初中數(shù)學競賽-圓1.圓的基本性質

第1講圓的基本性質知識總結歸納一．圓的定義：描述性定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，其中固定端點O叫做圓心，OA叫做半徑.集合性定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，頂點叫做圓心，定長叫做半徑．圓的表示方法：通常用符號。表示圓，定義中以O為圓心，OA為半徑的圓記作“0O”，讀作“圓O”。同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；能夠重合的兩個圓叫做等圓．注意：同圓或等圓的半徑相等．\二．弦和?。合遥哼B結圓上任意兩點的線段叫做弦．直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的2倍．弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距．?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的圓弧記作AB，讀作弧AB.等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。雸A：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．優(yōu)弧、劣?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。危河上壹捌渌鶎Φ幕〗M成的圖形叫做弓形．三．垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論1：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；③平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。普?：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．四．圓心角和圓周角圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角.將整個圓分為360等份，每一份的弧對應1。的圓心角，我們也稱這樣的弧為1。的弧.圓心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等.圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等．推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90。的圓周角所對的弦是直徑．推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，

所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等．五．直線與圓的位置關系設0O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關系如下表:位置關系圖形定義性質及判定相離d直線與圓沒有公共點.d>ro直線l與0O相離（相切直線與圓有唯一公共點，直線叫做圓的切線，唯一公共點叫做切點.d=ro直線l與0O相切相交6直線與圓有兩個公共點，直線叫做圓的割線.d<ro直線l與0O相交l[切線的判定（1）定義法:和圓只有一個公共點的直線是圓的切線；（2）距離法:和圓心距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）定理:經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線弦切角定理弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。/典型例題垂徑定理及圓的對稱性求證：AC=BD.【例1】如圖所示，在。O與三角形所組成的圖形中，OA=求證：AC=BD.【例3】如圖所示，同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C,D兩點，試證明：AC=BD.例4】【例5】例4】【例5】CB[如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的OO交于點G、B、F、E，GB=8cm，AG=lcm,DE=2cm，則EF=.【例6】【例6】如圖所示，在RtAABC中ZC=90。，AC='込，BC=1，若以C為圓心、CB的長為半徑的圓交AB于P，則AP=.【例7】【例7】如圖，已知OO的半徑是5,點A到圓心O的距離為3,求過點A的所有弦中最短弦的長度.【例8【例8】如圖，在0O的直徑PQ上取一點M，過M作兩條弦AB、CD，若ZPMA=ZPMC，求證:MD=MB.ODODI圓心角和圓周角【例9】如圖，OO是AABC的外接圓，已知ZABO=50。，則ZACB的大小為例10】例11】!【例12】已知：如圖，四邊形ABCD是0O的內(nèi)接正方形，點P是劣弧CD上不同于點C的任意一點,則ZBPC的度數(shù)是.【例13】如圖，量角器外沿上有A、B兩點，它們的度數(shù)分別是70。、40。，則Z1的度數(shù)為例14】【例15】如圖，AB是0O的直徑，CD是0O的弦.若/BAD=23。，則ZACD的大小為【例16】如圖，已知ZAPC=30。，弧BD的度數(shù)為30。，求弧AC和ZAEC的度數(shù)PP【例17】...【例18】已知如圖，\ACD的外角平分線CB交其外接圓于B，連接BA、BD，求證：BA=BD.【例19】NNC【例20】如圖，銳角AABC內(nèi)接于圓O，ZABC=60。，ZBAC=36。，作OE丄AB交劣弧AB于點E,連結EC，求ZOEC.BC

