第七節(jié)-空間向量(一)-平行與垂直

第七節(jié)空間向量的應(yīng)用(一)平行與垂直高考概覽：1.理解直線的方向向量與平面的法向量；2.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系；3.能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理．[知識(shí)梳理]1．直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量．(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量．2．空間位置關(guān)系的向量表示[辨識(shí)巧記](méi)1．確定平面的法向量的兩種方法(1)直接法：觀察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接確定．(2)待定系數(shù)法：取平面的兩條相交向量a，b，設(shè)平面的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0))解方程組求得．2．方向向量和法向量均不為零向量且不唯一．[雙基自測(cè)]1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的．()(2)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.()(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行．()(4)若直線a的方向向量與平面α的法向量垂直，則a∥α.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(選修2－1P104練習(xí)2改編)已知平面α，β的法向量分別為n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，則()A．α∥β B．α⊥βC．α，β相交但不垂直 D．以上均不對(duì)[解析]不能確定唯一的實(shí)數(shù)λ，使n1＝λn2，所以n1與n2不平行，故α與β不平行；n1·n2＝－6＋3－20＝－23，故α與β不垂直．所以α與β相交但不垂直．故選C.[答案]C3．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，則下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1,1,1) B．(1，－1,1)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))[解析]設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up6(→))＝0，))化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))∴x＝y(tǒng)＝z.故選C.[答案]C4．(2019·陜西黃陵模擬)若兩點(diǎn)A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，當(dāng)|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值時(shí)，x的值等于()A．19B．－eq\f(8,7)C.eq\f(8,7)D.eq\f(19,14)[解析]∵A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋3－2x2＋3x－32)＝eq\r(14x2－32x＋19)＝eq\r(14\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,7)))2＋\f(5,7))，∴當(dāng)|eq\o(AB,\s\up6(→))|取最小值時(shí)，x＝eq\f(8,7).故選C.[答案]C5．(2019·濰坊摸底)已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量；④eq\o(AP,\s\up6(→))∥eq\o(BD,\s\up6(→)).其中正確的是________．[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，則①②正確．又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AD,\s\up6(→))不平行，∴eq\o(AP,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量，則③正確．∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3,4)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1,2，－1)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))與eq\o(AP,\s\up6(→))不平行，故④錯(cuò)誤．[答案]①②③考點(diǎn)一證明平行關(guān)系【例1】如圖，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝2eq\r(2)，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ＝3QC.證明：PQ∥平面BCD.[證明]證法一：如圖，取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OD，OP所在射線分別為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.由題意知，A(0，eq\r(2)，2)，B(0，－eq\r(2)，0)，D(0，eq\r(2)，0)．設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x0，y0,0)．因?yàn)閑q\o(AQ,\s\up6(→))＝3eq\o(QC,\s\up6(→))，所以Qeq\f(3,4)x0，eq\f(\r(2),4)＋eq\f(3,4)y0，eq\f(1,2).因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，故M(0，eq\r(2)，1)．又P為BM的中點(diǎn)，故P0,0，eq\f(1,2)，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)x0，eq\f(\r(2),4)＋eq\f(3,4)y0,0.又平面BCD的一個(gè)法向量為a＝(0,0,1)，故eq\o(PQ,\s\up6(→))·a＝0.又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD.證法二：在線段CD上取點(diǎn)F，使得DF＝3FC，連接OF，同證法一建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(x0，y0,0)．∵eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CD,\s\up6(→))，設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為(x，y,0)，則(x－x0，y－y0,0)＝eq\f(1,4)(－x0，eq\r(2)－y0,0)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,4)x0，,y＝\f(\r(2),4)＋\f(3,4)y0，))∴eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)x0，eq\f(\r(2),4)＋eq\f(3,4)y0,0又由證法一知eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)x0，eq\f(\r(2),4)＋eq\f(3,4)y0,0，∴eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴PQ∥OF.又PQ?平面BCD，OF?平面BCD，∴PQ∥平面BCD.(1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵．(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說(shuō)明直線在平面外即可．這樣就把幾何的證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AA1的中點(diǎn)，求證：平面EFG∥平面B1CD1.[證明]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)．