認識與解構(gòu)-方格紙的特點及其在數(shù)概念形成與發(fā)展中的價值

認識與解構(gòu)方格紙的特點及其在數(shù)概念形成與發(fā)展中的價值摘要:方格紙是小學數(shù)學中最常見的一種直觀模型,對于學生學習數(shù)的認識、數(shù)的運算等內(nèi)容十分重要，也是發(fā)展數(shù)感這一核心素養(yǎng)的重要載體。從方格紙的外化形式、數(shù)量級、結(jié)構(gòu)屬性三個方面重新認識方格紙,結(jié)合小數(shù)和分數(shù)的加減乘除運算，重點探討方格紙在學生數(shù)概念形成與發(fā)展中的價值的直觀體現(xiàn),并提出客觀正確看待方格紙價值作用的策略$關(guān)鍵詞：小學數(shù)學；方格紙；結(jié)構(gòu)屬性%數(shù)概念;核心價值圖!圖2（圖!圖2（二）方格紙的數(shù)量級—、聚焦方格紙首都師范大學王尚志教授在談及數(shù)概念的學習時曾對多種直觀模型中的兩種推崇備至一一一種是數(shù)軸，另一種就是方格紙#北京市教育科學研究院張丹教授也曾對方格紙這一模型尤其青睞：“小學數(shù)學中的多種直觀模型,在本質(zhì)上都差不多,面積模型突出的一點是它是一個通用工具，其實它就是方格紙。”在小學階段數(shù)概念的形成與發(fā)展中，為什么方格紙能夠在眾多直觀模型（其他如小棒、計數(shù)器、迪納斯方塊、點子圖、人民幣等）中脫穎而出并被廣泛使用呢?我想,這與方格紙本身所具備的屬性、結(jié)構(gòu)、功能以及直觀作用密切相關(guān)。（—）方格紙的外化形式伴隨著數(shù)的認識與運算的學習，在數(shù)的認知系統(tǒng)里，方格紙的出現(xiàn)與其他模型不同。比如數(shù)i,它經(jīng)歷了由實物到數(shù)尺、再到數(shù)i的發(fā)展歷程，這個過程是循序漸進的,在這個過程中，數(shù)i的功能也逐漸由實物直觀走向了幾何直觀#而方格紙卻不一樣，它是在學生第二次認識小數(shù)意義時才正式出現(xiàn)，可以說方格紙的出現(xiàn)是一蹴而就的#從外化形式來看，它也沒有多復(fù)雜，它就是那么一個簡單的面積模型，根據(jù)學習的需要有時表現(xiàn)為正方形，有時表現(xiàn)為長方形，且方格紙內(nèi)部可任意平均分割為若干同樣大小的小方格，在方格紙中表現(xiàn)為數(shù)與其中被表示（涂））部分的小方格一一對應(yīng)。在此過程中,方格紙的功能直接體現(xiàn)為一種幾何直觀的離散性表達，而這正是基于數(shù)的意義與運算發(fā)展以及數(shù)向微觀擴充的需要，同樣也是數(shù)概念形成與發(fā)展的內(nèi)在需求。以小數(shù)（十進分數(shù)）為例，借助于一個正方形面積模型,以“1”為單位1個1個地累加（數(shù)），根據(jù)需要平均分成10份后，以“0.1”為單位逐個地累加（數(shù)），平均分成100份后，以“0.01”為單位逐個地累加（數(shù)）……這樣隨著不斷平均分的過程,就會產(chǎn)生更小的計數(shù)單位。在不斷地平均分下去、計數(shù)單位逐漸變小的過程中，也滿足了數(shù)量級向微觀層面擴展后小數(shù)加減法的開展?？梢?從數(shù)量級上看，方格紙在小數(shù)的運算發(fā)展中，表現(xiàn)出一種自身獨特的天然.性。“1" 2等分 4等分 5等分 任意等分圖從方格紙的結(jié)構(gòu)來看，首先它是一個二維的面積模型——正方形（或長方形），把它看作一個整體單位$1”，可以根據(jù)需要在兩個維度上進行平均分割。