第二章 分形分形維數(shù)對復(fù)雜性2012

第二講

研究現(xiàn)狀及基礎(chǔ)理論2009第二章分形維數(shù)對復(fù)雜度的刻劃

20世紀(jì)有四項發(fā)明、發(fā)現(xiàn)足以影響后世：相對論、量子論、分形、混沌；其中，前兩項屬于物理，后兩項屬于數(shù)學(xué)。美國物理學(xué)家約翰·惠勒（J.A.Wheeler）說：“在過去，一個人如果不懂得‘熵’，就不能說是科學(xué)上有教養(yǎng)；在將來，一個人如果不熟悉分形，他就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人?！?/p>

Outline

2.1

引言

2.2

分形學(xué)基礎(chǔ)理論

2.3

基于分形維數(shù)理論的系統(tǒng)復(fù)雜度分析

2.4

機械故障診斷的分形方法

2.5

分形學(xué)在地理信息分析（GIS）中的應(yīng)用

2.6

運用分形方法預(yù)測股市行情

2.7

分形在地震綜合預(yù)報中的應(yīng)用2.1引言

分形是一種具有自相似性的現(xiàn)象、圖像或者物理過程。也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅變小了一些而已。自然界中有許多景物在某種程度上存在這種相似性。如心臟的跳動，變幻莫測的天氣預(yù)報等。從下面的幾張分形照片中可以更好的了解分形的特點：分形的創(chuàng)立時間表(1)曼德勃羅在美國《科學(xué)》雜志上發(fā)表論文《英國的海岸線有多長》震驚學(xué)術(shù)界(1967年)。(2)法蘭西學(xué)院講演報(1973年)。(3)“病態(tài)”“數(shù)學(xué)怪物”命名——分形(Fractal)(1975年)。(4)法文版《分形對象：形、機遇和維數(shù)》出版(1975年)。(5)英文版《分形：形、機遇和維數(shù)》出版(1977年)。(6)英文版《大自然的幾何學(xué)》出版(1982年)。

2.2分形學(xué)基礎(chǔ)一、分形方法論概述（1）分形的概念

1975年，IBM公司的數(shù)學(xué)家B.B.Mandelbrot創(chuàng)造出了“分形（Fractal）”這個新術(shù)語。拉丁語形容詞fractus是其原形。相應(yīng)的拉丁語動詞frangere含有“打破”和“產(chǎn)生不規(guī)則的碎塊”，fractus同樣具有“破碎的”和“不規(guī)則的”含義（Mandelbrot82）。自1982年，Mandelbrot的“TheFractalGeometryofNature”一書出版后，分形的概念就在全世界不脛而走，逐漸廣為人知。為了應(yīng)用方便，1986年，Mandelbrot對分形作了如下描述（Mandelbrot86）：分形是指由各部分組成的形態(tài)，每個部分以某種方式與整體相似。對這一描述加以引伸，它可以包括以下含義：分形可以是幾何圖形，也可以是由“功能”或“信息”架起的數(shù)理模型；分形可以同時具有形態(tài)、功能和信息三方面的自相似性，也可以只有其中某一方面的自相似性；自相似性可以是嚴(yán)格的，也可以是統(tǒng)計意義上的。嚴(yán)格地講，現(xiàn)實中并不存在數(shù)學(xué)意義的嚴(yán)格分形，自然界的大多數(shù)分形都是統(tǒng)計自相似的；相似性有層次結(jié)構(gòu)上的差異。數(shù)學(xué)中的分形具有無限嵌套的層次結(jié)構(gòu)，而現(xiàn)實中的分形只有有限層次的嵌套。只有進入到一定的層次結(jié)構(gòu)以后，才會有分形的規(guī)律（通常是冪律）；相似性有級別（即使用生成元的次數(shù)或放大倍數(shù)）上的差異。級別最高的是整體，最低的稱為0級生成元。級別愈接近，相似性愈顯著；級別相差愈大，則相似性愈差。分形體系是復(fù)雜系統(tǒng)，其復(fù)雜度在一定程度上可用非整數(shù)維描述。復(fù)雜系統(tǒng)有各種不同的類型，其所具有的多樣性需用不同維數(shù)來刻畫。分維數(shù)是刻畫分形集復(fù)雜性的有效工具。參看以下分形圖片：

