電磁場及電磁波-第2章靜電場

第二章靜電場本章主要講解電磁場理論基本理論和基本規(guī)律。主要內(nèi)容包括：電場強(qiáng)度與電位高斯定理靜電場基本方程與分界面上的邊界條件電磁場的邊值問題與唯一性定理分離變量法有限差分法鏡像法和電軸法電容和部分電容靜電能量與靜電力2.1電場強(qiáng)度與電位2.1.1電場強(qiáng)度

庫侖定律是靜電現(xiàn)象的基本實(shí)驗(yàn)定律。大量試驗(yàn)表明:真空中兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷與之間的相互作用力:N(牛頓)N(牛頓)適用條件

兩個(gè)可視為點(diǎn)電荷的帶電體之間相互作用力;

無限大真空情況(式中F/m)可推廣到無限大各向同性均勻介質(zhì)中

靜電場基本物理量——電場強(qiáng)度定義：

V/m(N/C)

電場強(qiáng)度（ElectricFieldIntensity)E

表示單位正電荷在電場中所受到的力(F),它是空間坐標(biāo)的矢量函數(shù),定義式給出了E

的大小、方向與單位。a)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度源點(diǎn)與場點(diǎn)坐標(biāo)的矢量表示V/mV/m2.1.2疊加積分法計(jì)算電場強(qiáng)度b)n個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度

(注意:矢量疊加)c)連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度圖2.1.2體電荷的電場體電荷分布面電荷分布線電荷分布例：求真空中半徑為a，帶電量為Q的導(dǎo)體球在球外空間中產(chǎn)生E。由球體的對稱性分析可知：電場方向沿半徑方向：電場大小只與場點(diǎn)距離球心的距離相關(guān)。解：在球面上取面元ds，該面元在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場徑向分量為：式中：結(jié)果分析

導(dǎo)體球上電荷均勻分布在導(dǎo)體表面，其在球外空間中產(chǎn)生的電場分布與位于球心的相同電量點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場等效。2.1.3電位

將一個(gè)單位正實(shí)驗(yàn)室點(diǎn)電荷在靜電場中沿某一路徑L從A點(diǎn)移動(dòng)到B點(diǎn)，電場力做的功

如果電場由點(diǎn)電荷q單獨(dú)產(chǎn)生

如果是一個(gè)閉合路徑，則W=0

電場強(qiáng)度的環(huán)路線積分恒為零，即

應(yīng)用斯托克斯定理

因此，靜電場的電場強(qiáng)度

可以用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度來表示，即定義

單位正實(shí)驗(yàn)電荷在電場中移動(dòng)電場力做功

兩點(diǎn)間的電位差定義為兩點(diǎn)間的電壓U，即

單位：V

電位函數(shù)不唯一確定，取

故可選空間某點(diǎn)Q作為電位參考點(diǎn)，空間任一點(diǎn)P的電位為

通常選取無限遠(yuǎn)作為電位參考點(diǎn)，則任一P點(diǎn)的電位為

2.1.4疊加積分法計(jì)算電位

為點(diǎn)電荷，

為體積電荷分布，為面電荷分布，為線電荷分布

注意：選取電位參考點(diǎn)時(shí)不能使積分發(fā)散。2.1.5電力線和等位面（線）

E線：曲線上每一點(diǎn)切線方向應(yīng)與該點(diǎn)電場強(qiáng)度E的方向一致，若是電力線的長度元，E

矢量將與方向一致，

故電力線微分方程在直角坐標(biāo)系中：微分方程的解即為電力線E的方程。

在靜電場中電位相等的點(diǎn)的曲面稱為等位面，即等位線(面)方程:當(dāng)取不同的

C值時(shí)，可得到不同的等位線（面）。例2.1.6

畫出電偶極子的等位線和電力線。在球坐標(biāo)系中：電力線微分方程（球坐標(biāo)系）：代入上式，得解得Ｅ線方程為將和代入上式，等位線方程（球坐標(biāo)系）：用二項(xiàng)式展開，又有，得

表示電偶極矩，方向由負(fù)電荷指向正電荷。圖1.2.2電偶極子r1r2電力線與等位線（面）的性質(zhì)：

E線不能相交;

E線起始于正電荷，終止于負(fù)電荷;

E線愈密處，場強(qiáng)愈大;

