金融數(shù)學(xué)-第六章

金融數(shù)學(xué)（引論）

主講人：那日薩2009年10月第六章實際應(yīng)用6.1抵押貸款分析資本市場的債務(wù)產(chǎn)品主要分為兩大類

一類為國債和企業(yè)債券

一類是各種形式的貸款，特別是消費貸款

注:商業(yè)貸款和消費貸款是一般企業(yè)經(jīng)營活動

和個人消費的主要債務(wù)形式2利息理論應(yīng)用從現(xiàn)金流的角度看兩類產(chǎn)品最大的區(qū)別是債券多為定期付利息，到期一次性償還本金貸款多為本金，利息同時逐漸償還注：

采用兩種形式的主要原因是兩類債務(wù)的信用程度的差異，前者信用高本金支付沒有信用風險，后者則不同3利息理論應(yīng)用商人計息法(Merchant'sRule)商人計息法——以單利方式將貸款本利和還款本利累計到貸款期限結(jié)束時刻，然后計算未結(jié)利息和本金注：在十九世紀之前該方法為常用的計息方法，而本質(zhì)上即為單利計算注：商人計息法對于短期業(yè)務(wù)比較適用，但是對于長期貸款則可能會出現(xiàn)不合邏輯的結(jié)果誠實貸款原則的提出4利息理論應(yīng)用例：1000元兩年期貸款年利率9%，如果第一年底還款1085元，問第二年底應(yīng)還款多少？解：設(shè)第二年底應(yīng)還款K用商人計息法，在第二年底應(yīng)有1000(1+2×9%)=1085(1+9%)+K即1180=1182.65+K由此可得K=-2.65元從而借款人(債務(wù)人)變成了貸款人(債權(quán)人)。5利息理論應(yīng)用分析：在第一年底的時候貸款的本息和應(yīng)為1090元、1085元，還款并沒有還清當時的應(yīng)計本利和。美國計息法(UnitedStatesRule)1839年產(chǎn)生了新的計息法，即所謂的“美國計息法”(UnitedStatesRule)，該計息法要求：6利息理論應(yīng)用1)在每次的貸款償還時刻，或有新的貸款余額計入的時刻，都要進行貸款本金和利息的結(jié)算2)借款人的付款應(yīng)當首先用來支付任何應(yīng)計利息，超過的部分，用來抵消未償還貸款余額3)貸款余額為上一次結(jié)算時的余額與應(yīng)計利息(單利計算)之和，再扣除（或加上）本次的還款(貸款)金額注：美國計息法本質(zhì)上是單利和復(fù)利的混合，每次新的還款(貸款)都將重新開始貸款余額的計息，利息力將隨之變大7利息理論應(yīng)用例：用美國計息法考慮上例解：第一年底的貸款余額為1000-(1085-1000×9%)=5元從而第二年底的還款額應(yīng)為5(1+9%)=5.45元注：債權(quán)人和債務(wù)人角色沒有出現(xiàn)互換8利息理論應(yīng)用例：某人借款1000元利率10%，12個月內(nèi)還清，若借款人在三月底還200元，在八月底還300元，計算第十二個月底應(yīng)還的金額1)用商人計息法計算2)用美國計息法計算3)用復(fù)利計算解:1、用商人計息法計算第十二個月底應(yīng)還的金額為9利息理論應(yīng)用2、用美國計息法計算三月底的應(yīng)計利息為1000×(1/4)×10%=25.00從而三月底還的200元中有25元為償還利息，剩余的175元為償還本金，由此可得貸款余額為1000-175=825

元八月底的應(yīng)計利息為825×(5/12)×10%=34.38從而八月底還的300元中有34.38元為償還利息，剩余的265.62元為償還本金，由此可得貸款余額為825-265.62=559.38

元10利息理論應(yīng)用第十二個月底應(yīng)還的金額為559.38[1+(1/3)×10%]=578.03元3)用復(fù)利計算第十二個月底應(yīng)還的金額為:11利息理論應(yīng)用消費信貸保護法案（ConsumerCreditProtectionAct）誠實貸款法案（TruthinLendingAct）1968年由美國國會通過的“消費信貸保護法案”中建立了消費信貸中的各種規(guī)則，規(guī)定了貸款人在同借款人交易時必須公開的一些情況。該法案規(guī)定必須將融資費用和貸款年利率（APR）以及任何特殊的貸款條件等告知顧客.12利息理論應(yīng)用該法案要求計算的兩個重要指標1)融資費用(financecharge)——包括利息在內(nèi)的由消費者為取得消費貸款而支出的所有費用。2)年百分率(annualpercentagerate/APR)——用簡單百分比數(shù)字表示消費者所支付的平均貸款成本。在貸款之初借款人為獲得貸款必須付出一些固定的費用，如：與貸款金額成比例的一部分費用(一般用點數(shù)表示)，以及所有業(yè)務(wù)必須支出的固定費用，如：貸款手續(xù)費、服務(wù)費、信貸報告費用和信用保險費等13利息理論應(yīng)用注：APR用精算方法(actuarialmethod)計算具體業(yè)務(wù)中的APR一般是用名利率方式標出的（計息頻率與還款頻率相同），而對應(yīng)的實際還款周期可以是不同的例：兩種貸款項目都標出“APR=12%”，一種是按月還貸，另一種是按季還貸，則兩種貸款的實際貸款利率是不同的14利息理論應(yīng)用誠實信貸要求：區(qū)分開放型信貸(open-endcredit)與封閉型信貸(closed-endcredit)開放型信貸——貸款期限沒有事先規(guī)定，貸款的財務(wù)費用每個周期（如一個月）公布一次，貸款人在一定限度內(nèi)可以隨時貸款或還貸。例如信用卡封閉型信貸——即為傳統(tǒng)意義上的貸款，貸款期限、額度等都要事先明確規(guī)定。例如分期償還的貸款注：對于開放型信貸，只需在每次結(jié)算時計算融資費用即可，APR是未結(jié)貸款余額應(yīng)付的掛牌年利率15利息理論應(yīng)用例：某信用卡公司每月底對用戶賬面的余額按照1.75%計算利息，如果用APR表示則為“APR=21%”分期償還的貸款A(yù)PR的計算L=實際貸款金額（已扣除相關(guān)費用后的誠實信貸額）K=融資費用R=分期付款金額m=每年的付款次數(shù)n=貸款期限內(nèi)總的付款次數(shù)j=每個付款周期的實際利率i=年百分率、APR16利息理論應(yīng)用結(jié)論：1)K=nR–L，即：融資費用等于還款總額減去實際貸款額2)i

