2023屆河北省衡水中學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2022—2023高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科滿分150分，考試時(shí)間120分鐘考生注意：1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)城內(nèi)．2.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B.C. D.2.若，則（）A.1 B. C.2 D.3.在△ABC中，O為重心，D為BC邊上近C點(diǎn)四等分點(diǎn)，，則m＋n＝（）A. B. C. D.4.一個(gè)燈罩可看作側(cè)面有布料的圓臺(tái)，在原形態(tài)下測(cè)得的布料最短寬度為13，將其壓扁變?yōu)閳A環(huán)，測(cè)得布料最短寬度為5，則燈罩占空間最小為（）A. B. C. D.不存在5.若六位老師前去某三位學(xué)生家中輔導(dǎo)，每一位學(xué)生至少有一位老師輔導(dǎo)，每一位老師都要前去輔導(dǎo)且僅能輔導(dǎo)一位同學(xué)，由于就近考慮，甲老師不去輔導(dǎo)同學(xué)1，則有（）種安排方法A.335 B.100 C.360 D.3406.已知函數(shù)將其向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，若在上有三個(gè)極大值點(diǎn)，則一定滿足的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A. B.C. D.7.已知，則（）A. B.C. D.8.若已知函數(shù)，，，若函數(shù)存在零點(diǎn)（參考數(shù)據(jù)），則的取值范圍充分不必要條件為（）A B.C. D.二、多選題：本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.在正方體中，分別為棱中點(diǎn)，為近C三等分點(diǎn)，P在面上運(yùn)動(dòng)，則（）A∥平面B.若，則C點(diǎn)到平面PBH的距離與P點(diǎn)位置有關(guān)C.D.若，則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為10.若數(shù)列有，為前n項(xiàng)積，有，則（）A.為等差數(shù)列（） B.可能C.為等差數(shù)列 D.第n項(xiàng)可能與n無(wú)關(guān)11.已知拋物線C：，過(guò)點(diǎn)P（0，p）直線，AB中點(diǎn)為，過(guò)A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線軸＝N，拋物線準(zhǔn)線與交于M，下列說(shuō)法正確的是（）A.軸 B.O為PN中點(diǎn)C. D.M近四等分點(diǎn)12.已知奇函數(shù)，，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，下列說(shuō)法正確的是（）A.是周期為的函數(shù)B.是最小正周期為的函數(shù)C.關(guān)于中心對(duì)稱D.直線與若有3個(gè)交點(diǎn)，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.中常數(shù)項(xiàng)是_________．（寫出數(shù)字）14.若⊙C：，⊙D：，M，N分別為⊙C，⊙D上一動(dòng)點(diǎn)，最小值為4，則取值范圍為_(kāi)________．15.已知雙曲線，，分別為雙曲線左右焦點(diǎn)，作斜率為的直線交于點(diǎn)，連接交雙曲線于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率_________．16.已知函數(shù)，，使得，的取值范圍為_(kāi)________．四、解答題：本題共六個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知O為△ABC外心，S為△ABC面積，r為⊙O半徑，且滿足（1）求∠A大??；（2）若D為BC上近C三等分點(diǎn)（即），且，求S最大值．18.張老師在2022年市統(tǒng)測(cè)后統(tǒng)計(jì)了1班和3班的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦聢D所示，，0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828（1）根據(jù)卡方獨(dú)立進(jìn)行檢驗(yàn)，說(shuō)明是否有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績(jī)與班級(jí)有關(guān)；（2）現(xiàn)在根據(jù)分層抽樣原理，從1班和3班中抽取10人，再讓數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的同學(xué)輔導(dǎo)一位數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)一般的同學(xué)，每個(gè)人必有一人輔異，求在抽到甲輔導(dǎo)乙的情況下丙輔導(dǎo)丁的概率．（3）以頻率估計(jì)概率，若從全年級(jí)中隨機(jī)抽取3人，求至少抽到一人數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率．