E線與等位線（面）正交；圖1.2.3電偶極子的等位線和電力線圖1.2.4點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體的電場圖1.2.5點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體的電場圖1.2.6均勻場中放進(jìn)了介質(zhì)球的電場圖1.2.7均勻場中放進(jìn)了導(dǎo)體球的電場圖1.2.8點(diǎn)電荷位于一塊介質(zhì)上方的電場圖1.2.9點(diǎn)電荷位于一塊導(dǎo)平面上方的電場2.2高斯定理2.2.1靜電場中的導(dǎo)體（1）導(dǎo)體內(nèi)部任何一點(diǎn)處的電場強(qiáng)度為零；（2）導(dǎo)體表面處電場強(qiáng)度的方向，都與導(dǎo)體表面垂直；（3）導(dǎo)體為等位體，導(dǎo)體表面為等位面；（4）電荷只能分布在導(dǎo)體表面上。2.2.2靜電場中的電介質(zhì)

電介質(zhì)在外電場E作用下發(fā)生極化，形成有向排列的電偶極矩；

電介質(zhì)內(nèi)部和表面產(chǎn)生極化電荷；

極化電荷與自由電荷都是產(chǎn)生電場的源。式中為體積元內(nèi)電偶極矩的矢量和，P的方向從負(fù)極化電荷指向正極化電荷。無極性分子有極性分子電介質(zhì)的極化用極化強(qiáng)度P表示電介質(zhì)的極化程度，即C/m2電偶極矩體密度

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在各向同性、線性、均勻介質(zhì)中

——電介質(zhì)的極化率,無量綱量。均勻：媒質(zhì)參數(shù)不隨空間坐標(biāo)（x,y,z）而變化。各向同性：媒質(zhì)的特性不隨電場的方向而改變,反之稱為各向異性；線性：媒質(zhì)的參數(shù)不隨電場的值而變化；

一個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電位：

極化強(qiáng)度

P是電偶極矩體密度，根據(jù)疊加原理，體積V內(nèi)電偶極子產(chǎn)生的電位為：式中電偶極子產(chǎn)生的電位

矢量恒等式：

圖1.2.16體積V內(nèi)電偶極矩產(chǎn)生的電位散度定理

令極化電荷體密度極化電荷面密度

在均勻極化的電介質(zhì)內(nèi)，極化電荷體密度

這就是電介質(zhì)極化后，由面極化電荷和體極化電荷共同作用在真空中產(chǎn)生的電位。

根據(jù)電荷守恒原理，這兩部分極化電荷的總和

有電介質(zhì)存在的場域中，任一點(diǎn)的電位及電場強(qiáng)度表示為2.2.3高斯定理真空中的高斯定理當(dāng)有電介質(zhì)時(shí)，總電荷包括自由電荷和極化電荷

為電通量密度，也稱電位移，單位C/m2

一般形式的高斯定理應(yīng)用高斯散度定理于上式得

高斯定理微分形式

可得各向同性電介質(zhì)的構(gòu)成方程

例2.2.1

求電荷線密度為的無限長均勻帶電體的電場。解：電場分布特點(diǎn)：

D

線皆垂直于導(dǎo)線，呈輻射狀態(tài)；

等

r

處D值相等；取長為L，半徑為r的封閉圓柱面為高斯面。由得圖2.2.1電荷線密度為的無限長均勻帶電體計(jì)算技巧：a）分析給定場分布的對稱性，判斷能否用高斯定律求解。b）選擇適當(dāng)?shù)拈]合面作為高斯面，使容易積分。

高斯定律適用于任何情況，但只有具有一定對稱性的場才能得到解析解。2.2.4用高斯定理計(jì)算靜電場圖2.2.2（b）

球殼內(nèi)的電場圖2.2.2（a）

球殼外的電場例2.2.2

試分析圖1.2.21與1.2.22的電場能否直接用高斯定律來求解場的分布？圖2.2.2（a）

點(diǎn)電荷q置于金屬球殼內(nèi)任意位置的電場圖2.2.2（b）

點(diǎn)電荷±q分別置于金屬球殼內(nèi)的中心處與球殼外的電場2.3靜電場基本方程與分界面上的邊界條件2.3.1靜電場基本方程

各向同性的線性電介質(zhì)構(gòu)成方程解：根據(jù)靜電場的旋度恒等于零的性質(zhì),

例2.3.1

已知試判斷它能否表示個(gè)靜電場？對應(yīng)靜電場的基本方程

，矢量

A可以表示一個(gè)靜電場。能否根據(jù)矢量場的散度來判斷該矢量場是否是靜電場?