FractallandscapesIFS迭代產(chǎn)生分形混沌游戲給定平面上三點A,B,C。再任意給定初始點,做下列迭代

當(dāng)擲出的硬幣呈正面當(dāng)擲出的硬幣呈反面當(dāng)擲出的硬幣呈側(cè)面按上述方式迭代數(shù)百次，呈現(xiàn)極不規(guī)則的圖形。故稱為混沌游戲。IFS迭代IFS--IteratedFunctionSystem

取定n個仿射變換以及n個概率任給初值，以概率選取變換進行迭代

則點集的聚點集合稱為一個IFS吸引子。用IFS繪制分形的方法１、設(shè)圖形可視區(qū)域為假設(shè)采用L級灰度的圖像繪制，總迭代次數(shù)為N。２、將V分成的網(wǎng)格，格點為用

表示矩形區(qū)域。用表示在N次迭代中落入中點的個數(shù)。記則象素(i,j)的灰度為IteratedFunctionSystemsIFSfemRealfem50xzoomofIFSfemIteratedFunctionSystemsAffinetransformationValuesofcoefficientsandcorrespondingpResultingfemfor5000,10000,50000iterationsIteratedFunctionSystemsWithoutthefirstlineinthetableoneobtainsthefernwithoutstalkThefirsttwolinesinthetableareresponsibleforthestalkgrowth二、什么是分形維數(shù)無論其起源或構(gòu)造方法如何，所有的分形都具有一個重要的特征：可通過一個特征數(shù)，即分形維數(shù)測定其不平度，復(fù)雜性或卷積度。最早將維數(shù)從整數(shù)推廣到非整數(shù)中去的是豪斯道夫（Hausdorff）和貝西科維奇（Besicovitch）。豪斯道夫于1919年首先提出連續(xù)空間的概念，認(rèn)為空間維數(shù)不是躍變的，而是可以連續(xù)變化的，既可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。而貝西科維奇則證明對任何集合S存在一個實數(shù)D，使得d維測度對d<D為無限大而對d>D為零，這個臨界的D就稱為S的豪斯道夫—貝西科維奇維數(shù)（或稱分形維數(shù)），簡稱分維。分維是定量描寫分形的重要參數(shù)，有多種定義和計算方法。一般地，把一個Df維幾何物體的每維尺寸放大L倍，就得到個原來的幾何對象，令：兩邊取對數(shù)則有：上式中的Df即為豪斯道夫—貝西科維奇維數(shù)的定義。也可以縮小幾何對象來定義分維。把一個Ds維的幾何對象等分成N個小的幾何圖形，則每個小圖形每維縮小為原來的r倍，而N個小圖形的總和應(yīng)為：則有：

r稱為局部與整體的相似比，Ds即稱為相似維數(shù)。

ABCDEFGHIJ1nsizeN(size)Length

log(1/size)log(N)log(L)Dslope20273=b2*c2

=log(1/b2)=log(c2)=log(d2)=(g3-g2)/(f3-f2)=(h3-h2)/(f3-f2)3=a2+1=b2*(1/3)=c2*4

nsizeN(size)Length

log(1/size)log(N)log(L)Dslope027381

-1.43136380.4771211.9084851.261860.261861912108

-0.95424251.0791812.0334241.261860.261862348144

-0.47712131.6812412.1583621.261860.2618631192192

02.2833012.2833011.261860.2618640.333333768256

0.477121252.8853612.408241.261860.2618650.1111113072341.3333

0.954242513.4874212.5331791.261860.2618660.03703712288455.1111

1.431363764.0894812.6581171.261860.2618670.01234649152606.8148

1.908485024.6915412.7830561.261860.2618680.004115196608809.0864

2.385606275.2936012.9079951.261860.2618690.0013727864321078.782

2.862727535.8956613.0329341.261860.26186100.00045731457281438.376

3.339848786.4977213.1578721.261860.26186Hereisachartwithallofthedatafromclasstoday

nsizeN(size)Lengthlog(1/size)log(N)log(L)Dslope027381-1.43136380.4771211.9084851.261860.261861912108-0.95424251.0791812.0334241.261860.261862348144-0.47712131.6812412.1583621.261860.261863119219202.2833012.2833011.261860.2618640.3333337682560.477121252.8853612.408241.261860.2618650.1111113072341.33330.954242513.4874212.5331791.261860.2618660.03703712288455.11111.431363764.0894812.6581171.261860.2618670.01234649152606.81481.908485024.6915412.7830561.261860.2618680.004115196608809.08642.385606275.2936012.9079951.261860.2618690.0013727864321078.7822.862727535.8956613.0329341.261860.26186100.00045731457281438.3763.339848786.4977213.1578721.261860.26186