=mj，其中j滿足價值方程：注：年百分率APR和融資比K/L(融資費用占實際貸款額的比例)兩個量都可以表示融資(貸款)成本，一般的更側(cè)重用APR衡量貸款成本17利息理論應(yīng)用例：一年期消費貸款1萬元，每月償還860元，計算貸款成本解：融資費用為K=12×860-10,000=320用j表示每月的實際貸款利率，則有由此可得：j≈0.488%

→

APR≈5.856%18利息理論應(yīng)用注：貸款年利率為5.856%，而項目的融資費用320元占貸款額10000元的比例僅僅為3.2%，看上去遠遠低于相應(yīng)的貸款年利率！注：融資比3.2%只與還款額度有關(guān)，與還款的早晚無關(guān)，而年百分率則不然19利息理論應(yīng)用例：如果保持總的還款額(10320)不變，但是改變還款的方式：1）一種極端的情況是第一個月底一次還清，則融資比仍然為3.2%，月實際利率為3.2%，年利率為38.4%；2）另一種極端的情況年底一次還清，融資比仍然為3.2%，年百分率也是3.2%20利息理論應(yīng)用對于同一個貸款項目的年百分率和融資比有如下關(guān)系從而由于有近似公式21利息理論應(yīng)用由此可得在上例中，融資比為3.2%，從而可知年百分比約為注：不難看出，如果當還款期不是短期時（如2年以上），則年百分率將小于融資比22利息理論應(yīng)用例：一般需要融資20萬元購買新車。分銷商考慮如下的兩年逐月分期付款方式：方式A——APR為8%方式B——APR為10%，同時當前價格優(yōu)惠8%試分析兩種方式的差異。解：可以從兩方面來進行分析1）比較每月還款額度如果選擇A，則每月的還款為23利息理論應(yīng)用如果選擇B，則每月的還款為：結(jié)論：從購車人角度看，方式B的成本要低于方式A，所以應(yīng)該選擇方式B2）比較融資成本2.1）從APR來看，由于方式A為8%，而方式B為10%，從而方式A的融資成本較低24利息理論應(yīng)用2.2從融資比來看如果選擇方式A，則有KA

=24×RA

-200,000=17092從而融資比為8.55%選擇方式B則有KB

=24×RB

-184,000=19776從而融資比為10.75%結(jié)論：方式A較方式B的融資成本低注：對于購車人來說，需要同時考慮所購車的價格和融資成本兩個方面的情況25利息理論應(yīng)用不動產(chǎn)抵押貸款

以指定的不動產(chǎn)作為抵押所取得的貸款。在這種貸款形式下，借款者必須預(yù)先確定償還計劃，如果借款者違約，則貸款者有權(quán)取消借款者抵押物贖回權(quán)，即貸款者可以通過處置抵押物來確保收回債權(quán)。在消費貸款中不動產(chǎn)抵押貸款是一類特別重要的貸款。這種貸款的金額一般較大，是許多家庭的最大一項支出，同時，它的期限也比較長，一般為15—30年?？捎米鞯牡盅何镉凶≌Y產(chǎn)、土地資產(chǎn)、商業(yè)性資產(chǎn)等26利息理論應(yīng)用

應(yīng)用誠實貸款法案于非商業(yè)性的不動產(chǎn)抵押貸款與其它的消費貸款的特別之處：抵押貸款的還貸周期一般是一個月，且一般在月初償還，償還金額要由貸款金額決定。如果貸款的起始日期不是月初，一般要利用單利方法將該月剩余時間的應(yīng)付利息計算出來，并在貸款日付出，時間用“實際天數(shù)/365”表示。不動產(chǎn)的所有權(quán)在法律上從一方轉(zhuǎn)移到另一方的時間被稱為“結(jié)算日”（settlementdate）。（一般情況下就是貸款起始日期）27利息理論應(yīng)用

在不動產(chǎn)抵押貸款的結(jié)算日要支付許多的附加費用和手續(xù)費：最大的一部分費用是貸款的“始發(fā)手續(xù)費”（originationfee），一般用貸款額的點數(shù)表示：1個點表示貸款額的1%例如：十萬元的抵押貸款如果始發(fā)手續(xù)費為兩個點，則要支付2000元28利息理論應(yīng)用其它費用包括：信貸報告費用、調(diào)查費用、文件準備費用、所有權(quán)調(diào)查費用、記錄費用、印花稅票（taxStamps）和不動產(chǎn)估價（appraisal）等注：依據(jù)誠實貸款法案，有些費用要攤在年百分率APR中，從而實際的APR要高于原始貸款的年利率。原始貸款年利率只用于確定每月的還款金額和構(gòu)造攤還表,也稱為“上市貸款利率”。29利息理論應(yīng)用不動產(chǎn)抵押貸款計算融資費用和APR的具體方法計算使用記號：R=每次還款額m=12（默認值）n=還款的總次數(shù)L=抵押貸款的申請金額注：不是實際得到的貸款金額Q=必須攤?cè)階PR中的貸款費用L*=由誠實貸款法案確定的實際融資金額注：L*=L-Q相當于前面討論中的L30利息理論應(yīng)用j'=市場貸款月利率i'=市場貸款年利率(月?lián)Q算名利率)j

