【課件】4.4.3 不同函數(shù)增長的差異教學(xué)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第一冊

4.4對數(shù)函數(shù)4.4.3不同函數(shù)增長的差異

復(fù)習(xí)引入

思考：在前面，我們學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，這些函數(shù)在情況下的是增函數(shù)？

雖然它們都是增函數(shù)，但增長方式存在很大差異，這種差異正是不同類型現(xiàn)實(shí)問題具有不同增長規(guī)律的反映.如果我們知道不同函數(shù)增長方式的差異，就可以根據(jù)現(xiàn)實(shí)問題中的增長情況，選擇合適的函數(shù)模型來刻畫其變化規(guī)律。

下面就來研究一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)內(nèi)增長方式的差異.知識探究

問題1：選取適當(dāng)?shù)闹笖?shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間[0,+∞)上增長差異，你能描述一下指數(shù)函數(shù)的增長的特點(diǎn)嗎？列表xy=2xy=2x00.511.522.53...11.41422.82845.65780123456......描點(diǎn)，連線得圖象1239876543212.觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長方式,回答下面問題：(1)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)是什么？(2)兩圖像的關(guān)系是什么？(3)總結(jié)兩圖像增長變化情況？

函數(shù)y=2x與y=2x有兩個(gè)交點(diǎn)：(1,2)，(2,4)；

在區(qū)間[0,1)上，y=2x的圖象位于y=2x上方；

在區(qū)間(1,2)上，y=2x的圖象位于y=2x下方；

在區(qū)間(1,2)上，y=2x的圖象位于y=2x下方。y=2x與y=2x都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同。函數(shù)y=2x的增長速度不變，y=2x的增長速度是變化的。(4)當(dāng)自變量x值越來越大時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系會(huì)怎樣？2.觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長方式,回答下面問題：(4)當(dāng)自變量x值越來越大時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系會(huì)怎樣？

隨著自變量x的取值越來越大，y=2x的圖象幾乎會(huì)與x軸垂直，函值快速增長，而y=2x的圖象仍是勻速向上延伸，函數(shù)增長速度不變，這與y=2x的增長速度相比幾乎微不足道.2.觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長方式,回答下面問題：(5)考查2x與

2x的大小，你認(rèn)為是否存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有2x>2x?(6)類比上述能否推廣到一般情況？

盡管在

x的一定范圍內(nèi),2x<2x,但由于y=2x的增長最終會(huì)快于

y=2x的增長,因此,總會(huì)存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),恒有2x>2x.

函數(shù)

y=2x與

y=2x在[0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同，而且不在一個(gè)“檔次”.

隨著x的增大，y=2x的增長速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=2x的增長速度.結(jié)論一結(jié)論二

問題2：選取適當(dāng)?shù)膶?shù)函數(shù)與一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間[0,+∞)上增長差異，你能描述一下指數(shù)函數(shù)的增長的特點(diǎn)嗎？列表/1.3041.4771.6021.6991.77810123456......描點(diǎn)，連線得圖象6543211020304050602.觀察兩個(gè)函數(shù)圖象及其增長方式,回答下面問題：(1)根據(jù)圖象分析兩函數(shù)增長快慢？(2)你能根據(jù)解析式進(jìn)行分析嗎？lg10=1,lg100=2,lg1000=3，lg10000=4,...(3)類比上述能否推廣到一般情況？結(jié)論三

問題3：

(1)畫出一次函數(shù)y=2x，對數(shù)函數(shù)y=lgx和指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象，并比較它們的增長差異？

函數(shù)y=2x，y=lgx與y=2x在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度存在明顯差異.

y=2x在(0,+∞)上增長速度不變，函數(shù)y=lgx與y=2x在(0,+∞)上的增長速度在變化.函數(shù)y=2x的增長速度越來越快，圖象越來越陡，就像與x軸垂直一樣；函數(shù)y=lgx的增長速度越來越慢，圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣.(2)概括一次函數(shù)y=kx(k>0)

,對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和指數(shù)函數(shù)y=bx(b>1)的增長差異.

一般地，一次函數(shù)y=kx(k>0)

,對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和指數(shù)函數(shù)y=bx(b>1)

在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.

隨著x的增大，一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度，而指數(shù)函數(shù)y=bx(b>1)的增長速度越來越快；對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1的增長速度越來越慢.