此外，分維的定義還有盒子(box)維數(shù)、分形子(farcton)維數(shù)、空隙gap維數(shù)和質(zhì)量(mass)維數(shù)等許多種（林鴻益92），它們各自有不同的應(yīng)用，這是由分形的多樣性和自然界的復(fù)雜性所決定的。在此統(tǒng)一給出分維Dq的一般定義：式中為標(biāo)度(Scaling)，是參數(shù)量，是覆蓋幾率，當(dāng)用邊長為的小盒子去覆蓋分形結(jié)構(gòu)時，是分形結(jié)構(gòu)中某點落入小盒子的幾率。當(dāng)取不同值時，表示不同分維。三、分形理論在控制領(lǐng)域中的應(yīng)用及其前景在信息學(xué)科中，分形理論的應(yīng)用主要體現(xiàn)在分形圖象壓縮和計算機圖象生成及處理中（齊東旭93，高勇96，F(xiàn)orte95，Barnsley95等）。若進一步將信息概念擴大，則在地震綜合預(yù)報資料分析及市場經(jīng)濟預(yù)測和股市行情分析中，也常用到分形方法（平建軍93，樊重俊99等）。而在控制領(lǐng)域中的應(yīng)用還非常少見。即使見到，也只是在應(yīng)用混沌同步及控制時順便提一下名詞概念而已。

不過，近年來美國CETYS大學(xué)的PatriciaMelin教授和Tijuana理工學(xué)院計算機系的OscarCastillo教授將分形方法理論具體應(yīng)用到控制領(lǐng)域，取得了一些仿真成果（Castillo97a，Castillo97b，Castillo98，Melin98）。已被應(yīng)用于食品工業(yè)生化反應(yīng)器的控制及機器人動力系統(tǒng)的模型構(gòu)造及模擬中。他們首次利用分?jǐn)?shù)維作為系統(tǒng)特征參數(shù)，通過分類來尋找和選取適合于系統(tǒng)的有效模型。具體選取操作過程中，采用了模糊規(guī)則推理方法等。而他們起初只是將分形方法應(yīng)用到金融時間序列的預(yù)測上（Castillo95，Castillo96）。另外，臺灣的Ching—YuPeng等人（Peng96）從另一個角度，將分形方法應(yīng)用到控制中。具體是用分形分析法來降低時間序列集的大小，并將具有自相似性的規(guī)則合并；同時刪除多余的規(guī)則生成分形規(guī)則集；最后將此分形規(guī)則集同非線性模型預(yù)測控制（NonlinerMPC）結(jié)合起來，完成分形模型控制?？刂菩Ч黠@優(yōu)于PID和普通的NMPC。我們分析這種用分形方法減少規(guī)則的好處在于：由于壓縮后的分形規(guī)則集更“稠密（dense）”于原有規(guī)則集，如當(dāng)原有規(guī)則集數(shù)達(dá)到15000以后，對應(yīng)分形規(guī)則集中規(guī)則個數(shù)則基本保持在52個。因此，實時性很好，且使控制系統(tǒng)更具柔性和適應(yīng)性——對同一對象用原始規(guī)則集的NMPC來控制，系統(tǒng)是發(fā)散或振蕩很厲害，響應(yīng)也慢；而用壓縮后分形規(guī)則集的分形模型來控制，系統(tǒng)是收斂的，且有很強的抗干擾性。

