2021北京師大附中高一（下）期中數(shù)學(xué)（教師版）

13/132021北京師大附中高一（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題，共6小題，每小題3分，共18分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合條件的一項(xiàng)．1．（3分）若sinα＜0且tanα＞0，則α是（）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．（3分）設(shè)，則下列函數(shù)值一定是正值的是（）A．tanα B．sinα C．cosα D．cos2α3．（3分）已知sinα﹣cosα＝，則sin2α＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．4．（3分）要得到函數(shù)y＝4sin（x+）cos（x+）圖象，只需把函數(shù)y＝2sin2x的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向左平移個(gè)單位 C．向右平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位5．（3分）已知f（x）＝Asin（ωx+φ），其中（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．則f（x）＝（）A． B． C． D．6．（3分）在△ABC中，若sinB（1+cosC）＝2sinAcosC+cosAsinC，則△ABC為（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填交題，共6小題，每小題3分，共18分。7．（3分）若角β與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則與角β同終邊的所有角構(gòu)成集合．8．（3分）已知扇形的圓心角為120°，扇形的面積為3π，則該扇形所在圓的半徑為．9．（3分）sin35°cos25°+cos35°cos65°＝．10．（3分）已知點(diǎn)P（2，3）在α的終邊上，則tanα＝，tan2α＝．11．（3分）在△ABC中，∠A＝45°，M是AB的中點(diǎn)，若|AB|＝|BC|＝2，D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是．12．（3分）如圖，矩形公園OABC中，OA＝2km，OC＝1km，公園的左下角陰影部分為以O(shè)為圓心，半徑為1km的圓面的人工湖，現(xiàn)計(jì)劃修建一條與圓相切的觀光道路EF（點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊OA與BC上），D為切點(diǎn)，令∠DOE＝θ，則道路EF的長(zhǎng)度y與θ的函數(shù)關(guān)系為．三、解答題，共4小題，共51分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。13．（17分）已知三角形ABC，A（3，4），B（0，0），C（16，0）．（1）寫出一個(gè)與垂直的非零向量；（坐標(biāo)形式）（2）求cosB；（3）求向量在向量上投影的數(shù)量；（4）若，求k的值；（5）求．14．（16分）已知角α終邊落在直線上，且．（1）tanα＝；（2）求的值；（3）若，，求β的值．15．（11分）已知函數(shù)f（x）＝sinx，g（x）＝cosx．（1）函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）求函數(shù)y＝g2（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（4）求解不等式．16．（7分）已知函數(shù)f（x）＝2cos2ω1x+sinω2x．從①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1．這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，完成問題（1）至（3）．注：如果選擇兩個(gè)條件分別作答，按第一個(gè)解答給分．我選擇的是_____．（填寫選擇的條件序號(hào)①或②）（1）則f（0）＝．（2）f（x）的最小正周期為．（3）求x∈時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值和最小值．四、選擇題共2小題，每小題2分，共4分。在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合條件的一項(xiàng)。17．（2分）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．?α，β，使sin（α+β）＝sinα+sinβ B．?α，β，sin（α+β）sin（α﹣β）＝sin2α﹣sin2β成立 C．?α，β，使cos（α+β）＝cosα+cosβ D．?α，β，cos（α+β）cos（α﹣β）＝cos2α﹣cos2β成立18．（2分）已知函數(shù)f（x）＝sinx+acosx，當(dāng)x＝時(shí)，f（x）取得最大值，則a的值為（）A． B．﹣1 C．1 D．五、填空題共2小題，每小題2分，共4分。19．（2分）菱形ABCD中，A＝60°，E為BC中點(diǎn)，記＝，＝，若（+λ）⊥，則λ＝．20．（2分）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是．六、解答題（5分，解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）.21．