高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 第四節(jié) 直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

課時(shí)作業(yè)(四十八)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1．若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1] B．[－1，3]C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C[由題意可得，圓的圓心為(a，0)，半徑為eq\r(2)，∴eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋（－1）2))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.]2．過點(diǎn)(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，則該切線的方程為()A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0B[∵過點(diǎn)(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝r2的切線有且只有一條，∴點(diǎn)(3，1)在圓(x－1)2＋y2＝r2上，∵圓心與切點(diǎn)連線的斜率k＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，∴切線的斜率為－2，則圓的切線方程為y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.]3．若直線：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則k＝()A．1 B．－1C．2 D．－2A[由x2＋y2－2x－3＝0，得(x－1)2＋y2＝4.易知直線y＝kx＋1恒過定點(diǎn)A(0，1)，要使截得的弦最短，需圓心(1，0)和A點(diǎn)的連線與直線y＝kx＋1垂直，所以k·eq\f(0－1,1－0)＝－1，即k＝1.故選A．]4．(多選)(2023·聊城期中)點(diǎn)P在圓C1：x2＋y2＝1上，點(diǎn)Q在圓C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，則()A．|PQ|的最小值為0B．|PQ|的最大值為7C．兩個(gè)圓心所在的直線斜率為－eq\f(4,3)D．兩個(gè)圓相交弦所在直線的方程為6x－8y－25＝0BC[根據(jù)題意，圓C1：x2＋y2＝1，其圓心C1(0，0)，半徑R＝1，圓C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，其圓心C2(3，－4)，半徑r＝1，圓心距|C1C2|＝eq\r(16＋9)＝5，則|PO|的最小值為|C1C2|－R－r＝3，最大值為|C1C2|＋R＋r＝7，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，圓心C1(0，0)，圓心C2(3，－4)，則兩個(gè)圓心所在的直線斜率k＝eq\f(－4－0,3－0)＝－eq\f(4,3)，C正確；對(duì)于D，兩圓圓心距|C1C2|＝5，有|C1C2|>R＋r＝2，兩圓外切，不存在公共弦，D錯(cuò)誤．故選BC.]5．(2023·廣東省七校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(8，0)，以O(shè)A為直徑的圓與直線y＝2x在第一象限的交點(diǎn)為B，則直線AB的方程為()A．x＋2y－8＝0 B．x－2y－8＝0C．2x＋y－16＝0 D．2x－y－16＝0A[法一：如圖，由題意知OB⊥AB，因?yàn)橹本€OB的方程為y＝2x，所以直線AB的斜率為－eq\f(1,2)，因?yàn)锳(8，0)，所以直線AB的方程為y－0＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故選A．法二：依題意，以O(shè)A為直徑的圓的方程為(x－4)2＋y2＝16，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－4）2＋y2＝16，,y＝2x))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))(舍去)，即Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(16,5)))，因?yàn)锳(8，0)，所以kAB＝eq\f(\f(16,5),\f(8,5)－8)＝－eq\f(1,2)，所以直線AB的方程為y－0＝－eq\f(1,2)(x－8)，即x＋2y－8＝0，故選A．]6．已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0與圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圓C1與圓C2相外切，則實(shí)數(shù)m的值為________．解析：對(duì)于圓C1與圓C2的方程，配方得圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，則圓C1的圓心C1(m，－2)，半徑r1＝3，圓C2的圓心C2(－1，m)，半徑r2＝2.因?yàn)閳AC1與圓C2相外切，所以|C1C2|＝r1＋r2，即eq\r(（m＋1）2＋（m＋2）2)＝5，m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2.答案：－5或27．(2023·西湖區(qū)校級(jí)期中)已知圓C1：x2＋y2＝4與圓C2：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0外切，則m＝________；此時(shí)直線l：x＋y＝0被圓C2所截的弦長(zhǎng)為________．解析：根據(jù)題意，圓C1：x2＋y2＝4，其圓心C1(0，0)，半徑r＝2，圓C2：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0，即(x－4)2＋(y＋3)2＝25－m，必有m<25，其圓心C2(4，－3)，半徑R＝eq\r(25－m)，若兩圓外切，則有|C1C2|＝R＋r，即5＝2＋eq\r(25－m)，解可得m＝16，此時(shí)圓C2的方程為：(x－4)2＋(y＋3)2＝9，圓心C2(4，－3)，半徑R＝3，圓心C2到直線l：x＋y＝0的距離d＝eq\f(|4－3|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，則直線l被圓C2所截的弦長(zhǎng)l＝2×eq\r(R2－d2)＝2×eq\r(9－\f(1,2))＝eq\r(34).