=實際貸款月利率i

=實際貸款年利率(月?lián)Q算名利率)融資費用為總還款額與融資金額的差，即：K=nR-L*市場貸款月利率滿足：

市場貸款(名義)年利率滿足i'=12j'31利息理論應(yīng)用實際貸款月利率滿足：從而年百分率APR為：i=12j注：年百分率APR大于市場貸款利率i'注：32利息理論應(yīng)用例：某家庭購買房產(chǎn)需要五十萬元，首次付款20%，余額用30年抵押貸款方式逐月付清，貸款年利率8.1%，結(jié)算時的費用為固定費用800元再加上兩個點，其中的1個半點和固定費用中的一半要攤在每年的APR中，若購房日期為7月12日，給出貸款結(jié)算時所需要的計算解：首付款金額為500,000×20%=100,000從而原始貸款金額為L=500,000-100,000=400,00033利息理論應(yīng)用在7月12日所應(yīng)支付的七月份余下日子(共計20天)的應(yīng)計利息(單利)為

(20/365)×0.081×400,000＝1775.34又有i‘

=0.081

→

j'

=0.675%從而從8月1日開始的(期初方式)正常月償還金額為在結(jié)算日攤?cè)階PR的費用為：34利息理論應(yīng)用Q=1.5%×400,000+1/2×800=6400從而實際貸款額為L*=400,000-6400=393,600融資費用為K=360×2,943.12-393,600=665,923.20最后，APR為由此可得

j≈0.69%→

APR=8.28%35利息理論應(yīng)用注：APR=8.28%大于市場貸款利率8.1%貸款本金傾斜在不動產(chǎn)抵押貸款的償還中，如果用攤還表來考慮，則可以發(fā)現(xiàn)，前面的還款幾乎全部用于還利息，而后面的還款幾乎完全用于還本金。所以在購房抵押貸款中，還貸款數(shù)年后不動產(chǎn)抵押的貸款余額基本上沒有降低多少，這就是所謂的貸款本金傾斜（向后）現(xiàn)象。36利息理論應(yīng)用可調(diào)利率的抵押貸款近幾年出現(xiàn)的“可調(diào)利率的抵押貸款”（adjustableratemortgage,ARM）是與傳統(tǒng)的“固定利率抵押貸款”（fixedratemortgage）相對應(yīng)的。抵押貸款利率往往盯住一些不受銀行或儲蓄貸款機構(gòu)控制的經(jīng)濟指數(shù)，如美國國庫券利率和平均國民貸款利率，周期地進行利率調(diào)整，周期通常為1年、3年或5年。

利率的調(diào)整權(quán)在貸款人手里。37利息理論應(yīng)用

作為承擔了利率上升風險的一種補償，借款人在取得可調(diào)整利率抵押貸款之初所付利息比相同期限的固定利率抵押貸款利息要低。擔心利率急劇上升的房地產(chǎn)主可能選擇固定利率貸款：而認為利率將會有節(jié)制地上升、保持平穩(wěn)或下降的人則選擇可調(diào)整利率抵押貸款A(yù)RM。從貸款一方看，雖然ARM在開始時有低于固定抵押貸款利率的貸款利率，但可以保證在未來的15到30年間實際利率與固定利率相同。38利息理論應(yīng)用

在利率上升期間，貸款人將利率鎖定在固定利率上：在利率下降期間，貸款人可以通過用較低的利率對貸款或部分貸款進行再融資。從借款人一方看，ARM的吸引力在于開始的利率較低，月償還金額也就較低。但是，固定利率貸款的利率波動風險是由貸款人承擔的；而ARM貸款的利率波動風險則被轉(zhuǎn)嫁到借款人身上。注：我國目前的住房抵押貸款就是可調(diào)利率抵押貸款A(yù)RM39利息理論應(yīng)用例：某人貸款65,000元，期限30年，為可調(diào)利率貸款。第一年的利率為8%，如果從第二年開始利率增為10%，計算月償還金額的增長幅度。解：按照期初年金方式，第一年的月償還金額為利率調(diào)整后新的月償還金額為40利息理論應(yīng)用絕對增量為增長幅度為41利息理論應(yīng)用APR近似計算和分析APR的精確方程為其中：L表示實際貸款金額，K表示融資費用，每次的償還金額為：（K+L)/n注：APR的計算可通過Excel求數(shù)值解。傳統(tǒng)近似計算方法可以幫助對基本概念的理解。下面介紹四種APR近似計算的方法。42利息理論應(yīng)用基本記號：每年分為m個時間段，年百分APR用i表示，則每個時間段內(nèi)的實際利率為用

表示在時刻

的未結(jié)貸款余額，，則融資費用的計算可表為：即：融資費用K等于每個時間段內(nèi)未結(jié)貸款余額依APR計算的應(yīng)計利息之和43利息理論應(yīng)用從而APR可以表示為注：這里的K是在計算i之前就已經(jīng)計算好的注：四種近似計算APR的方法都是從上述公式出發(fā)得到的。區(qū)別在于如何看待每次分期付款中的償還本金和所付利息。即如何計算未結(jié)貸款余額44利息理論應(yīng)用1）最大收益法（maximumyieldmethod）這種方法的數(shù)值結(jié)果比其它結(jié)果都大，記為

基本思想：

每次的分期付款首先用于償還本金，只有當本金全部還清后，再開始償還利息若假定：融資費用小于每次的付款金額，即：K<（K+L）/n，則可以得到這種方法的修正攤還表注：在上述假定下，只有最后一次的還款才涉及付利息的問題45利息理論應(yīng)用46利息理論應(yīng)用由此可以得到未結(jié)貸款余額（表中的最后一列）的和為：從而有47利息理論應(yīng)用注：

上述公式也可以通過假定整個貸款期間為單利計算得到（即商人計息法），因為有由此可得即48利息理論應(yīng)用注：當n較大時應(yīng)有可以計算融資費用大于每次付款條件下的一般公式，如假設(shè)有則同樣的可以構(gòu)造攤還表（注意攤還表中的變化）49利息理論應(yīng)用50利息理論應(yīng)用由此可得未結(jié)貸款余額（表中的最后一列）的和為從而有51利息理論應(yīng)用思考：為什么這種算法得到的數(shù)值結(jié)果要大于真實的APR？分析：因為表中計算的一定小于真實的,從而導(dǎo)致變大！52利息理論應(yīng)用，則可以得到這種方法的修正攤還表注：在上述假定下，第一次的還款即可付清全部利息2）最小收益法（minimumyieldmethod）這種方法的數(shù)值結(jié)果比其它結(jié)果都小，記為基本思想：