（5分）雨過天晴時(shí)，我們常能見到天空的彩紅，這種現(xiàn)象是陽光經(jīng)空氣中的水滴反射與折射綜合產(chǎn)生的自然現(xiàn)象．為研究方便將水滴近似視為一個(gè)球體．且各光線在球的同一截面大圓內(nèi)．Ⅰ．如圖1，入射光線l1經(jīng)折射進(jìn)入該球體內(nèi)部，折射光線l2經(jīng)一次內(nèi)部反射形成反射光線l3，再折射出球體外得到折射光線l4.當(dāng)l1∥l4時(shí)，則稱為光線l4為虹；Ⅱ．如圖2，入射光線l1經(jīng)折射進(jìn)入該球體內(nèi)部，折射光線l2經(jīng)兩次內(nèi)部反射形成反射光線l3，l4.再折射出球體外得到折射光線l5，當(dāng)l1∥l5時(shí)則稱為光線l5為霓．可參考的物理光學(xué)反射與折射的知識(shí)，有如下定義與規(guī)律：Ⅲ．光被鏡面反射時(shí)，過入射點(diǎn)與鏡面垂直的直線稱為法線，入射光線與反射光線與法線的夾角分別稱為入射角α與反射角γ，則入射角α等于反射角γ；Ⅳ．從介質(zhì)1射入介質(zhì)2發(fā)生折射時(shí)，入射角α與折射角β折射光線與法線的夾角的正弦之比叫做介質(zhì)2相對(duì)介質(zhì)1的折射角λ，即．設(shè)球半徑r＝1．球?yàn)槟撤N透光性較高的介質(zhì)．空氣相對(duì)該介質(zhì)的折射率為λ．圓弧對(duì)光線入射或折射時(shí)，其反射鏡面為過入射（或反射）點(diǎn)的圓切線，法線為過該點(diǎn)的半徑所在直線．（1）圖3中，入射光線l1經(jīng)入射點(diǎn)P進(jìn)入球內(nèi)得到折射光線l2，過P的圓O切線為l，過點(diǎn)P的半徑所在直線為法線，設(shè)入射角，若球介質(zhì)的折射率，求折射角β大?。唬?）圖1中，設(shè)初始入射光線l1的入射角為α，球介質(zhì)的折射率λ＝1.5．折射光線l4為虹，求cosα；（3）圖2中，設(shè)初始入射光線l1的入射角為α，球介質(zhì)的折射率．折射光線l5為霓，求cosα．

2021北京師大附中高一（下）期中數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題，共6小題，每小題3分，共18分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合條件的一項(xiàng)．1．【分析】由正弦和正切的符號(hào)確定角的象限，當(dāng)正弦值小于零時(shí)，角在第三四象限，當(dāng)正切值大于零，角在第一三象限，要同時(shí)滿足這兩個(gè)條件，角的位置是第三象限，實(shí)際上我們解的是不等式組．【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】記住角在各象限的三角函數(shù)符號(hào)是解題的關(guān)鍵，可用口訣幫助記憶：一全部，二正弦，三切值，四余弦，它們?cè)谏厦嫠龅南笙逓檎?．【分析】利用三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)的判定，即可得到答案．【解答】解：因?yàn)?，則cosα＞0．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)的判定，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝，∴平方可得1﹣2sinαcosα＝，則sin2α＝2sinαcosα＝﹣，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)三角恒等變換與平移法則，先化簡(jiǎn)函數(shù)y，再判斷平移過程．【解答】解：∵函數(shù)y＝4sin（x+）cos（x+）＝2sin[2（x+）]，∴要得到函數(shù)y＝4sin（x+）cos（x+）的圖象，只需把函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移個(gè)單位．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換與圖象平移的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．5．【分析】通過函數(shù)的圖象的最高點(diǎn)求出A，利用圖象求出函數(shù)的周期，得到ω，圖象過點(diǎn)（﹣，0），求出φ的值，從而可得f（x）的解析式．【解答】解：由圖象可知A＝2，T＝＝（﹣）＝4π，∴ω＝＝＝，將（﹣，0）代入f（x）＝2sin（x+φ），可得2sin（﹣+φ）＝0，∵0＜φ＜π，∴φ＝，∴f（x）＝2sin（x+）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)等式右側(cè)，然后化簡(jiǎn)可得sinBcosC＝sinAcosC，分類討論即可得解．【解答】解：在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足sinB（1+cosC）＝2sinAcosC+cosAsinC＝sinAcosC+sin（A+C）＝sinAcosC+sinB，可得：sinBcosC＝sinAcosC，所以cosC＝0，或sinB＝sinA，所以C為直角，或a＝b，即△ABC為等腰三角形或直角三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填交題，共6小題，每小題3分，共18分。7．【分析】若β∈[0，2π），則由題意可知β＝，由此可求出與角β同終邊的所有角構(gòu)成的集合．【解答】解：若β∈[0，2π），則由角，且角β與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，所以β＝，所以與角β同終邊的所有角構(gòu)成集合為{β|β＝+2kπ，k∈Z}，故答案為：{β|β＝+2kπ，k∈Z}．