答案：16；eq\r(34)8．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為________．解析：設(shè)圓心為C，則C(3，0)，P為直線y＝x＋1上一動(dòng)點(diǎn)，過P向圓引切線，切點(diǎn)設(shè)為N，所以|PN|min＝(eq\r(|PC|2－1))min＝eq\r(|PC|eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(min))－1).又|PC|min＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，所以|PN|min＝eq\r(7).答案：eq\r(7)9．(開放型)(2023·湖北期中)在①圓經(jīng)過C(3，4)，②圓心在直線x＋y－2＝0上，③圓截y軸所得弦長(zhǎng)為8；這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，進(jìn)行求解．已知圓E經(jīng)過點(diǎn)A(－1，2)，B(6，3)，且________；(1)求圓E的方程；(2)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)(－2，2)，直線l與圓E相交所得的弦長(zhǎng)為8，求直線l的方程．解析：(1)選條件①：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依題意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－D＋2E＋F＝0,45＋6D＋3E＋F＝0,25＋3D＋4E＋F＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－6,E＝2,F＝－15))，∴圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－15＝0；選條件②：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－D＋2E＋F＝0,45＋6D＋3E＋F＝0,－\f(D,2)－\f(E,2)－2＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－6,E＝2,F＝－15))，∴圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－15＝0；選擇條件③：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半徑為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5－D＋2E＋F＝0,45＋6D＋3E＋F＝0,\f(D2,4)＋16＝\f(1,4)（D2＋E2－4F）))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－6,E＝2,F＝－15))，∴圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－15＝0.(2)化圓C的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝25，則圓心C(3，－1)，半徑r＝5.設(shè)圓心到直線的距離為d，則弦長(zhǎng)L＝2eq\r(r2－d2)＝8，即eq\r(25－d2)＝4，得d＝3.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，d＝5≠3，∴直線的斜率存在，設(shè)其方程為y－2＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋2＝0，由d＝eq\f(|3k＋1＋2k＋2|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝0，k＝－eq\f(15,8).∴所求直線的方程為y＝2或15x＋8y＋14＝0.10．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有兩點(diǎn)P，Q，滿足關(guān)于直線x＋my＋4＝0對(duì)稱，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0.(1)求m的值；(2)求直線PQ的方程．解析：(1)x2＋y2＋2x－6y＋1＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝9，所以曲線是以(－1，3)為圓心，3為半徑的圓．由已知得直線過圓心，所以－1＋3m＋4＝0，解得m＝－1.(2)設(shè)直線PQ：y＝－x＋b，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，,y＝－x＋b，))得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有x1＋x2＝b－4，x1x2＝eq\f(b2－6b＋1,2).又eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，即2x1x2－b(x1＋x2)＋b2＝0，將x1＋x2＝b－4，x1x2＝eq\f(b2－6b＋1,2)代入上式得b2－2b＋1＝0，所以b＝1，所以直線PQ的方程為y＝－x＋1.11．(多選)設(shè)有一組圓Ck：(x－k＋1)2＋(y－2k)2＝1，下列說法正確的是()A．這組圓的半徑均為1B．直線2x－y＋2＝0平分所有的圓CkC．存在無窮多條直線l被所有的圓Ck截得的弦長(zhǎng)相等D．存在一個(gè)圓Ck與x軸和y軸均相切ABC[對(duì)于選項(xiàng)A：由圓Ck的方程可知，這組圓的半徑均為1，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：圓Ck的圓心坐標(biāo)為(k－1，2k)，因?yàn)?(k－1)－2k＋2＝0，所以直線2x－y＋2＝0過圓Ck的圓心，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由B知，直線2x－y＋2＝0平分所有的圓Ck，所以存在無數(shù)條與直線2x－y＋2＝0平行或重合的直線(與直線2x－y＋2＝0的距離小于1)被所有的圓Ck截得的弦長(zhǎng)相等，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若圓Ck與x軸和y軸均相切，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|k－1|＝1，,|2k|＝1，))無解，故選ABC.]12．