對于小數(shù)來說，可以把它平均分成10份（每份是1條格）、100份（每份是一個小方格）、1000份（每份是更小的方格）等’如果需要，還可以繼續(xù)這樣分下去,這I的每一份都是一個新的計數(shù)單位0.1（0.01（0.001……對于分數(shù)來說，同樣可以將其平均分成2份、3份、4份、5份等，根據(jù)需要，可以將其任意等分,其中每一份都是一個新的分數(shù)單位上（—（—、234；……而將方格紙平均分成幾份是由分數(shù)單位（即分數(shù)的分母）決定的。由此可見，方格紙的“平均分”是靈活而自由的。反過來看，方格紙中隱去一些“線”，它又是“條”（稍大一些的單位）,這滿足了小數(shù)、分數(shù)及其運算的需求。具體而言,方格紙面積模型————計數(shù)的開始，單位小格————滿足了累加的度量需求，方格紙面域大小————滿足累加后“滿十進一”的十進位值制（只對小數(shù)而言，對分數(shù)要視分數(shù)單位而定“滿幾進一”）的天然需求'從方格紙的數(shù)學性角度來看,方格紙同樣像一把用來量數(shù)的“尺了”，適切了數(shù)概念形成和發(fā)展的必備需要。二、方格紙在小數(shù)和分數(shù)運算中的直觀體現(xiàn)（-）方格紙與加減1.關(guān)于小數(shù)加減法的例子我們先來看一個一位小數(shù)加法的例了。圖首先以“2.4+1.7”為例，在方格紙中,數(shù)與被涂）表示部分的格一一對應(yīng)，得到“2.4+1.7”結(jié)果的操作就是基于這種位值思想下的一一對應(yīng)，數(shù)出計數(shù)單位的過程。兩個小數(shù)的小數(shù)部分,0.4即4個0.1（即4個條格）,0.7即7個0.1（即7個條格）。從0.4開始，以0.1為單位連續(xù)累加7%，當累加到6%時，滿10個0.1（即10個條格）進為“1”（即1個整張方格紙）,最終得到4個整張方格紙和1個條格,即“4.1”這個結(jié)果o這個運算過程體現(xiàn)為計數(shù)單位的累加過程。再來看一個一位小數(shù)減法的例了。圖5以“2.4-0.8”為例，在方格紙中,2個整張方格紙表示“2”,4個條格表示“0.4”,合起來表示“2.4”。從2.4開始，先以0.1為單位遞減4%，接著將其中1個整張方格“破壞”即平均分成10個條格，再以0.1為單位遞減4%,最終得到“2.4-0.8”的運算結(jié)果“1.6”。從上述兩個例了可以看出,無論是小數(shù)加法還是減法,方格紙的直觀介入為學生分清數(shù)位，感受計數(shù)單位的運作與變換，理解加減法豎式算法奠定了基礎(chǔ),同時從位值的角度幫助學生直觀理解了小數(shù)的

內(nèi)部結(jié)構(gòu)，進而深化了數(shù)概念及加減運算的意義o2.關(guān)于分數(shù)加減法的例子圖6以同分母分數(shù)加法!圖6以同分母分數(shù)加法!："為例，把方格紙平1.關(guān)于小數(shù)乘除法的例子圖8 圖9圖8 圖9均分成5份，表示出”（3個“普$即3個條格）,以"為單位,連續(xù)累加2%,就得到“;"%即1）這個結(jié)果%圖中表現(xiàn)為整個1張方格紙涂滿）o這個運算過程即是分數(shù)單位的累加過程。再來看一個異分母分數(shù)減法”的例子"圖7在方格紙中先平均分成2份后表示出",）從中減去遇到了'困難"，即圖中'條格”大小在“小數(shù)乘整數(shù)"中，以“0.4x3"為例（如圖8）,借助方格紙表征，解決“0.4x3"就是求'3個0.4是多少"*其中0.4表示每次數(shù)4個條格,3表示數(shù)3%,可以看作是以0.4（4個0.1）為單位,度量了3%的結(jié)果*方格紙能夠幫助學生從度量的角度直觀理解十進位值制的本質(zhì)特征，“小數(shù)乘整數(shù)"其實質(zhì)就是小數(shù)計數(shù)單位（0.1+0.01……）個數(shù)的逐個累加。