得E1，eq\f(1,2)，0，F(xiàn)eq\f(1,2)，0,0，G1,0，eq\f(1,2)，eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，0，eq\o(EG,\s\up6(→))＝0，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2).設(shè)n1＝(x1，y1，z1)為平面EFG的法向量，n2＝(x2，y2，z2)為平面B1CD1的法向量．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n1·\o(EG,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x1－\f(1,2)y1＝0，,－\f(1,2)y1＋\f(1,2)z1＝0.))令x1＝1，可得y1＝－1，z1＝－1，同理可得x2＝1，y2＝－1，z2＝－1.則n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，－1)．由n1＝n2，得平面EFG∥平面B1CD1.考點(diǎn)二證明垂直關(guān)系【例2】如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.證明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.[思路引導(dǎo)](1)eq\x(建立坐標(biāo)系)→eq\x(設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo))→eq\x(證\o(PA,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→))＝0)(2)eq\x(取PA的中點(diǎn)M)→eq\x(證明\o(DM,\s\up6(→))⊥\o(PB,\s\up6(→))，\o(DM,\s\up6(→))⊥\o(PA,\s\up6(→)))→eq\x(DM⊥平面PAB)[證明](1)取BC的中點(diǎn)O，連接PO，∵平面PBC⊥底面ABCD，BC為交線，PO?平面PBC，△PBC為等邊三角形，即PO⊥BC，∴PO⊥底面ABCD.以BC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．不妨設(shè)CD＝1，則AB＝BC＝2，PO＝eq\r(3).∴A(1，－2,0)，B(1,0,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，eq\r(3))．∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2，－1,0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(1，－2，－eq\r(3))．∵eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－eq\r(3))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(BD,\s\up6(→))，∴PA⊥BD.(2)取PA的中點(diǎn)M，連接DM，則Meq\f(1,2)，－1，eq\f(\r(3),2).∵eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)，0，eq\f(\r(3),2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1,0，－eq\r(3))，∴eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)×1＋0×0＋eq\f(\r(3),2)×(－eq\r(3))＝0，∴eq\o(DM,\s\up6(→))⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，即DM⊥PB.∵eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)×1＋0×(－2)＋eq\f(\r(3),2)×(－eq\r(3))＝0，∴eq\o(DM,\s\up6(→))⊥eq\o(PA,\s\up6(→))，即DM⊥PA.又∵PA∩PB＝P，PA，PB?平面PAB，∴DM⊥平面PAB.∵DM?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.用向量證明垂直的方法(1)線線垂直：證明兩直線的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零．(2)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎荆甗對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).證明：A1C⊥平面BB1D1D.[證明]由題設(shè)易知OA，OB，OA1兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)锳B＝AA1＝eq\r(2)，所以O(shè)A＝OB＝OA1＝1，所以A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．由eq\o(A1B1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，易得B1(－1,1,1)．因?yàn)閑q\o(A1C,\s\up6(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(0，－2,0)，eq\o(BB1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，所以eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(BB1,\s\up6(→))＝0，所以A1C⊥BD，A1C⊥BB1.又BD∩BB1＝B，BD，BB1?平面BB1D1D，所以A1C⊥平面BB1D1D.考點(diǎn)三探究性問(wèn)題【例3】如圖，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在的平面互相垂直．已知BC＝4，AB＝AD＝2.(1)求證：AC⊥BF；(2)在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出eq\f(BP,PE)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解](1)證明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF?平面ADEF，∴AF⊥平面ABCD.又AC?平面ABCD，∴AF⊥AC.過(guò)A作AH⊥BC于H，則BH＝1，AH＝eq\r(3)，CH＝3，∴AC＝2eq\r(3)，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB，∵AB∩AF＝A，AB，AF?平面FAB，∴AC⊥平面FAB，∵BF?平面FAB，∴AC⊥BF.(2)存在．由(1)知，AF，AB，AC兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2eq\r(3)，0)，E(－1，eq\r(3)，2)．假設(shè)在線段BE上存在一點(diǎn)P滿足題意，則易知點(diǎn)P不與點(diǎn)B，E重合，設(shè)eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(PE,\s\up6(→))，則λ>0，Peq\f(2－λ,1＋λ)，eq\f(\r(3)λ,1＋λ)，eq\f(2λ,1＋λ).設(shè)平面PAC的法向量為m＝(x，y，z)．由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2－λ,1＋λ)，eq\f(\r(3)λ,1＋λ)，eq\f(2λ,1＋λ)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(0,2eq\r(3)，0)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AP,\s\up6(→))＝\f(2－λ,1＋λ)x＋\f(\r(3)λ,1＋λ)y＋\f(2λ,1＋λ)z＝0，,m·\o(AC,\s\up6(→))＝2\r(3)y＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,z＝\f(λ－2,2λ)x，))令x＝1，則z＝eq\f(λ－2,2λ)，所以m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，\f(λ－2,2λ)))為平面PAC的一個(gè)法向量．同理，可求得n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)，1))為平面BCEF的一個(gè)法向量．