2023版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)選修系列幾何證明選講第2講直線與圓的位置關(guān)系理

PAGEPAGE4第2講直線與圓的位置關(guān)系一、填空題1．如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，那么BC＝________．解析延長(zhǎng)BC交AD的延長(zhǎng)線于P，∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠P＝30°，∠CDP＝∠B＝90°.在Rt△CDP中，CD＝1，∴PC＝2.在Rt△ABP中，BP＝eq\r(3)AB＝2eq\r(3)，∴BC＝BP－PC＝2eq\r(3)－2.答案2eq\r(3)－22．如圖，過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點(diǎn)使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，那么AB＝________．解析由弦切角定理得∠PAB＝∠ACB，又因?yàn)椤螧AC＝∠APB，所以△PAB∽△ACB，可得eq\f(AB,BC)＝eq\f(PB,AB)，將PB＝7，BC＝5代入得AB＝eq\r(35).答案eq\r(35)3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，⊙O過A、B兩點(diǎn)且與BC相切于點(diǎn)B，與AC交于點(diǎn)D，連接BD，假設(shè)BC＝eq\r(5)－1，那么AC＝________.解析由題易知，∠C＝∠ABC＝72°，∠A＝∠DBC＝36°，所以△BCD∽△ACB，又易知BD＝AD＝BC，所以BC2＝CD·AC＝(AC－BC)·AC，解得AC＝2.答案24.如圖，Rt△ABC的兩條直角邊AC，BC的長(zhǎng)分別為3cm，4cm，以AC為直徑的圓與AB交于D，那么eq\f(BD,DA)＝________.解析∵∠C＝90°，AC為圓的直徑，∴BC為圓的切線，AB為圓的割線，∴BC2＝BD·AB，即16＝BD·5，解得BD＝eq\f(16,5)，∴DA＝BA－BD＝5－eq\f(16,5)＝eq\f(9,5)，∴eq\f(BD,DA)＝eq\f(16,9).答案eq\f(16,9)5.如圖，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)AB和DC相交于點(diǎn)P，假設(shè)eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，那么eq\f(BC,AD)的值為________．解析∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD，∴eq\f(PB,PD)＝eq\f(PC,PA)＝eq\f(BC,DA)，∵eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(BC,AD)＝eq\f(\r(6),6).答案eq\f(\r(6),6)6.如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，假設(shè)AB＝6，AE＝1，那么DF·DB＝________.解析由題意知，AB＝6，AE＝1，∴BE＝5.∴CE·DE＝DE2＝AE·BE＝5.在Rt△DEB中，∵EF⊥DB，∴由射影定理得DF·DB＝DE2＝5.答案57．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BOD＝110°，那么∠BCD＝______度．解析：∵∠BOD＝110°，∠BAD＝eq\f(1,2)∠BOD，∴∠BAD＝55°.∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BAD＋∠BCD＝180°，∴∠BCD＝125°.答案：1258.如圖，⊙O和⊙O′相交于A、B兩點(diǎn)，過A作兩圓的切線分別交兩圓于C、D.假設(shè)BC＝2，BD＝4，那么AB的長(zhǎng)為________．解析∵AC、AD分別是兩圓的切線，∴∠C＝∠2，∠1＝∠D，∴△ACB∽△DAB.∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(AB,BD)，∴AB2＝BC·BD＝2×4＝8.∴AB＝eq\r(8)＝2eq\r(2)(舍去負(fù)值)．答案2eq\r(2)二、解答題9．如圖，D，E分別為△ABC邊AB，AC的中點(diǎn)，直線DE交△ABC的外接圓于F，G兩點(diǎn)．假設(shè)CF∥AB，證明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD.證明(1)因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以DE∥BC.又CF∥AB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，連結(jié)AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CD＝AF.因?yàn)镃F∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因?yàn)镕G∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.所以∠BGD＝∠BDG.由BC＝CD知∠CBD＝∠CDB.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.10．如圖，AB是半圓的直徑，D是AB上的一點(diǎn)，CD⊥AB，CD交半圓于點(diǎn)E，CT是半圓的切線，T是切點(diǎn)，求證：BE2＋CT2＝BC2.證明：連接AE，AF，∵AB是直徑，∴∠AEB＝∠AFB＝90°，又∠CDB＝90°，∠ABF＝∠DBC，∴△DBC∽△FBA，∴eq\f(AB,CB)＝eq\f(BF,BD)，即AB·BD＝BC·BF，∵∠AEB＝90°，