初中數(shù)學(xué)北師大版九年級上冊第一章　特殊平行四邊形3　正方形的性質(zhì)與判定 說課一等獎

《正方形》一、選擇題1．正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角線互相垂直 B．對角線相等C．對角線互相平分 D．對角相等2．將五個邊長都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點A、B、C、D分別是四個正方形的中心，則圖中四塊陰影面積的和為（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．3．有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于（）A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：94．如圖，已知P是正方形ABCD對角線BD上一點，且BP=BC，則∠ACP度數(shù)是（）A．45° B．° C．° D．75°5．如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點連線EF為邊正方形EFGH的周長為（）A． B．2 C．+1 D．2+16．如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH．若BE：EC=2：1，則線段CH的長是（）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF為直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，則EF的長是（）A．7 B．8 C．7 D．78．如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點G，F(xiàn)，H為CG的中點，連接DE，EH，DH，F(xiàn)H．下列結(jié)論：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，則3S△EDH=13S△DHC，其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．如圖，在正方形ABCD中，連接BD，點O是BD的中點，若M、N是邊AD上的兩點，連接MO、NO，并分別延長交邊BC于兩點M′、N′，則圖中的全等三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對10．已知：如圖，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面積記作S1；再作第二個正方形A2B2C2A3，面積記作S2；繼續(xù)作第三個正方形A3B3C3A4，面積記作S3；點A1、A2、A3、A4…在射線ON上，點B1A．256 B．900 C．1024 D．4096二、填空題11．如圖，將正方形紙片按如圖折疊，AM為折痕，點B落在對角線AC上的點E處，則∠CME=．12．?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且AC⊥BD，請?zhí)砑右粋€條件：，使得?ABCD為正方形．13．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE=5，F(xiàn)為DE的中點．若△CEF的周長為18，則OF的長為．14．如圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重疊情形，其中D、E兩點分別在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，則F點到AC的距離為．15．如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，則菱形的邊長為cm．16．有一面積為5的等腰三角形，它的一個內(nèi)角是30°，則以它的腰長為邊的正方形的面積為．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推…、則正方形OB2023B2016C2023三、解答題18．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF于F．求證：AE=EF．19．已知，如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上一點，F(xiàn)為BA延長線上一點，且CE=AF．連接DE、DF．求證：DE=DF．20．如圖，在正方形ABCD中，點E（與點B、C不重合）是BC邊上一點，將線段EA繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，過點F作BC的垂線交BC的延長線于點G，連接CF．（1）求證：△ABE≌△EGF；（2）若AB=2，S△ABE=2S△ECF，求BE．21．已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P．（1）求證：AP=BQ；（2）在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線段長度的差等于PQ的長．22．如圖，點E正方形ABCD外一點，點F是線段AE上一點，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF=90°，連接CE、CF．（1）求證：△ABF≌△CBE；（2）判斷△CEF的形狀，并說明理由．

《正方形》參考答案與試題解析一、選擇題1．正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對角線互相垂直 B．對角線相等C．對角線互相平分 D．對角相等【考點】正方形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【分析】先回顧一下菱形和正方形的性質(zhì)，知道矩形的特殊性質(zhì)是正方形具有而菱形不具有的性質(zhì)，根據(jù)矩形的特殊性質(zhì)逐個判斷即可．【解答】解：菱形的性質(zhì)有①菱形的對邊互相平行，且四條邊都相等，②菱形的對角相等，鄰角互補，③菱形的對角線分別平分且垂直，并且每條對角線平分一組對角，正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是矩形的特殊性質(zhì)（①矩形的四個角都是直角，②矩形的對角線相等），A、菱形和正方形的對角線都互相垂直，故本選項錯誤；B、菱形的對角線不一定相等，正方形的對角線一定相等，故本選項正確；C、菱形和正方形的對角線互相平分，故本選項錯誤；D、菱形和正方形的對角都相等，故本選項錯誤；故選B．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和辨析能力，能熟練地運用性質(zhì)進(jìn)行判斷是解此題的關(guān)鍵．2．將五個邊長都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點A、B、C、D分別是四個正方形的中心，則圖中四塊陰影面積的和為（）A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】連接AP、AN，點A是正方形的對角線的交點，則AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF≌△NAE，進(jìn)而可得四邊形AENF的面積等于△NAP的面積，同理可得答案．【解答】解：如圖，連接AP，AN，點A是正方形的對角線的交則AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，∴∠PAF=∠NAE，∴△PAF≌△NAE，∴四邊形AENF的面積等于△NAP的面積，而△NAP的面積是正方形的面積的，而正方形的面積為4，∴四邊形AENF的面積為1cm2，四塊陰影面積的和為4cm2．故選B．