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了終邊相同角的集合，是基礎(chǔ)題．8．【分析】利用扇形的面積計(jì)算公式即可得出．【解答】解：∵120°＝，∴S扇形＝α?r2＝×?r2＝3π，∴r＝3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】先由誘導(dǎo)公式，知cos65°＝sin25°，再由兩角和的正弦公式，得解．【解答】解：原式＝sin35°cos25°+cos35°sin25°＝sin（35°+25°）＝sin60°＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】直接利用三角函數(shù)的定義可求tanα的值，進(jìn)而利用二倍角的正切公式即可求解tan2α的值．【解答】解：∵點(diǎn)P（2，3）在α的終邊上，∴tanα＝，tan2α＝＝＝﹣．故答案為：，﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的定義，二倍角的正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．【分析】先判斷△ABC是等腰直角三角形，|AC|＝2，以AC所在的直線為x軸，以AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)M，B的坐標(biāo)，設(shè)D（t，0）且t∈[﹣，]，求出和的坐標(biāo)，然后計(jì)算，再求出其最小值即可．【解答】解：在△ABC中，∠A＝45°，|AB|＝|BC|＝2，∴∠C＝45°，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，|AC|＝2，如右圖所示，以AC所在的直線為x軸，以AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A（﹣，0），B（0，），M（﹣，），設(shè)D（t，0），t∈[﹣，]，則＝（﹣t，），＝（﹣﹣t，），∴＝﹣t（﹣﹣t）+×＝（t+）2+，t∈[﹣，]，∴當(dāng)t＝﹣時(shí)，取最小值，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及最值的求法，屬于中檔題．12．【分析】求出∠DOF＝﹣，分別求出DE，DF的表達(dá)式，從而求出EF關(guān)于θ的表達(dá)式．【解答】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊OA與BC上，∴，則∠DOF＝﹣，在Rt△DOE中，DE＝tanθ，在Rt△DOF中，DF＝tan（﹣）＝＝＝，∴EF＝DE+DF＝tanθ+＝，即道路EF的長(zhǎng)度y與θ的函數(shù)關(guān)系為y＝（0），故答案為：y＝（0）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．三、解答題，共4小題，共51分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。13．【分析】（1）設(shè)與垂直的非零向量＝（x，y），根據(jù)垂直性質(zhì)得到x，y關(guān)系式，即可得到答案；（2）根據(jù)向量夾角公式可得cosB＝，代入計(jì)算即可；（3）結(jié)合（2）得到向量在向量上投影的數(shù)量為||cosB，代入計(jì)算即可；（4）表示出k﹣，，利用向量共線性質(zhì)，得到關(guān)于k的方程，解之即可；（5）表示出2，利用向量模的求解公式即可求出答案．【解答】解：（1）由題得＝（3，4），設(shè)與垂直的非零向量＝（x，y），則3x+4y＝0，令x＝4，則y＝﹣3，即＝（4，﹣3）；（2）由題得＝（3，4），＝（13，﹣4），＝（16，0），則cosB＝＝＝；（3）向量在向量上投影的數(shù)量為||cosB＝5×＝3；（4）k﹣＝k（3，4）﹣（16，0）＝（3k﹣16，4k），＝（3，4）+（16，0）＝（19，4），因?yàn)?，所?（3k﹣16）﹣19×4k＝0，解得k＝﹣1；（5）|2|＝|2（3，4）+（16，0）|＝|（22，8）|＝＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，涉及向量垂直、向量共線、向量夾角公式等，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于中檔題．14．【分析】（1）易角α是第三象限的角，從而確定sinα的符號(hào)，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系式，得解；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，根據(jù)兩角和的正弦公式，展開運(yùn)算，即可；（3）可得α+β∈（π，2π），再求得sin（α+β）的值，根據(jù)β＝（α+β）﹣α，由兩角差的余弦公式，展開運(yùn)算即可．【解答】解：（1）由題意知，角α是第三象限的角，∵，∴sinα＝﹣＝﹣，∴tanα＝＝4．（2）＝（cosα+sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．（3）由（1）知，α∈（π，），∵，∴α+β∈（π，2π），∵＞0，∴sin（α+β）＝﹣＝﹣，∴cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝×（﹣）+（﹣）×（﹣）＝，∴β＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角恒等變換的綜合應(yīng)用，熟練掌握兩角和差公式，同角三角函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．