第十五章 定量分析：風(fēng)險決策

第十五章定量分析：風(fēng)險決策主要內(nèi)容·第一節(jié)成本-收益分析·第二節(jié)期望損益決策模型·第三節(jié)期望效用決策模型·第四節(jié)馬爾科夫風(fēng)險決策模型·第五節(jié)隨機模擬

確定型決策不確定型決策競爭性決策風(fēng)險型決策：決策者根據(jù)幾種不同的自然狀態(tài)可能發(fā)生的概率進行的決策。決策者所選擇的行動方案決策者所無法控制（或無法完全控制）的客觀因素

存在決策者希望達到的一個（或多個）明確的決策目標(biāo)存在決策者可以主動選擇的兩個以上的行動方案不以（或不全以）決策者的主觀意志為轉(zhuǎn)移的兩種以上自然狀態(tài)不同行動方案在不同自然狀態(tài)下的損益值可以預(yù)先確定各種自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率，可根據(jù)有關(guān)資料預(yù)先計算或估計出來一、成本－收益分析

損失控制措施的增加以增加的（邊際）成本大于增加的（邊際）收益為限。例1：注：事故的平均損失程度＝$2萬，總雇員人數(shù)＝5000。二、期望損益決策模型

以每種方案的期望損益作為決策依據(jù)，選擇期望損失最小或期望收益最大的措施。例2：某棟建筑物面臨火災(zāi)風(fēng)險，有3種風(fēng)險管理措施可供選擇，各方案的實施結(jié)果如表2-1。為簡便起見，每種方案只考慮兩種可能后果：不發(fā)生損失或全損。表2-1不同方案下的火災(zāi)損失表(單位：元)間接損失：如信貸成本的上升。如果購買保險，這種損失就可以避免了。損失概率未知：1，最大損失最小化原則Min{方案1，方案2，方案3}＝Min{105000，107000，3000}＝3000投保為最佳方案2，最小損失最小化原則Min{方案1，方案2，方案3}＝Min{0，2000，3000}＝0自留風(fēng)險且不安裝安全措施為最佳方案損失概率已知：期望損失最小化已知：不采取安全措施時發(fā)生全損的概率：2.5%，采取安全措施后發(fā)生全損的概率：1%。方案(1)的期望損失：105000×2.5%＋0×97.5%＝2625(元)方案(2)的期望損失：107000×1%＋2000×99%＝3050(元)方案(3)的期望損失：3000×2.5%＋3000×97.5%＝3000(元)Min{2625，3050，3000}＝2625方案(1)為最佳方案考慮憂慮成本的影響憂慮成本的確定：損失的概率分布對未來的把握程度風(fēng)險態(tài)度12表2-2含憂慮成本的火災(zāi)損失表(單位：元)損失概率已知：期望損失最小化已知：不采取安全措施時發(fā)生全損的概率：2.5%，采取安全措施后發(fā)生全損的概率：1%。方案(1)的期望損失：107500×2.5%＋2500×97.5%＝5125(元)方案(2)的期望損失：108500×1%＋3500×99%＝4550(元)方案(3)的期望損失：3000×2.5%＋3000×97.5%＝3000(元)Min{5125，4550，3000}＝3000方案(3)為最佳方案例3：某棟建筑物面臨火災(zāi)風(fēng)險，采取有無自動滅火裝置措施下的損失及概率如表3。*概率(無)：無自動滅火裝置時的損失概率概率(有)：有自動滅火裝置時的損失概率另：未投保的直接損失為150000時的間接損失：6000元間接損失0.0000.00180002000000.0010.00240001000000.0090.0072000500000.040.040100001000000.200.75概率(有)0.200.75概率(無)0直接損失表3-1火災(zāi)損失分布(單位：元)可供選擇的方案及相關(guān)費用：表3-2表4－1期望損失：1380元方案1：完全自留風(fēng)險，不安裝滅火裝置表4－2期望損失：1581元方案2：完全自留風(fēng)險，安裝滅火裝置。當(dāng)建筑物的損失達到100000元時滅火裝置一起損毀。費用：9000元，使用年限30年，年維護費400元。18表4－3期望損失：1760元方案3：購買保額為50000元的保險。費用：保費1500元。表4－4期望損失：1811元方案4：在方案(3)的基礎(chǔ)上安裝自動滅火裝置。費用：9000元，使用年限30年，年維護費400元。保費1350元。表4－5期望損失：1900元方案5：購買帶有1000元免賠額、保額200000元的保險。費用：保費1650元。表4－6期望損失：2000元方案6：購買保額200000元的保險。費用：保費2000元。表4－7不計憂慮成本時的期望損失最?。悍桨福?）計算憂慮成本時的期望損失最小：方案（5）三、期望效用模型