【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：①定點﹣旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．3．有3個正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于（）A．1： B．1：2 C．2：3 D．4：9【考點】正方形的性質(zhì)．【分析】設(shè)小正方形的邊長為x，再根據(jù)相似的性質(zhì)求出S1、S2與正方形面積的關(guān)系，然后進(jìn)行計算即可得出答案．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為x，根據(jù)圖形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故選D．【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)，用到的知識點是正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、正方形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出S1、S2與正方形面積的關(guān)系．4．如圖，已知P是正方形ABCD對角線BD上一點，且BP=BC，則∠ACP度數(shù)是（）A．45° B．° C．° D．75°【考點】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得到∠DBC=∠BCA=45°又知BP=BC，從而可求得∠BCP的度數(shù)，從而就可求得∠ACP的度數(shù)．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴∠DBC=∠BCA=45°，∵BP=BC，∴∠BCP=∠BPC=°，∴∠ACP=∠BCP﹣∠BCA=°﹣45°=°．故選B．【點評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是掌握正方形的對角線平分對角的性質(zhì)，及等腰三角形的性質(zhì)，難度一般．5．如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點連線EF為邊正方形EFGH的周長為（）A． B．2 C．+1 D．2+1【考點】正方形的性質(zhì)．【分析】由正方形的性質(zhì)和已知條件得出BC=CD==1，∠BCD=90°，CE=CF=，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出EF的長，即可得出正方形EFGH的周長．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E、F分別是BC、CD的中點，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周長=4EF=4×=2；故選：B．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF的長是解決問題的關(guān)鍵．6．如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使頂點D落在BC邊上的點E處，折痕為GH．若BE：EC=2：1，則線段CH的長是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點】正方形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）．【分析】根據(jù)折疊可得DH=EH，在直角△CEH中，設(shè)CH=x，則DH=EH=9﹣x，根據(jù)BE：EC=2：1可得CE=3，可以根據(jù)勾股定理列出方程，從而解出CH的長．【解答】解：設(shè)CH=x，則DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故選（B）．【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)以及翻折變換，折疊問題其實質(zhì)是軸對稱變換．在直角三角形中，利用勾股定理列出方程進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．7．如圖，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF為直角三角形，∠AEB=∠CFD=90°，AE=CF=5，BE=DF=12，則EF的長是（）A．7 B．8 C．7 D．7【考點】正方形的性質(zhì)．【分析】由正方形的性質(zhì)得出∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，由SSS證明△ABE≌△CDF，得出∠ABE=∠CDF，證出∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，由AAS證明△ABE≌△ADG，得出AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，得出EG=GF=FH=EF=7，證出四邊形EGFH是正方形，即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD，∴∠BAE+∠DAG=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS），∴∠ABE=∠CDF，∵∠AEB=∠CFD=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠DAG=∠CDF，同理：∠ABE=∠DAG=∠CDF=∠BCH，∴∠DAG+∠ADG=∠CDF+∠ADG=90°，即∠DGA=90°，同理：∠CHB=90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（AAS），∴AE=DG，BE=AG，同理：AE=DG=CF=BH=5，BE=AG=DF=CH=12，∴EG=GF=FH=EF=12﹣5=7，∵∠GEH=180°﹣90°=90°，∴四邊形EGFH是正方形，∴EF=EG=7；故選：C．【點評】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．8．如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作EF∥AD，與AC、DC分別交于點G，F(xiàn)，H為CG的中點，連接DE，EH，DH，F(xiàn)H．下列結(jié)論：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，則3S△EDH=13S△DHC，其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】①根據(jù)題意可知∠ACD=45°，則GF=FC，則EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；②由SAS證明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，從而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°；③同②證明△EHF≌△DHC即可；④若=，則AE=2BE，可以證明△EGH≌△DFH，則∠EHG=∠DHF且EH=DH，則∠DHE=90°，△EHD為等腰直角三角形，過H點作HM垂直于CD于M點，設(shè)HM=x，則DM=5x，DH=x，CD=6x，則S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．