當(dāng)m·n＝0，即λ＝eq\f(2,3)時(shí)，平面PAC⊥平面BCEF，故存在滿足題意的點(diǎn)P，此時(shí)eq\f(BP,PE)＝eq\f(2,3).向量法解決與垂直、平行有關(guān)的探究性問(wèn)題的思維流程(1)根據(jù)題設(shè)條件中的垂直、平行關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將相關(guān)點(diǎn)、向量用坐標(biāo)表示．(2)假設(shè)所求的點(diǎn)或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點(diǎn)，根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練](2018·桂林模擬)如圖，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證：BD⊥AA1；(2)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．[解](1)證明：設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，則BD⊥AC，連接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，∴A1O2＝AAeq\o\al(2,1)＋AO2－2AA1·AOcos60°＝3，∴AO2＋A1O2＝AAeq\o\al(2,1)，∴A1O⊥AO.由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O?平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABCD.以O(shè)B，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－1,0)，B(eq\r(3)，0,0)，C(0,1,0)，D(－eq\r(3)，0,0)，A1(0,0，eq\r(3))，C1(0,2，eq\r(3))．由于eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－2eq\r(3)，0,0)，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝(0,1，eq\r(3))，eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0×(－2eq\r(3))＋1×0＋eq\r(3)×0＝0，∴eq\o(BD,\s\up6(→))⊥eq\o(AA1,\s\up6(→))，即BD⊥AA1.(2)假設(shè)在直線CC1上存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，設(shè)eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(CC1,\s\up6(→))，P(x，y，z)，則(x，y－1，z)＝λ(0,1，eq\r(3))．從而有P(0,1＋λ，eq\r(3)λ)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)，1＋λ，eq\r(3)λ)．設(shè)平面DA1C1的法向量為n3＝(x3，y3，z3)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n3⊥\o(A1C1,\s\up6(→))，,n3⊥\o(DA1,\s\up6(→))，))又eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝(0,2,0)，eq\o(DA1,\s\up6(→))＝(eq\r(3)，0，eq\r(3))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y3＝0，,\r(3)x3＋\r(3)z3＝0，))取n3＝(1,0，－1)，因?yàn)锽P∥平面DA1C1，則n3⊥eq\o(BP,\s\up6(→))，即n3·eq\o(BP,\s\up6(→))＝－eq\r(3)－eq\r(3)λ＝0，得λ＝－1，即點(diǎn)P在C1C的延長(zhǎng)線上，且C1C＝CP.課后跟蹤訓(xùn)練(五十一)基礎(chǔ)鞏固練一、選擇題1．在空間直角坐標(biāo)系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A．垂直B．平行C．異面D．相交但不垂直[解析]由題意得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－3,3)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(1,1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))沒(méi)有公共點(diǎn)．∴AB∥CD.[答案]B2．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是()A．相交B．平行C．在平面內(nèi)D．平行或在平面內(nèi)[解析]由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))＋μeq\o(CE,\s\up6(→))可知eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))共面，所以AB∥平面CDE或AB?平面CDE.故選D.[答案]D3．已知平面α內(nèi)有一點(diǎn)M(1，－1,2)，平面α的一個(gè)法向量為n＝(6，－3,6)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是()A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)[解析]經(jīng)計(jì)算，P(2,3,3)滿足eq\o(MP,\s\up6(→))·n＝0.[答案]A4.(2018·鄭州月考)如圖，F(xiàn)是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn)．E是BB1上一點(diǎn)，若D1F⊥DE，則有()A．B1E＝EBB．B1E＝2EBC．B1E＝eq\f(1,2)EBD．E與B重合[解析]以D為原點(diǎn)，DA，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，令A(yù)B＝1，則B(1,1,0)，B1(1,1,1)，F(xiàn)0，eq\f(1,2)，0，D1(0,0,1)．設(shè)E(1,1，a)(0≤a≤1)，則eq\o(D1F,\s\up6(→))＝0，eq\f(1,2)，－1，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1,1，a)．∵D1F⊥DE，∴eq\o(D1F,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝0.∴eq\f(1,2)－a＝0，得a＝eq\f(1,2).故E為BB1中點(diǎn)．選A.[答案]A5.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A．斜交B．平行C．垂直D．MN在平面BB1C1C內(nèi)[解析]建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于A1M＝AN＝eq\f(\r(2)a,3)，則Ma，eq\f(2a,3)，eq\f(a,3)，Neq\f(2a,3)，eq\f(2a,3)，a，eq\o(MN,\s\up6(→))＝－eq\f(a,3)，0，eq\f(2a,3).又C1D1⊥平面BB1C1C，所以eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝(0，a,0)為平面BB1C1C的一個(gè)法向量．因?yàn)閑q\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(MN,\s\up6(→))⊥eq\o(C1D1,\s\up6(→))，又MN?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.[答案]B二、填空題6．設(shè)平面α的法向量為(1,2，－2)，平面β的法向量為(－2，－4，k)，若α∥β，則k的值為_(kāi)_________．[解析]∵α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)，∴－2＝λ，k＝－2λ，∴k＝4.[答案]47．(2018·武漢調(diào)研)已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一個(gè)法向量n＝(－1，－1，－1)，則不重合的兩個(gè)平面α與β的位置關(guān)系是________．