中考數(shù)學試題分類匯總《尺規(guī)作圖》練習題

第第頁中考數(shù)學試題分類匯總《尺規(guī)作圖》練習題（含答案）作角平分線1．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通過觀察尺規(guī)作圖的痕跡，∠DAE的度數(shù)是35°．【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求得∠BAD＝30°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出∠CAD，根據(jù)角平分線的定義即可求出∠DAE的度數(shù)．【解答】解：∵DF垂直平分線段AB，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝30°，∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣30°＝70°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE＝∠CAD＝×70°＝35°，2．如圖，在△ABC中，∠ABC＞∠ACB．（1）尺規(guī)作圖：在∠ABC的內(nèi)部作射線BD，交AC于E，使得∠ABE＝∠ACB；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若（1）中AB＝7，AC＝13，求AE的長．【解答】解：（1）如圖，射線BE即為所求作．（2）∵∠A＝∠A，∠ABE＝∠C，∴△ABE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AE＝．3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°．（1）求作：射線AD，使它平分∠BAC交BC于點D（請用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求點D到AB的距離．【分析】（1）是基本作圖，利用直尺和圓規(guī)即可作出；（2）過點D作DE⊥AB于E．根據(jù)BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，可得DC，進而即可求點D到邊AB的距離．【解答】解：（1）如圖所示：（2）過點D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE，∵BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．∴DE＝DC＝2.6cm．∴點D到AB的距離為2.6cm．4．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，點E是AC的中點，且AC＝AD．（1）尺規(guī)作圖：作∠CAD的平分線AF，交CD于點F，連接EF，BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，AC＝2．判斷△BEF的形狀，并說明理由，再求出其面積．【解答】解：（1）如圖所示：∠CAD的平分線AF即為所求；（2）△BEF是等邊三角形；理由如下：∵∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，∴∠BAC＝∠FAC＝∠DAF＝15°，∴∠BAF＝30°，∵AC＝AD，AF是∠CAD的平分線，∴AF⊥CD，∵點E是AC的中點，∴EF＝AC＝1，∵∠ABC＝90°，∴BE＝AC＝1，∴BE＝EF，∠BEC＝∠BAE+∠ABE＝2∠BAE＝30°，∠FEC＝∠FAE+∠AFE＝2∠FAE＝30°，∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等邊三角形；S△BEF＝×12＝．5．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）尺規(guī)作圖：作∠A的角平分線AP交BC于點P；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）所作的圖中，若AC＝5，BC＝12，求CP的長．【解答】解：（1）如圖，AP即為所求；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°．∵AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13，過點P作PD⊥AB于點D，∵AP是∠CAB的平分線，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PC＝PD，在Rt△APC和Rt△APD中，，∴Rt△APC≌Rt△APD（HL），∴AC＝AD＝5，∴BD＝AB﹣AD＝13﹣5＝8，∵BP＝BC﹣CP＝12﹣CP，在Rt△PBD中，根據(jù)勾股定理得PB2＝PD2+BD2，∴（12﹣CP）2＝CP2+82，∴CP＝．作一個角等于另一個角6．如圖，在△ABC中，∠ABC＞∠C．（1）用直尺和圓規(guī)在∠ABC的內(nèi)部作射線BM，使∠ABM＝∠ACB（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若（1）中的射線BM交AC于D，AB＝4，AC＝6，求CD長．【分析】（1）利用基本作圖（作一個角等于已知角）作∠ABM＝∠ACB即可；（2）先證明△ABD∽△ACB，利用相似比求出AD，然后計算AC﹣AD即可．【解答】解：（1）如圖，BM為所作；（2）∵∠ABD＝∠C，∠BAD＝∠CAB，∴△ABD∽△ACB，∴AB：AC＝AD：AB，即4：6＝AD：4，∴AD＝，∴CD＝AC﹣AD＝6﹣＝．7．觀察用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖，能得出∠CPD＝∠AOB的依據(jù)是（）A．由“等邊對等角”可得∠CPD＝∠AOB B．