但到了“小數(shù)乘小數(shù)"，比如“0.2x0.3=0.06",學生在以往乘法學習中的認知是兩個因數(shù)的積都是越乘越大,而到了0.2x0.3=0.06這樣的“小數(shù)乘小數(shù)"中，積為什么會越乘越小了呢?借助方格紙思考，能夠幫助學生理解問題的關(guān)鍵一一新的計數(shù)單位的產(chǎn)生*如圖9,先表示出0.3,即把“1"平均分成10份（10個豎條）,取其中3份（圖中3個豎條）,0.2x0.3就是0.3不統(tǒng)一，沒辦法直接減，因此需要把“土"的一個條的￡,即把0.3（圖中3個豎條）再平均分成10份再來看兩個小數(shù)除法的例子*再來看兩個小數(shù)除法的例子*,2.3 2,3 J ::U150.1[15]■I2.3格再平均分，使得“條格"大小統(tǒng)一，即把"轉(zhuǎn)換為“2"%即通分后化作2個）,然后以"為單位遞減1%，最終獲得“!"的結(jié)果o可見，不管是分數(shù)加法還是減法,方格紙的出現(xiàn)為學生感受分數(shù)單位的運作（累加、遞減、變換、轉(zhuǎn)化）提供了直觀性支撐,幫助學生理解分數(shù)加減運算方法背后的道理，這是對分數(shù)意義的深化再認識,有助于分數(shù)概念的進一步形成和發(fā)展。（二）方格紙與乘除針對方格紙與乘除,結(jié)合小數(shù)與分數(shù)運算，筆者同樣對教材之中方格紙的使用情況進行了系統(tǒng)梳理*（圖中30個小塊）,取其中的2份（圖中6個小塊）*這時,新的計數(shù)單位0.01（圖中1個小塊）就產(chǎn)生了,用這個新的計數(shù)單位0.01（圖中1個小塊）作為標準去度量運算的結(jié)果（圖中6個小塊），需要數(shù)6%,算式表征即“0.01x6=0.06"*由此可見，小數(shù)乘小數(shù)的運算的核心，從度量的角度看,即新的更小的計數(shù)單位的產(chǎn)生,數(shù)計數(shù)單位的個數(shù)*說到底，計數(shù)單位的轉(zhuǎn)換與運作依然是小數(shù)乘小數(shù)運算的本質(zhì)*~05 □50圖10這是“小數(shù)除以整數(shù)"的運算內(nèi)容*解決“11.5%5"就是求“把11.5平均分成5份,每份是多少"*其圖圖12運算過程是借助方格紙表示出11.5（11個整張方格紙和5個豎條），先分完10個1（10!5=2）,剩下1個1和5個0.1,沒法直接平均分成5份，因此必須轉(zhuǎn)化單位，把1個“1”轉(zhuǎn)化成10個“0.1”之后再分，最后獲得運算結(jié)果2.3。其中，從1.5到15個0.1,經(jīng)歷了怎樣的過程？15表示15個0.1,學生借助方格紙面積模型擺、分、轉(zhuǎn)換、再分,解釋說明其中的道理&不難看出，方格紙的使用能夠幫助學生從度量的角度理解小數(shù)除法運算的本質(zhì)，即計數(shù)單位的$逐級細分”過程,也就是新的更小的度量單位（計數(shù)單位）的產(chǎn)生，數(shù)度量單位（計數(shù)單位）的個數(shù)。說到底,還是度量單位（計數(shù)單位）的轉(zhuǎn)換與運作&下面這個是“小數(shù)除以小數(shù)”的例子&解決“5.1!0.3”就是求“5.1里面有幾個0.3”。先用方格紙表示出5.1,即5個1（5個整張方格紙）和1個0.1（1個條格）也就是51個條格,然后以0.3（即3個0.1）為單位數(shù)一次，即,3個條格數(shù)一次,一共數(shù)了17%&這個過程可以看作以“0.3”為單位去度量“5.1”，正好量了17%,把5.1度量完的過程。說到底，方格紙的介入還是幫助學生理解度量單位的運作&圖112.關(guān)于分數(shù)乘除法的例子圖11分數(shù)乘法包括“分數(shù)乘整數(shù)”和“分數(shù)乘分數(shù)”&分數(shù)乘整數(shù)的運算與小數(shù)乘整數(shù)運算的意義相同,本質(zhì)相通，只不過這里的度量單位由計數(shù)單位變成了分數(shù)單位，如圖12&同樣，分數(shù)乘分數(shù)的運算與前

