高考數(shù)學(xué)（文）一本培養(yǎng)專題突破講義第2部分專題5第8講直線與圓

第8講直線與圓高考統(tǒng)計(jì)·定方向熱點(diǎn)題型真題統(tǒng)計(jì)命題規(guī)律題型1：圓的方程2018全國(guó)卷ⅡT20；2017全國(guó)卷ⅢT201.高考中對(duì)此部分內(nèi)部的考查以“一小”或“一大”的形式呈現(xiàn).2.重點(diǎn)考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程常與圓錐曲線交匯命題.題型2：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2018全國(guó)卷ⅠT15；2018全國(guó)卷ⅢT8；2017全國(guó)卷ⅢT112016全國(guó)卷ⅠT15；2016全國(guó)卷ⅡT6；2016全國(guó)卷ⅢT152015全國(guó)卷ⅠT20；2014全國(guó)卷ⅠT20；2014全國(guó)卷ⅡT12題型1圓的方程■核心知識(shí)儲(chǔ)備·1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2＋y2＝r2.2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．■高考考法示例·【例1】(1)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是()A．(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))D.eq2,0) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))(2)(2018·廈門模擬)圓C與x軸相切于T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B，且|AB|＝2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋eq\r(2))2＝4D．(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝4(3)(2018·黃山模擬)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為1∶2，則圓C的方程為________．(1)D(2)A(3)x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)[(1)方程可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋a)2＝1－a－eq\f(3a2,4)，由題意知1－a－eq\f(3a2,4)＞0，解得－2＜a＜eq\f(2,3)，故選D.(2)由題意得，圓C的半徑為eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，圓心坐標(biāo)為(1，eq\r(2))，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2，故選A.(3)因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對(duì)稱，所以圓C的圓心C在y軸上， 可設(shè)C(0，b)，設(shè)圓C的半徑為r, 則圓C的方程為x2＋(y－b)2＝r2.依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12＋?－b?2＝r2，,|b|＝\f(1,2)r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r2＝\f(4,3)，,b＝±\f(\r(3),3).))所以圓C的方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y±\f(\r(3),3)))eq\s\up20(2)＝eq\f(4,3).][方法歸納]求圓的方程的兩種方法1．幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程．2．代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1．(2018·青島模擬)與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2D．(x－2)2＋(y－2)2＝2D[由題意知，曲線為(x－6)2＋(y－6)2＝18，過圓心(6,6)作直線x＋y－2＝0的垂線，垂線方程為y＝x，則所求的最小圓的圓心必在直線y＝x上，又(6,6)到直線x＋y－2＝0的距離d＝eq\f(|6＋6－2|,\r(2))＝5eq\r(2)，故最小圓的半徑為eq\r(2)，圓心坐標(biāo)為(2,2)，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.]2．一束光線從圓C的圓心C(－1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程剛好是圓C的直徑，則圓C的方程為()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5C．(x＋1)2＋(y－1)2＝16D．(x＋1)2＋(y－1)2＝25A[圓C1的圓心C1的坐標(biāo)為(2,3)，半徑為r1＝1.點(diǎn)C(－1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(－1，－1)．因?yàn)镃′在反射線上，所以最短路程為|C′C1|－r1，即eq\r([2－?－1?]2＋[3－?－1?]2)－1＝4.故圓C的半徑為r＝eq\f(1,2)×4＝2，所以圓C的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝4，故選A.]題型2直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系■核心知識(shí)儲(chǔ)備·1．直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)與圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置關(guān)系如表．方法位置關(guān)系幾何法：根據(jù)d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))與r的大小關(guān)系代數(shù)法：消元得一元二次方程，根據(jù)判別式Δ的符號(hào)判斷相交d＜rΔ＞0相切d＝rΔ＝0相離d＞rΔ＜02．弦長(zhǎng)與切線長(zhǎng)的計(jì)算方法(1)弦長(zhǎng)的計(jì)算：直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝2eq\r(r2－d2)(其中d為弦心距)．(2)切線長(zhǎng)的計(jì)算：過點(diǎn)P向圓引切線PA，則|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)(其中C為圓心)．3．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|＝d，則(1)d＞r1＋r2?兩圓外離?4條公切線；(2)d＝r1＋r2?兩圓外切?3條公切線；(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2?兩圓相交?2條公切線；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)切?1條公切線；(5)0＜d＜|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)含?無公切線．■高考考法示例·【例2】(2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l：x－eq\r(3)y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|＝________.[思路點(diǎn)撥]法一：eq\x(直線l方程)→eq\x(直線l的傾斜角)→eq\x(畫出示意圖)→eq\x(求|OD|)→eq\x(|CD|＝2|OD|)法二：eq\x(求|AB|)→eq\x(作CE∥AB)→eq\x(解直角三角形求|CD|)4[法一：作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解．如圖所示，∵直線AB的方程為x－eq\r(3)y＋6＝0，∴kAB＝eq\f(\r(3),3)，∴∠BPD＝30°，從而∠BDP＝60°.在Rt△BOD中，∵|OB|＝2eq\r(3)，∴|OD|＝2.取AB的中點(diǎn)H，連接OH，則OH⊥AB，∴OH為直角梯形ABDC的中位線，∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.法二：∵圓心O(0,0)到直線x－eq\r(3)y＋6＝0的距離為d＝eq\f(6,\r(1＋3))＝3，∴|AB|＝2eq\r(12－9)＝2eq\r(3).如圖②所示，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E.∵直線l的斜率為eq\f(\r(3),3)，∴∠ECD＝30°，∴|CD|＝eq\f(|CE|,cos30°)＝eq\f(|AB|,cos30°)＝eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.](2)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.