+b)(a－b)=a2－b2a2－b2=(a+b)(a－b)

兩個數(shù)的平方差,等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.15.4.2

公式法(1)你能將多項式x2－16與多項式m2－4n2分例3

分解因式:(1)4x2–9;(2)(x+p)2–(x+q)2.

分析：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x2－9=(2x)2–32，即可用平方差公式分解因式.

在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一個整體，假設x+p=m，x+q=n，則原式化為m2－n2.4x2–9=(2x)2–32

=(2x+3)(2x–

3).(x+p)2–(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)–(x+q)]=(2x+p+q)(p–q).例3分解因式:分析：在(1)中，4x2

例4分解因式:(1)x4—y4;(2)a3b—ab.

分析:(1)x4－y4寫成(x2)2－

(y2)2的形式，這樣就可以利用平方差公式進行因式分解了.(2)a3b－ab有公因式ab，應先提出公因式,再進一步分解.解:(1)x4－y4

=(x2+y2)(x2－y2)=(x2+y2)(x+y)(x－y).(2)a3b－ab=ab(a2－

1)=ab(a+1)(a－

1).分解因式必須進行到每一個多項式都不能再分解為止.例4分解因式:分析:(

練習

1.下列多項式能否用平方差公式來分解因式?為什么?(1)x2+y2;(2)x2－y2;(3)－x2+y2;(4)－x2－y2.2.分解因式:(1)a2－

b2;(2)9a2－4b2;(3)x2y－4y;(4)－a4+16.練

思維延伸

1.觀察下列各式:32－12=8=8×1;52－32=16=8×2;72－52=24=8×3;……

把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含n的等式表示出來.2.對于任意的自然數(shù)n，(n+7)2－

(n－5)2能被24整除嗎?為什么?思維延伸

思考：

你能將多項式a2+2ab+b2

與a2－2ab+b2分解因式嗎？這兩個多項式有什么特點？(a+b)2=a2+2ab+b2,(a－b)2=a2－2ab+b2.

兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的２倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方.a2+2ab+b2=(a+b)2a2－2ab+b2=(a－b)215.4.2

公式法(2)思考：(a+b)2=a2+2ab+b2,兩個·

例5

分解因式：

(1)16x2+24x+9；

分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一個完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32a22abb2+·解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2+·例5分解因式：分析：在(1)中解：(2)

－x2+4xy－4y2

=－

(x2－4xy+4y2)=－

[x2－2·x·2y+(2y)2]=－

(x－2y)2.

例5

分解因式：

(2)

–x2+4xy–4y2.解：(2)－x2+4xy－4y2例5分解因式：

例6

分解因式:

(1)3ax2+6axy+3ay2;

(2)(a+b)2－12(a+b)+36.