BC【例21】如圖，AB是。O的直徑，點C,D,E都在。O上，若ZC=ZD=ZE，求ZA+ZB.BB【例22】過0O上一點M作弦MA，MB，MC，使ZAMB=ZBMC，如圖，過點B作BE丄MA于E，>BF丄MC于F，求證：AE=CF.MM【例23】已知點A、B、C順次在圓O上，弧AB=弧BD，BM丄AC于M，求證：AM=DC+CM.直線與圓相切【例24】如圖，\ABC為等腰三角形，AB二AC，O是底邊BC的中點，00與腰AB相切于點D,求證：AC與00相切.CC【例25】如圖所示在RtAABC中，ZB=90。,ZA的平分線交BC于D,E為AB上一點，DE=DC,以D為圓心，以DB的長為半徑畫圓.求證：（1）AC是。D的切線；（2）AB+EB=AC.【例26】如圖，已知以直角梯形ABCD中,以AB為直徑的圓與CD相切，求證：以CD為直徑的圓與AB相切.【例27】已知：如圖，AB是。O的直徑，C為。O上一點，MN過C點，AD丄MN于D，AC平分ZDAB.求證：MN為0O的切線.BB【例28】如圖，PA分別切0O于A、B兩點，PC滿AB-PB—AC-PC=AB-PC—AC-PB，且AP丄PC,ZPAB二2ZBPC，求ZACB./【例29】...【例30】如圖，?O與直角AABC的斜邊AB相切于D，與直角邊AC相交于點E，且DE〃BC.已知AE=2^2,AC=3?込,BC=6，求0O的半徑.【例31】如圖，在口ABCD中，過A、B、C三點的圓交AD于點E，且與CD相切，若AB=4，BE=5,求DE的長.思維飛躍【例32】如圖，0O的直徑AB為20cm，G是直徑AB上一點，CD是過G的一條弦，CD=16cm，過A、B分別作AE丄CD于點E，BF丄CD于點F，求AE與BF的長度之差.BB【例33】如圖，P為0O外一點，過點P引兩條割線PAB和PCD，點M，N分別是弧AB，弧CD的

中點，連結MN交AB,CD與E,F.求證：'PEF為等腰三角形.【例34】【例35】如圖，在半徑為1的。O中,引兩條互相垂直的直徑AE和BF，在EF上取點C，弦AC交BF于P，弦CB交AE于Q，試證：四邊形APQB的面積為1.F[F[E【例36】如圖，已知AB是。O的直徑，BC是。O的切線，OC平行于弦AD.過點D作DEAB于點E，連結AC與DE交于點P，問EP與FD是否相等證明你的結論.【例37】若圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直，求證：【例38】(1)過對角線交點且平分一邊的直線必垂直于這邊的對邊;【例39】(2)從外接圓圓心到一邊的距離等于這邊對邊的一半.作業(yè)如圖，AB是0O的弦，OD丄AB，垂足為C，交0O于點D，點E在0O上.若ZAOD=52。，求ZDEB的度數(shù)；若0C=3，OA=5，求AB的長.如圖所示，已知AB為00的直徑，CD是弦，且AB丄CD于點E?連接AC、0C、BC.(1)求證：ZACO=ZBCD.(2)若EB=8cm,CD=24cm，求。0的直徑.&&5.如圖，已知AABC內(nèi)接于0O,弦CM丄AB，CN是直徑，F(xiàn)是弧AB的中點,5.6.求證：(1)CF6.求證：(1)CF平分ZNCM；(2)弧AN=弧BM.PP7.8.9.A．5B．6C．7.8.9.A．5B．6C．7D．8B@如圖，AB是0O的直徑，且AB=10,弦MN的長為8,若弦MN的兩端在圓上滑動時，始終與AB12相交，記點A、B到伽的距離分別為h，h，則片-hJ等于（）1210.如圖，過0O的直徑AB上兩點M,N，分別作弦CD,EF，若CD〃EF,AC=BF.11.求證：(1)弧BEC=弧ADF；(2)AM=BN.DD12.如下圖所示，以RtAABC的直角邊BC為直徑作半圓O，交斜邊于D，OE〃AC交AB于E，求證：DE是。O的切線；OO13.如圖，MP切0O于點M，直線OP交0O于點A、B，弦AC〃MP，求證：MO〃BC.,A14.已知：如圖，在AABC中，AB=AC,以BC為直徑的半圓O與邊AB相交于點D，切線DE丄AC,垂足為點E?求證：⑴AABC是等邊三角形；（