新教材2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版第一冊(cè)學(xué)案：1.1.3 第1課時(shí)交集與并集含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精新教材2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修第一冊(cè)學(xué)案：1.1.3第1課時(shí)交集與并集含解析1．1.3集合的基本運(yùn)算第1課時(shí)交集與并集［課程目標(biāo)］1.理解兩個(gè)集合的交集與并集的概念,明確數(shù)學(xué)中的“且”“或”的含義；2。會(huì)求兩個(gè)集合的交集與并集，并能利用交集與并集的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題；3。能使用Venn圖或數(shù)軸表示集合之間的運(yùn)算，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想對(duì)理解抽象概念的作用．知識(shí)點(diǎn)一交集［填一填］1．交集的定義一般地，給定兩個(gè)集合A,B，由既屬于A又屬于B的所有元素(即A和B的公共元素）組成的集合，叫做A與B的交集，記作A∩B,讀作“A交B”．2．交集的性質(zhì)(1）A∩B＝B∩A；(2)A∩A＝A；（3)A∩?＝?∩A＝?;（4）如果A?B，則A∩B＝A.3．兩個(gè)集合A，B的交集可用Venn圖表示為如圖陰影部分：.[答一答］1．若A∩B＝A,則A與B有什么關(guān)系?提示：若A∩B＝A，則A?B.2．當(dāng)集合A與B沒(méi)有公共元素時(shí)，A與B就沒(méi)有交集嗎？提示：不能這樣認(rèn)為，當(dāng)兩個(gè)集合無(wú)公共元素時(shí),兩個(gè)集合的交集仍存在，即此時(shí)A∩B＝?.知識(shí)點(diǎn)二并集［填一填]1．并集的定義一般地,給定兩個(gè)集合A，B，由這兩個(gè)集合的所有元素組成的集合，叫做A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”．2．并集的性質(zhì)（1)A∪B＝B∪A；（2)A∪A＝A；(3)A∪?＝?∪A＝A；（4）如果A?B,則A∪B＝B。3．兩個(gè)集合A,B的并集可用Venn圖表示為如圖（1)或圖(2)中的陰影表示：。［答一答]3．若A∪B＝A，則A與B有什么關(guān)系？提示:若A∪B＝A，則B?A.4．A∪B的元素等于A的元素的個(gè)數(shù)與B的元素的個(gè)數(shù)的和嗎？提示:不一定，用Venn圖表示A∪B如下：當(dāng)A與B有相同的元素時(shí)，根據(jù)集合元素的互異性，重復(fù)的元素在并集中只能出現(xiàn)一次，如上圖②③④中，A∪B的元素個(gè)數(shù)都小于A與B的元素個(gè)數(shù)的和。類型一兩個(gè)集合的交集的運(yùn)算［例1]（1）已知集合A＝{0，2,4,6｝，B＝{2,4,8,16｝，則A∩B等于()A．{2｝ B．{4}C．{0，2,4,6，8,16} D．｛2，4｝(2)設(shè)集合A＝［－1，2］,B＝［0,4]，則A∩B等于（)A．［0,2] B．［1，2］C．[0，4] D．［1,4][解析](1）觀察集合A,B,可得集合A，B的全部公共元素是2，4,所以A∩B＝{2,4｝．（2)在數(shù)軸上表示出集合A與B,如下圖．則由交集的定義可得A∩B＝[0,2]．[答案］（1)D（2）A求集合交集的思路1識(shí)別集合：點(diǎn)集或數(shù)集.2化簡(jiǎn)集合：明確集合中的元素。3求交集:元素個(gè)數(shù)有限，利用定義或Venn圖求解；元素個(gè)數(shù)無(wú)限，借助數(shù)軸求解.[變式訓(xùn)練1］（1)若集合A＝｛x|－2〈x〈1},B＝｛x|x<－1或x>3}，則A∩B＝（A）A．{x｜－2<x〈－1} B．{x|－2〈x〈3}C．｛x｜－1〈x<1｝ D．｛x|1<x〈3}解析：將集合A，B表示在數(shù)軸上，如下圖所示．A∩B＝｛x|－2〈x〈1｝∩｛x|x〈－1或x〉3}＝｛x｜－2〈x<－1｝．(2)已知集合M＝{x∈N|x〈3｝，N＝{0，2，4｝，則集合M∩N中元素的個(gè)數(shù)為2.解析：依題意知M＝｛0，1,2｝，又N＝{0,2，4｝，故M∩N＝{0,2｝，即M∩N中元素的個(gè)數(shù)為2。類型二兩個(gè)集合的并集的運(yùn)算［例2]（1)若集合A＝{0,1,2，3｝,B＝{1，2，4｝,則集合A∪B＝（)A．