1，問題的提出

2，問題的解決：效用

最大期望效用原理：在具有風(fēng)險和不確定條件下，個人的行為動機和準(zhǔn)則是為了獲得最大期望效用值，而不是為了獲得最大期望金額值。?風(fēng)險態(tài)度：風(fēng)險中立、風(fēng)險偏好、風(fēng)險厭惡

圖1效用曲線設(shè)一決策者在[a,b]上的效用函數(shù)u(x)，任何一點x，可看作是一個抽簽的期望Jensen不等式設(shè)決策者是風(fēng)險厭惡者，即u’(x)>0,u’’(x)<0,則對于隨機變量x，有

E[u(x)]u(E[x])Arrow-Pratt指數(shù)設(shè)決策者的效用函數(shù)定義在[a,b]上，且二次可微，則衡量決策者風(fēng)險態(tài)度的絕對風(fēng)險指數(shù)：相對風(fēng)險指數(shù)：例4：某人現(xiàn)有財產(chǎn)3萬元。他面臨兩個選擇的結(jié)果、概率以及該人對擁有不同財富的效用度的情況見表5-1和表5-2。3，期望效用模型的應(yīng)用表5-1面臨選擇的結(jié)果和概率表5-2效用度期望損益模型的結(jié)果：方案A的期望收益：50000×20％＋0×80％＝10000元方案B的期望收益：10000×30％＋20000×20％＋0×50％＝7000元期望收益最大：方案A期望效用模型的結(jié)果：表5-1面臨選擇的結(jié)果和概率表5-2效用度方案A的期望效用收益：40×20％＋0×80％＝8方案B的期望效用收益：20×30％＋30×20％＋0×50％＝12期望效用收益最大：方案B例5：某建筑物面臨火災(zāi)風(fēng)險，有關(guān)損失的資料如表6－1。如果不購買保險，當(dāng)較大的火災(zāi)發(fā)生后會導(dǎo)致信貸成本上升，這種由于未投保造成的間接損失與火災(zāi)造成的直接損失的關(guān)系如表6－2。表6－1表6－2風(fēng)險管理者面臨6種方案，如表6－3表6－3經(jīng)調(diào)查，風(fēng)險管理者對擁有或失去不同價值的財產(chǎn)的效用度如表6－4表6－4

單位：千元其他的效用度的計算：線性插值例如：損失額為52000，50000<52000<75000則相應(yīng)的效用損失u(50000)<u(52000)<u(75000)即：6.25<u(52000)<12.5由得出：u(52000)＝6.75問題：根據(jù)期望效用模型，這個風(fēng)險管理者會選擇哪種方案？方案1：完全自留風(fēng)險表7－1期望效用損失：0×0.75＋0.05×0.2＋0.4×0.04＋6.75×0.007＋30×0.002＋100×0.001＝0.233方案2：購買全額保險，保費2200元表7－2期望效用損失：0.105方案3：購買保額為5萬元的保險，保費1500元表7－3期望效用損失：0.075×0.997＋7.125×0.002＋68.75×0.001＝0.158方案4：購買帶有1000元免賠額、保額為20萬元的保險，保費1650元表7－4期望效用損失：0.0825×0.75＋0.11625×0.25＝0.091方案5：自留5萬元及以下的損失風(fēng)險，將10萬元和20萬元的損失風(fēng)險轉(zhuǎn)移給保險人，保費600元表7－5期望效用損失：0.089方案6：自留1萬元及以下的損失風(fēng)險，將剩余風(fēng)險轉(zhuǎn)移，保費1300元表7－6期望效用損失：0.0918表7－7結(jié)果匯總期望效用損失最小：0.089因此，選擇方案(5)，自留5萬元及以下的損失風(fēng)險，將10萬元和20萬元的損失風(fēng)險轉(zhuǎn)移給保險人，保費600元例6：一個投資者現(xiàn)有財產(chǎn)w＝10，他擁有財產(chǎn)的效用函數(shù)為u(x)＝x－0.02x2。他想用資金5來投資，設(shè)X表示投資的隨機收益，X～。問這項投資對他是否有利？例7：一個投資者現(xiàn)有財產(chǎn)w＝1，他擁有財產(chǎn)的效用函數(shù)為u(x)＝。投資者要把他的財產(chǎn)投資到下面兩個項目之一：(1)8年后，其財產(chǎn)可能變成X～(2)固定收益率，年利率i問當(dāng)年利率i為何值時，投資者認為這兩個項目收益相當(dāng)？VonNeumann-Morgenstern理論：效用指數(shù)4，效用函數(shù)的獲得四、馬爾科夫風(fēng)險決策模型

