布萊克斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型

會(huì)計(jì)學(xué)1布萊克斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型22023/1/18期權(quán)定價(jià)采用相對(duì)定價(jià)法利用基礎(chǔ)產(chǎn)品價(jià)格與衍生產(chǎn)品價(jià)格之間的內(nèi)在關(guān)系，直接根據(jù)基礎(chǔ)產(chǎn)品價(jià)格求出衍生產(chǎn)品價(jià)格，因此要為期權(quán)定價(jià)首先必須研究證券價(jià)格的變化過程。目前，學(xué)術(shù)界普遍用隨機(jī)過程來描述證券價(jià)格的變化過程。6.1證券價(jià)格的變化過程第1頁/共55頁32023/1/18弱式效率市場(chǎng)假說與馬爾可夫過程

1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場(chǎng)假說,該假說認(rèn)為:投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；證券價(jià)格對(duì)新的市場(chǎng)信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動(dòng)是相互獨(dú)立的。一、弱式效率市場(chǎng)假說與馬爾可夫過程第2頁/共55頁42023/1/18效率市場(chǎng)假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。

弱式效率市場(chǎng)假說認(rèn)為，證券價(jià)格變動(dòng)的歷史不包含任何對(duì)預(yù)測(cè)證券價(jià)格未來變動(dòng)有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。半強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說認(rèn)為，證券價(jià)格會(huì)迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。強(qiáng)式效率市場(chǎng)假說認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對(duì)挑選證券都沒有用處。發(fā)達(dá)國家的證券市場(chǎng)大體符合弱式效率市場(chǎng)假說。

第3頁/共55頁52023/1/18弱式效率市場(chǎng)假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程（MarkovStochasticProcess）來表述。隨機(jī)過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化的過程。如果證券價(jià)格遵循馬爾可夫過程，該過程具有“無后效性”，其未來價(jià)格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價(jià)格。也就是，通過歷史數(shù)據(jù)不能預(yù)測(cè)未來B-S模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，它是一種特殊的馬爾可夫過程。第4頁/共55頁62023/1/18二、布朗運(yùn)動(dòng)根據(jù)有效市場(chǎng)理論，股價(jià)、利率和匯率具有隨機(jī)游走性，該特性可以采用維納過程（布朗運(yùn)動(dòng)），它是馬爾科夫過程的一種。（一）、標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)對(duì)于隨機(jī)變量w是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，必須具有兩個(gè)條件：在某一小段時(shí)間Δt內(nèi)，它的變動(dòng)Δw與時(shí)段Δt滿足第5頁/共55頁72023/1/18（6.1）2.

在兩個(gè)不重疊的時(shí)段Δt和Δs,Δwt和Δws是獨(dú)立的，這個(gè)條件也是Markov過程的條件，即增量獨(dú)立?。?.2）有效市場(chǎng)第6頁/共55頁82023/1/18滿足上述兩個(gè)條件的隨機(jī)過程，稱為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，其性質(zhì)有當(dāng)時(shí)段的長(zhǎng)度放大到T時(shí)（從現(xiàn)在的0時(shí)刻到未來的T時(shí)刻）隨機(jī)變量ΔwT的滿足第7頁/共55頁92023/1/18證明：第8頁/共55頁102023/1/18在連續(xù)時(shí)間下Δt→0，由（6.1）和（6.2）得到（6.3）（6.4）所以，概率分布的性質(zhì)以上得到的隨機(jī)過程wt，稱為維納過程。第9頁/共55頁112023/1/18（二）普通布朗運(yùn)動(dòng)