在理論研究方面，我國學(xué)者程代展將分形中的Hausdoff測度引入并應(yīng)用于控制系統(tǒng)。同時，介紹了準(zhǔn)自相似集的新概念，并將計算自相似集的方法推廣到準(zhǔn)自相似集，由此說明控制系統(tǒng)的可達(dá)集具有分?jǐn)?shù)維（程代展93）。因此，應(yīng)用分形幾何學(xué)分析非線性系統(tǒng)的可控性和可觀性，不僅有意義，而且可行。其實，我們從分形的廣義概念及分?jǐn)?shù)維對系統(tǒng)復(fù)雜性刻劃兩方面可知，隨著控制對象復(fù)雜性的不斷提高，分形理論在控制領(lǐng)域中的應(yīng)用將不斷擴大和深入。分形理論在控制領(lǐng)域中的應(yīng)用將有廣闊的前景。譬如，可在以下幾個方面加以應(yīng)用：①利用分形理論來分析具有結(jié)構(gòu)和功能自相似的工程和控制系統(tǒng)目前的DCS、CIMS和CIPS等控制系統(tǒng)都具有這種層次功能上的自相似。尤其是FCS的出現(xiàn)和綜合自動化系統(tǒng)的研究完善，這種整體和局部的自相似關(guān)系更明顯，局部在一定程度上體現(xiàn)了整體的基本精神和主要特征。隨著系統(tǒng)的越來越龐大，子系統(tǒng)不斷地增多，其層次結(jié)構(gòu)越分越細(xì)，系統(tǒng)在具體運行時很容易出現(xiàn)混沌現(xiàn)象（Kompas95）。利用分形方法來化簡和協(xié)調(diào)各組成和功能塊（分形元）之間的聯(lián)系，壓縮不必要的信息，使子系統(tǒng)成為既有獨特性，又有相似性的柔性自治體，從而節(jié)省了許多不必要的信息傳送。

②利用數(shù)據(jù)信息的統(tǒng)計自相似性分析系統(tǒng)復(fù)雜性并建立合適模型這種方法要用到輸入輸出數(shù)據(jù)的時間序列，通過對其進行分形分析得到相應(yīng)的分維數(shù)及其類型，由此可以知道系統(tǒng)內(nèi)部的特征及各變量間的相關(guān)關(guān)系等，再結(jié)合其他建模方法建立或選擇較合適的模型。若系統(tǒng)具有混沌特性，則同時可以用相空間重構(gòu)法來重構(gòu)吸引子。③利用算法自相似可以模擬和仿真被控對象及環(huán)境在系統(tǒng)建模及模型優(yōu)化中，常用到迭代學(xué)習(xí)算法，也就是一種分形結(jié)構(gòu)的算法。一般，復(fù)雜對象內(nèi)部實體具有層次結(jié)構(gòu)，而分形理論正可揭示這一隱藏在其內(nèi)部的精密結(jié)構(gòu)及其自相似的規(guī)律。舉個有趣的例子，如考察序列：F0=1,F1=1，…，F(xiàn)n=Fn-1+Fn-2(n≥2)

則而可見，簡單的連分?jǐn)?shù)可以逼近一個復(fù)雜的無理數(shù)，而連分?jǐn)?shù)本身即具有分形結(jié)構(gòu)。同理，我們可以用一些簡單的分形迭代算法來對一個復(fù)雜系統(tǒng)建模，而用于控制系統(tǒng)中的仿真運算。如可利用的有迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS（IteratedFunctionSystem）以及程序遞歸調(diào)用等。元胞自動機CA及人工生命等也具有這方面特點。④利用輸入輸出對數(shù)據(jù)間的自相似壓縮模型規(guī)則庫簡化控制模型這種方法可稱為分形濾波或分形離散化，經(jīng)分形方法化簡后的規(guī)則庫保留了與原規(guī)則庫的相似性，而刪除了多余的規(guī)則信息。這是用統(tǒng)計方法所無法達(dá)到的。⑤用分形方法分析控制、決策系統(tǒng)