【解答】解：①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG為等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，∴EG=DF，故①正確；②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正確；③∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正確；④∵=，∴AE=2BE，∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，∴FH=GH，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，∴△EHD為等腰直角三角形，過H點作HM垂直于CD于M點，如圖所示：設(shè)HM=x，則DM=5x，DH=x，CD=6x，則S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，∴3S△EDH=13S△DHC，故④正確；故選：D．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形面積的計算等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．9．如圖，在正方形ABCD中，連接BD，點O是BD的中點，若M、N是邊AD上的兩點，連接MO、NO，并分別延長交邊BC于兩點M′、N′，則圖中的全等三角形共有（）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定．【分析】可以判斷△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON≌△M′ON′．由此即可得出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可證△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4對．故選C．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．10．已知：如圖，∠MON=45°，OA1=1，作正方形A1B1C1A2，面積記作S1；再作第二個正方形A2B2C2A3，面積記作S2；繼續(xù)作第三個正方形A3B3C3A4，面積記作S3；點A1、A2、A3、A4…在射線ON上，點B1A．256 B．900 C．1024 D．4096【考點】正方形的性質(zhì)．【專題】規(guī)律型．【分析】判斷出△OA1B1是等腰直角三角形，求出第一個正方形A1B1C1A2的邊長為1，再求出△B1C1B2是等腰直角三角形，再求出第2個正方形A2【解答】解：∵∠MON=45°，∴△OA1B1是等腰直角三角形，∵OA1=1，∴正方形A1B1C1∵B1C1∥OA2∴∠B2B1C1=∠∴△B1C1B2∴正方形A2B2C2A3同理，第3個正方形A3B3C3A4第4個正方形A4B4C4A5第5個正方形A5B5C5A6第6個正方形A6B6C6A7所以，第6個正方形的面積S6是：322=1024．故選C．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，得出后一個正方形的邊長等于前一個正方形的邊長的2倍是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．如圖，將正方形紙片按如圖折疊，AM為折痕，點B落在對角線AC上的點E處，則∠CME=45°．【考點】正方形的性質(zhì)．【分析】由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∠ACB=45°，由折疊的性質(zhì)得：∠AEM=∠B=90°，∴∠CEM=90°，∴∠CME=90°﹣45°=45°；故答案為：45°．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)；熟練掌握正方形和折疊的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．12．?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且AC⊥BD，請?zhí)砑右粋€條件：∠BAD=90°，使得?ABCD為正方形．【考點】正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)正方形的判定定理添加條件即可．【解答】解：∵?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，當(dāng)∠BAD=90°時，?ABCD為正方形．故答案為：∠BAD=90°．【點評】本題考查了正方形的判定：先判定平行四邊形是菱形，判定這個菱形有一個角為直角．13．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE=5，F(xiàn)為DE的中點．若△CEF的周長為18，則OF的長為．【考點】正方形的性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；勾股定理；三角形中位線定理．【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE的長，再由勾股定理得出CD的長，進(jìn)而可得出BE的長，由三角形中位線定理即可得出結(jié)論．【解答】解：∵CE=5，△CEF的周長為18，∴CF+EF=18﹣5=13．∵F為DE的中點，∴DF=EF．∵∠BCD=90°，∴CF=DE，∴EF=CF=DE=，∴DE=2EF=13，∴CD===12．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O為BD的中點，∴OF是△BDE的中位線，∴OF=（BC﹣CE）=（12﹣5）=．故答案為：．【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)，涉及到直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，難度適中．14．如圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重疊情形，其中D、E兩點分別在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，則F點到AC的距離為6﹣6．【考點】正方形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】過點B作BH⊥AC于H，交GF于K，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠A=∠ABC=60°，然后判定△BDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BDE=60°，然后根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出AC∥DE，再根據(jù)正方形的對邊平行得到DE∥GF，從而求出AC∥DE∥GF，再根據(jù)等邊三角形的邊的與高的關(guān)系表示出KH，然后根據(jù)平行線間的距離相等即可得解．【解答】解：如圖，過點B作BH⊥AC于H，交GF于K，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=60°，∵BD=BE，∴△BDE是等邊三角形，∴∠BDE=60°，∴∠A=∠BDE，∴AC∥DE，∵四邊形DEFG是正方形，GF=6，∴DE∥GF，∴AC∥DE∥GF，∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，∴F點到AC的距離為6﹣6．故答案為：6﹣6．【點評】本題考查了正方形的對邊平行，四條邊都相等的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的高線等于邊長的倍，以及平行線間的距離相等的性質(zhì)，綜合題，但難度不大，熟記各圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，則菱形的邊長為13c【考點】正方形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)正方形的面積可用對角線進(jìn)行計算解答即可．