述小數(shù)乘小數(shù)（小數(shù)即十進分數(shù)）運算的意義相同,本質(zhì)相通,運算的核心也是尋找新的度量單位（新的分數(shù)單位）的產(chǎn)生,如圖13&這里均不再贅述&圖13分數(shù)除法包括“分數(shù)除以整數(shù)”和“除數(shù)是分數(shù)的除法”&從度量的角度理解“分數(shù)除以整數(shù)”分兩種情況（如圖14）：一種是!2”這樣的運算,用原分7數(shù)的分數(shù)單位即可度量；一種是“H!3”這樣的運7算，原有的分數(shù)單位無法度量,在運作的過程中必須產(chǎn)生新的分數(shù)單位“—”，再去度量&21“除數(shù)是分數(shù)的除法”以“除數(shù)是分數(shù)的除法”以“2!§”運算為例，如圖圖15“2嚀”可表示“2里面有幾個亍”,可用號”為

單位去度量“2”,可度量3%,2里面有3個天，度量值“3”即為"的運算結(jié)果；也可用“上"為單位33去度量“2”，可度量6%,2里面有6個!,度量值“6"即為!2!—"的運算結(jié)果,用“』"去度量“2"要3 3 3量2%，因此可得“2號”的運算結(jié)果為3%綜上不難看出,無論是分數(shù)乘法還是分數(shù)除法,方格紙的介入和使用,都能夠幫助學生從分數(shù)單位運作的角度去直觀地理解分數(shù)乘除運算的意義及算三、客觀看待方格紙的價值（-）方格紙與小數(shù)、分數(shù)的認識與運算一路相生相伴小數(shù)的意義和加減法小數(shù)乘法小數(shù)除法分數(shù)的意義分數(shù)加減法分數(shù)乘法分數(shù)除法圖16從上述方格紙使用情況的梳理很容易發(fā)現(xiàn)格紙模型與小數(shù)、分數(shù)的認識一路相生相伴％具體來說,從四（下（到五（上），小數(shù)的意義和加減法、小數(shù)乘法、小數(shù)除法的學習，借助方格紙向微觀領(lǐng)域拓展數(shù)量級,計數(shù)單位逐漸變小,運算體現(xiàn)為計數(shù)單位的運作與轉(zhuǎn)換;從五（上）到五（下），分數(shù)的意義、分數(shù)加減法、分數(shù)乘法、分數(shù)除法的學習，借助方格紙分數(shù)單位可自由出現(xiàn)，運算體現(xiàn)為分數(shù)單位的運作與轉(zhuǎn)換;六（上）百分數(shù)，借助方格紙表征分數(shù)意義（率）的另一種表現(xiàn)形式;六（下）正比例和反比例，借助方格紙擴充為根據(jù)數(shù)據(jù)刻畫兩個量的變化關(guān)系%可見,方格紙與小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)等數(shù)概念的形成與發(fā)展、數(shù)域的不斷擴充相生相伴％生相伴小數(shù)的意義和加減法小數(shù)乘法小數(shù)除法分數(shù)的意義分數(shù)加減法分數(shù)乘法分數(shù)除法圖16（二） 方格紙使小數(shù)、分數(shù)的運算從抽象走向直觀首先，小數(shù)、分數(shù)的加、減、乘、除運算可以在方格紙上直觀呈現(xiàn)一一通過方格的自由平均分割、表示,直觀理解運算單位的運作、變換、累加、遞減;其次，方格紙為學生小數(shù)、分數(shù)運算的學習提供了一個理解算理、獲取算法的簡明、形象、直觀的支撐性思維工具％（三） 方格紙是對其他直觀模型的一種承襲，自身具有局限性如前所述，方格紙是在學生再次認識小數(shù)的意義時才開始粉墨登場,之前在20以內(nèi)、100以內(nèi)、萬以內(nèi)、億以內(nèi)等整數(shù)的認識及相關(guān)運算中，方