向量代數(shù)與空間解析幾何

（優(yōu)選）向量代數(shù)與空間解析幾何ppt講解現(xiàn)在是1頁\一共有81頁\編輯于星期六§1空間直角坐標系1.空間直角坐標系xzyO空間直角坐標系Oxyz坐標原點O坐標軸Ox,Oy,Oz右手系坐標平面

xOy,yOz,xOz現(xiàn)在是2頁\一共有81頁\編輯于星期六IIIIIIIVVVIVIIVIII卦限現(xiàn)在是3頁\一共有81頁\編輯于星期六2.點的投影空間一點M在直線(或軸上)的投影空間一點M在平面上的投影??M2M??MM1現(xiàn)在是4頁\一共有81頁\編輯于星期六3.點的直角坐標xyMOzPRQM(x,y,z)有序數(shù)組(x,y,z)稱為點M的坐標，記為M(x,y,z)x,y,z分別稱為點M的橫、縱、立坐標.現(xiàn)在是5頁\一共有81頁\編輯于星期六原點O的坐標坐標軸上的點的坐標坐標面上的點的坐標各卦限中的點的坐標的符號討論題現(xiàn)在是6頁\一共有81頁\編輯于星期六4.兩點間距離設空間中兩點M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),是否應有數(shù)軸上兩點M1=x1,M2=x2,有平面上兩點M1(x1,y1),M2(x2,y2),有d=|M1M2|=|x2–x1|現(xiàn)在是7頁\一共有81頁\編輯于星期六OxyzPRQR1R2P2P1Q1Q2NM2M1由勾股定理現(xiàn)在是8頁\一共有81頁\編輯于星期六M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),特別地，點O(0,0,0)與M(x,y,z)之間的距離例1.

在Oz軸上求與A(4,1,7)和B(3,5,2)等距離的點.解：設所求的點為M(0,0,z).由|AM|=|BM|，得化簡求得現(xiàn)在是9頁\一共有81頁\編輯于星期六作圖要點坐標系.

Oy軸與Oy軸垂直，單位等長；Ox軸與Oy軸交角120(或135)，單位長為Oy軸上的單位長的倍(或倍)；直線.

空間中本來相互平行的直線在圖中依然要保持平行；作圖：作點P(2,1,3),Q(1,2,-1),R(-2,-1,-1)現(xiàn)在是10頁\一共有81頁\編輯于星期六§2向量的概念及其表示1.向量向量：既有大小又有方向的量單位向量：模等于1的向量零向量：模等于0的向量(方向任意)

，記0.向量相等：①模相等,②方向相同，記a=b負向量：與a的模相等而方向相反的向量，

記

–a.所有向量的共性：大小、方向，因此定義模：向量的大小，記||a

||,ABaba–aa現(xiàn)在是11頁\一共有81頁\編輯于星期六2.向量的加法

c=a+bba

c=a+b平行四邊形法則三角形法則

c=a+bba現(xiàn)在是12頁\一共有81頁\編輯于星期六

a1+a2+…+an運算規(guī)律：(1)a+b=b+a(交換律)(2)(a+b)+c=a+(b+c)(結合律)(3)a+0=a(4)a+(–a)=03.向量減法a–b=a+(–b)

a1+a2+a3+a4a1a2a3a4a–ba–bb現(xiàn)在是13頁\一共有81頁\編輯于星期六4.數(shù)與向量的乘法a=0=0:a=0模：||a||=||·||a||方向：>0:與a相同<0:與a相反運算律：(1)(a)=()a=(a)結合律(2)(+)a=a+a分配律

(a+b)=a+b(3)1·a=a,(–1)a=–aa2aa現(xiàn)在是14頁\一共有81頁\編輯于星期六定理1

b//aR,

使b=a.