15．【分析】由題意利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sinx，g（x）＝cosx，∴（1）函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，故答案為：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．（2）函數(shù)y＝g2（x）＝cos2x＝，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，求得kπ﹣≤x≤kπ，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ﹣，kπ]，k∈Z．（3）函數(shù)＝sinx+cosx＝2sin（x+），令x+＝kπ+，求得x＝kπ+，可得函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x＝kπ+，k∈Z．（4）求解不等式，即sin（2x+）≥，即2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ≤x≤kπ+，k∈Z．故原不等式的解集為{x|kπ≤x≤kπ+}，k∈Z．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．16．【分析】若?、伲海?）利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解．（2）利用正弦函數(shù)的周期公式可求f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可求解一條對(duì)稱軸方程．（3）由題意可求≤2x+≤，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最值．若?、冢海?）利用三角函數(shù)恒等變換及配方法化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，利用特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解．（2）利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱性即可求解．（3）由題意可求0≤sinx≤1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解其最值．【解答】解：若?、佴?＝1，ω2＝2：（1）f（x）＝2cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x+1＝sin（2x+）+1，∴f（0）＝sin+1＝×+1＝2；（2）∵f（x）＝sin（2x+）+1，∴f（x）的最小正周期T＝＝π；（3）∵0≤x≤，∴≤2x+≤，∴函數(shù)f（x）在[0，]上的最大值為：sin+1＝+1，函數(shù)f（x）在[0，]上的最小值為：sin+1＝0．若?、讦?＝1，ω2＝1：（1）f（x）＝2cos2x+sinx＝2﹣2sin2x+sinx＝﹣2（sinx﹣）2，∴f（0）＝﹣2×（0﹣）2＝2；（2）∵f（x）＝﹣2（sinx﹣）2，∴f（x）的最小正周期T＝2π．（3）∵0≤x≤，∴0≤sinx≤1，∴函數(shù)f（x）在[0，]上的最大值為：，函數(shù)f（x）在[0，]上的最小值為：﹣2×（1﹣）2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．四、選擇題共2小題，每小題2分，共4分。在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合條件的一項(xiàng)。17．【分析】對(duì)于A：取α＝β＝0時(shí)，即可判斷A是否正確；對(duì)于B：利用兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷B是否正確；對(duì)于C：取α＝，β＝﹣時(shí)，cos（α+β）＝cosα+cosβ＝1，即可判斷C是否正確；對(duì)于D：利用兩角和差公式化簡(jiǎn)，即可判斷D是否正確；【解答】解：對(duì)于A：取α＝β＝0時(shí)，sin（α+β）＝sinα+sinβ＝0，故A正確；對(duì)于B：sin（α+β）sin（α﹣β）＝（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ﹣cosαsinβ）＝sin2αcos2β﹣cos2αsin2β＝sin2α（1﹣sin2β）﹣（1﹣sin2α）sin2β＝sin2α﹣sin2β，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)α＝，β＝﹣時(shí)，cos（α+β）＝cosα+cosβ＝1，故C正確；對(duì)于D：cos（α+β）cos（α﹣β）＝（cosαcosβ﹣sinαsinβ）（cosαcosβ+sinαsinβ）＝cos2αcos2β﹣sin2αsin2β≠cos2α﹣cos2β，故D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，解題中需要理清思路，屬于中檔題．18．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：∵f（x）＝sinx+acosx＝，其中tanφ＝a，∴，又∵當(dāng)x＝時(shí)，f（x）取得最大值，∴＝，化簡(jiǎn)可得，a2﹣2a+1＝0，