以分界面上點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一小扁圓柱高斯面（）。2、電場強(qiáng)度E的銜接條件

以點(diǎn)P作為觀察點(diǎn)，作一小矩形回路（）。2.3.2分界面上的邊界條件1、電位移矢量D的銜接條件分界面兩側(cè)

E的切向分量連續(xù)。

分界面兩側(cè)的

D的法向分量不連續(xù)。當(dāng)時(shí)，D的法向分量連續(xù)。圖2.3.2在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用環(huán)路定律則有

根據(jù)根據(jù)則有圖2.3.1在電介質(zhì)分界面上應(yīng)用高斯定律

表明：（1）導(dǎo)體表面是一等位面，電力線與導(dǎo)體表面垂直，電場僅有法向分量；（2）導(dǎo)體表面上任一點(diǎn)的D就等于該點(diǎn)的自由電荷密度。

當(dāng)分界面為導(dǎo)體與電介質(zhì)的交界面時(shí)，分界面上的銜接條件為：圖2.3.3a導(dǎo)體與電介質(zhì)分界面在交界面上不存在時(shí)，E、D滿足折射定律。折射定律圖2.3.3分界面上E線的折射因此表明:在介質(zhì)分界面上，電位是連續(xù)的。3、用電位函數(shù)表示分界面上的銜接條件

設(shè)點(diǎn)1與點(diǎn)2分別位于分界面的兩側(cè)，其間距為d，,則表明:一般情況下,電位的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。圖1.3.4電位的銜接條件對于導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面，用電位表示的銜接條件應(yīng)是如何呢？解：忽略邊緣效應(yīng)圖（a）圖（b）

例1.3.2

如圖(a)與圖(b)所示平行板電容器,已知和,圖(a)已知極板間電壓U0

,圖(b)已知極板上總電荷,試分別求其中的電場強(qiáng)度。（a）（b）圖2.3.3平行板電容器

利用高斯定理并考慮到E1等于E22.4.1泊松方程和拉普拉斯方程推導(dǎo)微分方程的基本出發(fā)點(diǎn)是靜電場的基本方程：泊松方程泊松方程與拉普拉斯方程只適用于各向同性、線性的均勻媒質(zhì)。例2.4.1

列出求解區(qū)域的微分方程拉普拉斯方程——拉普拉斯算子2.4.2靜電場的邊值問題圖2.4.1三個(gè)不同媒質(zhì)區(qū)域的靜電場2.4靜電場邊值問題與唯一性定理

為什么說第二類邊界條件與導(dǎo)體上給定電荷分布或邊界是電力線的條件是等價(jià)的？已知場域邊界上各點(diǎn)電位值圖2.4.2邊值問題框圖自然邊界條件參考點(diǎn)電位有限值邊值問題微分方程邊界條件場域邊界條件分界面銜接條件第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件已知場域邊界上各點(diǎn)電位的法向?qū)?shù)一、二類邊界條件的線性組合，即邊值問題研究方法計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法作圖法解析法數(shù)值法實(shí)測法模擬法定性定量積分法分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法圖2.4.3邊值問題研究方法框圖

例2.4.2

圖示長直同軸電纜橫截面。已知纜芯截面是一邊長為2b的正方形，鉛皮半徑為a，內(nèi)外導(dǎo)體之間電介質(zhì)的介電常數(shù)為，并且在兩導(dǎo)體之間接有電源U0，試寫出該電纜中靜電場的邊值問題。

解：根據(jù)場分布對稱性，確定場域。（陰影區(qū)域）場的邊值問題圖2.4.1纜心為正方形的同軸電纜橫截面邊界條件積分之，得通解

例2.4.3

設(shè)有電荷均勻分布在半徑為a的介質(zhì)球型區(qū)域中，電荷體密度為，試用解微分方程的方法求球體內(nèi)、外的電位及電場。解:采用球坐標(biāo)系,分區(qū)域建立方程參考點(diǎn)電位圖1.4.5體電荷分布的球形域電場解得電場強(qiáng)度（球坐標(biāo)梯度公式）：

對于一維場（場量僅僅是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù)），只要對二階常系數(shù)微分方程積分兩次，得到通解；然后利用邊界條件求得積分常數(shù)，得到電位的解；再由得到電場強(qiáng)度E的分布。電位：2.唯一性定理的重要意義