[解析]設(shè)平面α的法向量為m＝(x，y，z)，由m·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，得x·0＋y－z＝0?y＝z，由m·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.[答案]α∥β8．(2019·西安調(diào)研)已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,5，－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3,1，z)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，則實(shí)數(shù)x＋y＝________.[解析]由條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋5－2z＝0，,x－1＋5y＋6＝0，,3x－1＋y－3z＝0，))解得x＝eq\f(40,7)，y＝－eq\f(15,7)，z＝4，∴x＋y＝eq\f(40,7)－eq\f(15,7)＝eq\f(25,7).[答案]eq\f(25,7)三、解答題9.如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)．求證：PB∥平面EFG.[證明]∵平面PAD⊥平面ABCD，且ABCD為正方形，∴AB，AP，AD兩兩垂直．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,1,1)，G(1,2,0)．證法一：∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(EG,\s\up6(→))＝(1,2，－1)，設(shè)平面EFG的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝0，,n·\o(EG,\s\up6(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝0，,x＋2y－z＝0，))令z＝1，則n＝(1,0,1)為平面EFG的一個(gè)法向量，∵eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·n＝0.∴n⊥eq\o(PB,\s\up6(→))，∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.證法二：eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2,0，－2)，eq\o(FE,\s\up6(→))＝(0，－1,0)，eq\o(FG,\s\up6(→))＝(1,1，－1)．設(shè)eq\o(PB,\s\up6(→))＝seq\o(FE,\s\up6(→))＋teq\o(FG,\s\up6(→))，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝2，,t－s＝0，,－t＝－2，))解得s＝t＝2.∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(FE,\s\up6(→))＋2eq\o(FG,\s\up6(→))，又∵eq\o(FE,\s\up6(→))與eq\o(FG,\s\up6(→))不共線，∴eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))與eq\o(FG,\s\up6(→))共面．∵PB?平面EFG，∴PB∥平面EFG.10.如圖正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點(diǎn)G，O為GC的中點(diǎn)，F(xiàn)O＝eq\r(3)，且FO⊥平面ABCD.(1)求證：AE∥平面BCF；(2)求證：CF⊥平面AEF.[證明]取BC中點(diǎn)H，連接OH，則OH∥BD，又四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，故以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(xiàn)(0,0，eq\r(3))，B(1,2,0)．eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，－2,0)，eq\o(CF,\s\up6(→))＝(1,0，eq\r(3))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－1，－2，eq\r(3))．(1)設(shè)平面BCF的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2y＝0，,x＋\r(3)z＝0，))取z＝1，得n＝(－eq\r(3)，eq\r(3)，1)．又四邊形BDEF為平行四邊形，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－1，－2，eq\r(3))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，eq\r(3))＝(－3，－4，eq\r(3))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·n＝3eq\r(3)－4eq\r(3)＋eq\r(3)＝0，∴eq\o(AE,\s\up6(→))⊥n，又AE?平面BCF，∴AE∥平面BCF.(2)eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－3,0，eq\r(3))，∴eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝－3＋3＝0，eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝－3＋3＝0，∴eq\o(CF,\s\up6(→))⊥eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))⊥eq\o(AE,\s\up6(→))，又AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，∴CF⊥平面AEF.能力提升練11．已知A(1，－1,3)，B(0,2,0)，C(－1,0,1)，若點(diǎn)D在z軸上，且eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，則|eq\o(AD,\s\up6(→))|等于()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2[解析]∵點(diǎn)D在z軸上，∴可設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0，m)，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,1，m－3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－2,1)，由eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，得eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝m－4＝0，∴m＝4，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3).[答案]C12.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線NO、AM的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面垂直 D．異面不垂直[解析]建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，eq\o(NO,\s\up6(→))＝(－1,0，－2)，eq\o(AM,\s\up6(→))＝(－2,0,1)，eq\o(NO,\s\up6(→))·eq\o(AM,\s\up6(→))＝0，則直線NO、AM的位置關(guān)系是異面垂直．[答案]C13．已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)及向量a＝(x，y,1)，若向量a分別與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，則向量a＝__________.[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，因?yàn)橄蛄縜分別與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))垂直，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·