每次的分期付款首先用于償還利息，只有當利息全部還清后再開始償還本金若假定：融資費用小于每次的付款金額，即：53利息理論應(yīng)用54利息理論應(yīng)用由此可得未結(jié)貸款余額的和為從而有55利息理論應(yīng)用思考：為什么這種算法得到的數(shù)值結(jié)果要小于真實的APR？分析：因為表中計算的一定小于真實的,從而導(dǎo)致變??！56利息理論應(yīng)用3固定比率法constantratiomethod假定每次付款中以固定比例償還本金，固定比例償還利息該方法的數(shù)值結(jié)果記為相應(yīng)這種方法的修正攤還表為注：

通常的攤還，償還本金的比例在逐漸增大而償還利息的比例在逐漸減少。57利息理論應(yīng)用58利息理論應(yīng)用由此可得未結(jié)貸款余額的和為從而有59利息理論應(yīng)用4）直接比率法（directratiomethod）對本金和利息給以非常接近精算方法的近似結(jié)果，即相應(yīng)的攤還表中的利息部分是隨著時間的推移而遞減的、本金部分是隨著時間的推移而遞增的，該方法的數(shù)值計算結(jié)果記為例：考慮一年期的貸款，因為數(shù)字1到12的和為78，所以，直接比例法假定第一個月償還融資費用的12/78，第二個月償還融資費用11/78，…，最后一個月償還融資費用的1/7860利息理論應(yīng)用注：該方法也稱為78計算法（Ruleof78）引入記號則可以得到該方法的修正攤還表：61利息理論應(yīng)用62利息理論應(yīng)用由此可得未結(jié)貸款余額的和為從而有63利息理論應(yīng)用例：一年期消費貸款1萬元，每月償還860元。用上述四種近似方法計算該分期付款貸款的利率。解：方法1：最大收益法方法2最小收益法64利息理論應(yīng)用方法3：固定比率法方法4：直接比率法結(jié)論：精確解為APR≈5.856%，從而四個近似方法得到的數(shù)值解與精確解之間的關(guān)系為65利息理論應(yīng)用預(yù)收融資費用（unearnedfinancecharge）

預(yù)收融資費用——在有些貸款項目中，經(jīng)過一段時間后，借款人可能希望加快還貸進程，或者是將余額一次還清，或者是對余額進行再融資，但無論怎樣，原始融資費用中的一部分是借款人必須支付的，因為這部分費用是貸款人已經(jīng)支出的費用，無論還貸時間長短都要償還的。例：在上例的消費貸款中，如果只用上半年的六次分期付款就完成還貸，分別用（1）精算方法，（2）78法則，計算借款人的預(yù)收融資費用。66利息理論應(yīng)用解：用直接比率法求得近似APR=5.85%本例中全部的融資費用即為貸款利息。（1）在六月底的未結(jié)貸款余額用預(yù)期法計算為后半年的計劃還款總和為6×860=5160從而兩者的差為5160-5073.09=86.9167利息理論應(yīng)用如果按照未結(jié)貸款余額提前還貸，這個差值是無法收回的，所以應(yīng)該是一種預(yù)收的融資費用。（2）已知

s6

=21,s12

=78，總的融資費用為320元，按照比例后半年的預(yù)收融資費用為21÷78×320＝86.15結(jié)論：已交付的融資費用為68利息理論應(yīng)用抵押貸款債務(wù)的證券化問題的提出：在前面討論抵押貸款的時候，總是假設(shè)每一筆現(xiàn)金流收到的時間都是確定的，借款人不會在規(guī)定的時間之前償還貸款。在實際中借款人卻經(jīng)常有可能會提前償還貸款，這使得抵押貸款的現(xiàn)金流成為不確定的。注：提前償還會有一定的代價，例如需要多支付一個月的利息金額等。69利息理論應(yīng)用利用抵押貸款構(gòu)造的抵押支持證券(mortgagebackedsecurities/MBS)雖然不能減少提前支付風險的總的大小，但卻可以改變風險在不同投資者中的分布。比如，投資者如果只購買某一筆抵押貸款，則很難預(yù)測提前支付發(fā)生的可能性，但如果購買10筆或更多筆抵押貸款的組合，由于每筆貸款的提前支付風險的相互關(guān)系，就有可能較好的預(yù)測提前支付。70利息理論應(yīng)用抵押貸款債務(wù)產(chǎn)生的證券產(chǎn)品是一類投資工具，它的現(xiàn)金流由支持它的抵押按揭貸款合約決定。

基本原理：抵押按揭貸款的貸款方（也可以是另外的發(fā)起人）將一定量的按揭合約匯集在一起，從資本市場（投資者）為這些債務(wù)合約進行融資，同時承諾按一定的回報方式回報投資者。71利息理論應(yīng)用抵押貸款債務(wù)產(chǎn)生的主要證券產(chǎn)品——抵押支持證券包括：

抵押貸款轉(zhuǎn)遞證券

(mortgagepass-through)

擔保抵押貸款證券

(collateralizedmortgageobligation/CMO)

剝離抵押貸款證券

(strippedmortgage-backedsecurities)72利息理論應(yīng)用MBS現(xiàn)金流的基本特征抵押貸款轉(zhuǎn)遞證券投資機構(gòu)購買多筆抵押貸款，然后打包以作為債券的擔保品，這種證券的現(xiàn)金流就是抵押貸款的現(xiàn)金流扣除證券發(fā)行費用及其它服務(wù)費用后的部分例：某投資機構(gòu)購買了10筆貸款組成一個貸款池，總價值為100萬元。然后分成40個單位（即證券的份額），每個單位價值2萬5千元，即每個單位的現(xiàn)金流為總現(xiàn)金流的2.5%。注：這個過程稱為證券化，抵押貸款的證券化被稱為是轉(zhuǎn)遞（Pass-through）73利息理論應(yīng)用注：抵押貸款轉(zhuǎn)遞證券使得投資者可以較少的資金獲得相應(yīng)比例的10筆貸款的現(xiàn)金流收入，減少了交易成本。擔保抵押貸款證券投資于抵押貸款轉(zhuǎn)遞證券的投資者面臨所有貸款的提前支付的風險，而擔保抵押貸款證券則是將每個月的現(xiàn)金流進行重新分配，從而重新分配提前支付的風險，使得不同的投資者面臨不同的風險。74利息理論應(yīng)用例：將100萬元貸款總額分成三個部分，分別為A部分40萬元，B部分35萬元，C部分25萬元．三個等級的利息支付是以占總價值的比率來確定利息的金額，而本金支付則采取順序支付的方法，即將全部所得的正常支付本金和提前支付本金都先用來支付A的本金，直到A的所有本金完全支付后，再開始支付B的本金，而C的本金支付需要等到B的所有本金完全支付后才進行．從而A的期限較短，B的期限長一些，C的期限是最長的．投資者可以根據(jù)各自的資產(chǎn)負債結(jié)構(gòu)的不同選擇不同期限的債券．75利息理論應(yīng)用剝離抵押貸款證券將抵押貸款的所有利息償還和本金償還的現(xiàn)金流分解成兩種債券：