可判斷靜電場問題的解的正確性：例1.4.1

圖示平板電容器的電位，哪一個(gè)解答正確？答案：（C

）

唯一性定理為靜電場問題的多種解法(試探解、數(shù)值解、解析解等）提供了思路及理論根據(jù)。圖1.4.7平板電容器外加電源U02.4.3唯一性定理證明：（反證法）2.5分離變量法

分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問題。一般情況下,采用正交坐標(biāo)系可用分離變量法得出拉普拉斯方程或波動(dòng)方程的通解，而只有當(dāng)場域邊界與正交坐標(biāo)面重合或平行時(shí)，才可確定積分常數(shù)，得到邊值問題的解。2.5.1解題的一般步驟：

根據(jù)邊界的幾何形狀和場的分布特征選定坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)的邊值問題（微分方程和邊界條件）；

分離變量，將一個(gè)偏微分方程，分離成幾個(gè)常微分方程；

解常微分方程，并疊加各特解得到通解；

利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。2.5.2應(yīng)用實(shí)例1.直角坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）

例2.5.1

圖示一無限長金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為，金屬槽截面為正方形（邊長為a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。解：選定直角坐標(biāo)系（D域內(nèi)）（1）（2）（3）（4）(5）邊值問題圖11.5.1接地金屬槽的截面2)分離變量代入式（1）有根據(jù)可能的取值，可有6個(gè)常微分方程：設(shè)稱為分離常數(shù),可以取值3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。

圖1.5.2雙曲函數(shù)d）比較系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，（D域內(nèi)）當(dāng)時(shí)，

滿足拉普拉斯方程的通解有無數(shù)個(gè)，但滿足給定邊界條件的解是唯一的。

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)也可定性判斷通解中能否舍去或項(xiàng)。

若，2、圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法（二維場）

利用sin

函數(shù)的正交性來確定。等式兩端同乘，然后從

0到

a對

x積分圖1.5.3接地金屬槽內(nèi)的等位線分布1）選定圓柱坐標(biāo),列出邊值問題（1）（2）（3）（4）(5）（6）

例1.5.2

在均勻電場中，放置一根半徑為a，介電常數(shù)為的無限長均勻介質(zhì)圓柱棒，它的軸線與垂直。柱外是自由空間。試求圓柱內(nèi)外電位函數(shù)和電場強(qiáng)度的分布。根據(jù)場分布的對稱性圖1.5.4均勻電場中的介質(zhì)圓柱棒3）解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2）分離變量,設(shè)

代入式（1）得或根據(jù)根據(jù)，比較系數(shù)得當(dāng)時(shí)，4）利用給定邊界條件確定積分常數(shù)。根據(jù)場分布對稱性當(dāng)時(shí)，通解中不含的奇函數(shù)項(xiàng)，解之，得比較系數(shù)法：當(dāng)時(shí)，得當(dāng)時(shí)，，則最終解c）由分界面的銜接條件，得

介質(zhì)柱內(nèi)的電場是均勻的，且與外加電場E0平行。因，，所以。

介質(zhì)柱外的電場非均勻變化，但遠(yuǎn)離介質(zhì)柱的區(qū)域，其電場趨近于均勻電場。

圖1.5.5均勻外電場中介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電場2.6有限差分法1.6.1二維泊松方程的差分格式

有限差分法（FiniteDifferentialMethod）是基于差分原理的一種數(shù)值計(jì)算法。其基本思想：將場域離散為許多小網(wǎng)格，應(yīng)用差分原理，將求解連續(xù)函數(shù)的泊松方程的問題轉(zhuǎn)換為求解網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的差分方程組的問題。

通常將場域分成足夠小的正方形網(wǎng)格,網(wǎng)格線之間的距離為h,節(jié)點(diǎn)0,1,2,3,4上的電位分別用和表示。（3）（1）（2）二維靜電場邊值問題：1.6.1有限差分的網(wǎng)格分割（8）（4）將和分別代入式(3),得同理（5）

由（4）–（5）由（4）+（5）（6）（7）（9）將式（7）、（9）代入式（1），得到泊松方程的五點(diǎn)差分格式當(dāng)場域中，得到拉普拉斯方程的五點(diǎn)差分格式1.6.2邊界條件的離散化處理3.第二類邊界條件邊界線與網(wǎng)格線相重合的差分格式：2.

