2023年數(shù)列的極限知識點方法技巧例題附答案和作業(yè)題

數(shù)列的極限一、知識要點１數(shù)列極限的定義：一般地,假如當項數(shù)無限增大時,無窮數(shù)列的項無限趨近于某個常數(shù)(即|aｎ-ａ|無限地接近于0),那么就說數(shù)列認為極限記作．（注：ａ不一定是｛an}中的項）２幾個重要極限：（１)（2）（C是常數(shù))(3)(4)３.數(shù)列極限的運算法則:假如那么4.無窮等比數(shù)列的各項和⑴公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前ｎ項的和，當ｎ無限增大時的極限,叫做這個無窮等比數(shù)列各項的和，記做⑵二、方法與技巧⑴只有無窮數(shù)列才也許有極限,有限數(shù)列無極限．⑵運用數(shù)列極限的運算法則求數(shù)列極限應注意法則適應的前提條件.（參與運算的數(shù)列都有極限,運算法則適應有限個數(shù)列情形)⑶求數(shù)列極限最后往往轉化為或型的極限.⑷求極限的常用方法:①分子、分母同時除以或.②求和(或積）的極限一般先求和(或積)再求極限.③運用已知數(shù)列極限（如等）.④含參數(shù)問題應對參數(shù)進行分類討論求極限．⑤∞-∞,,0-0，等形式，必須先化簡成可求極限的類型再用四則運算求極限題型講解例1求下列式子的極限：①;②；③；④;（２）（-n)；(3）(＋+…+)例2的（）Ａ充足必要條件B充足不必要條件C必要不充足條件Ｄ既不充足又不必要條件例3數(shù)列{aｎ}和｛bn}都是公差不為0的等差數(shù)列,且=3,求的值為求（a>0）;已知,求實數(shù)ａ,b的值;已知等比數(shù)列{ａｎ}的首項為a1，公比為q,且有（－qn)=,求a１的取值范圍例7已知數(shù)列{aｎ}是由正數(shù)構成的數(shù)列，ａ１＝3，且滿足lｇan=lgａn－1+lgc，其中n是大于1的整數(shù),c是正數(shù).(1）求數(shù)列｛aｎ}的通項公式及前n和Sn；(2)求的值.數(shù)列極限課后檢測1下列極限對的的個數(shù)是（）①=0（α>0）②ｑn=０③＝－1④C=C（C為常數(shù))A2? ?B３C４D都不對的3下列四個命題中對的的是(）A若aｎ２＝A2，則ａn=AB若ａn>0,an＝A,則A>０C若aｎ＝Ａ，則an2=A2Ｄ若（aｎ-b)=0，則an=bn５若數(shù)列{aｎ}的通項公式是aｎ=,ｎ=1,2,…,則（a1+a2+…+ａｎ）等于（）ＡBCD6數(shù)列{an｝中,的極限存在,a1=,an+an＋1=，n∈N＊,則(a1+ａ2+…+ａn）等于()ＡＢCD7．=_＿_＿＿___＿_=_____＿______［n（1－)（1-）(1－)…（１-）］=8已知a、b、c是實常數(shù),且=2,=3,則的值是（)９{an}中a1=3，且對任意大于1的正整數(shù)n,點（,）在直線x-y－＝０上，則=______＿＿__＿__１０等比數(shù)列{ａn}公比q=-,且（a1＋a3+ａ5+…＋ａ２ｎ－1）=,則a1=_＿_____＿____＿11已知數(shù)列{ａn｝滿足（ｎ-1)an+1=(ｎ＋1）（an-１）且a２=６,設bｎ=an＋n（ｎ∈N*）（1)求｛bn}的通項公式;（2）求（+＋+…+)的值12已知｛an}、{bｎ}都是無窮等差數(shù)列,其中a1=3,ｂ1=2，ｂ2是a2與ａ3的等差中項,且=,求極限(++…+）的值例題解析答案例１分析:①的分子有界,分可以無限增大,因此極限為0；②的分子次數(shù)等于分母次數(shù)，極限為兩首項（最高項）系數(shù)之比;③的分子次數(shù)小于于分母次數(shù),極限為0解：①；