A.A.Markov基本概念馬爾科夫模型馬爾科夫鏈的穩(wěn)定狀態(tài)適用范圍基本概念狀態(tài)：在一系列的試驗中，某系統(tǒng)出現(xiàn)可列個兩兩互斥的事件E1,E2,…,En,而且一次試驗只出現(xiàn)其中的一個Ei(i=1,2,…,n),則每個Ei就稱為狀態(tài)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)空間：I＝{1,2,…,n}

概率向量與概率矩陣：概率向量用來描述系統(tǒng)在處于某一步時狀態(tài)空間中各狀態(tài)出現(xiàn)的概率。概率矩陣：若A和B是概率矩陣，則A·B也是概率矩陣；若A為概率矩陣，則An也為概率矩陣轉(zhuǎn)移概率和轉(zhuǎn)移概率矩陣：n步轉(zhuǎn)移概率:

n步轉(zhuǎn)移概率矩陣:轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì):P(n)=P(n-1)P(1);P(n)=[P(1)]n

馬爾科夫鏈：如果系統(tǒng)在狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中滿足以下條件，則稱此系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程為馬爾科夫鏈：系統(tǒng)的狀態(tài)空間不變系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣穩(wěn)定系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移僅受前一狀態(tài)的影響(無后效性)經(jīng)過一段較長時期后，系統(tǒng)逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)(系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率保持不變),而與初始狀態(tài)無關(guān)。2,馬爾科夫模型設(shè)共有N個狀態(tài)，系統(tǒng)的初始狀態(tài)(n=0)已知，n步轉(zhuǎn)移概率矩陣P(n)，經(jīng)過n-1步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)i的概率Si(n-1)則系統(tǒng)從初始狀態(tài)起經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移后處在狀態(tài)j的概率為

(n=0,1,2,…;j=1,2,…,N)S(1)=S(0)P(1),…,S(n)=S(0)[P(1)]n3,馬爾科夫鏈的穩(wěn)定狀態(tài)當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時，S(n)=S(n-1)，且怎樣求穩(wěn)定狀態(tài)？系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)時處于各狀態(tài)的概率：4,馬爾科夫模型的適用范圍(1)多個周期或多個觀察時刻(2)動態(tài)系統(tǒng)，即系統(tǒng)所可能達到的狀態(tài)不止一個，而且不同狀態(tài)之間可以轉(zhuǎn)移(3)備選方案的實施影響到系統(tǒng)在不同狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移概率(4)在不同狀態(tài)實施不同的行動方案都伴隨著經(jīng)濟利益的變化，或者贏得利益（報酬函數(shù)為正），或者招致?lián)p失及費用（報酬函數(shù)為負值）所需信息：系統(tǒng)所可能達到的全部不同狀態(tài)系統(tǒng)處于每個狀態(tài)i時可供選用的行動方案的全體根據(jù)長期觀測資料得到的系統(tǒng)在不同狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率(一族條件概率)例R、S、T三家公司生產(chǎn)同一產(chǎn)品。R公司為了擴大市場，計劃開展一個廣告運動?，F(xiàn)在要在兩個廣告方案中選擇一個，R公司先在兩個地區(qū)進行了試驗。已知這兩個地區(qū)該產(chǎn)品的市場占有率均為:R30％，S40％，T30％這兩個地區(qū)用戶的轉(zhuǎn)移矩陣均為：假定地區(qū)1采用廣告方案，地區(qū)2采用廣告方案2，經(jīng)過一段時間后，發(fā)現(xiàn)這兩個地區(qū)用戶的轉(zhuǎn)移矩陣為：如果費用相同，穩(wěn)定狀態(tài)下，R公司應(yīng)選用哪個廣告方案？例3某建筑公司的施工隊長期分布在甲、乙、丙三地。施工所需的大型建筑設(shè)備由公司同一調(diào)配，此大型建筑設(shè)備在三地的轉(zhuǎn)移矩陣已知。若公司欲建設(shè)備修理廠，則應(yīng)建在何處？