包含所有利息的債券稱為IO債券（Interest-OnlyBond）

包含所有本金PO債券（Principal-Only

Bond）注：下面以抵押貸款轉(zhuǎn)遞證券為例介紹在抵押貸款債務(wù)的證券化過程中的主要計算問題，具體為產(chǎn)品定價和價值評估中的計算。76利息理論應(yīng)用提前償還的模式分析提前償還的模式分析是指對大量抵押按揭合約組成的資產(chǎn)池的提前償還模式的分析．注：抵押按揭的提前償還模式是影響抵押貸款轉(zhuǎn)遞證券現(xiàn)金流的重要因素，但只對某個個體貸款合約進行提前償付的現(xiàn)金流分析很難把握．基本計算：1)時間以月為單位－－正常償還情形第t月月底未結(jié)本金貸款余額77利息理論應(yīng)用2)記

為第t個月月底的提前償還量，直接用于扣除本金，則有從而由的定義有

——實際償還（可能有提前償還）后第t個月月底的未結(jié)本金余額注：——不考慮提前償還時計算的第t個月的計劃償還額78利息理論應(yīng)用例：原計劃

元，因提前償還實際的余額為，

則剩余的未償還比例為注：3)記——在原計劃的條件下第t個月底的剩余未償還比例；——已被提前償還的比例79利息理論應(yīng)用即還有原計劃的90.9%沒有提前償還，原計劃的9.1%已被提前償還。注：4)記單月提前支付率（singlemonthlymortalityrate）為即，在原計劃Bt

的條件下第t個月初的一個單位的本金余額在本月內(nèi)被提前償還的可能性。注：一般有沒有提前償還的環(huán)比增長率80利息理論應(yīng)用對任何n>m有5)記年提前支付率CPRt(ConditionalPrepaymentRate)為

在此基礎(chǔ)上，提前償還模式分析也就是SMMt(CPRt)和Qt的模式分析，現(xiàn)有的方法主要有以下兩種:81利息理論應(yīng)用PSA(PublicSecuritiesAssociation)模式

公共證券協(xié)會提前支付標準,是美國目前通用的預(yù)測提前支付的方法,是由一系列提前支付常數(shù)組成的.

PSA提前償還模式是以下面的“標準(100%)PSA模式”為基礎(chǔ)的82利息理論應(yīng)用即，在前面30個月內(nèi)年度提前償還比例逐漸(比例)增加，然后固定。其它百分比的PSA的CPR增長速度是100%PSA的相應(yīng)的百分比。比如50%PSA意味著相應(yīng)的CPR只有100%PSA的CPR的一半，而150%PSA意味著相應(yīng)的CPR有100%PSA的CPR的1.5倍。具體變化模式參見下圖。注：其中系列1是標準PSA模式，系列2是標準模式整體降低50%，系列3是標準模式整體抬高50%

83利息理論應(yīng)用84利息理論應(yīng)用常數(shù)CPRt(SMMt)模式假設(shè)提前支付率為常數(shù),從而有或

從而對任何有85利息理論應(yīng)用常數(shù)CPRt

(SMMt

)模式下的現(xiàn)金流分析It和Pt------分別表示不存在提前償還的情形第t個月的計劃利息和本金；

-----分別表示有提前償還的情形第t個月的實際償還額(實際發(fā)生現(xiàn)金流)和本金支付額；

設(shè)月實利率為j（由證券的息票率決定）；則按照上述定義有以下的遞推算法

t=0時,86利息理論應(yīng)用t=1時,正常支付為其中利息支付為本金支付為未結(jié)本金余額為提前支付為從而在不考慮轉(zhuǎn)遞手續(xù)費用下現(xiàn)金流應(yīng)為

87利息理論應(yīng)用由此可得對一般的已知,有從而在不考慮轉(zhuǎn)遞手續(xù)費用下現(xiàn)金流應(yīng)為:

88利息理論應(yīng)用由此可得例：五百萬元抵押貸款的資產(chǎn)池轉(zhuǎn)遞證券，分析提前償還的現(xiàn)金流模式和對貸款余額的影響。

考慮如下模式：30年，年名利率9%，月實際利率0.75%，月度提前償還比例（SMMt）為0.5%

具體現(xiàn)金流結(jié)果見下表------30年貸款提前償付情形的前30個月的現(xiàn)金流和余額情況

89利息理論應(yīng)用90利息理論應(yīng)用91利息理論應(yīng)用分析：在貸款償還期的前段時間，利息償還比例很高，本金償還速度很慢，即使有提前償還，第30個月的月底余額仍然為四百二十萬左右。

如果其他條件不變，考慮貸款期限為15年，則現(xiàn)金流和余額情形如下表所示------15年貸款提前償付情形的前30個月的現(xiàn)金流和余額情況。

92利息理論應(yīng)用93利息理論應(yīng)用94分析:貸款期限的縮短,使得利息償還比例降低,本金償還速度加快,因此,提前償還的作用相對降低,30個月底的余額為三百九十萬左右。956.2固定資產(chǎn)折舊分析固定資產(chǎn)是指可供長期使用，并在其使用過程中保持原有物質(zhì)形態(tài)的勞動資料和生產(chǎn)資料，一般使用壽命較長，例如：廠房、設(shè)備、不動產(chǎn)和運輸工具等。

