德州市八年級數(shù)學上冊期中試卷含答

第27頁德州市2023八年級數(shù)學上冊期中試卷(含答案解析)德州市2023八年級數(shù)學上冊期中試卷(含答案解析)一、選擇題：本大題共12分小題，總分值36分.1．某種感冒病毒的直徑為0.0000000031米，用科學記數(shù)法表示為〔〕A．3.1×10﹣9米B．3.1×109米C．﹣3.1×109米D．0.31×10﹣8米2．畫△ABC中AB邊上的高，以下畫法中正確的選項是〔〕A．B．C．D．3．以下運算正確的選項是〔〕A．﹣〔a﹣1〕=﹣a﹣1B．〔﹣2a3〕2=4a6C．〔a﹣b〕2=a2﹣b2D．a(chǎn)3+a2=2a54．下面式子從左邊到右邊的變形是因式分解的是〔〕A．x2﹣x﹣2=x〔x﹣1〕﹣2B．〔a+b〕〔a﹣b〕=a2﹣b2C．x2﹣1=〔x+1〕〔x﹣1〕D．x2y﹣y3=y〔x2﹣y2〕5．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，假設證△ABC≌△DEF，還需補充一個條件，錯誤的補充方法是〔〕A．∠B=∠EB．∠C=∠FC．BC=EFD．AC=DF6．用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如下圖，那么能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是〔〕A．SSSB．ASAC．AASD．角平分線上的點到角兩邊距離相等7．如果把分式中的x和y都擴大2倍，那么分式的值〔〕A．擴大4倍B．擴大2倍C．不變D．縮小2倍8．假設4x2﹣mxy+9y2是一個完全平方式，那么m的值為〔〕A．6B．±6C．12D．±129．∠AOB=30°，點P在∠AOB內部，P1與P關于OB對稱，P2與P關于OA對稱，那么P1，O，P2三點所構成的三角形是〔〕A．直角三角形B．鈍角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形10．某服裝加工廠方案加工400套運動服，在加工完160套后，采用了新技術，工作效率比原方案提高了20%，結果共用了18天完成全部任務．設原方案每天加工x套運動服，根據(jù)題意可列方程為〔〕A．B．C．D．11．如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E，通過上述條件，我們不難發(fā)現(xiàn)：BD+CE=DE；如圖2，∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E，根據(jù)圖1所得的結論，試猜測BD，CE，DE之間存在什么關系？〔〕A．BD﹣CE=DEB．BD+CE=DEC．CE﹣DE=BDD．無法判斷12．如圖，動點P從〔0，3〕出發(fā)，沿所示方向運動，每當碰到矩形的邊時反彈．反彈時反射角等于入射角，當點P第2023次碰到矩形的邊時，點P的坐標為〔〕A．〔1，4〕B．〔5，0〕C．〔6，4〕D．〔8，3〕二、填空題：本大題共6個小題，每題填對最后結果得4分，總分值24分.13．分解因式：16x4﹣1=．14．假設2m=a，32n=b，m，n為正整數(shù)，那么23m+10n=．15．如果一個正多邊形的內角和是900°，那么這個正多邊形是正邊形．16．等腰三角形的一個內角50°，那么這個三角形的底角是．17．如果分式的值為零，那么x=．18．假設分式方程=無解，那么a的值是．三、解答題.本大題共8個小題，總分值60分.解答時請寫出必要的演推過程.19．①解方程：﹣1=②計算：〔3m+n〕〔3m﹣n〕﹣3〔m﹣n〕2．20．化簡：÷．21．閱讀下面材料完成分解因式x2+〔p+q〕x+pq型式子的因式分解x2+〔p+q〕x+pq=x2+px+qx+pq=〔x2+px〕+〔qx+pq〕=x〔x+p〕+q〔x+p〕=〔x+p〕〔x+q〕這樣，我們得到x2+〔p+q〕x+pq=〔x+p〕〔x+q〕利用上式可以將某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式．例把x2+3x+2分解因式分析：x2+3x+2中的二次項系數(shù)為1，常數(shù)項2=1×2，一次項系數(shù)3=1+2，這是一個x2+〔p+q〕x+pq型式子．解：x2+3x+2=〔x+1〕〔x+2〕請仿照上面的方法將以下多項式分解因式：①x2+7x+10；②2y2﹣14y+24．22．在邊長為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中建立如圖片所示的平面直角坐標系，格點三角形ABC〔三角形的三個頂點都在小正方形上〕〔1〕畫出△ABC關于直線l：x=﹣1的對稱三角形△A1B1C1；并寫出A1、B1、C1的坐標．〔2〕在直線x=﹣l上找一點D，使BD+CD最小，滿足條件的D點為．提示：直線x=﹣l是過點〔﹣1，0〕且垂直于x軸的直線．23．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF．求證：AE=AF．24．幾個小伙伴打算去德州看音樂演出，他們準備用180元錢購置門票．