于是a0，設a°與a方向相同的一個單位向量，由||a||>0，故||a||·a°也與a方向相同，且||||a||·a°||=||a||·||a°||=||a||

而同時有稱a°為a的單位向量.(常被用來表示向量a的方向.)現(xiàn)在是15頁\一共有81頁\編輯于星期六5.向量在軸上的投影向量間的夾角ab=〈a,b〉=〈b,a〉限定0〈a,b〉向量在軸u上的投影數(shù)值uOM1u1M2u2M2=||a||cos〈a,u〉a(1)現(xiàn)在是16頁\一共有81頁\編輯于星期六(2)uM1M2u1u2M3u3a1a2現(xiàn)在是17頁\一共有81頁\編輯于星期六5.向量的分解和向量的坐標例1.

設P1與P2為u軸上的兩點，坐標分別為u1和u2；又e為與u軸正向一致的單位向量，則事實上,若u1<u2,有且與e同向，故

若u1>u2,有且與e反向，故

若u1=u2,有0；

又0故也有現(xiàn)在是18頁\一共有81頁\編輯于星期六OxyzM2M1PRQR1R2P2P1Q1Q2N但稱為在Ox,Oy,Oz軸上的分向量.現(xiàn)在是19頁\一共有81頁\編輯于星期六j

xyzikO令i,

j,k

分別為沿Ox,Oy,

Oz坐標軸正向的基本單位向量.記點P1,P2的坐標為x=x1,x=

x2；OxyzM2M1PRQR1R2P2P1Q1Q2N點Q1,Q2的坐標為y=y1,y=

y2；點R1,R2的坐標為z=z1,z=

z2.由例1知故有現(xiàn)在是20頁\一共有81頁\編輯于星期六即這是向量a在三個坐標軸上的分解式.記則顯然ax,ay,az便是向量a在三個坐標軸上的投影.由于a(ax,ay,az)稱(ax,ay,az)為a的坐標；記a=(ax,ay,az)顯然

0=(0,0,0)現(xiàn)在是21頁\一共有81頁\編輯于星期六向徑：向量OM稱為點

M的向徑.OM(x,y,z)xyz?設M(x,y,z)，則有OM=(x,y,z).從而MOM6.向量運算的坐標表示式設a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，Rab=(axi+ayj+azk

)

(bxi+byj+bzk

)=(axbx)i+(ayby)

j+(azbz)k=(axbx,ayby,azbz)a=(axi+ayj+azk)=(ax)i+(ay)

j+(az)k=(ax,ay,az)現(xiàn)在是22頁\一共有81頁\編輯于星期六例1.

已知a=(4,-1,3)，b=(5,2,-2)，求2a+3b.解.2a+3b=2(4,-1,3)+3(5,2,-2)=(23,4,0)例2.

設點A(x1,y1,z1)

和B(x2,y2,z2)，求線段AB的定比分點(定比為-1)

的坐標.解.

設分點為M(x,y,z)，作AM和MB.依題意而故有于是特別地當=1時，便是中點現(xiàn)在是23頁\一共有81頁\編輯于星期六7.向量的模與方向余弦向量的模：由兩點間距離公式立得向量的方向：與三坐標軸正向間夾角,,.Oxyz稱,,

為a的方向角

(規(guī)定0,,)

現(xiàn)在是24頁\一共有81頁\編輯于星期六Oxyz

向量的坐標就是向量在坐標軸上的投影，故ax=Prjxa=||a||cosay=Prjya=||a||cosax=Prjza=||a||cos稱cos,cos,cos

為a的方向余弦，現(xiàn)在是25頁\一共有81頁\編輯于星期六顯然，cos2+cos2+cos2a的單位向量：a的方向余弦cos,cos,cos就是a°的坐標.=cosi+cosj+cosk=(cos,cos,cos)現(xiàn)在是26頁\一共有81頁\編輯于星期六例2.

已知A(2,2,)

和B(1,3,0)，求AB的模、方向角和方向余弦.解.

例3.