（4）以頻率估計(jì)概率，若從三班中隨機(jī)抽取8人，求抽到人數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的分布列（列出通式即可）及期望，并說(shuō)明x取何值時(shí)概率最大．19.在△ABC中，，A、B、C、D四點(diǎn)共球，R（已知）為球半徑，O為球心，為外接圓圓心，（未知）為⊙半徑．（1）求和此時(shí)O到面ABC距離h；（2）在的條件下，面OAB（可以無(wú)限延伸）上是否存在一點(diǎn)K，使得KC⊥平面OAB？若存在，求出K點(diǎn)距距離和到面ABC距離，若不存在請(qǐng)給出理由．20.在高中數(shù)學(xué)課上，張老師教會(huì)了我們用如下方法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和：形如的數(shù)列，我們可以錯(cuò)位相減的方法對(duì)其進(jìn)行求和；形如的數(shù)列，我們可以使用裂項(xiàng)相消的方法對(duì)其進(jìn)行求和．李華同學(xué)在思考錯(cuò)位相減和裂項(xiàng)相消后的本質(zhì)后對(duì)其進(jìn)行如下思考：錯(cuò)位相減：設(shè)，綜上：當(dāng)中間項(xiàng)可以相消時(shí)，可將求解的問(wèn)題用錯(cuò)位相減化簡(jiǎn)裂項(xiàng)相消：設(shè)或?yàn)楣葹?等比數(shù)列；①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)為公比為1的等比數(shù)列時(shí)，；故可為簡(jiǎn)便計(jì)算省去②的討論，綜上：可將求解的問(wèn)題用裂項(xiàng)相消轉(zhuǎn)化為求解的問(wèn)題你看了他的思考后雖覺(jué)得這是“廢話文學(xué)”，但是你立刻腦子里靈光一閃，回到座位上開(kāi)始寫下了這三個(gè)問(wèn)題：（1）用錯(cuò)位相減的方法“溫故”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項(xiàng)和；（2）用裂項(xiàng)相消的方法“知新”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項(xiàng)和；（3）融會(huì)貫通，求證：前n項(xiàng)和滿．請(qǐng)基于李華同學(xué)的思考做出解答，并寫出裂項(xiàng)具體過(guò)程．21.在平面直角坐標(biāo)系中，分別為，，⊙，為⊙上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，⊙C過(guò)和．（1）求點(diǎn)軌跡方程，并判斷軌跡形狀；（2）過(guò)兩直線交分別于、和、，，分別為和中點(diǎn)，求、軌跡方程，并判斷軌跡形狀；（3）在（2）的條件下，若PQ//x軸，，求點(diǎn)軌跡方程，并判斷軌跡形狀．22.已知函數(shù).（1）求證：；（2）若，都，求k滿足的取值范圍．2022—2023高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】C二、多選題：本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.【答案】BCD10.【答案】BD11.【答案】AD12.【答案】AC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】四、解答題：本題共六個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知O為△ABC外心，S為△ABC面積，r為⊙O半徑，且滿足（1）求∠A大?。唬?）若D為BC上近C三等分點(diǎn)（即），且，求S最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的運(yùn)算整理可得，結(jié)合正弦定理、余弦定理和面積公式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合向量可得，再結(jié)合數(shù)量積可得，利用基本不等式可得，再結(jié)合面積公式即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，可得：由，可得，則，即，整理得，由余弦定理，可得，∵，故.【小問(wèn)2詳解】由題意可得：，則，可得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即，則.故S最大值為.18.張老師在2022年市統(tǒng)測(cè)后統(tǒng)計(jì)了1班和3班的數(shù)學(xué)成績(jī)?nèi)缦聢D所示，，0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828（1）根據(jù)卡方獨(dú)立進(jìn)行檢驗(yàn)，說(shuō)明是否有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績(jī)與班級(jí)有關(guān)；（2）現(xiàn)在根據(jù)分層抽樣原理，從1班和3班中抽取10人，再讓數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的同學(xué)輔導(dǎo)一位數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)一般的同學(xué)，每個(gè)人必有一人輔異，求在抽到甲輔導(dǎo)乙的情況下丙輔導(dǎo)丁的概率．（3）以頻率估計(jì)概率，若從全年級(jí)中隨機(jī)抽取3人，求至少抽到一人數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率．