記號：n――計算期間的利息轉(zhuǎn)換次數(shù)（通常是固定資產(chǎn)的使用壽命）；A――資產(chǎn)的起始價值（通常是最初的買價）；S――資產(chǎn)在計算結(jié)束時的殘值(S可以為負數(shù)或零!)96R――資產(chǎn)在扣除支出后的定期收益；

――在時刻t投資者賬面上該資產(chǎn)的賬面價值(t=0,1,2,...,n)――從時刻t-1到時刻t的折舊費(t=1,2,...,n)i――資產(chǎn)在每個利息換算期內(nèi)的預(yù)期收益率。基本關(guān)系式:97當A<S時,稱為“增值資產(chǎn)”,例如不動產(chǎn)等。當A>S時,稱為“貶值資產(chǎn)”,例如機器設(shè)備等。當A=S時,資產(chǎn)既不升值也不貶值，從而該資產(chǎn)在每個時刻的價值均為A，折舊費為零，且有以下考慮A>S的情形，即整個過程為：初始投入A，定期回報R，最終一次性“收回”S。在分析整個過程時除了從會計角度考慮外稅收因素也是非常重要的一點。98四種常見的計算折舊費和賬面價值的方法償債基金法將回報R分解為兩個部分:1）原始資產(chǎn)價值A(chǔ)的自然增長（考慮通脹因素等）部分，可以用iA表示2）剩余部分，它的數(shù)值恰好可以用于建立累積金額為A-S

的償債基金，以補償折舊造成的損失，如果償債基金的利率用j

表示，則有99即有如果i=j，上式變?yōu)椋鹤ⅲ喝粲汚=P，R=Fr，S=C，則上式與債券價格的計算公式相同。

因此時刻的賬面價值=原始價值-已累積的償債基金值100時刻的折舊費=時刻t的賬面價值-時刻t-1的賬面價值注:折舊費用隨著資產(chǎn)使用時間的推移而增加。這種計算在某些情況下是合適的，例如：寫字樓的折舊費在前幾年比較低，在使用的后期折舊費增加的很快。101直線法（straightlinemethod）資產(chǎn)的全部貶值量A-S按時間平均得到每個時刻的折舊費，即在時刻有從而賬面價值為時間t的線性函數(shù)，即在時刻，有注：直線法的折舊速度恒定102余額遞減法(decliningbalancemethod)每段時間的折舊費按當時的資產(chǎn)賬面價值的某個比例d計算,即在時刻,有從而在時刻的帳面價值為由此可得103比例d的確定在A,S(>0),n已知時,由可得實際中折舊因子d常常取為的倍數(shù)(125%、150%或200%等），即104注：當k=2時稱為雙倍余額遞減法注：到最后一個時刻，賬面價值可能會不等于S，可以通過對的適當調(diào)整來解決。注：如果殘值較大，則有可能到第n年之前的若干年，折舊已經(jīng)計提完畢，只剩零頭，需要人為計提一次或多次。105年限總和折舊法（sumoftheyears‘digitsmetho）將固定資產(chǎn)的原始價值扣除殘值后的余額，按逐年遞減（折舊比例為固定資產(chǎn)的剩余使用年限與資產(chǎn)壽命年限總和之比）計算折舊費的方法。類似于“78法則”，利用數(shù)字和=1+2+…+r作為加權(quán)因子，即在時刻有從而在時刻的帳面價值為106各次的折舊分別為:注：在實際中加速折舊的方法包括縮短折舊年限和加速折舊法（即前期多折舊，后期少折舊），后者通常即為雙倍余額遞減法以及年限總和法。107折舊法與應(yīng)納稅額運用不同的折舊方法所計算出來的折舊額在量上不一致，分攤到各期的固定資產(chǎn)成本也存在差異，進而影響各期營業(yè)成本和利潤。從應(yīng)納稅額的現(xiàn)值來看，運用雙倍余額遞減法計算折舊時，稅額最少，年限總和法次之，而運用直線法計算折舊時，稅額最多。加速折舊法（即雙倍余額遞減法、年限總和法）在最初的年份內(nèi)提取了更多的折舊，沖減的稅基較多，使應(yīng)納稅額減少，從而總的應(yīng)納稅額的現(xiàn)值較低。108依據(jù)現(xiàn)行的《企業(yè)財務(wù)通則》規(guī)定，在我國只有那些在國民經(jīng)濟中具有重要地位、技術(shù)進步快的電子生產(chǎn)企業(yè)、船舶工業(yè)和船舶運輸企業(yè)、生產(chǎn)“母機”的機械企業(yè)、飛機制造企業(yè)、汽車制造和汽車運輸企業(yè)、化工生產(chǎn)企業(yè)、醫(yī)藥生產(chǎn)企業(yè)以及其他經(jīng)財政部批準的企業(yè)，其機器設(shè)備可以采用加速折舊法。例：某企業(yè)固定資產(chǎn)原值為180,000元，預(yù)計殘值為10,000元使用年限為5年。5年內(nèi)企業(yè)未扣除折舊的利潤如下表所示。109假設(shè)該企業(yè)適用33%的比例所得稅率,試分析該企業(yè)在采用不同的折舊方法(直線法或者加速折舊法)下繳納所得稅的情況。1101)直線法年折舊額=(固定資產(chǎn)原值-估計殘值)/估計使用年限=(180,000-10,000)/5=34,000(元)從而有第一年利潤額=100,000-34,000=66,000(元)應(yīng)納所得稅=66,000×33%=21,780(元)第二年利潤額=90,000-34,000=56,000(元)應(yīng)納稅得稅=56,000×33%=18,480(元)111第三年利潤額=120,000-34,000=86,000(元)應(yīng)納所得稅=86,000×33%=28,380(元)第四年利潤額=80,000-34,000=46,000(元)應(yīng)納所得稅=46,000×33%=15,180(元)第五年利潤額=76,000-34,000=42,000(元)應(yīng)納所得稅=42,000×33%=13,860(元)五年累計應(yīng)納所得稅額=21,780+18,480+28,380+15,180+13,860=97,680(元)1122)雙倍余額遞減法會計制度規(guī)定,在計算最后兩年折舊額時,應(yīng)將原采用的雙倍余額遞減法改為用當年年初的固定資產(chǎn)賬面凈值減去估計殘值,將其余額在使用的年限中平均攤銷。雙倍直線折舊率=2×1/5×100%=40%第一年折舊額=180,000×40%=72,000(元)利潤額=10,000-72,000=28,000(元)應(yīng)納所得稅=28,000×33%=9,240(元)113第二年折舊額=(180,000-72,000)×40%=43,200(元)利潤額=90,000-43,200=46,800(元)應(yīng)納所得稅=46,800×33%=15,444(元)第三年折舊額=(180,000-72,000-43,200)×40%=25,920(元)利潤額=120,000-25,920=94,080(元)應(yīng)納所得稅=94,080×33%=31,046.4(元)第四年后,使用直線法計算折舊額114第四、第五年的折舊額=（180,000-72,000-43,200-25,920-10,000）/2=14,440(元)第四年利潤額=80,000-14,440=65,560(元)應(yīng)納所得稅=65,560×33%=21,634.8(元)第五年利潤額=76,000-14,440=61,560(元)應(yīng)納所得稅=61,560×33%=20,314.8(元)五年累計應(yīng)納所得稅=9,240+15,444+31,046.4+21,634.8+20,314.8=97,680(元)1153）年限總和法每年折舊額=(可使用年數(shù)/使用年數(shù)總和)×(固定資產(chǎn)原值-預(yù)計殘值)本例中,年數(shù)總和為1+2+3+4+5=15第一年折舊額=5/15×(180,000-10,000)=56,666(元)利潤額=100,000-56,666=43,334(元)應(yīng)納所得稅=43,334×33%=14,300.2(元)第二年折舊額=4/15×(180,000-10,000)=45,333(元)116利潤額=90,000-45,334=44,667(元)應(yīng)納所得稅=44,667×33%=14,740.1(元)第三年折舊額=3/15×(180,000-10,000)=34,000(元)利潤額=120,000-34,000=86,000(元)應(yīng)納所得稅=86,000×33%=28,380(元)第四年折舊額=2/15×(180,000-10,000)=22,666(元)利潤額=80,000-22,666=57,334(元)應(yīng)納所得稅=57,334×33%=18,920.2(元)117第五年折舊額=1/15×(180,000-10,000)=11,333(元)利潤額=76,000-11,334=64,667(元)應(yīng)納所得稅=64,667×33%=21,340.1(元)五年累計應(yīng)納所得稅=14,300.2+14,739.6+28,380+18,920+21,340=97680(元)注：下表中假設(shè)以利率i=5%計算現(xiàn)值118不同折舊方法下的應(yīng)納稅額（單位:元）119例：某種機器的原始買價為1萬元，使用壽命5年，殘值1千元。分別用四種方法計算各年的折舊費和賬面價值：1）j=0.05的償債基金方法2）