已知a與三坐標軸的夾角相等，求a

的方向余弦.解：由cos2+cos2+cos2=1，且==，有3cos2=3cos2=3cos2=1，從而現(xiàn)在是27頁\一共有81頁\編輯于星期六例4.

設有P1P2，已知||P1P2||=2，且與x軸和y軸的夾角分別為和，若P1為(1,0,3)，求P2的坐標.解.設P1P2的方向角為,,，有得由cos2+cos2+cos2=1，有設P2的坐標為(x,y,z)，則同理有P2的坐標為(2,,4)，或(2,,2)現(xiàn)在是28頁\一共有81頁\編輯于星期六例5.

解：設此求向量為a，則故現(xiàn)在是29頁\一共有81頁\編輯于星期六§3向量的數(shù)量積與向量積1.向量的數(shù)量積

一個物體在力F作用下沿直線產生一段位移r，則力F所作的功為W=||F||cos·||r||rF定義1對于向量a,b，數(shù)量這里0〈a,b〉

.數(shù)量積亦稱點積或內積.稱為向量a與b的數(shù)量積；記為a·b.W=F·r現(xiàn)在是30頁\一共有81頁\編輯于星期六由于||b||cos〈a,b〉=Prjab，于是a·b=||a||·Prjab=||b||·Prjba運算律：(1)a2=a·a=||a||2.證

a·a=||a||·||a||cos0=||a||2.(2)a⊥ba·b=0.證

a,b0，a⊥ba或b為0時，方向任意，可認為與另一垂直.〈a,b〉=

cos〈a,b〉=0a·b=0.(3)a·b=b·a.(交換律

)現(xiàn)在是31頁\一共有81頁\編輯于星期六(5)(ab)=(a)b=a(b).(結合律)證>0,(ab)=||a||·||b||cos〈a,b〉(a)b=||a||·||b||cos〈a,b〉顯然,〈a,b〉=〈

a,b〉，故(ab)=(a)b

其他情形類似可證.(6)i·i=j·j=k·k=1；i·j=j·k=k·i=0(4)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)證(a+b)·c=||c||·Prjc(a+b)=||c||·(Prjca+Prjcb)=||c||·Prjca+||c||·Prjcb=a·c+b·c現(xiàn)在是32頁\一共有81頁\編輯于星期六設a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，a·b=(axi+ayj+azk

)·

(bxi+byj+bzk

)=axbxi·i+axbyi·j+axbzi·k+aybxj·i+aybyj·j+aybzj·k+azbxk·i+azbyk·j+azbzk·k=axbx+ayby+azbz特別地a·a=ax2

+ay2

+az2，此外立刻有a⊥baxbx+ayby+azbz=0.而a2=||a||2，于是現(xiàn)在是33頁\一共有81頁\編輯于星期六例1.

已知A(1,1,1),B(2,2,1),C(2,1,2).求AB·AC及AB與AC的夾角.又證因為AB=(1,1,0)，AC=(1,0,1)所以AB·AC=11+10+01=1從而現(xiàn)在是34頁\一共有81頁\編輯于星期六例2.

△ABC中，CB=a,CA=b,AB=c,∠BCA=.求證余弦定理：c2=a2+b2–2abcos.證設CB=a,CA=b,AB=c，則acbCBAc

=AB=CB–CA=a–b,c·c

=(a–b)(a–b)=aa+bb–2ab,即c2=a2+b2–2abcos.現(xiàn)在是35頁\一共有81頁\編輯于星期六例3.

