隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)第一頁，共十五頁，2022年，8月28日一.隱函數(shù)定義

1.若存在集函數(shù),則對方程使得對都有唯一的與一起滿足方程

(1),則稱方程

(1)確定了定義在X上,值域含于Y的隱若記并非任一方程都能確定隱函數(shù)。第二頁，共十五頁，2022年，8月28日定理

1.

二.隱函數(shù)存在定理若在含點的某區(qū)域

D

內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且則方程內(nèi)唯一確定在某一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的

n

元函數(shù)使得注意是指而非證明略，公式推導(dǎo)見黑板。第三頁，共十五頁，2022年，8月28日例1.

驗證方程在點

(0,0)

某鄰域可確定一連續(xù)可導(dǎo)的隱函數(shù)令連續(xù)

,由定理1,導(dǎo)的隱函數(shù)

則在原點的某鄰域內(nèi)方程可確定連續(xù)可并求解：偏導(dǎo)數(shù)且且第四頁，共十五頁，2022年，8月28日例2.

設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，令均連續(xù)

,則求由方程解：若所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)任一點(x,y,z)處,在滿足已知方程的則有法一.第五頁，共十五頁，2022年，8月28日例2.

設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，將z視為x,y的函數(shù),方程兩邊對x求偏導(dǎo)得求由方程解：所確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)法二.若則可解得注：定理1中若函數(shù)存在k階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),數(shù)的隱函數(shù)。則方程F

=

0可確定具有

k階連續(xù)偏導(dǎo)第六頁，共十五頁，2022年，8月28日以二元函數(shù)為例,存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若則隱函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),由得第七頁，共十五頁，2022年，8月28日練

1.

驗證方程鄰域內(nèi)可確定具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)答：令在點

(0,0,0)的某并求在原點的某鄰域內(nèi)連續(xù);驗證求得第八頁，共十五頁，2022年，8月28日練

2.

設(shè)續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且f,g

在區(qū)域

D

內(nèi)有連求答：第九頁，共十五頁，2022年，8月28日定理

2.

三.隱函數(shù)組存在定理設(shè)在含點的某區(qū)域

D

內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且雅可比行列式處不為0，在點具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的二元函數(shù)則方程組在某內(nèi)唯一確定一組使得且第十頁，共十五頁，2022年，8月28日例3.

驗證方程組在點

(1,0,1,1)

某鄰域可確定隱函數(shù)組令連續(xù)

,則并求解：且而由定理2,在點

(1,0,1,1)

的某鄰域可確定隱函數(shù)組偏導(dǎo)數(shù)計算見黑板。注意對稱性。第十一頁，共十五頁，2022年，8月28日例

4.

設(shè)續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且解：f,g

在區(qū)域

D

內(nèi)有連求令則及均連續(xù),且因此方程組在其解的鄰域內(nèi)能確定一元隱函數(shù)組且第十二頁，共十五頁，2022年，8月28日例

7.

設(shè)函數(shù)在點域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且并求證明由此可確定具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)組的某鄰解：則令的各偏導(dǎo)連續(xù),且由定理2,可確定反函數(shù)組偏導(dǎo)計算作為練習(xí)。第十三頁，共十五頁，2022年，8月28日練

3.

計算極坐標(biāo)變換換的導(dǎo)數(shù).由于的反變解：所以當(dāng)時，可確定反變換。并可得第十四頁，共十五頁，2022年，8月28日作業(yè)：P37.2.(2);3.(