直線法3）

余額遞減法(分別用d和d'=2/5=0.4計算)4）年限總和折舊法解:A=10,000S=1,000n=51)1202)3）4）注：總的折舊額為9,000元注：方法3'中的最后一次折舊額理論上應(yīng)為1296×0.4=518.40（元）

但實際人為調(diào)整為折舊296元121四種方法計算折舊費用和賬面價值的結(jié)果1226.3資本化成本(capitalizedcost)計算資本化成本――固定資產(chǎn)的投資成本固定資產(chǎn)的投資成本――買入固定資產(chǎn)的原始投資在每年的利息損失、折舊費用和維護保養(yǎng)費用

定期費用(periodiccharge)

――單位資產(chǎn)在單位時間內(nèi)以上三項費用之和。H――每期的定期費用(如一年)M――每期的維護保養(yǎng)費用A,S,i,j,n――與上一節(jié)中的定義相同123每期的應(yīng)計利息、折舊費用和保養(yǎng)費用構(gòu)成的費用現(xiàn)金流可表示為固定資產(chǎn)的資本化成本=所有定期費用的現(xiàn)值之和即：注：用永久年金的現(xiàn)值，是表示單位資產(chǎn)永久運轉(zhuǎn)下去的現(xiàn)值投入（以一定的利率計算的）。124不同固定資產(chǎn)投資成本的比較比較定期費用比較資本化成本例：已知機器A售價為十萬元，年保養(yǎng)費用2500元，25年的使用壽命，殘值為2000元；機器B年保養(yǎng)費用5000元，20年的使用壽命，殘值為零；機器B的產(chǎn)量是機器A的3倍。如果年利率5%，且兩種投資等價，計算B的可接受價格。125注:當不同資產(chǎn)在每期的產(chǎn)出量不同時,用表示第k個資產(chǎn)單位時間內(nèi)的產(chǎn)出量,則兩種資產(chǎn)每期單位成本等價的公式為如果有i=j,則可以化簡為126解：資本化成本的每期等價費用為從而可以得到

=12.4622{3[100,000×0.070952-2,000×0.020952+2500]-5,000}=294,854即：機器B的可接受價格近似為二十九萬元，接近機器A的價格的3倍127Note:機器A和機器B的比較注意:機器B將產(chǎn)量提高2倍的代價是,初始投資增加近2倍、每期維護費用增加1倍和期限縮短20%128例：某種零件的單位價格為10元,有效期14年,殘值為零,年利率4%?，F(xiàn)希望將使用壽命延長八年，且年保養(yǎng)費用不變,問:可接受的價格上漲比例為多少？解：已知假設(shè)有設(shè)，則價值方程為129由此可得即:價格上漲36.8%1306.4實例分析賣空(shortsale)有些證券市場允許投資者在認為某種證券的價格將要下跌時先賣后買,即通過賣空方式進行投資。例:股票市場看漲或看跌時的操作策略看漲→借錢→買股票→賣股票→還錢→收益看跌→借股票→賣股票→買股票→還股票→收益賣空的收益率計算是比較復(fù)雜的,因為這種業(yè)務(wù)的操作受許多因素的影響，而且還要考慮計算的方法。131例：某人以10元的價格將某種股票空頭賣出100股，在一年后,以每股8元的價格將所有100股買回，凈收入為200元。問:應(yīng)如何計算收益率？分析：如果直接用價值方程計算，則有1000(1+i)=800由此解得i=-20%，結(jié)果不合理。如果將時間換一個方向，則價值方程變?yōu)?00(1+i)=1000132由此解得i=25%，結(jié)果仍不合理，因為這個結(jié)果表示：800元的投入將產(chǎn)生的收益，而在賣空情況下，賣空者并沒有任何投資。