（4）以頻率估計(jì)概率，若從三班中隨機(jī)抽取8人，求抽到人數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的分布列（列出通式即可）及期望，并說(shuō)明x取何值時(shí)概率最大．【答案】（1）有，理由見(jiàn)解析（2）（3）（4）分布列見(jiàn)解析，，時(shí)，概率最大，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）計(jì)算卡方，與10.828比較后得到結(jié)論；（2）先根據(jù)分層抽樣求出1班和3班抽到的學(xué)生分布情況，再根據(jù)條件概率求出概率；（3）計(jì)算出1班和3班的總?cè)藬?shù)，以及數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)，求出相應(yīng)的頻率作為全校數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的概率，求出隨機(jī)抽取3人，抽到0人數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的概率，再利用對(duì)立事件求概率公式計(jì)算出答案；（4）由題意得到，從而求出分布列，數(shù)學(xué)期望，并利用不等式組，求出時(shí)，概率最大.【小問(wèn)1詳解】，故有99.9%的把握數(shù)學(xué)成績(jī)與班級(jí)有關(guān)；【小問(wèn)2詳解】1班有40+20=60人，3班有10+30=40人，故抽取10人，從1班抽取人數(shù)為，從3班抽取人數(shù)為，由于1班數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀和一般人數(shù)比為4:2，故抽取的6人中有4人數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀，2人評(píng)價(jià)一般，而3班數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀和一般的人數(shù)之比為1:3，故抽取的4人中有1人數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀，3人評(píng)價(jià)一般，設(shè)抽到甲輔導(dǎo)乙為事件A，抽到丙輔導(dǎo)丁為事件B，則，，；【小問(wèn)3詳解】1班和3班總?cè)藬?shù)為100人，其中兩班學(xué)生數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的總?cè)藬?shù)為，故頻率為，以頻率估計(jì)概率，全年級(jí)的數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的概率為，從全年級(jí)中隨機(jī)抽取3人，抽到0人數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀的概率為，所以從全年級(jí)中隨機(jī)抽取3人，至少抽到一人數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的概率為.【小問(wèn)4詳解】由題意得：3班的數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)優(yōu)秀概率為，故，所以分布列為，；數(shù)學(xué)期望，時(shí)，概率最大，理由如下：令，解得：，令，解得：，故，因?yàn)椋?19.在△ABC中，，A、B、C、D四點(diǎn)共球，R（已知）為球半徑，O為球心，為外接圓圓心，（未知）為⊙半徑．（1）求和此時(shí)O到面ABC距離h；（2）在的條件下，面OAB（可以無(wú)限延伸）上是否存在一點(diǎn)K，使得KC⊥平面OAB？若存在，求出K點(diǎn)距距離和到面ABC距離，若不存在請(qǐng)給出理由．【答案】（1）為，此時(shí)，（2）存在K，滿足KC⊥平面OAB，理由見(jiàn)解析；，.【解析】【分析】(1)設(shè)線段的延長(zhǎng)線與球的交點(diǎn)為，則，設(shè)，表示的體積，通過(guò)換元，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.(2)取的中點(diǎn)，連接，，過(guò)作，根據(jù)線面垂直判定定理證明KC⊥平面OAB，再通過(guò)解三角形求，.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)點(diǎn)為線段的延長(zhǎng)線與球的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，所以，由球的截面性質(zhì)可得平面，設(shè)，，則，又，所以，所以，在中，，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，故，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，設(shè)，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)，取最大值，最大值為，所以，所以為，此時(shí)，【小問(wèn)2詳解】由(1)點(diǎn)與點(diǎn)重合，，又，取的中點(diǎn)，連接，，則，，平面，所以平面，過(guò)作，垂足為，因?yàn)槠矫?，所以，，平面，所以平面，?1)，，，所以，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以為的中點(diǎn)，又，所以到直線的距離為，過(guò)作，垂足為，故點(diǎn)到的距離為，所以到直線的距離為，因?yàn)槠矫?，為垂足，所以點(diǎn)到平面的距離為，過(guò)作，垂足為，則，所以平面，故點(diǎn)到平面的距離為，又所以點(diǎn)到平面的距離為.20.在高中的數(shù)學(xué)課上，張老師教會(huì)了我們用如下方法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和：形如的數(shù)列，我們可以錯(cuò)位相減的方法對(duì)其進(jìn)行求和；形如的數(shù)列，我們可以使用裂項(xiàng)相消的方法對(duì)其進(jìn)行求和．李華同學(xué)在思考錯(cuò)位相減和裂項(xiàng)相消后的本質(zhì)后對(duì)其進(jìn)行如下思考：錯(cuò)位相減：設(shè)，綜上：當(dāng)中間項(xiàng)可以相消時(shí)，可將求解的問(wèn)題用錯(cuò)位相減化簡(jiǎn)裂項(xiàng)相消：設(shè)或?yàn)楣葹?的等比數(shù)列；①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)為公比為1的等比數(shù)列時(shí)，；故可為簡(jiǎn)便計(jì)算省去②的討論，綜上：可將求解的問(wèn)題用裂項(xiàng)相消轉(zhuǎn)化為求解的問(wèn)題你看了他的思考后雖覺(jué)得這是“廢話文學(xué)”，但是你立刻腦子里靈光一閃，回到座位上開(kāi)始寫下了這三個(gè)問(wèn)題：（1）用錯(cuò)位相減的方法“溫故”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項(xiàng)和；（2）用裂項(xiàng)相消的方法“知新”張老師課堂上舉的例子，求解數(shù)列{}前n項(xiàng)和；（3）融會(huì)貫通，求證：前n項(xiàng)和滿．請(qǐng)基于李華同學(xué)的思考做出解答，并寫出裂項(xiàng)具體過(guò)程．【答案】（1）；（2）；（3）裂項(xiàng)過(guò)程見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)寫出的表達(dá)式，兩邊同乘，與原式相減，利用等比數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)即可；(2)對(duì)進(jìn)行裂項(xiàng)，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和；(3)對(duì)進(jìn)行裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求和，由此證明結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，設(shè)，則，所以，，故所以，所以；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋O(shè)，則，則，所以，即，所以所以，所以21.在平面直角坐標(biāo)系中，分別為，，⊙，為⊙上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，⊙C過(guò)和．（1）求點(diǎn)軌跡方程，并判斷軌跡形狀；（2）過(guò)兩直線交分別于、和、，，分別為和中點(diǎn)，求、軌跡方程，并判斷軌跡形狀；（3）在（2）條件下，若PQ//x軸，，求點(diǎn)軌跡方程，并判斷軌跡形狀．【答案】（1）C點(diǎn)軌跡方程為，軌跡形狀是以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.（2）點(diǎn)的軌跡方程為：，其軌跡形狀是以為對(duì)稱中心，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1的橢圓；點(diǎn)的軌跡方程為：，其軌跡形狀是以為對(duì)稱中心，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1的橢圓.（3）點(diǎn)的軌跡方程為：，其軌跡形狀是焦點(diǎn)在軸上，以為焦點(diǎn)，以2為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義即可求解；(2)設(shè)出直線的方程，與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解；(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，先得出，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合的關(guān)系式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：，，因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，則，所以C點(diǎn)軌跡方程為，軌跡形狀是以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線與軸重合時(shí)，點(diǎn)；當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立方程組，整理可得：，則，，所以，則，消參可得：，即，綜上所述：點(diǎn)的軌跡方程為：，點(diǎn)的軌跡形狀是以為對(duì)稱中心，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為1的橢圓；同理當(dāng)直線與軸重合時(shí)，點(diǎn)；當(dāng)直線與軸不