①求l的方程；②求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．[思路點(diǎn)撥]①eq\x(寫出直線l的方程)→eq\x(直線l與拋物線方程聯(lián)立)→eq\x(根據(jù)|AB|＝8求k值)②eq\x(寫出線段AB的垂直平分線方程)→eq\x(設(shè)出圓心坐標(biāo))→eq\x(聯(lián)立方程組求圓心坐標(biāo))[解]①由題意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k?x－1?，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由題設(shè)知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程為y＝x－1.②由①得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5，,?x0＋1?2＝\f(?y0－x0＋1?2,2)＋16.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝11，,y0＝－6.))因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.[方法歸納]1．解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系問題的指導(dǎo)思想討論直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量．2．求圓中有關(guān)距離的常用方法圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題；圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題．(教師備選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓被直線x－eq\r(3)y＋4＝0截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3).(1)求圓O的方程；(2)若斜率為2的直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)D(－1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，求直線l在y軸上的截距的取值范圍．[解](1)設(shè)x2＋y2＝r2，圓心(0,0)到直線x－eq\r(3)y＋4＝0的距離d＝2，又因?yàn)榻氐玫南议L(zhǎng)為2eq\r(3)，所以r＝eq\r(?\r(3)?2＋22)＝eq\r(7)，圓O的方程為x2＋y2＝7.(2)設(shè)斜率為2的直線l的方程為y＝2x＋b，與圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝7，,y＝2x＋b，))得5x2＋4bx＋b2－7＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝140－4b2＞0，,x1＋x2＝－\f(4b,5)，,x1x2＝\f(b2－7,5).))已知點(diǎn)D(－1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，所以eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))<0，即eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝5x1x2＋(2b＋1)(x1＋x2)＋b2＋1＝eq\f(2b2,5)－eq\f(4b,5)－6＜0，解得－3＜b＜5，滿足Δ＞0.所以直線l在y軸上的截距的取值范圍為(－3,5)．■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練·1．(2018·福州模擬)直線x＋y＝eq\r(3)a與圓x2＋y2＝a2＋(a－1)2相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB是正三角形，則實(shí)數(shù)a的值為()C.eqB．－1C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)C[由題意得，直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于半徑，圓的圓心坐標(biāo)O(0,0)，設(shè)圓半徑為r，圓心到直線的距離為d，則d＝eq\f(|－\r(3)a|,\r(2))＝eq\f(\r(6)|a|,2)，由條件得2eq\r(r2－d2)＝r，整理得4d2＝3r2.所以6a2＝3a2＋3(a－1)2，解得a＝eq\f(1,2).選C.]2．(2018·徐州模擬)如圖2-5-1，已知圓心坐標(biāo)為M(eq\r(3)，1)的圓M與x軸及直線y＝eq\r(3)x均相切，切點(diǎn)分別為A，B，另一圓N與圓M相切，且與x軸及直線y＝eq\r(3)x均相切，切點(diǎn)分別為C，D.圖2-5-1(1)求圓M與圓N的方程；(2)過點(diǎn)B作MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦長(zhǎng)．[解](1)由于圓M與∠BOA的兩邊相切，故M到OA，OB的距離相等，則M在∠BOA的平分線上，同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N三點(diǎn)共線，且直線ON為∠BOA的平分線，因?yàn)镸(eq\r(3)，1)，所以M到x軸的距離為1，即圓M的半徑為1，所以圓M的方程為(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝1.設(shè)圓N的半徑為r，連接AM，CN，如圖所示，則Rt△OAM∽R(shí)t△OCN，得eq\f(OM,ON)＝eq\f(MA,NC)，即eq\f(2,3＋r)＝eq\f(1,r)，解得r＝3，OC＝3eq\r(3)，所以圓N的方程為(x－3eq\r(3))2＋(y－3)2＝9.(2)由對(duì)稱性可知，所求弦長(zhǎng)為過點(diǎn)A的MN的平行線被圓N截得的弦長(zhǎng)，此弦所在直線的方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x－eq\r(3))，即x－eq\r(3)y－eq\r(3)＝0，圓心N到該直線的距離d＝eq\f(|3\r(3)－3\r(3)－\r(3)|,\r(1＋3))＝eq\f(\r(3),2)，故弦長(zhǎng)為2eq\r(r2－d2)＝eq\r(33).1．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C.eq\r(3) D．2A[將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求解．圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－4)2＝4，由圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1可知eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋12))＝1，解得a＝－eq\f(4,3)，故選A.]2．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[由題意知圓心的坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝eq\r(2)，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝eq\f(|2＋2|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是d＋r＝3eq\r(2)，最小距離是d－r＝eq\r(2).易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以2≤S△ABP≤6.故選A.]3．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是()B.eq1,1] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))C．[－eq\r(2)，eq\r(2)D.eqD.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))A[如圖，過點(diǎn)M作⊙O的切線，切點(diǎn)為N，連接ON.M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，MN與⊙O相切于點(diǎn)N.設(shè)∠OMN＝θ，則θ≥45°，即sinθ≥eq\f(\r(2),2)，即eq\f(ON,OM)≥eq\f(\r(2),2).而ON＝1，∴OM≤eq\r(2).∵M(jìn)為(x0,1)，∴eq\r(x\o\al(2,0)＋1)≤eq\r(2)，∴xeq\o\al(2,0)≤1，∴－1≤x0≤1，∴x0的取值范圍為[－1,1]．]4．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