②;③點評：分子次數(shù)高于分母次數(shù),極限不存在;分析：(4）由于分子分母都無極限,故不能直接運用商的極限運算法則，可通過變形分子分母同除以n２后再求極限；（５）因與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限;（6)由于極限的運算法則只合用于有限個數(shù)列,需先求和再求極限解:（1）==(2）（－n)===（3）原式===（1+）＝１點評:對于（１)要避免下面兩種錯誤：①原式===1，②∵（2n2+ｎ＋7）,(５n2+７)不存在，∴原式無極限對于(2）要避免出現(xiàn)下面兩種錯誤:①(－n）=-n=∞－∞＝0;②原式=－n=∞-∞不存在對于（3）要避免出現(xiàn)原式=＋+…+=0＋０+…+0=０這樣的錯誤例２Ｂ例３數(shù)列{aｎ}和｛bn}都是公差不為０的等差數(shù)列,且＝３,求的值為解：由＝3ｄ１=3d2,∴=＝點評:化歸思想例４求（a>０）；解:=點評:注意分類討論例５已知，求實數(shù)a,b的值；解:＝１，∴a=1,b=─1例6已知等比數(shù)列{an}的首項為a１,公比為q，且有（－qn）=,求ａ1的取值范圍解:（-qn)=,∴qn一定存在∴0<|q|＜1或ｑ=1當q=1時,-1=,∴a1=3當0＜|q|<1時，由（－ｑn）＝得=,∴２a1-1=ｑ∴０<｜2a1-１｜<１∴0＜a１<１且a1≠綜上,得0＜a1＜1且a１≠或a１＝3例7已知數(shù)列｛an}是由正數(shù)構成的數(shù)列,a1＝3，且滿足ｌgan=lgan-1+lgc，其中ｎ是大于1的整數(shù),c是正數(shù)．（１)求數(shù)列{an}的通項公式及前ｎ和Sn；(2）求的值．解:（1)由已知得an=c·ａn－１,∴｛an｝是以a１=３,公比為c的等比數(shù)列,則ａｎ＝3·ｃn－1∴Sn=（２)＝①當c=2時,原式＝－；②當ｃ>2時，原式＝=-;③當0＜ｃ<２時,原式=＝點評:求數(shù)列極限時要注意分類討論思想的應用試卷解析1答案:Ｂ3解析:排除法,取ａn＝(－１）ｎ,排除Ａ；取an＝,排除B；取an=ｂn=n,排除D．答案:C５解析:ａn=即aｎ=∴a１+a2+…+an=（2－1+2－3＋2-５+…）+(３－2+３－4+3-6+…）∴(a１+a2＋…+aｎ）=＋＝答案:C6解析:2（a１+a２+…+an）=ａ1+[(ａ1+ａ2)+(a2＋a3)+（a3+a4）+…+(ａn-１+an）]+an=+［++…+]+an∴原式=[++an］＝(++an)∵aｎ+an+１=,∴an+ａn+1=0∴aｎ=０答案:C7解析：原式＝=＝0=＝解析：[ｎ（1－)（1-）（1－)…（１－）]＝［n××××…×]＝=2答案:C8解析:答案:D由＝2,得a=2ｂ由=3,得b=3c,∴c=b∴=6∴===6９析:由題意得－=(n≥2）∴｛}是公差為的等差數(shù)列,＝∴=＋(ｎ-１）·=n∴ａn=3n２∴=＝＝３10析:∵q=-,∴(ａ1+ａ３+a５+…+a2n-1)==∴a1=２１1解:（１）ｎ=1時,由（ｎ-１)an＋1=(n+１）（an-1),得ａ1=1n=2時,a2=6代入得a3=15同理a4=2８,再代入bn=ａn+n,有b1=2,b2=８，b3＝18,b４=32,由此猜想bn=２n２要證bｎ＝２n2,只需證an=2n2-n①當ｎ＝１時,ａ1=2×1２-1=1成立②假設當n＝ｋ時,ak＝2k２-k成立那么當n=k+1時，由（k-1)ak+１＝（ｋ+1)（ak-1),得aｋ+1＝(ａk－1)=（2k2-ｋ-1）＝（2ｋ＋1）(k-1）＝(k+1）(2ｋ+1)=2（k+1）２－（k+１)∴當n＝k+1時,an＝２ｎ２-n對的,從而bｎ=２n2（2)(++…+）＝（+＋…＋）=［++…+]=