對稱邊界條件若場域離散為矩形網(wǎng)格，差分格式為：1.第一類邊界條件

給邊界離散節(jié)點(diǎn)直接賦已知電位值。4.介質(zhì)分界面銜接條件的差分格式合理減小計(jì)算場域，差分格式為其中12

圖2.6.2邊界條件的離散化處理2.6.3差分方程組的求解方法1.高斯——賽德爾迭代法式中：

迭代順序可按先行后列，或先列后行進(jìn)行。

迭代過程遇到邊界節(jié)點(diǎn)時(shí)，代入邊界值或邊界差分格式，直到所有節(jié)點(diǎn)電位滿足為止。2、超松弛迭代法式中：——加速收斂因子圖1.6.3高斯——賽德爾迭代法

迭代收斂的速度與有明顯關(guān)系：

收斂因子（）1.01.71.81.831.851.871.92.0

迭代次數(shù)（N）>1000269174143122133171發(fā)散最佳收斂因子的經(jīng)驗(yàn)公式：（正方形場域、正方形網(wǎng)格）（矩形場域、正方形網(wǎng)格）

迭代收斂的速度與電位初始值的給定及網(wǎng)格剖分精細(xì)有關(guān)；

迭代收斂的速度與工程精度要求有。借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，其程序框圖如下：啟動(dòng)賦邊界節(jié)點(diǎn)已知電位值賦予場域內(nèi)各節(jié)點(diǎn)電位初始值累計(jì)迭代次數(shù)N=0N=N+1按超松弛法進(jìn)行一次迭代，求

所有內(nèi)點(diǎn)相鄰二次迭代值的最大誤差是否小于打印停機(jī)NY圖2.6.2迭代解程序框圖2.7鏡像法與電軸法2.7.1鏡像法邊值問題：（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（除

q所在點(diǎn)外的區(qū)域）（S為包圍

q的閉合面）1.平面導(dǎo)體的鏡像

鏡像法:用虛設(shè)的電荷分布等效替代媒質(zhì)分界面上復(fù)雜電荷分布,虛設(shè)電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置使場的解答滿足唯一性定理。圖2.7.1平面導(dǎo)體的鏡像上半場域邊值問題：（除

q所在點(diǎn)外的區(qū)域）

（導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處）（S為包圍q的閉合面）（方向指向地面）整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量為例2.7.1

求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。解:設(shè)點(diǎn)電荷離地面高度為h，則圖2.7.2點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷的分布2.導(dǎo)體球面鏡像設(shè)在點(diǎn)電荷附近有一接地導(dǎo)體球，求導(dǎo)體球外空間的電位及電場分布。1)邊值問題：（除q點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間)圖1.7.3點(diǎn)電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像由疊加原理，接地導(dǎo)體球外任一點(diǎn)P的電位與電場分別為圖2.7.5點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球附近的場圖

鏡像電荷不能放在當(dāng)前求解的場域內(nèi)。鏡像電荷等于負(fù)的感應(yīng)電荷圖2.7.4接地導(dǎo)體球外的電場計(jì)算

在接地球的基礎(chǔ)上判斷鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置解:邊值問題：(除q

點(diǎn)外的導(dǎo)體球外空間）(S為球面面積)例2.7.2

試計(jì)算不接地金屬球附近放置一點(diǎn)電荷時(shí)的電場分布。任一點(diǎn)電位及電場強(qiáng)度為：圖2.7.6點(diǎn)電荷對不接地金屬球的鏡像感應(yīng)電荷分布及球?qū)ΨQ性，在球內(nèi)有兩個(gè)等效電荷。正負(fù)鏡像電荷絕對值相等。正鏡像電荷只能位于球心。

試確定用鏡像法求解下列問題時(shí)，其鏡像電荷的個(gè)數(shù)，大小與位置?補(bǔ)充題：圖2.7.8點(diǎn)電荷對導(dǎo)體球面的鏡像圖2.7.7點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖

不接地導(dǎo)體球面上的正負(fù)感應(yīng)電荷的絕對值等于鏡像電荷

嗎?為什么？3.不同介質(zhì)分界面的鏡像邊值問題：(下半空間)(除q點(diǎn)外的上半空間)圖1.7.9點(diǎn)電荷對無限大介質(zhì)分界面的鏡像和

?