在xOy平面上求一垂直于a=(–4,3,7)的單位向量.解設所求向量為e=(x,y,z)，因為它在xOy平面上，所以z=0；又因為它與a垂直，所以–4x+3y=0；再e為單位向量，有x2+y2=1；聯(lián)立解得：從而現(xiàn)在是36頁\一共有81頁\編輯于星期六討論題下面結論是否成立？(a·b)2=a2·b2；a·b=a·c

b=c(消去律)；(a·b)·c=a·(b·c)

(結合律).現(xiàn)在是37頁\一共有81頁\編輯于星期六2.向量的向量積一根杠桿L一端O固定為支點，另一端P受到力F的作用，力F與OP的夾角為.我們用力矩表示F對杠桿L轉動作用的大小和方向.力矩是一向量，記為M，其量值(大小)為其方向垂直于OP與F所決定的平面,指向符合右手規(guī)則.現(xiàn)在是38頁\一共有81頁\編輯于星期六定義2對于向量a,b，由a和b可確定一個新向量,這里0〈a,b〉

.向量積亦稱叉積或外積.稱為向量a與b的向量積；記為ab.a×b=模：方向：同時垂直于a和b且按右手規(guī)則a×bab力矩M

=

OP×F現(xiàn)在是39頁\一共有81頁\編輯于星期六以向量a和b為鄰邊作平行四邊形OABC，abOACBh=||b||sin〈a,b〉于是其面積

S=||a||h=||a||·||b||sin〈a,b〉

=||ab||.則高h=||b||sin〈a,b〉運算律：(1)aa=0.證

||aa||

=||a||2sin0=0.(2)a//bab=0.證

a,b0，a//ba或b為0時，方向任意，可認為與另一平行.〈a,b〉=0或

sin〈a,b〉=0ab=0.現(xiàn)在是40頁\一共有81頁\編輯于星期六(3)ab=–ba.(交換律不成立

)證

a//b時，

ab=0，–ba=0，結論成立；a//b時，

||ab||=||ba||，由右手規(guī)則有ab與ba方向相反，故ab=–ba.(4)(ab)

=(a)b=a(b)(分配律)證=0或a//b,上式兩端均為0,自然成立；不妨設>0,則||(ab)||=||ab||=||a||·||b||sin〈a,b〉,0且a//b時,||(a)b||=||a||·||b||sin〈a,b〉=||a||·||b||sin〈a,b〉,且>0時(ab)和(a)b方向相同，故等式成立；同理<0時可證；后一等式亦然.現(xiàn)在是41頁\一共有81頁\編輯于星期六(5)(a+b)c

=ac+bca(b+c)

=ab+ac(分配律)(6)ii

=jj=kk=0;ij=k

,jk=i,ki=j向量積的坐標式：設ab=(axi+ayj+azk

)(bxi+byj+bzk

)a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，=(aybz–azby)i+(azbx–axbz)j+(axby–aybx)k=axbxii+axbyij+axbzik+aybxji+aybyjj+aybzjk+azbxki+azbykj+azbzkk=axbyk–axbzj–aybxk+aybzi+azbxj–azbyi=(aybz–azby，azbx–axbz，axby–aybx)ijk現(xiàn)在是42頁\一共有81頁\編輯于星期六ab=(aybz–azby)i+(azbx–axbz)j+(axby–aybx)k為便于記憶a//baybz–azby=0，azbx–axbz=0，axby–aybx=0現(xiàn)在是43頁\一共有81頁\編輯于星期六例4.

a=(2,1,–1),b=(1,–1,2),計算ab和ba.=i–5j–3k=–i+5j+3k解現(xiàn)在是44頁\一共有81頁\編輯于星期六例5.求一垂直于a=(2,2,1)和b=(4,5,3)的單位向量.解顯然ab是垂直于a和

b的.而=i–2j+2k，所以現(xiàn)在是45頁\一共有81頁\編輯于星期六例6.已知OA=i+3k,OB=j+3k,求△OAB

的面積.OACB解平行四邊形OABC的面積=||OAOB||,從而現(xiàn)在是46頁\一共有81頁\編輯于星期六3.向量的混合積(ab)·c

稱為向量a,b,c的混合積,記作[abc]

.設a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，c=(cx,cy,cz)，混合積有“輪序置換”性質：(ab)·c=