先引入兩個(gè)概念：漂移率（DriftRate）是指，單位時(shí)間內(nèi)變量z均值的變化值。方差率（VarianceRate）是指，單位時(shí)間的方差。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0，方差率為1.0。我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量xt的普通布朗運(yùn)動(dòng)：（6.4）其中，a和b均為常數(shù)，dw遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。第10頁/共55頁122023/1/18從式（6.1）和（6.4）可知，在短時(shí)間后，x值的變化值為：因此，Δxt也具有正態(tài)分布特征，其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。同樣，在任意時(shí)間長(zhǎng)度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為b2T。第11頁/共55頁132023/1/18一般維納過程仍不足以代表隨機(jī)變量復(fù)雜的變動(dòng)特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當(dāng)若把變量xt的漂移率a和方差率b當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，擴(kuò)展后得到的即為ITO過程三、伊藤過程第12頁/共55頁142023/1/18B-S期權(quán)定價(jià)模型是根據(jù)ITO過程的特例－幾何布朗運(yùn)動(dòng)來代表股價(jià)的波動(dòng)省略下標(biāo)t，變換后得到幾何布朗運(yùn)動(dòng)方程（6.6）證券的預(yù)期回報(bào)與其價(jià)格無關(guān)。證券在單位時(shí)間內(nèi)以連續(xù)復(fù)利表示的期望收益率（又稱預(yù)期收益率）證券收益率單位時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱波動(dòng)率四、證券價(jià)格的變化過程第13頁/共55頁152023/1/18伊藤引理：假設(shè)某隨機(jī)變量x的變動(dòng)過程可由ITO過程表示為（省略下標(biāo)t）令f(x,t)為隨機(jī)變量x以及時(shí)間t的函數(shù)，即f(x,t)可以代表以標(biāo)的資產(chǎn)x的衍生證券的價(jià)格，則f(x,t)的變動(dòng)過程可以表示為（6.7）五、伊藤引理第14頁/共55頁162023/1/18證明：將（6.7）離散化由（7.1）知利用泰勒展開，忽略高階項(xiàng)，f(x,t)可以展開為（6.8）第15頁/共55頁172023/1/18在連續(xù)時(shí)間下，即因此，（6.8）可以改寫為（6.9）從而第16頁/共55頁182023/1/18即Δx2不呈現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)！（6.10）第17頁/共55頁192023/1/18由（6.10）可得（6.11）由（6.11）得到（6.12）第18頁/共55頁202023/1/18

由于Δx2不呈現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)，所以，其期望值就收斂為真實(shí)值，即當(dāng)Δt→0時(shí)，由（6.9）可得■第19頁/共55頁212023/1/18若股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t，則T時(shí)刻股票價(jià)格滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布，即六、幾何布朗運(yùn)動(dòng)與對(duì)數(shù)正態(tài)分布lnST的標(biāo)準(zhǔn)差與T-t的平方根成比例第20頁/共55頁222023/1/18令則這樣由伊藤引理得到即證：第21頁/共55頁232023/1/18由（7.1）對(duì)兩端積分：第22頁/共55頁242023/1/18則稱ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其期望值為第23頁/共55頁252023/1/18例6.2設(shè)A股票價(jià)格的當(dāng)前值為50元,預(yù)期收益率為每年18%,波動(dòng)率為每年20%,該股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng),且該股票在6個(gè)月內(nèi)不付紅利，請(qǐng)問該股票6個(gè)月后的價(jià)格ST的概率分布。例6.3請(qǐng)問在例6.2中，A股票在6個(gè)月后股票價(jià)格的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差等多少？

第24頁/共55頁262023/1/186.2B-S期權(quán)定價(jià)模型Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價(jià)公式，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)模型基本假設(shè)9個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)，且對(duì)所有到期日均相同。在衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；期權(quán)為歐式期權(quán)證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；第25頁/共55頁272023/1/18無交易費(fèi)用：證券市場(chǎng)、期權(quán)市場(chǎng)、資金借貸市場(chǎng)投資者可以自由借貸資金，且二者利率相等，均為無風(fēng)險(xiǎn)利率不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)允許賣空標(biāo)的證券標(biāo)的資產(chǎn)為證券，其價(jià)格S的變化為幾何布朗運(yùn)動(dòng)第26頁/共55頁282023/1/18B-S模型證明思路ITO引理ITO過程B-S微分方程B-S買權(quán)定價(jià)公式第27頁/共55頁6.2.1B-S微分方程假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)過程滿足這里S為標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價(jià)格，令f(s,t)代表衍生證券的價(jià)格，則f(s,t)的價(jià)格變動(dòng)過程可由ITO引理近似為第28頁/共55頁302023/1/18