中的電場是由決定，其有效區(qū)在下半空間，是等效替代自由電荷與極化電荷的作用。即圖2.7.10點(diǎn)電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場圖

?

中的電場是由與共同產(chǎn)生，其有效區(qū)在上半空間，是等效替代極化電荷的影響。圖2.7.11點(diǎn)電荷與分別置于與區(qū)域中

為求解圖示與區(qū)域的電場，試確定鏡像電荷的個(gè)數(shù)、大小與位置。2.7.2電軸法邊值問題：

（導(dǎo)線以外的空間）

根據(jù)唯一性定理，尋找等效線電荷——電軸。1.問題提出1.7.12長直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線能否用高斯定理求解？2.兩根細(xì)導(dǎo)線產(chǎn)生的電場以y軸為參考點(diǎn),C=0,則當(dāng)K取不同數(shù)值時(shí),就得到一族偏心圓。圖1.7.13兩根細(xì)導(dǎo)線的電場計(jì)算

a、h、b三者之間的關(guān)系滿足等位線方程為：圓心坐標(biāo)圓半徑應(yīng)該注意到,線電荷所在的兩個(gè)點(diǎn),對每一個(gè)等位圓的圓心來說,互為反演。即根據(jù)及E線的微分方程，得E線方程為

圖1.7.14兩細(xì)導(dǎo)線的場圖

?

若在金屬圓柱管內(nèi)填充金屬，重答上問。

?

若在任一等位面上放一無厚度的金屬圓柱殼，是否會影響電場分布？感應(yīng)電荷是否均勻分布？3.電軸法例2.7.3

試求圖示兩帶電長直平行圓柱導(dǎo)體傳輸線的電場及電位分布。(以軸為電位為參考點(diǎn)

)

用置于電軸上的等效線電荷,來代替圓柱導(dǎo)體面上分布電荷,從而求得電場的方法,稱為電軸法。解：圖2.7.15平行圓柱導(dǎo)體傳輸線電場的計(jì)算

例2.7.4

已知兩根不同半徑,相互平行,軸線距離為d

的帶電長直圓柱導(dǎo)體。試決定電軸位置。注意：1）參考電位的位置；2）適用區(qū)域。例1.7.5

試確定圖示偏心電纜的電軸位置。解：確定圖2.7.16不同半徑傳輸線的電軸位置圖2.7.17偏心電纜電軸位置鏡像法（電軸法）小結(jié)

鏡像法（電軸法）的理論基礎(chǔ)是靜電場唯一性定理；鏡像法（電軸法）的實(shí)質(zhì)是用虛設(shè)的鏡像電荷（電軸）替代未知電荷的分布，使計(jì)算場域?yàn)闊o限大均勻介質(zhì)；鏡像法（電軸法）的關(guān)鍵是確定鏡像電荷（電軸）的個(gè)數(shù)（根數(shù)），大小及位置；

應(yīng)用鏡像法（電軸法）解題時(shí)，注意：鏡像電荷（電軸）只能放在待求場域以外的區(qū)域。疊加時(shí)，要注意場的適用區(qū)域。2.8電容和部分電容

電容只與兩導(dǎo)體的幾何形狀、尺寸、相互位置及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)有關(guān)。電容的計(jì)算思路：

工程上的實(shí)際電容：電力電容器，電子線路用的各種小電容器。2.8.1電容定義：單位：

例1.8.1

試求球形電容器的電容。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電荷為,則同心導(dǎo)體間的電壓球形電容器的電容當(dāng)時(shí)（孤立導(dǎo)體球的電容）圖2.8.1球形電容器2.8.2部分電容1.已知導(dǎo)體的電荷，求電位和電位系數(shù)中的其余帶電體，與外界無任何聯(lián)系，即

?

靜電獨(dú)立系統(tǒng)——D線從這個(gè)系統(tǒng)中的帶電體發(fā)出，并終止于該系統(tǒng)?

線性、多導(dǎo)體(三個(gè)以上導(dǎo)體)組成的系統(tǒng)；?