(bc)·a=(ca)·b，或[abc]=

[bca]=

[cab].現(xiàn)在是47頁\一共有81頁\編輯于星期六|(ab)·c|是以向量a,b,c為棱的平行六面體的體積.這平行六面體的底面積為||ab||,高為h=|||c||cos|.其中為ab與c之夾角.故V=||ab||·h=||ab||·|||c||cos|=|(ab)·c|容易知道：向量a,b,c共面

[abc]=0.現(xiàn)在是48頁\一共有81頁\編輯于星期六討論題下面結論是否成立？(ab)c=a(bc)

；(三重向量積，結合律)ab=ac

b=c.(消去律)i+j+k是單位向量嗎？若a,b是任一單位向量，則ab是單位向量？現(xiàn)在是49頁\一共有81頁\編輯于星期六§4平面及其方程

空間的幾何圖形均視為空間“動點”的軌跡.于是動點坐標所滿足的數(shù)量關系(方程)稱為該圖形的方程.1.平面的點法式方程垂直于平面Π的非零向量n稱為Π

的一個法向量.給定了法向量

n便確定了平面Π

的方向.法向量的特征：垂直于平面Π上的任一向量.若再給定平面Π上的一點M0便可完全確該平面的位置.?現(xiàn)在是50頁\一共有81頁\編輯于星期六?☆平面方程的建立：已知法向量n=(A,B,C)，點M0(x0,y0,z0)，設平面Π上任一點(動點)為M

(x,y,z)，?作向量M0M

=(x–x0,y–y0,z–z0)，由于M0M

在Π上，故M0M⊥n，

n·M0M

=0，即

A(x–x0)+B(y–y0)+C(z–z0)

=0.稱為平面Π

的點法式方程.現(xiàn)在是51頁\一共有81頁\編輯于星期六A(x–x0)+B(y–y0)+C(z–z0)

=0.(1)2.平面的一般方程從方程(1)有Ax+By+Cz–(Ax0+By0+Cz0)

=0.

令D=–(Ax0+By0+Cz0),則Ax+By+Cz+D=0.

(2)

這是三元一次方程，其中A,B,C,D為常數(shù)且不全為零.由于(2)與(1)同解，故三元一次方程總表示一張平面：Ax+By+Cz+D=0

平面Π因此稱方程(2)為平面的一般方程.顯然，這里系數(shù)A,B,C為法向量n的坐標.現(xiàn)在是52頁\一共有81頁\編輯于星期六例1.求過點M

(1,–1,3),且與平面x–2y+3z=5平行的平面方程.解.已知平面的法向量n=(1,–2,3),將所求平面的法向量也取作n，則(x–1)–2(y+1)+3(z–3)

=0，即x–2y+3z–12

=0.例2.xOy坐標面的方程.解.xOy平面上動點坐標總滿足z=0，故其方程為z=0.另解.取法向量k=(0,0,1)，和原點(0,0,0)，則0(x–0)+0(y–0)+1(z–0)

=0，z

=0.類似地，xOz平面方程為y=0；yOz平面方程為x=0.現(xiàn)在是53頁\一共有81頁\編輯于星期六M1M2M3例3.求過三點M1(2,–1,4),M2(–1,3,–2)和M3(0,2,3)的平面方程.解1.作向量M1M2=(–3,4,–6)，M1M3=(–2,3,–1)，取法向量再取點M1得平面的方程14(x–2)+9(y+1)–1(z–4)=0，或14x+9y–z–15=0.一般地，不共線的三點可確定一個平面.n現(xiàn)在是54頁\一共有81頁\編輯于星期六例3.求過三點M1(2,–1,4),M2(–1,3,–2)和M3(0,2,3)的平面方程.解2：設所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0(其中A,B,C,D待定.)將點M1,M2,M3代入，得聯(lián)立解得：故由D0，得現(xiàn)在是55頁\一共有81頁\編輯于星期六3.平面一般方程的討論Ax+By+Cz+D=0.