下面是兩個小伙伴的對話：小紅說：如果今天去看演出，我們每人一張票，正好會差一張票的錢．小明說：過兩天就是“兒童節(jié)〞了，那時候去看演出，票價會打六折，我們每人一張票，還能剩36元錢呢！根據(jù)對話的內容，請你求出小伙伴們的人數(shù)．25．問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是；探索延伸：如圖2，假設在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；實際應用：如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心〔O處〕北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進.1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．德州市2023八年級數(shù)學上冊期中試卷(含答案解析)參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12分小題，總分值36分.1．某種感冒病毒的直徑為0.0000000031米，用科學記數(shù)法表示為〔〕A．3.1×10﹣9米B．3.1×109米C．﹣3.1×109米D．0.31×10﹣8米考點：科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)．分析：絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．解答：解：0.0000000031=3.1×10﹣9，應選：A．點評：此題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．2．畫△ABC中AB邊上的高，以下畫法中正確的選項是〔〕A．B．C．D．考點：三角形的角平分線、中線和高．專題：作圖題．分析：作哪一條邊上的高，即從所對的頂點向這條邊或這條邊的延長線作垂線即可．解答：解：過點C作AB邊的垂線，正確的選項是C．應選：C．點評：此題是一道作圖題，考查了三角形的角平分線、高、中線，是根底知識要熟練掌握．3．以下運算正確的選項是〔〕A．﹣〔a﹣1〕=﹣a﹣1B．〔﹣2a3〕2=4a6C．〔a﹣b〕2=a2﹣b2D．a(chǎn)3+a2=2a5考點：完全平方公式；合并同類項；去括號與添括號；冪的乘方與積的乘方．專題：常規(guī)題型．分析：根據(jù)去括號法那么，積的乘方的性質，完全平方公式，合并同類項法那么，對各選項分析判斷后利用排除法求解．解答：解：A、因為﹣〔a﹣1〕=﹣a+1，故本選項錯誤；B、〔﹣2a3〕2=4a6，正確；C、因為〔a﹣b〕2=a2﹣2ab+b2，故本選項錯誤；D、因為a3與a2不是同類項，而且是加法，不能運算，故本選項錯誤．應選B．點評：此題考查了合并同類項，積的乘方，完全平方公式，理清指數(shù)的變化是解題的關鍵．4．下面式子從左邊到右邊的變形是因式分解的是〔〕A．x2﹣x﹣2=x〔x﹣1〕﹣2B．〔a+b〕〔a﹣b〕=a2﹣b2C．x2﹣1=〔x+1〕〔x﹣1〕D．x2y﹣y3=y〔x2﹣y2〕考點：因式分解的意義．分析：根據(jù)因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，可得答案．解答：解：A、沒把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故A錯誤；B、是整式的乘法，故B錯誤；C、把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，故C正確；D、還可以再分解，故D錯誤；應選：C．點評：此題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉化成幾個整式積的形式，分解要徹底．5．在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，假設證△ABC≌△DEF，還需補充一個條件，錯誤的補充方法是〔〕A．∠B=∠EB．∠C=∠FC．BC=EFD．AC=DF考點：全等三角形的判定．分析：根據(jù)及全等三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到答案．解答：解：A、正確，符合判定ASA；B、正確，符合判定AAS；C、不正確，滿足SSA沒有與之對應的判定方法，不能判定全等；D、正確，符合判定SAS．應選C．點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定方法的理解及運用，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，HL等．6．用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線的示意圖如下圖，那么能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是〔〕A．SSSB．ASAC．AASD．