湖南省株洲市朱亭鎮(zhèn)黃龍中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

湖南省株洲市朱亭鎮(zhèn)黃龍中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列命題中，是真命題的是（）A．?x∈R，sinx+cosx＞ B．若0＜ab＜1，則b＜C．若x2=|x|，則x=±1 D．若m2+=0，則m=n=0參考答案： D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】對(duì)應(yīng)思想；分析法；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】A，sinx+cosx=；B，若a＜0時(shí)，則b＞；C，若x2=|x|，則x=±1，x=±1或x=0；D，m2、均為非負(fù)數(shù)，則m=n=0．【解答】解：對(duì)于A，sinx+cosx=，故錯(cuò)；對(duì)于B，若a＜0時(shí)，則b＞，故錯(cuò)；對(duì)于C，若x2=|x|，則x=±1，x=±1或x=0，故錯(cuò)；對(duì)于D，m2+=0中m2、均為非負(fù)數(shù)，則m=n=0，故正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判定，涉及到了大量的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．2.數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，某小組14名學(xué)生分別與全班的平均分85分的差是：2，3，-3，-5，12，12，8，2，-1，4，-10，-2，5，5，這個(gè)小組的平均分是（

）A．97.2

B．87.29

C．92.32

D．82.86參考答案：B略3.平面α過正方體ABCD﹣A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，則m、n所成角的正弦值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】畫出圖形，判斷出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如圖：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．則m、n所成角的正弦值為：．故選：A．4.將長(zhǎng)度為1米的鐵絲隨機(jī)剪成三段，則這三段能拼成三角形（三段的端點(diǎn)相接）的概率為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：B5.△ABC的斜二側(cè)直觀圖如圖所示，則△ABC的面積為（）A． B．1 C． D．2參考答案：D【考點(diǎn)】斜二測(cè)法畫直觀圖．【專題】計(jì)算題．【分析】用斜二側(cè)畫法的法則，可知原圖形是一個(gè)兩邊分別在x、y軸的直角三角形，x軸上的邊長(zhǎng)與原圖形相等，而y軸上的邊長(zhǎng)是原圖形邊長(zhǎng)的一半，由此不難得到平面圖形的面積．【解答】解：∵OA=1，OB=2，∠ACB=45°∴原圖形中兩直角邊長(zhǎng)分別為2，2，因此，Rt△ACB的面積為S==2故答案為：D【點(diǎn)評(píng)】本題要求我們將一個(gè)直觀圖形進(jìn)行還原，并且求出它的面積，著重考查了斜二側(cè)畫法和三角形的面積公式等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．6.已知直線2kx﹣y+1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（）A．（1，9] B．[1，+∞） C．[1，9）∪（9，+∞） D．（9，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】利用直線2kx﹣y+1=0恒過的定點(diǎn)在橢圓內(nèi)或橢圓上，計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：∵直線2kx﹣y+1=0恒過定點(diǎn)P（0，1），∴直線2kx﹣y+1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，即點(diǎn)P（0，1）在橢圓內(nèi)或橢圓上，∴+≤1，即m≥1，又m≠9，否則是圓而非橢圓，∴1≤m＜9或m＞9，故選：C．7.函數(shù)f(x)=log2(1?x)的圖象為參考答案：A8.已知雙曲線-=1和橢圓+=1(a>0,m>b>0)的離心率互為倒數(shù)，那么以a、b、m為邊長(zhǎng)的三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．銳角或鈍角三角形參考答案：B略9.已知直線與橢圓（）交于,兩點(diǎn),橢圓右焦點(diǎn)為,直線與的另外一個(gè)交點(diǎn)為，若,若,則的離心率為（）A．

B．

C.

D．參考答案：B10.若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂直，則的最小值為（

）A．12

B．

C．

D．6參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在五個(gè)數(shù)字中，若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率是___.

參考答案：0.312.如果橢圓的弦被點(diǎn)(4，2)平分，則這條弦所在的直線方程是__________。參考答案：x+2y-8=0

13.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第

象限．參考答案：四【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：===1﹣i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（1，﹣1）位于第四象限．故答案為：四．14.在棱長(zhǎng)都相等的四面體ABCD中，E、F分別是CD、BC的中點(diǎn)，則異面直線AE、DF所成角的余弦值是