在各控制系統(tǒng)的具體控制中，其不同控制命令的發(fā)出和執(zhí)行在時間軸上不是連續(xù)的，而是有點象康托集（CantorSet）一樣呈分形分布（如圖6.1(a)和(b)）。這一點在模糊規(guī)則控制中更明顯，其控制器發(fā)出的命令可以用一個規(guī)則序列集合來表示。這個集合在具體控制中并不難得到，只要在控制程序中加上記憶規(guī)則調(diào)用一段即可。我們可以用復(fù)雜度不同的時間序列信號（從線性到混沌），加到控制器上得到相應(yīng)的規(guī)則集序列，利用分維值對規(guī)則集進行度量分析來優(yōu)化原規(guī)則庫。從而建立一個具有解決不同復(fù)雜度問題的規(guī)則模型庫（每個模型有自己的規(guī)則庫），進而對分析復(fù)雜系統(tǒng)控制問題提供幫助。此外，還可以將混沌理論、分形理論和其它智能控制及信息處理方法相結(jié)合，用在控制系統(tǒng)的建模、預(yù)測、控制上。(a)Cantor集

(b)控制命令分形分布集圖6.1控制系統(tǒng)中的分形特征返回

四、分形維數(shù)1．容量維數(shù)設(shè)任一集合的有界集合，由直徑為ε的小球（d維小球）去覆蓋A集合。假設(shè)為覆蓋A后的最小覆蓋球，若A是一個D維的流形，則與成反比，即：式中的D即為容量維數(shù)，可寫為Df，可由上式求得。令取極限，則有：容量維數(shù)也稱為盒子維。在考察非規(guī)則曲線（包括動力系統(tǒng)行為曲線）及曲面時，可以把嵌入空間分成邊長為的盒子，并計算出與曲線或曲面相交的盒子數(shù)（如圖3.1）。則這些曲線“長度”或曲面的“面積”滿足：對于直線，指數(shù)-1表示所測系統(tǒng)的維數(shù)為1；而對于平面，其指數(shù)-2即表示系統(tǒng)的維數(shù)為2。Df=1.490圖3.1(a)南中國海海岸線圖3.1(b)Cantor集Df=0.6309102103104101102103104105101loglogN()英國海岸線的分形維數(shù)D=1.25圖3.1(c)UK海岸線LengthchangesasmeasurementtooldoesWhat’sthelengthofNorwaycoastline?圖3.1(d)挪威海岸線What’sthelengthofNorwaycoastline?L()=a1-DD–fractal(Hausdorf)dimensionReferencebook:“Fractals”J.Feder,1988Fractal–isasetwithfractal(Hausdorf)dimensiongreaterthanitstopologicaldimensionBox-countingmethodIfN()1/d

at0同理，對于圖3.1所示的海岸線，屬于不規(guī)則分形集，它滿足，因此，D即為系統(tǒng)分維。此間的D可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。對于規(guī)則分形集，如圖3.1(b)所示的Cantor集，它是通過每次去掉一個單位區(qū)間線段的之間三分之一，然后再去掉余下兩段的中間三分之一，如此反復(fù)迭代生成的。如果我們對迭代到第k步的Cantor集，選用線段進行覆蓋，則可得到覆蓋數(shù)為。根據(jù)定義，我們可得其分維Df為：2．信息維數(shù)容量維數(shù)只考慮了所需—覆蓋的個數(shù)，而沒有考慮每個球覆蓋中所含分形集元素的多少。而信息維說明了每個覆蓋訪問特定軌跡的相對頻率，對于在球覆蓋下，同樣有個覆蓋的信息分維DI，其定義為：其中：式中pi為分形集元素屬于第i個覆蓋概率。在信息論中，是信息熵的表達(dá)式。在等概率的情況下，信息維數(shù)DI=Df。事實上，在實際生活中有許多記錄曲線，其本身就是時間序列的一種表征形式。如人的心電圖、腦電圖，以及由實驗室得到的各種函數(shù)的仿真曲線與工業(yè)過程輸出變量的實時數(shù)據(jù)曲線等。這些曲線的特點是：采樣時間間隔Δt相對于該系統(tǒng)或該變量來說，都是一個足夠小的值，因而使這些數(shù)據(jù)對于觀察者來說，是“連續(xù)”的時間序列，具有“可讀性”。因此，我們可以用這樣的時間序列記錄曲線（連續(xù)的時間序列，Δt足夠?。﹣碜鳛闀r間序列樣本進行分析。

M-GChaotic Df=1.740

時間序列的分形計算方法Higuchi

第一次計數(shù)。小正方形的尺度為1。注意圖中的小圓點為原始數(shù)據(jù)，而陰影方格是為了保持圖像的連續(xù)性，也要參與計數(shù)，這兩者之和即為當(dāng)Blocksize=1的時候計數(shù)的結(jié)果。