角平分線上的點到角兩邊距離相等考點：全等三角形的判定與性質；作圖—根本作圖．專題：證明題．分析：連接NC，MC，根據(jù)SSS證△ONC≌△OMC，即可推出答案．解答：解：連接NC，MC，在△ONC和△OMC中∴△ONC≌△OMC〔SSS〕，∴∠AOC=∠BOC，應選A．點評：此題考查了全等三角形的性質和判定的應，主要考查學生運用性質進行推理的能力，題型較好，難度適中．7．如果把分式中的x和y都擴大2倍，那么分式的值〔〕A．擴大4倍B．擴大2倍C．不變D．縮小2倍考點：分式的根本性質．分析：把分式中的x和y都擴大2倍，分別用2x和2y去代換原分式中的x和y，利用分式的根本性質化簡即可．解答：解：把分式中的x和y都擴大2倍后得：==2?，即分式的值擴大2倍．應選：B．點評：根據(jù)分式的根本性質，無論是把分式的分子和分母擴大還是縮小相同的倍數(shù)，都不要漏乘〔除〕分子、分母中的任何一項．8．假設4x2﹣mxy+9y2是一個完全平方式，那么m的值為〔〕A．6B．±6C．12D．±12考點：完全平方式．專題：常規(guī)題型．分析：先根據(jù)兩平方項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項即可確定m的值．解答：解：4x2﹣mxy+9y2=〔2x〕2﹣mxy+〔3y〕2，∵4x2﹣mxy+9y2是一個完全平方式，∴﹣mxy=±2×2x×3y，解得m=±12．應選D．點評：此題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項確定出這兩個數(shù)是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．9．∠AOB=30°，點P在∠AOB內部，P1與P關于OB對稱，P2與P關于OA對稱，那么P1，O，P2三點所構成的三角形是〔〕A．直角三角形B．鈍角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形考點：等邊三角形的判定；軸對稱的性質．專題：應用題．分析：根據(jù)軸對稱的性質可知：OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，即可判斷△P1OP2是等邊三角形．解答：解：根據(jù)軸對稱的性質可知，OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，∴△P1OP2是等邊三角形．應選：D．點評：主要考查了等邊三角形的判定和軸對稱的性質．軸對稱的性質：〔1〕對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；〔2〕對應線段相等，對應角相等．10．某服裝加工廠方案加工400套運動服，在加工完160套后，采用了新技術，工作效率比原方案提高了20%，結果共用了18天完成全部任務．設原方案每天加工x套運動服，根據(jù)題意可列方程為〔〕A．B．C．D．考點：由實際問題抽象出分式方程．專題：工程問題．分析：關鍵描述語為：“共用了18天完成任務〞；等量關系為：采用新技術前用的時間+采用新技術后所用的時間=18．解答：解：采用新技術前用的時間可表示為：天，采用新技術后所用的時間可表示為：天．方程可表示為：．應選：B．點評：列方程解應用題的關鍵步驟在于找相等關系．找到關鍵描述語，找到等量關系是解決問題的關鍵．此題要注意采用新技術前后工作量和工作效率的變化．11．如圖1，在△ABC中，∠ABC的平分線BF與∠ACB的平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E，通過上述條件，我們不難發(fā)現(xiàn)：BD+CE=DE；如圖2，∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，交直線AB于點D，交直線AC于點E，根據(jù)圖1所得的結論，試猜測BD，CE，DE之間存在什么關系？〔〕A．BD﹣CE=DEB．BD+CE=DEC．CE﹣DE=BDD．無法判斷考點：等腰三角形的判定與性質；平行線的性質．分析：由∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，過點F作DE∥BC，易證得△BDF與△CEF是等腰三角形，繼而可求得答案．解答：解：如圖2，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠1，∵∠ABC的平分線BF與∠ACB的外角平分線CF相交于F，∴∠DBC=∠CBF，∠1=∠2，∴∠DBC=∠DFB，∠EFC=∠2，∴BD=DF，EF=CE，∵DF=DE+EF，∴BD=DE+CE．即BD﹣CE=DE．應選A．點評：此題考查了等腰三角形的性質與判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．12．如圖，動點P從〔0，3〕出發(fā)，沿所示方向運動，每當碰到矩形的邊時反彈．反彈時反射角等于入射角，當點P第2023次碰到矩形的邊時，點P的坐標為〔〕A．〔1，4〕B．〔5，0〕C．〔6，4〕D．〔8，3〕考點：規(guī)律型：點的坐標．