處于穩(wěn)定狀態(tài)后，此大型設(shè)備位于三地的概率為：五、隨機模擬及應(yīng)用

隨機模擬簡介隨機數(shù)的產(chǎn)生模擬中的統(tǒng)計問題隨機模擬案例隨機模擬簡介

(Simulation)

模擬是建立系統(tǒng)或決策問題的數(shù)學(xué)或邏輯模型，并以該模型進行試驗，以獲得對系統(tǒng)行為的認識或幫助解決決策問題的過程。什么時候用模擬1，在費用和時間上均難以對風(fēng)險系統(tǒng)進行大量實測；2，由于實際風(fēng)險系統(tǒng)的損失后果嚴(yán)重而不能進行實測；3，難以對復(fù)雜的風(fēng)險系統(tǒng)構(gòu)造精確的解析模型；4，用解析模型不易求解；5，為了對解析模型進行驗證。模擬的類型：蒙特卡洛模擬:估計依若干概率輸入變量而定的結(jié)果的概率分布。用于估計策略變動的風(fēng)險和決策所涉風(fēng)險(MonteCarloSimulation)系統(tǒng)模擬:明晰地建立隨時間推移而出現(xiàn)的事件序列的模型(庫存、排隊、制造和物流處理問題)。隨機模擬例1，某公司裝置了一部新機器，對于修理所用的零件，需要決定準(zhǔn)備幾件。設(shè)備用零件的價格a，由于備用零件缺乏而使機器停工一次所致?lián)p失為b。一年中機器發(fā)生事故的次數(shù)：n1234>5P(n)0.040.010.0010.00020隨機模擬例2，戴夫糖果公司購入價$7.50，售出價$12。2,14后未售出的任何一盒都打5折，且總是容易售出。過去每年的售出盒數(shù)介于40盒和90盒之間，沒有明顯的增加與減少趨勢。問題：訂購多少？利潤表達式模擬模型的輸入量：訂購量Q(決策變量)變動收益和成本(常數(shù))(節(jié)前銷售)需求D(不可控和隨機的)假設(shè)D～對Q＝60進行模擬：i)擲骰子ii)根據(jù)上表確定需求量Diii)由Q＝60，計算利潤iv)記錄利潤；一次實驗完成重復(fù)實驗后，可建立利潤的分布并評估風(fēng)險系統(tǒng)模擬例曼特爾制造公司按適時準(zhǔn)則供應(yīng)各種汽車零部件給一些汽車裝配廠。該公司現(xiàn)收到水泵的新合同。水泵的計劃生產(chǎn)能力:每班100臺。由于客戶裝配作業(yè)的波動性，需求也是波動的，以往的需求為每班80～130臺。為了保持足夠的庫存以滿足適時供應(yīng)承諾的要求，公司管理層正考慮一項策略：當(dāng)庫存降至50臺或更少時增開一班進行生產(chǎn)。在年度預(yù)算編制過程中，要確定究竟會增開多少班次。要模擬時間的推移；庫存水平取決于先前的事件期末庫存＝期初庫存＋產(chǎn)量－需求量模擬過程：建立所研究的系統(tǒng)或問題的理論模型；設(shè)計實驗方法；從一個或多個概率分布中重復(fù)生成隨機數(shù)；分析結(jié)果2隨機數(shù)的產(chǎn)生(1)均勻分布的隨機數(shù)與偽隨機數(shù)產(chǎn)生均勻分布的隨機數(shù)是隨機模擬的基礎(chǔ)，基本思想：隨機數(shù)：0和1之間均勻分布的數(shù)=RAND()要求：

統(tǒng)計特性好:隨機數(shù)具有分布的均勻性，即所得數(shù)列的統(tǒng)計性質(zhì)與從[0,1