｛0，1，2,3,4｝ B．{1，2，3，4｝C．｛1,2｝ D．｛0｝（2）已知A＝{x｜x≤－2，或x>5}，B＝｛x｜1<x≤7},求A∪B。[解析]（1)由并集的含義得：A∪B＝{0，1，2,3,4}．答案為A.（2）解：將x≤－2或x>5及1<x≤7在數(shù)軸上表示出來(lái)，據(jù)并集的定義，圖中陰影部分即為所求，∴A∪B＝｛x｜x≤－2，或x>1}．[答案]（1）A（2）見(jiàn)解析解決此類問(wèn)題首先應(yīng)看清集合中元素的范圍,簡(jiǎn)化集合,若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運(yùn)算的結(jié)果;若是用描述法表示的數(shù)集，可借助數(shù)軸分析寫(xiě)出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)值不在集合中時(shí)，應(yīng)用“空心點(diǎn)”表示.［變式訓(xùn)練2]設(shè)集合M＝｛x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R｝，則M∪N＝（D)A．｛0}B．{0，2｝C．｛－2,0｝D．{－2,0,2}解析：M＝{x|x2＋2x＝0,x∈R}＝{0，－2}，N＝{x|x2－2x＝0,x∈R｝＝｛0，2}，故M∪N＝{－2，0，2｝，故選D。類型三交集、并集的運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用［例3］已知集合A＝｛x｜a－4<x〈a＋4｝，B＝｛x｜x〈－1或x〉5}．（1)當(dāng)a＝1時(shí)，求A∩B與A∪B;（2)若A∪B＝R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．［解］（1）當(dāng)a＝1時(shí),A＝｛x|－3<x〈5｝，所以A∩B＝｛x|－3<x<5}∩{x|x<－1或x>5｝＝{x|－3〈x<－1}，A∪B＝｛x|－3<x〈5｝∪{x|x<－1或x〉5｝＝{x｜x<5或x>5｝．(2)如圖．因?yàn)锳∪B＝R,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a－4〈－1，a＋4〉5）)，所以1<a<3。即a的取值范圍是1〈a<3.1若集合是有限集，常用定義法和Venn圖法求解.求解時(shí)，一般先把集合中的元素一一列舉出來(lái)，然后結(jié)合集合交集、并集的定義分別求出.2若集合是無(wú)限集，常借助數(shù)軸求解，求解時(shí)，一般先把集合分別表示在數(shù)軸上，然后利用交集、并集的定義求解,這樣處理比較形象直觀。,在數(shù)軸上分析問(wèn)題時(shí)應(yīng)特別注意端點(diǎn)處是“實(shí)心”還是“空心”，即等號(hào)取還是不取.[變式訓(xùn)練3]集合A＝{x｜－1<x<1｝，B＝{x｜x<a｝．(1)若A∩B＝?,求a的取值范圍；（2）若A∪B＝{x|x〈1｝，求a的取值范圍．解：（1)如圖所示，A＝｛x｜－1<x〈1｝，B＝｛x｜x〈a｝,且A∩B＝?,∴數(shù)軸上a在－1的左側(cè)(含a與－1重合）．∴a≤－1.（2）如圖所示,A＝｛x|－1<x<1},B＝｛x｜x〈a｝，且A∪B＝｛x|x〈1｝，∴數(shù)軸上a在－1和1之間(含a與1重合),∴－1〈a≤1。1．設(shè)集合M＝{m∈Z|－3<m〈2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，則M∩N＝(B)A．｛0,1｝ B．｛－1，0,1｝C．{0，1,2｝ D．｛－1，0,1,2}解析：M＝｛－2，－1，0,1｝，N＝｛－1,0，1,2，3}，∴M∩N＝{－1,0,1}，故選B.2．設(shè)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝｛x∈R｜x2＋x－6＝0},則如圖中陰影部分表示的集合為（A)A．{2｝ B．｛3}C．{－3,2｝ D．{－2,3}解析：注意到集合A中的元素均為自然數(shù)，因此易知A＝{1，2,3，4,5，6，7,8，9,10｝，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3，2}，因此陰影部分顯然表示的是A∩B＝｛2}．3．已知集合M＝{x｜－3<x≤5}，N＝{x｜x〈－5或x>5}，則M∪N＝(A)A．｛x|x〈－5或x〉－3}B．｛x｜－5〈x〈5}C．｛x｜－3<x〈5}D．｛x｜x〈－3或x〉5}解析:在數(shù)軸上表示集合M,N（圖略)，可知M∪N＝{x|x<－5