分析：根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形，可知每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2023除以6，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對應的點的坐標即可．解答：解：如圖，經(jīng)過6次反彈后動點回到出發(fā)點〔0，3〕，∵2023÷6=335…5，∴當點P第2023次碰到矩形的邊時為第336個循環(huán)組的第5次反彈，點P的坐標為〔1，4〕．應選：A．點評：此題考查了對點的坐標的規(guī)律變化的認識，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵．二、填空題：本大題共6個小題，每題填對最后結果得4分，總分值24分.13．分解因式：16x4﹣1=〔4x2+1〕〔2x+1〕〔2x﹣1〕．考點：因式分解-運用公式法．分析：直接利用平方差進而分解因式得出即可．解答：解：16x4﹣1=〔4x2+1〕〔4x2﹣1〕=〔4x2+1〕〔2x+1〕〔2x﹣1〕．故答案為：〔4x2+1〕〔2x+1〕〔2x﹣1〕．點評：此題主要考查了公式法分解因式，熟練應用平方差公式是解題關鍵．14．假設2m=a，32n=b，m，n為正整數(shù)，那么23m+10n=a3b2．考點：冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的乘法．分析：根據(jù)冪的乘方和積的乘方的運算法那么求解．解答：解：32n=25n=b，那么23m+10n=23m?210n=a3?b2=a3b2．故答案為：a3b2．點評：此題考查了冪的乘方和積的乘方，掌握運算法那么是解答此題的關鍵．15．如果一個正多邊形的內角和是900°，那么這個正多邊形是正七邊形．考點：多邊形內角與外角．分析：n邊形的內角和可以表示成〔n﹣2〕?180°，設這個多邊形的邊數(shù)是n，就得到關于邊數(shù)的方程，從而求出邊數(shù)．解答：解：設這個正多邊形的邊數(shù)是n，那么〔n﹣2〕?180°=900°，解得：n=7．那么這個正多邊形是正七邊形．點評：此題比擬簡單，只要結合多邊形的內角和公式尋求等量關系，構建方程求解．16．等腰三角形的一個內角50°，那么這個三角形的底角是50°或80°．考點：等腰三角形的性質．分析：等腰三角形的兩個底角相等，一個內角是50°，那么這個角可能是底角也可能是頂角．要分兩種情況討論．解答：解：當50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當50°的角是頂角時，兩底角相等，根據(jù)三角形的內角和定理易得底角是65°．故答案是：50°或80°．點評：此題考查了等腰三角形的性質；全面思考，分類討論是正確解答此題的關鍵．17．如果分式的值為零，那么x=﹣1．考點：分式的值為零的條件．專題：計算題．分析：分式的值為0的條件是：分子為0，分母不為0，兩個條件需同時具備，缺一不可．據(jù)此可以解答此題．解答：解：如果分式的值為零，那么|x|﹣1=0．解得x=1或﹣1．x﹣1≠0，解得x≠1，∴x=﹣1．故答案為﹣1．點評：分式值為0，那么需考慮分子為0，分母不為0．18．假設分式方程=無解，那么a的值是10或0．考點：分式方程的解．分析：分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．解答：解：方程兩邊都乘〔x+5〕〔x﹣5〕，得x+5=a，解得x=a﹣5，∵當x=±5時分母為0，方程無解，即a﹣5=±5，∴a=10或0．故答案為：10或0．點評：此題考查了分式方程無解的條件，分式方程無解分兩種情況：整式方程本身無解；分式方程產(chǎn)生增根．是需要識記的內容．三、解答題.本大題共8個小題，總分值60分.解答時請寫出必要的演推過程.19．①解方程：﹣1=②計算：〔3m+n〕〔3m﹣n〕﹣3〔m﹣n〕2．考點：解分式方程；整式的混合運算．專題：計算題．分析：①分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；②原式利用平方差公式及完全平方公式展開，去括號合并即可得到結果．解答：解：①去分母得：4﹣6x+2=3，移項合并得：6x=3，解得：x=，經(jīng)檢驗x=是分式方程的解；②原式=9m2﹣n2﹣3m2+6mn﹣3n2=6m2+6mn﹣4n2．點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“轉化思想〞，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．20．化簡：÷．考點：分式的混合運算．分析：利用分式的混合運算順序求解即可．解答：解：÷點評：此題主要考查了分式的混合運算，解題的關鍵是通分及約分．21．閱讀下面材料完成分解因式x2+〔p+q〕x+pq型式子的因式分解x2+〔p+q〕x+pq=x2+px+qx+pq=〔x2+px〕+〔qx+pq〕=x〔x+p〕+q〔x+p〕=〔x+p〕〔x+q〕這樣，我們得到x2+〔p+q〕x+pq=〔x+p〕〔x+q〕利用上式可以將某些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式．