2023年數(shù)列的極限知識(shí)點(diǎn)方法技巧例題附答案和作業(yè)題

數(shù)列的極限一、知識(shí)要點(diǎn)１數(shù)列極限的定義：一般地,假如當(dāng)項(xiàng)數(shù)無(wú)限增大時(shí),無(wú)窮數(shù)列的項(xiàng)無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)(即|aｎ-ａ|無(wú)限地接近于0),那么就說(shuō)數(shù)列認(rèn)為極限記作．（注：ａ不一定是｛an}中的項(xiàng)）２幾個(gè)重要極限：（１)（2）（C是常數(shù))(3)(4)３.數(shù)列極限的運(yùn)算法則:假如那么4.無(wú)窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和⑴公比的絕對(duì)值小于1的無(wú)窮等比數(shù)列前ｎ項(xiàng)的和，當(dāng)ｎ無(wú)限增大時(shí)的極限,叫做這個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，記做⑵二、方法與技巧⑴只有無(wú)窮數(shù)列才也許有極限,有限數(shù)列無(wú)極限．⑵運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求數(shù)列極限應(yīng)注意法則適應(yīng)的前提條件.（參與運(yùn)算的數(shù)列都有極限,運(yùn)算法則適應(yīng)有限個(gè)數(shù)列情形)⑶求數(shù)列極限最后往往轉(zhuǎn)化為或型的極限.⑷求極限的常用方法:①分子、分母同時(shí)除以或.②求和(或積）的極限一般先求和(或積)再求極限.③運(yùn)用已知數(shù)列極限（如等）.④含參數(shù)問(wèn)題應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論求極限．⑤∞-∞,,0-0，等形式，必須先化簡(jiǎn)成可求極限的類型再用四則運(yùn)算求極限題型講解例1求下列式子的極限：①;②；③；④;（２）（-n)；(3）(＋+…+)例2的（）Ａ充足必要條件B充足不必要條件C必要不充足條件Ｄ既不充足又不必要條件例3數(shù)列{aｎ}和｛bn}都是公差不為0的等差數(shù)列,且=3,求的值為求（a>0）;已知,求實(shí)數(shù)ａ,b的值;已知等比數(shù)列{ａｎ}的首項(xiàng)為a1，公比為q,且有（－qn)=,求a１的取值范圍例7已知數(shù)列{aｎ}是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，ａ１＝3，且滿足lｇan=lgａn－1+lgc，其中n是大于1的整數(shù),c是正數(shù).(1）求數(shù)列｛aｎ}的通項(xiàng)公式及前n和Sn；(2)求的值.數(shù)列極限課后檢測(cè)1下列極限對(duì)的的個(gè)數(shù)是（）①=0（α>0）②ｑn=０③＝－1④C=C（C為常數(shù))A2? ?B３C４D都不對(duì)的3下列四個(gè)命題中對(duì)的的是(）A若aｎ２＝A2，則ａn=AB若ａn>0,an＝A,則A>０C若aｎ＝Ａ，則an2=A2Ｄ若（aｎ-b)=0，則an=bn５若數(shù)列{aｎ}的通項(xiàng)公式是aｎ=,ｎ=1,2,…,則（a1+a2+…+ａｎ）等于（）ＡBCD6數(shù)列{an｝中,的極限存在,a1=,an+an＋1=，n∈N＊,則(a1+ａ2+…+ａn）等于()ＡＢCD7．=_＿_(dá)＿＿_(dá)__＿_(dá)=_____＿_(dá)_____［n（1－)（1-）(1－)…（１-）］=8已知a、b、c是實(shí)常數(shù),且=2,=3,則的值是（)９{an}中a1=3，且對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,點(diǎn)（,）在直線x-y－＝０上，則=______＿＿_(dá)_＿_(dá)_１０等比數(shù)列{ａn}公比q=-,且（a1＋a3+ａ5+…＋ａ２ｎ－1）=,則a1=_＿_(dá)____＿_(dá)___＿11已知數(shù)列{ａn｝滿足（ｎ-1)an+1=(ｎ＋1）（an-１）且a２=６,設(shè)bｎ=an＋n（ｎ∈N*）（1)求｛bn}的通項(xiàng)公式;（2）求（+＋+…+)的值12已知｛an}、{bｎ}都是無(wú)窮等差數(shù)列,其中a1=3,ｂ1=2，ｂ2是a2與ａ3的等差中項(xiàng),且=,求極限(++…+）的值例題解析答案例１分析:①的分子有界,分可以無(wú)限增大,因此極限為0；②的分子次數(shù)等于分母次數(shù)，極限為兩首項(xiàng)（最高項(xiàng)）系數(shù)之比;③的分子次數(shù)小于于分母次數(shù),極限為0解：①；②;③點(diǎn)評(píng)：分子次數(shù)高于分母次數(shù),極限不存在;分析：(4）由于分子分母都無(wú)極限,故不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，可通過(guò)變形分子分母同除以n２后再求極限；（５）因與n都沒(méi)有極限，可先分子有理化再求極限;（6)由于極限的運(yùn)算法則只合用于有限個(gè)數(shù)列,需先求和再求極限解:（1）==(2）（－n)===（3）原式===（1+）＝１點(diǎn)評(píng):對(duì)于（１)要避免下面兩種錯(cuò)誤：①原式===1，②∵（2n2+ｎ＋7）,(５n2+７)不存在，∴原式無(wú)極限對(duì)于(2）要避免出現(xiàn)下面兩種錯(cuò)誤:①(－n）=-n=∞－∞＝0;②原式=－n=∞-∞不存在對(duì)于（3）要避免出現(xiàn)原式=＋+…+=0＋０+…+0=０這樣的錯(cuò)誤例２Ｂ例３數(shù)列{aｎ}和｛bn}都是公差不為０的等差數(shù)列,且＝３,求的值為解：由＝3ｄ１=3d2,∴=＝點(diǎn)評(píng):化歸思想例４求（a>０）；解:=點(diǎn)評(píng):注意分類討論例５已知，求實(shí)數(shù)a,b的值；解:＝１，∴a=1,b=─1例6已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a１,公比為q，且有（－qn）=,求ａ1的取值范圍解:（-qn)=,∴qn一定存在∴0<|q|＜1或ｑ=1當(dāng)q=1時(shí),-1=,∴a1=3當(dāng)0＜|q|<1時(shí)，由（－ｑn）＝得=,∴２a1-1=ｑ∴０<｜2a1-１｜<１∴0＜a１<１且a1≠綜上,得0＜a1＜1且a１≠或a１＝3例7已知數(shù)列｛an}是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列,a1＝3，且滿足ｌgan=lgan-1+lgc，其中ｎ是大于1的整數(shù),c是正數(shù)．（１)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前ｎ和Sn；(2）求的值．解:（1)由已知得an=c·ａn－１,∴｛an｝是以a１=３,公比為c的等比數(shù)列,則ａｎ＝3·ｃn－1∴Sn=（２)＝①當(dāng)c=2時(shí),原式＝－；②當(dāng)ｃ>2時(shí)，原式＝=-;③當(dāng)0＜ｃ<２時(shí),原式=＝點(diǎn)評(píng):求數(shù)列極限時(shí)要注意分類討論思想的應(yīng)用試卷解析1答案:Ｂ3解析:排除法,?。醤＝(－１）ｎ,排除Ａ；取an＝,排除B；取an=ｂn=n,排除D．答案:C５解析:ａn=即aｎ=∴a１+a2+…+an=（2－1+2－3＋2-５+…）+(３－2+３－4+3-6+…）∴(a１+a2＋…+aｎ）=＋＝答案:C6解析:2（a１+a２+…+an）=ａ1+[(ａ1+ａ2)+(a2＋a3)+（a3+a4）+…+(ａn-１+an）]+an=+［++…+]+an∴原式=[++an］＝(++an)∵aｎ+an+１=,∴an+ａn+1=0∴aｎ=０答案:C7解析：原式＝=＝0=＝解析：[ｎ（1－)（1-）（1－)…（１－）]＝［n××××…×]＝=2答案:C8解析:答案:D由＝2,得a=2ｂ由=3,得b=3c,∴c=b∴=6∴===6９析:由題意得－=(n≥2）∴｛}是公差為的等差數(shù)列,＝∴=＋(ｎ-１）·=n∴ａn=3n２∴=＝＝３10析:∵q=-,∴(ａ1+ａ３+a５+…+a2n-1)==∴a1=２１1解:（１）ｎ=1時(shí),由（ｎ-１)an＋1=(n+１）（an-1),得ａ1=1n=2時(shí),a2=6代入得a3=15同理a4=2８,再代入bn=ａn+n,有b1=2,b2=８，b3＝18,b４=32,由此猜想bn=２n２要證bｎ＝２n2,只需證an=2n2-n①當(dāng)ｎ＝１時(shí),ａ1=2×1２-1=1成立②假設(shè)當(dāng)n＝ｋ時(shí),ak＝2k２-k成立那么當(dāng)n=k+1時(shí)，由（k-1)ak+１＝（ｋ+1)（ak-1),得aｋ+1＝(ａk－1)=（2k2-ｋ-1）＝（2ｋ＋1）(k-1）＝(k+1）(2ｋ+1)=2（k+1）２－（k+１)∴當(dāng)n＝k+1時(shí),an＝２ｎ２-n對(duì)的,從而bｎ=２n2（2)(++…+）＝（+＋…＋）=［++…+]=