部分電容概念以接地導(dǎo)體為電位參考點(diǎn),導(dǎo)體的電位與各導(dǎo)體上的電荷的關(guān)系為圖2.8.2三導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)

以此類推（n+1)個(gè)多導(dǎo)體系統(tǒng)只有n個(gè)電位線性獨(dú)立方程，即電位系數(shù)，表明各導(dǎo)體電荷對各導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——

自有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——互有電位系數(shù)，表明導(dǎo)體上的電荷對導(dǎo)體電位的貢獻(xiàn)；——寫成矩陣形式為（非獨(dú)立方程）注：

的值可以通過給定各導(dǎo)體電荷,計(jì)算各導(dǎo)體的電位而得。2.已知帶電導(dǎo)體的電位，求電荷和感應(yīng)系數(shù)——靜電感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；——自有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；——互有感應(yīng)系數(shù)，表示導(dǎo)體電位對導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)。

通常，的值可以通過給定各導(dǎo)體的電位，測量各導(dǎo)體的電荷而得。

3.已知帶電導(dǎo)體間的電壓，求電荷和部分電容（矩陣形式）式中：C——部分電容，它表明各導(dǎo)體間電壓對各導(dǎo)體電荷的貢獻(xiàn)；（互有部分電容）；（自有部分電容）。部分電容性質(zhì):?

所有部分電容都是正值，且僅與導(dǎo)體的形狀、尺寸、相互位置及介質(zhì)的值有關(guān)；?

互有部分電容

，即為對稱陣；

?

(n+1)

個(gè)導(dǎo)體靜電獨(dú)立系統(tǒng)中，共應(yīng)有個(gè)部分電容；?

部分電容是否為零,取決于兩導(dǎo)體之間有否電力線相連。2.8.3.靜電屏蔽

應(yīng)用部分電容還可以說明靜電屏蔽問題。令號導(dǎo)體接地，得這說明了只與有關(guān)，只與有關(guān)，即1號導(dǎo)體與2號導(dǎo)體之間無靜電聯(lián)系，達(dá)到了靜電屏蔽的要求。靜電屏蔽在工程上有廣泛應(yīng)用。圖2.8.4靜電屏蔽2.9靜電能量與靜電力

1.帶電體系統(tǒng)中的靜電能量

靜電能量是在電場的建立過程中，由外力作功轉(zhuǎn)化而來的。1)連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電能量假設(shè)：

?

電荷系統(tǒng)中的介質(zhì)是線性的；2.9.1帶電體系靜電能量

?

電場的建立與充電過程無關(guān),導(dǎo)體上電荷與電位的最終值為、,在充電過程中，與的增長比例為

m，。?

建立電場過程緩慢（忽略動(dòng)能與能量輻射）。

這個(gè)功轉(zhuǎn)化為靜電能量儲存在電場中。

體電荷系統(tǒng)的靜電能量

t

時(shí)刻，場中P點(diǎn)的電位為若將電荷增量從無窮遠(yuǎn)處移至該點(diǎn)，外力作功t時(shí)刻電荷增量為即電位為

?

式中是元電荷所在處的電位，積分對源進(jìn)行。?

點(diǎn)電荷的自有能為無窮大。自有能互有能

自有能是將許多元電荷“壓緊”構(gòu)成q所需作的功?；ビ心苁怯捎诙鄠€(gè)帶電體之間的相互作用引起的能量。自有能與互有能的概念?

?

是所有導(dǎo)體（含K號導(dǎo)體）表面上的電荷在K號導(dǎo)體產(chǎn)生的電位。

2.9.2.靜電能量的分布及其密度V——擴(kuò)大到無限空間，S——所有帶電體表面。將式(2)代入式(1),得應(yīng)用散度定理得矢量恒等式（焦耳）靜電能量圖2.9.1推導(dǎo)能量密度用圖能量密度：凡是靜電場不為零的空間都儲存著靜電能量。結(jié)論例2.9.1

試求真空中體電荷密度為，半徑為的介質(zhì)球產(chǎn)生的靜電能量。有限，應(yīng)用高斯定理，得解法一由微分方程法得電位函數(shù)為解法二

例2.9.2

一個(gè)原子可以看成是由帶正電荷的原子核和被總電量等于且均勻分布于球形體積內(nèi)的負(fù)電荷云包圍，如圖所示。試求原子結(jié)合能。解：表示將正負(fù)電荷從無窮遠(yuǎn)處移來置于原子中位置時(shí)外力必須做的功。圖2.9.2原子結(jié)構(gòu)模型

：正電荷從無窮遠(yuǎn)處移至此處不需要電場力作功,故原子結(jié)合能未包括原子核正電荷本身的固有能量。注意2.9.2靜電力2.虛位移法

(VirtualDisplacementMethod)虛位移法是基于虛功原理計(jì)