例把x2+3x+2分解因式分析：x2+3x+2中的二次項系數(shù)為1，常數(shù)項2=1×2，一次項系數(shù)3=1+2，這是一個x2+〔p+q〕x+pq型式子．解：x2+3x+2=〔x+1〕〔x+2〕請仿照上面的方法將以下多項式分解因式：①x2+7x+10；②2y2﹣14y+24．考點：因式分解-十字相乘法等．專題：閱讀型．分析：仿照上述的方法，將原式分解即可．解答：解：①x2+7x+10=〔x+2〕〔x+5〕；②2y2﹣14y+24=2〔y2﹣7y+12〕=2〔y﹣3〕〔y﹣4〕．點評：此題考查了因式分解﹣十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解此題的關鍵．22．在邊長為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格中建立如圖片所示的平面直角坐標系，格點三角形ABC〔三角形的三個頂點都在小正方形上〕〔1〕畫出△ABC關于直線l：x=﹣1的對稱三角形△A1B1C1；并寫出A1、B1、C1的坐標．〔2〕在直線x=﹣l上找一點D，使BD+CD最小，滿足條件的D點為〔﹣1，1〕．提示：直線x=﹣l是過點〔﹣1，0〕且垂直于x軸的直線．考點：作圖-軸對稱變換；軸對稱-最短路線問題．分析：〔1〕分別作出點A、B、C關于直線l：x=﹣1的對稱的點，然后順次連接，并寫出A1、B1、C1的坐標；〔2〕作出點B關于x=﹣1對稱的點B1，連接CB1，與x=﹣1的交點即為點D，此時BD+CD最小，寫出點D的坐標．解答：解：〔1〕所作圖形如下圖：A1〔3，1〕，B1〔0，0〕，C1〔1，3〕；〔2〕作出點B關于x=﹣1對稱的點B1，連接CB1，與x=﹣1的交點即為點D，此時BD+CD最小，點D坐標為〔﹣1，1〕．故答案為：〔﹣1，1〕．點評：此題考查了根據(jù)軸對稱變換作圖，解答此題的關鍵是根據(jù)網(wǎng)格結構作出對應點的位置，并順次連接．23．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC的中點為O，過點O作AC的垂線分別與AD、BC相交于點E、F，連接AF．求證：AE=AF．考點：線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質．專題：證明題；壓軸題．分析：方法一：連接CE，由與EF是線段AC的垂直平分線，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)AE=CE可知四邊形AFCE是菱形，故可得出結論．方法二：首先證明△AOE≌△COF，可得OE=OF，進而得到AC垂直平分EF，再根據(jù)線段垂直平分線的性質可得AE=AF．解答：證明：連接CE，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，OA=OC，∵AE∥BC，∴∠ACB=∠DAC，在△AOE與△COF中，∴△AOE≌△COF，∴AE=CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AE=CE，∴四邊形AFCE是菱形，∴AE=AF．另法：∵AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，∴OE=OF，∴AC垂直平分EF，∴AE=AF．點評：此題考查的是線段垂直平分線的性質及菱形的判定定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出平行四邊形是解答此題的關鍵．24．幾個小伙伴打算去德州看音樂演出，他們準備用180元錢購置門票．下面是兩個小伙伴的對話：小紅說：如果今天去看演出，我們每人一張票，正好會差一張票的錢．小明說：過兩天就是“兒童節(jié)〞了，那時候去看演出，票價會打六折，我們每人一張票，還能剩36元錢呢！根據(jù)對話的內容，請你求出小伙伴們的人數(shù)．考點：分式方程的應用．分析：設小伙伴的人數(shù)為x人，根據(jù)題意可知，原價購置差一張票的錢，打六折剩余36元錢，據(jù)此列方程求解．解答：解：設小伙伴的人數(shù)為x人，由題意得，×0.6x=180﹣36，解得：x=4，經(jīng)檢驗，x=4是原分式方程的解，且符合題意．答：小伙伴的人數(shù)為4人．點評：此題考查了分式方程的應用，解答此題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出適宜的等量關系，列方程求解，注意檢驗．25．問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點．且∠EAF=60°．探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系．小王同學探究此問題的方法是，延長FD到點G．使DG=BE．連結AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的