考慮組合：δ份的標(biāo)的資產(chǎn)多頭+1個(gè)單位的衍生證券空頭由于衍生證券價(jià)格和標(biāo)的證券價(jià)格都受同一種不確定性（△w）影響，若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利（或虧損）總是會(huì)與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時(shí)間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險(xiǎn)的。且δ滿足則該組合的價(jià)值為第29頁/共55頁312023/1/18下面將證明該組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合，在Δt時(shí)間區(qū)間內(nèi)價(jià)值變化為：注意到此時(shí)Δπ不含有隨機(jī)項(xiàng)w，→該組合是無風(fēng)險(xiǎn)的，第30頁/共55頁設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)收益率為r，且由于Δt較?。ú徊捎眠B續(xù)復(fù)利），則整理得到第31頁/共55頁B-S微分方程的意義衍生證券的價(jià)格f，只與當(dāng)前的市價(jià)S，時(shí)間t，證券價(jià)格波動(dòng)率σ和無風(fēng)險(xiǎn)利率r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無論投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好如何，都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響。在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，可以采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，即所有證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r。只要標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，都可以采用B-S微分方程求出價(jià)格f。第32頁/共55頁6.2.2B-S買權(quán)定價(jià)公式

對(duì)于歐式不支付紅利的股票期權(quán)，其看漲期權(quán)（買權(quán)）的在定價(jià)日t的定價(jià)公式為N(x)：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量的累計(jì)概率分布函數(shù)（小于x的概率）（6.21）第33頁/共55頁352023/1/18pr0dN(d)例如:當(dāng)d＝1.96時(shí),N(d)＝97.5%第34頁/共55頁（1）設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t，到期時(shí)刻T，若股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，若已經(jīng)當(dāng)前時(shí)刻t的股票價(jià)格為St，則T時(shí)刻的股票價(jià)格的期望值為B-S買權(quán)定價(jià)公式推導(dǎo)第35頁/共55頁比較上兩式，得到根據(jù)B-S微分方程可知，定價(jià)是在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，則資產(chǎn)的期望回報(bào)為無風(fēng)險(xiǎn)回報(bào)，則這表明：在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，任何可交易的金融資產(chǎn)的回報(bào)率均為無風(fēng)險(xiǎn)利率。第36頁/共55頁（2）在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風(fēng)險(xiǎn)利率r，故買權(quán)期望值的現(xiàn)值為第37頁/共55頁392023/1/18B-S模型的意義N(d2)：在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率。Xe-r(T-t)N(d2)：X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。

StN(d1)=e-r(T-t)ESTN(d1)：是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。第38頁/共55頁402023/1/18其次，是復(fù)制交易策略中股票的數(shù)量，StN(d1)就是資產(chǎn)的市值,-Xe-r(T-t)N(d2)則是復(fù)制交易策略中負(fù)債的價(jià)值。假設(shè)St>x，τ→0,則兩個(gè)N(d)→1，看漲期權(quán)肯定會(huì)被執(zhí)行，此時(shí)看漲期權(quán)價(jià)值為St-Xe-r，與遠(yuǎn)期合約的價(jià)值相似。執(zhí)行后，獲得了以St為現(xiàn)價(jià)的股票的所有權(quán)，而承擔(dān)了X的債務(wù)。期權(quán)的價(jià)值關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格及其方差，以及到期時(shí)間等5個(gè)變量的非線性函數(shù)Ct=f(St,X,τ,σ,r)的函數(shù)。第39頁/共55頁412023/1/18在標(biāo)的資產(chǎn)無收益情況下，無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的價(jià)值C=c。根據(jù)歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)之間存在平價(jià)關(guān)系，可得無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)的定價(jià)公式：

（6.22）由于美式看跌期權(quán)與看漲期權(quán)之間不存在嚴(yán)密的平價(jià)關(guān)系，所以要用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出。