不論b值比k值小多少，在一定范圍內(nèi)，bx可能會(huì)小于kx，但由于y=bx的增長會(huì)快于y=kx的增長，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有bx>kx.；不論a值比k值大多少，在一定范圍內(nèi)，logax可能會(huì)大于kx，但由于y=logax的增長會(huì)慢于y=kx的增長，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有kx>logax.(3)討論交流“直線上升”“對數(shù)增長”“指數(shù)爆炸”的含義．

(1)直線上升:y=kx(k>0)的增長方式

增長速度不變，是一個(gè)固定的值；(2)對數(shù)增長：y=logax(a>1)的增長方式

增長速度越來越慢，圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣；(3)指數(shù)爆炸：y=ax(a>1)的增長方式

增長速度越來越快，以相同倍數(shù)增加，圖象越來越陡，最終就像與x軸垂直一樣.例1.(1)隨著x的不斷增加，下列函數(shù)中增長速度最快的是(

)

A.y=2021x；B.y=x2021;C.y=log2021x;

D.y=2021x例析A(2)當(dāng)我們在做化學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，常常需要將溶液注入容器中，當(dāng)溶液注入容器(設(shè)單位時(shí)間內(nèi)流入的溶液量相同)時(shí)，溶液的高度隨著時(shí)間的變化而變化，在圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應(yīng)_______；B對應(yīng)_______；C對應(yīng)_______；D對應(yīng)_______.

(4)(1)(3)(2)例2.已知函數(shù)

f(x)=2x和

g(x)=x3的圖象如圖,設(shè)兩個(gè)函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A(x1,y1)和

B(x2,y2),且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1,C2分別對應(yīng)哪一個(gè)函數(shù);(2)若x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,b的值,并說明理由.(1)由指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長速度知C1對應(yīng)函數(shù)

g(x)=x3,

C2對應(yīng)函數(shù)

f(x)=2x.(2)由圖象得

f(x1)=g(x1),f(x2)=g(x2)

當(dāng)

x<x1時(shí),2x>x3,即

f(x)>g(x);

當(dāng)

x1<x<x2時(shí),f(x)<g(x);

當(dāng)

x>x2時(shí),f(x)>g(x).∵

f(1)=2,g(1)=1,f(2)=4,g(2)=8∴由f(1)>g(1),f(2)<g(2)得

x1∈[1,2],即a=1.又∵f(9)=29=512,g(9)=93=729

f(10)=1024,g(10)=1000∴由f(9)<g(9),f(10)>g(10)得x2∈[9,10],即b=9.

綜上可知,a=1,b=9.解：例3.某化工廠開發(fā)研制了一種新產(chǎn)品,在前三個(gè)月的月生產(chǎn)量依次為100t,120t,130t.為了預(yù)測今后各個(gè)月的生產(chǎn)量,需要以這三個(gè)月的月產(chǎn)量為依據(jù),用一個(gè)函數(shù)來模擬月產(chǎn)量y與月序數(shù)x之間的關(guān)系.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，可選用二次函數(shù)模型y=f(x)(x∈N*)或指數(shù)函數(shù)模型y=g(x)(x∈N*),現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品在第四個(gè)月的月產(chǎn)量為136t,則試問選用哪一個(gè)作為模擬函數(shù)較好?

設(shè)

f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，則由題意得

同理,可設(shè)

g(x)=max+n(a>0且a≠1)∴f(x)=-5x2+35x+70.當(dāng)x=4時(shí),f(4)=-5×42+35×4+70=130g(4)=-80×0.54+140=135

由g(1)=100,g(2)=120,g(3)=130得

即g(4)在數(shù)值上更為接近第四個(gè)月的實(shí)際月產(chǎn)量.∴

選用指數(shù)函數(shù)模型較好.解：1.三個(gè)變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表:則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是________

練習(xí)x051015202530y151305051130200531304505y25901620291605248809447840170061120y35305580105130155y22.(1)(2)(3)分別是y=3x與y=5x在不同范圍內(nèi)的圖象，估算出使3x>5x的x的取值范圍(參考數(shù)據(jù)：30.27=1.35,32.17=10.85).

(教材P39練習(xí)第1,2,3,4題)4.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則y=f(x)可能是（

）

3.如圖，對數(shù)函數(shù)y=lgx與一次函數(shù)y=f(x)的圖象有A，B兩個(gè)

公共點(diǎn),求一次函數(shù)的解析式。

簡析：課堂小結(jié)

1.在探究不同函數(shù)的增長方式的過程中主要的數(shù)學(xué)思想方法有哪些？一般與特殊的思想方法；數(shù)形結(jié)合的思想方法2.說說一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)增長方式的差異？

y=ax(a>1)y=logbx(b>1)y=kx(k>0)在(0,+∞)上的單調(diào)性單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢固定不變圖象的變化

隨x的增大逐漸變陡，幾乎與x軸垂直

隨x的增大逐漸變平，幾乎與x軸平行

圖象幾乎呈一條直線勻速上升形象描述指數(shù)爆炸對數(shù)增長直線上升增長結(jié)果

總存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有ax>kx>logbx4.對于冪函數(shù)y=xα(α>0)的增長方式，你有什么看法？(1)冪函數(shù)y=xα(α>0)增長快慢與α的大小有關(guān);

(2)冪函數(shù)y=xα(α>0)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之間.

(1)函數(shù)值的大小不等同于增長速度快慢，數(shù)值大不一定增長速度快，