賣空的保證金制度美國相關(guān)法規(guī)要求:賣空者在進行賣空業(yè)務(wù)時，必須在其證券賬戶中存入一定的保證金(deposit),這筆保證金在空頭被完全補平之前是不能動用的。注：押金(margin)金額的大小是以賣空售價的一定比例給出的,比如50%。133押金比例可以由政府隨時調(diào)整:如果政府認為股票交易活動和交易價格因為對借貸業(yè)務(wù)的放松而過分活躍時,它就會提高保證金的比例,從而減少購買股票的借貸資金;如果中央政府想把刺激市場作為其貨幣政策的一部分,它就會減少這種保證金的比例要求。續(xù)前例:設(shè)保證金比例為50%分析(1)在進行賣空業(yè)務(wù)之初，賣空者必須在戶頭上存入500元,因此,200元的空頭收益可以被看做是500元投入的結(jié)果,收益率為40%134(2)保證金戶頭有利息收入。設(shè)利率為8%,則總收益為200+500×8%=240(元)相應(yīng)的收益率為48%(3)遇到賣空的股票分紅,賣空者需要向股票的借出者支付紅利。設(shè)紅利為60元,則賣空的凈收入為240-60=180(元)相應(yīng)的收益率為36%135金融衍生產(chǎn)品(derivatives)簡介金融衍生產(chǎn)品――從標的資產(chǎn)(underlyingassets)派生出來的金融工具金融衍生產(chǎn)品主要有以下三種分類方法:根據(jù)產(chǎn)品形態(tài),分為遠期、期貨、期權(quán)、掉期根據(jù)原生資產(chǎn),分為股票、利率、匯率、商品根據(jù)交易方法,分為場內(nèi)交易和場外交易136注:交易持倉量的大小為遠期>掉期>期貨>期權(quán)掉期(swap)交易雙方約定在未來某一時期相互交

換某種資產(chǎn)遠期(forward)交易雙方約定在未來某一時期以指定的價格買入或賣出某種資產(chǎn)期貨(futures)標準化的、可以在市場中公開交易的遠期合約期權(quán)(option)期權(quán)的買方向賣方支付一定數(shù)額的權(quán)力金后可獲得的一種選擇權(quán),在一定時間以一定價格出售或購入一定數(shù)量的標的物的權(quán)力137例:金融期權(quán)其擁有者具有的某種未來權(quán)益(在將來的某個時刻以事先預(yù)定的價格買賣某種金融產(chǎn)品)的憑證。期權(quán)產(chǎn)品中的商定履約價格被稱為“協(xié)議價”(exerciseprice)或“敲定價”(strikingprice)注:期權(quán)是賦予其擁有者的一種權(quán)力,而不是必須行使的。從廣義上講，金融期權(quán)可以指金融產(chǎn)品中含有的任何選擇權(quán)，例如：可贖回債券中的早贖權(quán)力，可轉(zhuǎn)換債券中的轉(zhuǎn)換權(quán)力等。138中信泰富與榮智健

將中信泰富一步步推向崖下的是一款以澳元累計目標的杠桿外匯合約，即變種Accumulator(累計股票期權(quán))，有別稱為“Ikillyoulater”(我晚一點殺你)。

這兩項合約賭的是澳元兌美元匯率高于0.87，則公司可以較低價格購買澳元，但當澳元兌美元低于0.87水平的時候，公司需以2倍金額接收澳元。

相比之下，4年前的中航油(新加坡)因石油衍生產(chǎn)品交易虧損5.5億美元堪稱“小兒科”。139根據(jù)期權(quán)交易的買賣類型可分為：買入期權(quán)/看漲期權(quán)(calloption)――可以在指定日期以協(xié)議價格買入一定量的金融產(chǎn)品賣出期權(quán)/看跌期權(quán)(putoption)――可以在指定日期以協(xié)議價格賣出一定量的金融產(chǎn)品當投資者認為某種金融產(chǎn)品的價格將要上漲時,就可以購買這種金融產(chǎn)品的買入期權(quán),或者是出售這種金融產(chǎn)品的賣出期權(quán);相反地,如果認為價格將要下跌,則采取相反的操作。140根據(jù)期權(quán)允許的交易時間又可分為：

歐式期權(quán)（Europeanoption）——期權(quán)的買賣日期只能是事先指定的日期

美式期權(quán)（Americanoption）——期權(quán)的買賣日期可以在某個指定日期之前的任何日期進行買賣注：前者如目前國內(nèi)的可贖回債券，后者如可轉(zhuǎn)債。141利息理論應(yīng)用買賣期權(quán)的兩種動機：

1）出于投機，為賺取高額利潤

——例如：對某種證券買入期權(quán)的協(xié)議價為45元：如果市場到期的交易價格為50元，則該買入期權(quán)至少值5元；如果市場到期的交易價格增為55元（比前面的價格上升10%），則該買入期權(quán)至少值10元（比前面的價值上升100%）也就是說，期權(quán)價值的漲幅將遠遠大于證券本身價格的漲幅，因而有可能有更大的收益。這種作用被稱為“杠桿原理l”（leverage）。142利息理論應(yīng)用

2）出于套利保值為減少投資風險

——因為期權(quán)的使用不是必須的，從而期權(quán)可作為投資策略的保險方面，有效防范投資中的巨大風險的發(fā)生或鎖住投資收益。143利息理論應(yīng)用其它實例分析例：某業(yè)務(wù)的現(xiàn)金流為：當前存款200元，在第一年底取款100