歐式看跌期權(quán)的價(jià)值第40頁/共55頁422023/1/186.2.3有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)公式（一）有收益資產(chǎn)歐式期權(quán)的定價(jià)公式在收益已知情況下，把標(biāo)的證券價(jià)格分解成兩部分：期權(quán)有效期內(nèi)已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分(無風(fēng)險(xiǎn)部分)一個(gè)有風(fēng)險(xiǎn)部分。當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，現(xiàn)值部分將由于標(biāo)的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，只要用S表示有風(fēng)險(xiǎn)部分的證券價(jià)格。表示風(fēng)險(xiǎn)部分遵循隨機(jī)過程的波動(dòng)率，直接套用公式（6.21）和（6.22）分別計(jì)算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。從理論上說，風(fēng)險(xiǎn)部分的波動(dòng)率并不完全等于整個(gè)證券價(jià)格的的波動(dòng)率,有風(fēng)險(xiǎn)部分的波動(dòng)率近似等于整個(gè)證券價(jià)格波動(dòng)率乘以S/(S－I)，這里I是紅利現(xiàn)值。為方便起見，假設(shè)兩者相等。第41頁/共55頁432023/1/18當(dāng)標(biāo)的證券已知收益的現(xiàn)值為I時(shí)，只要用（S－I）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。

當(dāng)標(biāo)的證券的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q（單位為年）時(shí)，我們只要將代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的歐式看漲和看跌期權(quán)的價(jià)格。

第42頁/共55頁442023/1/18對(duì)于歐式期貨期權(quán)，其定價(jià)公式為：

（6.23）（6.24）其中：第43頁/共55頁452023/1/18例6.4假設(shè)當(dāng)前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為7%，英國的無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)率為10%，求6個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權(quán)價(jià)格。

3.05美分。第44頁/共55頁462023/1/18（二）有收益資產(chǎn)美式期權(quán)的定價(jià)1．美式看漲期權(quán)

當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)有收益時(shí)，美式看漲期權(quán)就有提前執(zhí)行的可能，用一種近似處理的方法:先確定提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)是否合理。若不合理，則按歐式期權(quán)處理；若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則分別計(jì)算在T時(shí)刻和tn時(shí)刻到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格，然后將二者之中的較大者作為美式期權(quán)的價(jià)格。第45頁/共55頁472023/1/18例6.5假設(shè)一種1年期的美式股票看漲期權(quán)，標(biāo)的股票在5個(gè)月和11個(gè)月后各有一個(gè)除權(quán)日，每個(gè)除權(quán)日的紅利期望值為1.0元，標(biāo)的股票當(dāng)前的市價(jià)為50元，期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，標(biāo)的股票波動(dòng)率為每年30%，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，求該期權(quán)的價(jià)值。解：1.

看該期權(quán)是否應(yīng)提前執(zhí)行。不能提前執(zhí)行的條件是：由于D1=D2=1.0元，則對(duì)第一次除權(quán)日，有對(duì)第2次除權(quán)日，有第46頁/共55頁482023/1/182.

比較1年期和11個(gè)月期歐式看漲期權(quán)價(jià)格。對(duì)于1年期歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為：

S=50-1.8716=48.1284，代入式（6.23）得：N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224第47頁/共55頁492023/1/18對(duì)于11個(gè)月期的歐式看漲期權(quán)來說，由于紅利的現(xiàn)值為：S=49.0408元由于c11>c12，因此該美式看漲期權(quán)價(jià)值近似為7.2824元第48頁/共55頁502023/1/182．美式看跌期權(quán)

由于收益雖然使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權(quán)的價(jià)值仍不同于歐式看跌期權(quán)，它也只能通過較復(fù)雜的數(shù)值方法來求出。第49頁/共55頁512023/1/18第三節(jié)布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式的實(shí)證研究和應(yīng)用

一、布萊克——舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式實(shí)證研究

布萊克—舒爾斯期權(quán)定價(jià)公式傾向于高估方差高的期權(quán)，低估方差低的期權(quán)；高估實(shí)值期權(quán)的