第二次計數(shù)，注意小正方形的尺度為2，這時，所需要的正方形的數(shù)目已經(jīng)大大減少了。陰影部分同樣是為了維持圖像的連續(xù)性而加入計數(shù)的。同理，這是第三次計數(shù)的過程：維數(shù)計算：

通過計數(shù)，我們得到了一系列的關(guān)于正方形尺度L對于所需要的正方形個數(shù)N(L)的關(guān)系。根據(jù)維數(shù)的定義。我們將Log(L)作為橫坐標(biāo)，將LogN(L)作為縱坐標(biāo)，作出函數(shù)圖像：圖像斜率的相反數(shù)即為分形維數(shù)以下是程序運行截圖:以下是使用舉例：計算結(jié)果如下：Whitenoise Df=1.412

圖3.3部分序列曲線及其回歸結(jié)果3.相關(guān)維數(shù)現(xiàn)在提出另一個重要的維數(shù)概念——相關(guān)維數(shù)DR（也稱關(guān)聯(lián)維數(shù)）。關(guān)聯(lián)維數(shù)DR常被用于相空間重中，F(xiàn).Takens在論文“Detectingstrangeattractorsinturbulence”中給出了相空間重構(gòu)數(shù)學(xué)方法。設(shè)時間序列，若其內(nèi)部某兩點之間的距離為，其關(guān)聯(lián)函數(shù)為，則關(guān)聯(lián)維數(shù)為：式中，其中，H(s)是Heaviside函數(shù)（Parker89），H(s)=1，當(dāng)S>0；

H(s)=0，當(dāng)S<0。相關(guān)維數(shù)的數(shù)值計算方法如下：由式可知，DR的值是對的雙對數(shù)的斜率。只要給定一個，即可估計出的值。由此我們可以通過計算所有內(nèi)部點的距離，并計算出所有滿足的個數(shù)，由算式求得。最后我們對由有效個與組成的數(shù)據(jù)對取雙對數(shù)，再進行最小二乘線性擬合，即可求出所ln(ε/ε0)lnC(ε)需的DR值。這里，我們在具體編程時可用來表示一系列。對任一時間序列，可得到和，使得為最小度量時間序列的距離，為最大度量距離（如圖3.4）。ln(ε/ε0)lnC(ε)關(guān)聯(lián)維數(shù)SomeFractals

andFractalDimensionsTheCantorset:wetakealinesegment,andremovethemiddlethird.Foreachremainingpiece,weagainremovethemiddlethird,andcontinueindefinitely.Tocalculatethefractal/Hausdorff/capacity/box-countingdimension,weseehowmanyboxes(circles)ofdiameter1/r^nweneedtocovertheset(inthiscase,wewilluser=3,sinceitfitsnicely).D=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(2)/log(3)rNr111/321/3^22^21/3^32^31/3^n2^nTheKochsnowflake:Westartwithanequilateraltriangle.Weduplicatethemiddlethirdofeachside,formingasmallerequilateraltriangle.Werepeattheprocess.Tocalculatethefractal/Hausdorff/capacity/box-countingdimension,weagainseehowmanyboxes(circles)ofdiameter(again)1/3^nweneedtocovertheset.D=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(4)/log(3)rNr131/33*41/3^23*4^21/3^33*4^31/3^n3*4^nTheSierpinskicarpet:Westartwithasquare.Weremovethemiddlesquarewithsideonethird.Foreachoftheremainingsquaresofsideonethird,removethecentralsquare.Werepeattheprocess.D=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(8)/log(3)rNr111/381/3^28^21/3^38^31/3^n8^nTheSierpinskigasket:wedoasimilarprocesswithanequilateraltriangle,removingacentraltriangle.(Note:wecouldalsodoasimilarthingtakingcubesoutofalargercube--theSierpinskisponge--butit’shardtodraw:-)D=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(3)/log(2)rNr111/231/2^23^21/2^33^31/2^n3^nWecanalsoremoveothershapes.D=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(4)/log(4)=1rNr111/441/4^24^21/4^34^31/4^n4^nD=Lim(log(Nr)/log(1/r))

