單位圓與三角函數(shù)線習(xí)題設(shè)計

7.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切．(重點)2.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題．(難點)1.通過三角函數(shù)線概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象核心素養(yǎng)．2.借助三角函數(shù)線的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理及直觀想象核心素養(yǎng).新知探究1.單位圓(1)一般地把半徑為1的圓叫做單位圓．(2)角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)．2.三角函數(shù)線思考：三角函數(shù)線的方向是怎樣確定的？[提示]三角函數(shù)線的方向，即規(guī)定的有向線段的方向：凡三角函數(shù)線與x軸或y軸同向的相應(yīng)三角函數(shù)值為正值，反向的為負(fù)值．小試身手1.如圖，在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是()A．正弦線eq\o(PM,\s\up8(→))，正切線eq\o(A′T′,\s\up8(→))B．正弦線eq\o(MP,\s\up8(→))，正切線eq\o(A′T′,\s\up8(→))C．正弦線eq\o(MP,\s\up8(→))，正切線eq\o(AT,\s\up8(→))D．正弦線eq\o(PM,\s\up8(→))，正切線eq\o(AT,\s\up8(→))C[由三角函數(shù)線的定義知C正確．]2.角eq\f(π,5)和角eq\f(6π,5)有相同的()A．正弦線 B．余弦線C．正切線 D．不能確定C[eq\f(π,5)與eq\f(6π,5)的終邊互為反向延長線，故它們有相同的正切線．]3.角eq\f(5π,6)的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))[由于角eq\f(5π,6)的終邊與單位圓的交點橫坐標(biāo)是coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，縱坐標(biāo)是sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，∴角eq\f(5π,6)的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).]三角函數(shù)線的概念【例1】(1)設(shè)P點為角α的終邊與單位圓O的交點，且sinα＝MP，cosα＝OM，則下列命題成立的是()A．總有MP＋OM＞1B．總有MP＋OM＝1C．存在角α，使MP＋OM＝1D．不存在角α，使MP＋OM＜0(2)分別作出eq\f(3,4)π和－eq\f(4,7)π的正弦線、余弦線和正切線．(1)C[顯然，當(dāng)角α的終邊不在第一象限時，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；當(dāng)角α的終邊落在x軸或y軸正半軸時，MP＋OM＝1，故選C．](2)[解]①在直角坐標(biāo)系中作單位圓，如圖甲，以O(shè)x軸為始邊作eq\f(3,4)π角，角的終邊與單位圓交于點P，作PM⊥Ox軸，垂足為M，由單位圓與Ox軸正方向的交點A作Ox軸的垂線，與OP的反向延長線交于T點，則sineq\f(3,4)π＝MP，coseq\f(3,4)π＝OM，taneq\f(3,4)π＝AT，即eq\f(3,4)π的正弦線為eq\o(MP,\s\up8(→))，余弦線為eq\o(OM,\s\up8(→))，正切線為eq\o(AT,\s\up8(→)).②同理可作出－eq\f(4,7)π的正弦線、余弦線和正切線，如圖乙．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,7)π))＝M1P1，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,7)π))＝O1M1，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,7)π))＝A1T1，即－eq\f(4,7)π的正弦線為eq\o(M1P1,\s\up8(→))，余弦線為eq\o(O1M1,\s\up8(→))，正切線為eq\o(A1T1,\s\up8(→)).1.作正弦線、余弦線時，首先找到角的終邊與單位圓的交點，然后過此交點作x軸的垂線，得到垂足，從而得到正弦線和余弦線．2.作正切線時，應(yīng)從A(1,0)點引單位圓的切線交角的終邊于一點T，即可得到正切線eq\o(AT,\s\up8(→))，要特別注意，當(dāng)角的終邊在第二或第三象限時，應(yīng)將角的終邊反向延長，再按上述作法來作正切線．1.下列四個命題中：①α一定時，單位圓中的正弦線一定；②單位圓中，有相同正弦線的角相等；③α和α＋π有相同的正切線；④具有相同正切線的兩個角終邊在同一條直線上．不正確命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3C[由三角函數(shù)線的定義①④正確，②③不正確．