由SSS可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD＝∠AOB C．由SAS可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD＝∠AOB D．由ASA可得△OGH≌△PMN，進而可證∠CPD＝∠AOB【解答】解：由作法得OG＝OH＝PM＝PN，GH＝MN，根據(jù)“SSS”可判斷△OGH≌△PMN，所以∠CPD＝∠AOB．尺規(guī)作高、作垂線8．如圖，已知鈍角△ABC．（1）過鈍角頂點B作BD⊥AC，交AC于點D（使用直尺和圓規(guī)，不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）若BC＝8，∠C＝30°，，求AB的長．【分析】（1）利用尺規(guī)作出BD⊥AC，垂足為D即可．（2）在Rt△BCD中求出BD，再在Rt△ABD中，求出AB即可．【解答】解：（1）如圖，線段BD即為所求．（2）解：在Rt△BCD中，∵BC＝8，∠C＝30°∴BD＝BC?sin30°＝4，在Rt△ABD中，AB＝＝＝10．作線段的垂直平分線9．如圖，在?ABCD中，AD＞AB．（1）尺規(guī)作圖：作DC邊的中垂線MN，交AD邊于點E（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）連接EC，若∠BAD＝130°，求∠AEC的度數(shù)．【解答】解：（1）如圖，直線MN，點E即為所求；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∵∠A＝130°，∴∠D＝50°∵MN垂直平分線段CD，∴ED＝EC，∴∠D＝∠ECD＝50°，∴∠AEC＝∠D+∠ECD＝100°．10．（2022·廣州從化區(qū)一摸）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB．（1）按要求尺規(guī)作圖：作AD的垂直平分線（保留作圖痕跡）；【解答】解：（1）如圖：分別以A、D為圓心，大于AD的長為半徑作弧，兩弧交于M、N，作直線MN，則直線MN即為AD的垂直平分線；11．如圖，在△ABC中，AB＝9，BC＝6．（1）在AB上求作點E，使得EA＝EC；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若∠ACB＝2∠A，求AE的長．【分析】（1）作線段AC的垂直平分線交AB于點E，連接EC即可；（2）證明△BCE∽△BAC，推出BC2＝BE?BA，求出BE，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，點E即為所求；（2）∵EA＝EC，∴∠A＝∠ECA，∵∠ACB＝2∠A，∴∠BCE＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BCE∽△BAC，∴BC2＝BE?BA，∴BE＝＝4，∴AE＝AB＝EB＝9﹣4＝5．12．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點A，B為圓心，大于AB長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點；②作直線MN交AC于點D，連接BD．若BD＝BC，∠A＝36°，則∠C的度數(shù)為（）A．72° B．68° C．75° D．80°【解答】解：由作法可得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝36°，∵∠BDC＝∠A+∠DBC，∴∠BDC＝72°，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝72°，即∠C的度數(shù)為72°．13．如圖，在△ABC中，分別以A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點，直線PQ交BC于點D，連接AD；再分別以A、C為圓心，大于AC的長為半徑畫弧，兩弧交于M，N兩點，直線MN交BC于點E，連接AE．若CD＝11，△ADE的周長為17，則BD的長為6．【解答】解：由作法得PQ垂直平分AB，MN垂直平分AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∵△ADE的周長為17，∴DA+EA+DE＝17，∴DB+DE+EC＝17，即BC＝17，∴BD＝BC﹣CD＝17﹣11＝6．14．如圖，已知∠BAC＝60°，AD是角平分線且AD＝10，作AD的垂直平分線交AC于點F，作DE⊥AC，則△DEF周長為5+5．【解答】解：∵AD的垂直平分線交AC于點F，∴FA＝FD，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠DAE＝30°，∴DE＝AD＝5，∴AE＝＝＝5，∴△DEF周長＝DE+DF+EF＝DE+FA+EF＝DE+AE＝5+5，復(fù)雜作圖15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點P在BC上．（1）求作：△PCD，使點D在AC上，且△PCD∽△ABP；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若∠APC＝2∠ABC．求證：PD∥AB．【分析】（1）尺規(guī)作圖作出∠APD＝∠ABP，即可得到∠DPC＝∠PAB，從而得到△PCD∽△ABP；（2）根據(jù)題意得到∠DPC＝∠ABC，根據(jù)平行線的判定即可證得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖：作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP；（2）證明：如圖，∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，∴∠DPC＝∠ABC，∴PD∥AB．16．如圖1，在△ABC中，D是AB邊上的一點，小