數(shù)學(xué)分析12課件

數(shù)列的概念收斂數(shù)列的性質(zhì)小結(jié)思考題作業(yè)數(shù)列極限的概念概念的引入第一節(jié)數(shù)列的極限第三章極限與函數(shù)的連續(xù)性1一、概念的引入極限概念是從常量到變量,從有限到無限,即從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.極限的思想源遠(yuǎn)流長.莊子(約公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.意思是:一尺長的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,這樣永遠(yuǎn)也取不完.數(shù)列的極限中寫道:2劉徽(三世紀(jì))的“割圓術(shù)”中說:意思是:設(shè)給定半徑為1尺的圓,從圓內(nèi)接正6邊形開始,每次把邊數(shù)加倍,屢次用勾股定理.求出正12邊形、……等等正多邊形的邊長,正24邊形.邊數(shù)越多,圓內(nèi)接正多邊形越與圓接近,最后與圓周重合,則正多邊形周長與圓周長就沒有誤差了.數(shù)列的極限

“割之彌細(xì),所失彌少.割之又割,以至不可割,則與圓周合體,而無所失矣.”3如定義按照自然數(shù)的順序排列的一列數(shù)簡記為通項(xiàng)(generalterm),或者一般項(xiàng).數(shù)列的極限二、數(shù)列(sequenceofnumber)的概念5可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取數(shù)列的(兩種)幾何表示法:數(shù)列可看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù):整標(biāo)函數(shù)或下標(biāo)函數(shù)(1)數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.數(shù)列的極限6(2)在平面上畫出自變量坐標(biāo)軸和因變量坐標(biāo)軸,注

不可將這串點(diǎn)連成曲線.onxn····1234則數(shù)列的幾何意義是數(shù)列的極限平面上一串分離的點(diǎn).7如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.可以要多么小就多么小,則要看?“無限接近”意味著什么?只要n充分大,小到什么要求.數(shù)列的極限當(dāng)n無限增大時(shí),無限接近于1.9數(shù)列的極限10定義如果對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小),總存在正整數(shù)N,

使得對于時(shí)的一切不等式成立.

收斂于a(convergetoa).或稱數(shù)列記為或那末就稱常數(shù)a是數(shù)列的極限(limit),如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列發(fā)散(diverge).數(shù)列的極限11數(shù)列極限的幾何意義數(shù)列極限的定義通常是用來進(jìn)行推理注需要預(yù)先知道極限值是多少.和證明極限,而不是用來求極限,因?yàn)檫@里數(shù)列的極限即13無窮小量Def3.3

極限為0的數(shù)列稱為無窮小量．Prop3.1 以下三個(gè)命題等價(jià)：（1）（2） 為無窮小量；（3）存在無窮小量 使14例所以,證雖然是可以任意小的正數(shù),但使用定義證題時(shí),對于給定的總暫時(shí)認(rèn)為它是固定的,按照這個(gè)找出使不等式成立的N.

解不等式數(shù)列的極限15例證所以,說明常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).數(shù)列的極限17例證為了使只需使數(shù)列的極限181.有界性如,有界;無界.定義若存在正數(shù)M,數(shù)n,恒有稱為無界.則稱數(shù)列有界;數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)都落在閉區(qū)間上.否則,使得一切自然數(shù)列的極限四、收斂數(shù)列的性質(zhì)192.唯一性定理2證由定義,故收斂數(shù)列極限唯一.每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.數(shù)列的極限才能成立.使得21例證區(qū)間長度為1.不可能同時(shí)位于長度為1的區(qū)間內(nèi).數(shù)列的極限

反證法假設(shè)數(shù)列收斂，

則有唯一極限a存在.但卻發(fā)散.22數(shù)列的極限3.保號性定理3如果且證由定義,對有

從而推論如果數(shù)列從某項(xiàng)起有且那么用反證法23極限與四則運(yùn)算及與不等式的關(guān)系

Thm3.1

設(shè) 則25Thm3.4

若是無窮小量 是有界數(shù)列，則 是無窮小量.Corollary3.3若 為常數(shù)，則Thm3.5（保序性）

若 且 則存在 當(dāng) 時(shí)，有26無窮大量Def3.4 設(shè) 是一數(shù)列．若對于任意給定的 存在正整數(shù)當(dāng) 時(shí)，有 則稱是無窮大量，記為 或Def3.4’ 設(shè) 是一數(shù)列．若對于任意給定的 存在正整數(shù)當(dāng) 時(shí)，有 則稱是正無窮大量，記為 或類似的請給出負(fù)無窮大量的定義.29在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;證定理4恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大三、無窮小與無窮大的關(guān)系此時(shí)對使得當(dāng)30關(guān)于無窮大的討論,意義無窮小的討論.都可歸結(jié)為關(guān)于

在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;定理4恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大此時(shí)對使得當(dāng)31?兩個(gè)正(負(fù))無窮大之和仍為正(負(fù))無窮大;?有界變量與無窮大的和、差仍為無窮大;?有非零極限的變量(或無窮大)與無窮大之積仍為無窮大;?用無零值有界變量去除無窮大仍為無窮大.容易證明例解無窮小與無窮大32(1)無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;無窮大一定是無界函數(shù),注(3)無窮大與無界函數(shù)的區(qū)別:它們是兩個(gè)不同的概念.未必是某個(gè)過程的無窮大.但是無界函數(shù)無窮小與無窮大33如是無界函數(shù),但不是無窮大.因?yàn)槿《o窮小與無窮大當(dāng)所以

f(x)不是無窮大!34證例的圖形的鉛直漸近線(verticalasymptote).無窮小與無窮大結(jié)論35無窮小與無窮大思考題A.無窮小量B.無窮大量C.有界量非無窮小量D.無界但非無窮大量D36在數(shù)列中依次任意抽出無窮多項(xiàng):所構(gòu)成的新數(shù)列這里是原數(shù)列中的第項(xiàng),在子數(shù)列中是第k項(xiàng),4.收斂數(shù)列與其子數(shù)列(subsequence)間的關(guān)系子數(shù)列.叫做數(shù)列數(shù)列的極限?37*********************證是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則成立.現(xiàn)取正整數(shù)

K,使于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明*********************定理4設(shè)數(shù)列數(shù)列的極限正整數(shù)

K收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.38由此定理可知,但若已知一個(gè)子數(shù)列發(fā)散,或有兩個(gè)子數(shù)列斂于a.收斂于不同的極限值,可斷定原數(shù)列是發(fā)散的.數(shù)列的極限一般不能斷定原數(shù)列的收斂性;還可以證明:數(shù)列的奇子數(shù)列和偶子數(shù)列均收斂于同一常數(shù)a時(shí),則數(shù)列也收僅從某一個(gè)子數(shù)列的收斂(證明留給做作業(yè))39例試證數(shù)列不收斂.證因?yàn)榈钠孀訑?shù)列不收斂.收斂于而偶子數(shù)列所以數(shù)列數(shù)列的極限收斂于40一些常用極限41其中（6）設(shè) 有（i）（ii）若 則42數(shù)列數(shù)列極限收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系.五、小結(jié)數(shù)列的極限研究其變化規(guī)律;極限思想,精確定義,幾何意義;有界性,唯一性,保號性,43數(shù)列極限的定義 有界性數(shù)列 保號性極限 保序性的性質(zhì) 不等式性 唯一性 夾迫性實(shí)數(shù)連續(xù)性定理單調(diào)有界原理44數(shù)列的