【解答】解：因為正方形AECF的面積為50cm2，所以AC=cm，因為菱形ABCD的面積為120cm2，所以BD=cm，所以菱形的邊長=cm．故答案為：13．【點評】此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形和菱形的面積進(jìn)行解答．16．（2023?齊齊哈爾）有一面積為5的等腰三角形，它的一個內(nèi)角是30°，則以它的腰長為邊的正方形的面積為20和20．【考點】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】分類討論．【分析】分兩種情形討論①當(dāng)30度角是等腰三角形的頂角，②當(dāng)30度角是底角，分別作腰上的高即可．【解答】解：如圖1中，當(dāng)∠A=30°，AB=AC時，設(shè)AB=AC=a，作BD⊥AC于D，∵∠A=30°，∴BD=AB=a，∴?a?a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰長為邊的正方形的面積為20．如圖2中，當(dāng)∠ABC=30°，AB=AC時，作BD⊥CA交CA的延長線于D，設(shè)AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴?a?a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰長為邊的正方形的面積為20．故答案為20或20．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標(biāo)軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，以此類推…、則正方形OB2023B2016C2023的頂點B2023【考點】正方形的性質(zhì)；規(guī)律型：點的坐標(biāo)．【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐標(biāo)，找出這些坐標(biāo)的之間的規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律計算出點B2023的坐標(biāo)．【解答】解：∵正方形OA1B1C1∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的對角線OB∴OB2=2，∴B2點坐標(biāo)為（0，2），同理可知OB3=2，∴B3點坐標(biāo)為（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4點坐標(biāo)為（﹣4，0），B5點坐標(biāo)為（﹣4，﹣4），B6點坐標(biāo)為（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，每經(jīng)過8次作圖后，點的坐標(biāo)符號與第一次坐標(biāo)符號相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮?023÷8=252∴B2023的縱橫坐標(biāo)符號與點B8的相同，橫坐標(biāo)為正值，縱坐標(biāo)是0，∴B2023的坐標(biāo)為（21008，0）．故答案為：（21008，0）．【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是由點坐標(biāo)的規(guī)律發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過8次作圖后，點的坐標(biāo)符號與第一次坐標(biāo)符號相同，每次正方形的邊長變?yōu)樵瓉淼谋叮?、解答題18．如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是BC的中點，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分線CF于F．求證：AE=EF．【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】先取AB的中點H，連接EH，根據(jù)∠AEF=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根據(jù)E是BC的中點，H是AB的中點，得出BH=BE，AH=CE，最后根據(jù)CF是∠DCG的角平分線，得出∠AHE=∠ECF=135°，從而證出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．【解答】證明：取AB的中點H，連接EH；∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中點，H是AB的中點，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分線，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．【點評】此題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是取AB的中點H，得出AH=EC，再根據(jù)全等三角形的判定得出△AHE≌△ECF．19．已知，如圖，正方形ABCD中，E為BC邊上一點，F(xiàn)為BA延長線上一點，且CE=AF．連接DE、DF．求證：DE=DF．【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，∠C=∠DAF=90°，然后利用“邊角邊”證明△DCE和△DAF全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠DAB=∠C=90°，∴∠FAD=180°﹣∠DAB=90°．在△DCE和△DAF中，，∴△DCE≌△DAF（SAS），∴DE=DF．【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用全等三角形對應(yīng)邊相等證明線段相等是常用的方法之一，一定要熟練掌握并靈活運用．20．如圖，在正方形ABCD中，點E（與點B、C不重合）是BC邊上一點，將線段EA繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°到EF，過點F作BC的垂線交BC的延長線于點G，連接CF．（1）求證：△ABE≌△EGF；（2）若AB=2，S△ABE=2S△ECF，求BE．【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，且AE=EF，利用AAS得到三角形ABE與三角形EFG全等；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得出AB=EG=2，S△ABE=S△EGF，求出SEGF=2S△ECF，根據(jù)三角形面積得出EC=CG=1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BC=AB=2，即可求出答案．【解答】（1）證明：∵EP⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE與△EGF中，，∴△ABE≌△EGF（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△EGF，AB=2，∴AB=EG=2，S△ABE=S△EGF，∵S△ABE=2S△ECF，∴SEGF=2S△ECF，∴EC=CG=1，∵四邊形ABCD是正方形，∵BC=AB=2，∴BE=2﹣1=1．【點評】此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．21．已知：如圖，在正方形ABCD中，點E在邊CD上，AQ⊥BE于點Q，DP⊥AQ于點P．（1）求證：AP=BQ；（2）在不添加任