．參考答案：考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用；異面直線及其所成的角．專題：解三角形；空間角．分析：畫出四面體ABCD，并設(shè)BC=4，取CF的中點(diǎn)為M，則∠AEM或其補(bǔ)角便是異面直線AE、DF所成角，這時(shí)候可以求出CM，CE，ME，而由余弦定理可以求出AM，從而在△AEM中由余弦定理即可求出cos∠AEM，這便得到異面直線AE、DF所成角的余弦值．解答： 解：如圖，設(shè)BC=4，取CF中點(diǎn)M，連接AM，ME；∵E是CD中點(diǎn)；∴ME∥DF；∴∠AEM或其補(bǔ)角便是異面直線AE，DF所成角；則：，，，CE=2，CM=1；∴在△ACM中，由余弦定理得：AM2=CA2+CM2﹣2CA?CM?cos60°=16+1﹣4=13；∴在△AME中，由余弦定理得：cos∠AEM=；∴異面直線AE、DF所成角的余弦值是．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：考查異面直線所成角的概念及其求法，清楚異面直線所成角的范圍，等邊三角形的中線也是高線，直角三角形邊角的關(guān)系，以及余弦定理的應(yīng)用．15.若正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為4，則異面直線與AD所成角的余弦值是________.參考答案：16.不等式的解集為．參考答案：[﹣3，1]【考點(diǎn)】其他不等式的解法；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】把變?yōu)?﹣1，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：=2﹣1，依題意得：x2+2x﹣4≤﹣1，因式分解得（x+3）（x﹣1）≤0，可化為：或，解得﹣3≤x≤1，所以原不等式的解集為[﹣3，1]．故答案為：[﹣3，1]17.在等差數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和，a2＋a8＝18－a5，則S9＝________。參考答案：54略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)在軸上的截距為1，且曲線上一點(diǎn)處的切線斜率為.（1）曲線在P點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的極大值和極小值參考答案：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)在軸上的截距為1，所以又，所以所以，故點(diǎn)，所以切線方程為即（2）由題意可得，令得列表如下：+0-0+增區(qū)間極大減區(qū)間極小增區(qū)間

所以函數(shù)的極大值為，

極小值為略19.(本題滿分10分)在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為：，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線C與直線交于兩點(diǎn)，求的長(zhǎng).參考答案：(1)

（2）220.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的方程為（x﹣2）2+y2=1，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）若P為曲線M：ρ=﹣2cosθ上任意一點(diǎn)，Q為曲線C上任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）曲線C的方程為（x﹣2）2+y2=1，展開化為：x2+y2﹣4x+3=0．圓心C（2，0），半徑R=1．把互化公式代入可得極坐標(biāo)方程．（2）曲線M：ρ=﹣2cosθ，即ρ2=﹣2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)：（x+1）2+y2=1，可得圓心M（﹣1，0），半徑r=1．可得|PQ|的最小值=|MC|﹣r﹣R．【解答】解：（1）曲線C的方程為（x﹣2）2+y2=1，展開化為：x2+y2﹣4x+3=0．圓心C（2，0），半徑R=1．把互化公式代入可得極坐標(biāo)方程：ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（2）曲線M：ρ=﹣2cosθ，即ρ2=﹣2ρcosθ，化為直角坐標(biāo)：x2+y2=﹣2x，可得（x+1）2+y2=1，可得圓心M（﹣1，0），半徑r=1．|MC|==3．∴|PQ|的最小值=|MC|﹣r﹣R=1．21.如圖所示，異面直線AB，CD互相垂直，AB=，BC=，CD=1，BD=2，AC=3，截面EFGH分別與BD，AD，AC，BC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（1）求證：BC⊥平面EFGH；（2）求二面角B﹣AD﹣C的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）推導(dǎo)出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能證明BC⊥平面EFGH．（2）作，以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，Cz為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣AD﹣C的正弦值．【解答】證明：（1）∵AB∥平面EFGH，又∵AB?平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴AB∥EF，同理CD∥HE，∵，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，同理BC⊥DC，∴BC⊥EF，同理BC⊥EH，又∵EF，EH是平面EFGH內(nèi)的兩相交直線，∴BC⊥平面EFGH．（2）由（1）及異面直線AB，CD互相垂直知，直線AB，BC，CD兩兩垂直，作，以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，Cz為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，如圖所示，則，∵x軸?平面ACD，∴平面ACD的一個(gè)法向量可設(shè)為，∵，∴，得：，即，又∵z軸∥平面ABD，∴平面ABD的一個(gè)法向量可設(shè)為，∴，得，即，設(shè)二面角B﹣AD﹣C的大小為θ，那么，∴，∴二面角B﹣AD﹣C的正弦值為．22.（12分）如圖所示的一個(gè)三視圖中，右面是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一角所得多面體的直觀圖，它的正