(多選)(2023·臨沂期中)若圓C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0與圓C2：x2＋y2－2x－2y＝0的交點(diǎn)為A，B，則()A．公共弦AB所在直線方程為x＋y－3＝0B．線段AB中垂線方程為x－y＋1＝0C．公共弦AB的長(zhǎng)為2eq\r(2)D．在過A，B兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓C1AD[根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，圓C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0與圓C2：x2＋y2－2x－2y＝0，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得x＋y－3＝0，即公共弦AB所在直線方程為x＋y－3＝0，A正確；對(duì)于B，圓C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，其圓心C1為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)))，圓C2：x2＋y2－2x－2y＝0，其圓心C2為(1，1)，直線C1C2的方程為y＝x，即線段AB中垂線方程x－y＝0，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，圓C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,2)，其圓心C1為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)))，半徑r＝eq\f(\r(6),2)，圓心C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)))在公共弦AB上，則公共弦AB的長(zhǎng)為eq\r(6)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓心C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3,2)))在公共弦AB上，在過A，B兩點(diǎn)的所有圓中，面積最小的圓是圓C1，D正確．故選AD.]13．已知P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求M的軌跡方程；(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM面積．解析：(1)由條件可得圓心C的圓心坐標(biāo)為(0，4)，|PC|＝2，設(shè)P(a，2a)，則eq\r(a2＋（2a－4）2)＝2.解得a＝2或a＝eq\f(6,5)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(12,5))).(2)證明：設(shè)P(b，2b)，過點(diǎn)A，P，C的圓即是以PC為直徑的圓，其方程為x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0.即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4y＝0，,x＋2y－8＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)．))所以該圓必經(jīng)過定點(diǎn)(0，4)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(16,5))).14．已知圓C經(jīng)過(2，4)，(1，3)兩點(diǎn)，圓心C在直線x－y＋1＝0上，過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C相交于M，N兩點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)①請(qǐng)問eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由；②若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的方程．解析：(1)設(shè)圓C的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，依題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2＋（4－b）2＝r2，,（1－a）2＋（3－b）2＝r2，,a－b＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，,r＝1，))∴圓C的方程為(x－2)2＋(y－3)2＝1.(2)①eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))為定值．過點(diǎn)A(0，1)作直線AT與圓C相切，切點(diǎn)為T，如圖．易得|AT|2＝7，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝|eq\o(AM,\s\up6(→))|·|eq\o(AN,\s\up6(→))|cos0°＝|AT|2＝7.∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))為定值，且定值為7.②依題意可知，直線l的方程為y＝kx＋1，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，將y＝kx＋1代入(x－2)2＋(y－3)2＝1.并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，∴x1＋x2＝eq\f(4（1＋k）,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k（1＋k）,1＋k2)＋8＝12，即eq\f(4k（1＋k）,1＋k2)＝4，解得k＝1.又當(dāng)k＝1時(shí)，Δ>0，∴k＝1，∴直線l的方程為y＝x－1.15．(創(chuàng)新型)(多選)(2023·山東青島期末)如圖，已知A(2，0)，B(1，1)，C(－1，1)，D(－2，0)，eq\x\to(CD)是以O(shè)D為直徑的圓上的一段圓弧，eq\x\to(CB)是以BC為直徑的圓上的一段圓弧，eq\x\to(BA)