=log(3)/log(3)=1rNr111/331/3^23^21/3^33^31/3^n3^n2.3分形維數(shù)對于復(fù)雜度的判斷分形維數(shù)對于復(fù)雜度的判斷圖一圖二圖一的計算結(jié)果：分形維數(shù)是：1.008879圖二的計算結(jié)果分形維數(shù)是：1.60504我們可以從圖像上很清楚地看出，圖二的復(fù)雜程度要遠(yuǎn)勝于圖一，這一點，在我們計算出的分形維數(shù)上得到了良好的驗證視覺直觀判斷的誤差：這是一個很有趣的例子，所用的圖像仍然是前面我們接觸過的混沌時間序列，是不是覺得這幅圖像的復(fù)雜程度比前面的兩幅圖像要更厲害呢？程序計算出的分形維數(shù)如上圖，分形維數(shù)是1.044622，比前面兩張圖更小，而我們又覺得這張圖的復(fù)雜程度是更大的。那么，到底是我們?nèi)搜鄣腻e覺，還是程序算法的問題呢？？回到這張圖，請注意圖像底部橫軸的時間跨度，在短短的橫軸上，竟然跨越了1200個時間點，這相當(dāng)于橫軸被劇烈地壓縮了。那么，如果我們將橫軸放大一定的尺度，結(jié)果會是什么樣子呢？這張圖是上圖的橫坐標(biāo)進行相當(dāng)程度的放大后所得到的圖像，也就是上一張圖的一個局部放大圖。我們可以很清楚地看出，此圖的規(guī)則程度相當(dāng)好，所以，它的分形維數(shù)比較小也就不奇怪了。我們現(xiàn)在可以肯定，剛才的疑惑，使我們眼睛的錯覺，看來分形不但可以用數(shù)學(xué)方法來表述自然語言的描述，更可以避免人眼直觀判斷所帶來的錯覺Dim=1.04622另一個例子：這幅圖可以代表很多實際情況，我們清楚地看出，這幅圖分為兩個部分，以100左右為分界點。它可以看成是某個設(shè)備從正常運行到發(fā)生故障或者是意外情況的一個時間序列。100以前的點是正常運行的情況，而100以后則是出了意外的情況。我們分段計算這張圖的分形維數(shù)時間段分形維數(shù)0~321.02053933~651.01179868~981.02032999~1311.573678時間段分形維數(shù)0~321.02053933~651.01179868~981.02032999~1311.573678我們可以看到，在故障時間段，分形維數(shù)有著急劇地增長。因此，只要長期以分形維數(shù)為指標(biāo)來跟蹤一個系統(tǒng)，就可以很靈敏地發(fā)現(xiàn)很多不正常的運行狀態(tài)。分形維數(shù)與預(yù)測精確程度的關(guān)系我們已經(jīng)知道，分形維數(shù)可以反映曲線的不規(guī)則程度，而對于有隨機因素的曲線，不規(guī)則程度越大，預(yù)測的誤差也就越大，關(guān)于分形維數(shù)與預(yù)測精確度，存在如下關(guān)系：此圖摘錄自國外文獻(xiàn)資料下面舉兩個更有實際意義的例子來說明分形在時間序列預(yù)測上的重要意義，這兩個時間序列皆由C程序生成。例一：關(guān)鍵代碼：for(inti=0;i<1000;i++) { out<<i<<""; out<<i+rand()%100-50<<endl; }此代碼產(chǎn)生的是一個隨時間線性增長，但是又有一個均值為零的隨機擾動的時間序列如果需要給這幅圖一段描述性的文字，我想大致可以這樣說：在短期內(nèi)局勢動蕩不安，在長期內(nèi)長勢看好，總體來說，是在曲折中前進。實際生活中，這樣的例子很多。社會主義不也是在曲折中前進的嗎？DIM=???根據(jù)這幅時間序列圖像，下列的自然語言描述應(yīng)該可以認(rèn)為是合理的：關(guān)于預(yù)測方面，短期內(nèi)動蕩不安，預(yù)測難度較大，但長期內(nèi)總體走勢趨于線性增長，因此作長期預(yù)測較為合理。我們要使用維數(shù)來驗證這些描述運行參數(shù)：橫向無壓縮計算文件中所有數(shù)據(jù)運行結(jié)果：分形維數(shù)是1.593908這些數(shù)據(jù)貌似沒有說服力，不能驗證剛才的描述？改變運行參數(shù)，再來一遍！橫向壓縮比分形維數(shù)11.593908101.340607201.148541301.057820橫向壓縮比分形維數(shù)11.593908101.340607201.148541301.057820我們可以看出，分形維數(shù)隨著橫向壓縮比的增加而下降。對坐標(biāo)進行橫向壓縮，也就是將橫坐標(biāo)的單位尺度變大，亦即：