②中有相同正弦線的角可能不等，如eq\f(5π,6)與eq\f(π,6)；③中當(dāng)α＝eq\f(π,2)時，α與α＋π都沒有正切線．]利用單位圓解三角不等式【例2】在單位圓中畫出適合下列條件的角α終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).[思路探究]作出滿足sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)的角的終邊，然后根據(jù)已知條件確定角α終邊的范圍．[解](1)作直線y＝eq\f(\r(3),2)，交單位圓于A，B兩點，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖(1)中陰影部分)即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}.(2)作直線x＝－eq\f(1,2)，交單位圓于C，D兩點，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖(2)中的陰影部分)即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z}.1.通過解答本題，我們可以總結(jié)出用三角函數(shù)線來解基本的三角不等式的步驟：(1)作出取等號的角的終邊；(2)利用三角函數(shù)線的直觀性，在單位圓中確定滿足不等式的角的范圍；(3)將圖中的范圍用不等式表示出來．2.求與三角函數(shù)有關(guān)的定義域時，先轉(zhuǎn)化為三角不等式(組)，然后借助三角函數(shù)線解此不等式(組)即可得函數(shù)的定義域．2.求y＝lg(1－eq\r(2)cosx)的定義域．[解]如圖所示，∵1－eq\r(2)cosx＞0，∴cosx＜eq\f(\r(2),2)，∴2kπ＋eq\f(π,4)＜x＜2kπ＋eq\f(7π,4)(k∈Z)，∴函數(shù)定義域為(2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(7π,4))(k∈Z).三角函數(shù)線的綜合應(yīng)用[探究問題]1.為什么在三角函數(shù)線上，點P的坐標(biāo)為(cosα，sinα)，點T的坐標(biāo)為(1，tanα)呢？[提示]由三角函數(shù)的定義可知sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，而在單位圓中，r＝1，所以單位圓上的點都是(cosα，sinα)；另外角的終邊與直線x＝1的交點的橫坐標(biāo)都是1，所以根據(jù)tanα＝eq\f(y,x)，知縱坐標(biāo)y＝tanα，所以點T的坐標(biāo)為(1，tanα)．2.如何利用三角函數(shù)線比較大??？[提示]利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大小時，一般分三步：(1)角的位置要“對號入座”；(2)比較三角函數(shù)線的長度；(3)確定有向線段的正負(fù)．【例3】已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，試比較sinα，α，tanα的大?。甗思路探究]本題可以利用正弦線，所對的弧長及正切線來表示sinα，α，tanα，并借助它們所在的扇形及三角形的面積大小來解決．[解]如圖所示，設(shè)角α的終邊與單位圓交于點P，單位圓交x軸正半軸于點A，作PM⊥x軸，作AT⊥x軸，交α的終邊于點T，由三角函數(shù)線定義，得sinα＝MP，tanα＝AT，又α＝eq\o(AP,\s\up10(︵))的長，∴S△AOP＝eq\f(1,2)·OA·MP＝eq\f(1,2)sinα，S扇形AOP＝eq\f(1,2)·eq\o(AP,\s\up10(︵))·OA＝eq\f(1,2)·eq\o(AP,\s\up10(︵))＝eq\f(1,2)α，S△AOT＝eq\f(1,2)·OA·AT＝eq\f(1,2)tanα.又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，∴sinα＜α＜tanα.1.本題的實質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想，即要先找到與所研究問題相應(yīng)的幾何解釋，再由圖形相關(guān)性質(zhì)解決問題．2.三角函數(shù)線是單位圓中的有向線段，比較三角函數(shù)值大小時，一般把三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為單位圓中的某些線段，進(jìn)而用幾何方法解決問題．3.利用三角函數(shù)線證明：|sinα|＋|cosα|≥1.[證明]（圖略）在△OMP中，OP＝1，OM＝|cosα|，MP＝|sinα|，因為三角形兩邊之和大于第三邊，所以|sinα|＋|cosα|＞1.當(dāng)點P在坐標(biāo)軸上時，|sinα|＋|cosα|＝1.綜上可知，|sinα|＋|cosα|≥1.課堂小結(jié)1.應(yīng)用三角函數(shù)線比較大小的策略①三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長度是三角函數(shù)值的絕對值．②比較兩個三角函數(shù)值的大小，不僅要看其長度