Y(t)=X(t*k)k即為橫向壓縮比X(t)為原始時間序列，Y（t）為壓縮后時間序列對橫坐標(biāo)的壓縮，相當(dāng)于細(xì)化局部，強化整體，細(xì)化短期，突出長期而維數(shù)的隨之下降，也就很好的說明了時間序列在長期的走勢是穩(wěn)定的，盡管在短期內(nèi)是比較混亂的。這樣就很好的驗證了我們的自然語言描述例二：關(guān)鍵代碼：intran;intlast=0;for(inti=0;i<1000;) { ran=rand()%20+1; if(ran%2==0) { for(intj=0;j<ran;j++) { out<<i<<""<<last+1<<endl; last++; i++; } } else { for(intj=0;j<ran;j++) { out<<i<<""<<last-1<<endl; last--; i++; } } }此代碼所產(chǎn)生的時間序列在短時間內(nèi)可保持穩(wěn)定的上升或者下降，但是在長期內(nèi)卻飄忽不定，這個特點在它的圖像上可以明顯反映出來：長期走勢上圖的一個局部放大：短期走勢維數(shù)計算如下：橫向壓縮比分形維數(shù)11.095959101.280172201.408911橫向壓縮比分形維數(shù)11.095959101.280172201.408911由上表可以看出，隨著橫向壓縮比的增加，亦即隨著宏觀特征的逐步體現(xiàn)亦即局部特征的逐步衰退，分形維數(shù)是隨之上升的，也就是說圖像的不規(guī)則性是逐漸上升的。這就和我們前面所描述的：圖像在短期內(nèi)走勢穩(wěn)定，但是在長期內(nèi)飄忽不定達(dá)成了很好的一致。2.4運用分形方法分析股票市場

用波浪理論來分析股市，除了需懂得波浪理論的種種規(guī)則以外，最重要的就是提高數(shù)浪的準(zhǔn)確性。而提高數(shù)浪準(zhǔn)確性，歸根到底，就是如何界定與劃分波浪：從哪里到哪里可算一個浪，從哪里到哪里不能算一個浪；哪些是同一級別的浪，哪些不是。這就需要我們對走勢進行適當(dāng)?shù)倪^濾。只有過濾掉一些次級波動，才能清楚地看出市勢輪廊，從而把同一等級的浪數(shù)清楚。有三種方法可幫我們過濾。一種是取周、月、甚至季、年收盤價，它們可分別過濾掉日線、周線和月線、季線上的波動，使走勢輪廊變得相對簡潔；一種是均線，不同長度的均線可過濾掉不同級別的波動；還有一種就是分形，前兩種方法筆者過去已作過多次論述，這里介紹分形。分形的基本條件和檢驗方法所謂分形，就是通過K線組合來界定浪形。一個分形最少由5條K線組成，其中向上的分形代表一個向上的波浪，它的組合情況是：中間一條K線的低點處于最低位置，稱之為分形零點；左右各有2條以上K線，它們的低點都高于中間這條K線的低點，至于最高點是否高于中間這條K線，那就不管了。如果無法滿足這一條件，這個分形便不能成立。而向下的分形正好相反。中間1條K線的高點是最高的(分形零點)；左右各2條以上的K線，其最高價都比中間這條低，否則也不能算是一個向下的分形。

一段完整的波浪，應(yīng)同時具有一個向上的分形和一個向下的分形，否則就只能算作次一級子浪。如1996年7、8、9月的894點到752點，在月線上就不能算作一個浪，因為894點的右邊只有1條K線的高點高于894點。同樣，12月的1258點至8