(1)D=0：(2)A=0：有n=(0,B,C),n·i=0,

n⊥i

；故方程By+Cz+D

=0為平行(或通過)Ox軸的平面；(3)A=B=0：有n=(0,0,C),n=Ck,

n//k；故方程Cz+D

=0為平行(或重合)xOy坐標面的平面；B=0，或C=0：Ax+By+Cz=0為過原點(0,0,0)的平面；A=C

=0，或B=C

=0；現(xiàn)在是56頁\一共有81頁\編輯于星期六例4.設一平面通過Ox軸并過點M0(4,–3,–1),求這平面.解1.因為所求平面過Ox軸，故A=0,D=0，故設其方程為By+Cz=0，將點M0

代入得–3B–C=0，C=–3B，于是得平面方程y–3z=0.解2.因為原點、Ox軸及點M0都在所求平面上，故n⊥i

且n⊥OM0

于是取n=iOM0

=i(4i

–3j

–k)=j

–3k點法式方程為1·(y+3)–3·(z+1)=0即y–3z=0.

現(xiàn)在是57頁\一共有81頁\編輯于星期六abc例5.一平面在Ox,Oy,Oz軸上的截距分別為a,b,c，求該平面的方程(a0,b0,c0).解1.平面過三點M1(a,0,0),M2(0,b,0)和M3(0,0,c).將點M1,M2,M3代入,確定A,B,C,D，得設平面方程為Ax+By+Cz+D=0(其中D0)解2.作向量M1M2=(–a,b,0)，M1M3=(–a,0,c)，取法向量n=M1M2

M1M3和點M1，亦可得這稱為平面的截距式方程.現(xiàn)在是58頁\一共有81頁\編輯于星期六§5空間直線及其方程1.直線的標準式方程平行于直線L

的非零向量s稱為L

的一個方向向量.sxyzLO?M0給定了方向向量

s，便確定了直線L

的方向.若再給定直線L上的一點M0便可完全確定該直線的位置.現(xiàn)在是59頁\一共有81頁\編輯于星期六sxyzLO?M0M?☆直線方程的建立：已知方向向量s=(m,n,p)，點M0(x0,y0,z0)，設直線

L上任一點(動點)為M

(x,y,z)，作向量M0M

=(x–x0,y–y0,z–z0)，由于M0M

在L上，故M0M//s，于是稱為直線

L

的標準式方程

(點向式、對稱式）.現(xiàn)在是60頁\一共有81頁\編輯于星期六令則有x=x0+mt，y=y0+nt，z=z0+pt.稱為直線的參數(shù)方程

(t為參數(shù))例1.求過點M0(4,–1,3)且平行于Ox軸的直線.解.取i=(1,0,0)為所求直線的方向向量.從而化為參數(shù)方程x=4+t，y=–1，z=3.現(xiàn)在是61頁\一共有81頁\編輯于星期六例2.求過點M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2)的直線方程.解：M1M2在所求直線上，故取M1M2為方向向量，于是這稱為直線的兩點式方程.例3.

求過點M0(1,0,–4)且與平面x–2y+3z+5=0垂直的直線方程.解：取s=n=(1,–2,3)則化為參數(shù)方程x=1+t，y=–2t，z=–4+3t.現(xiàn)在是62頁\一共有81頁\編輯于星期六2.直線的一般方程一般地，直線可視為兩張平面的交線L：A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0稱為直線的一般方程.LΠ2Π1其中A1,B1,C1與A2,B2,C2不成比例.由于平面的交線與這兩張平面的法向量n1和n2都垂直，n2n1故可取

n1n2為該交線的方向向量.現(xiàn)在是63頁\一共有81頁\編輯于星期六例如x=0y=0表示Oz軸所在直線y=0z=0表示Ox軸所在直線x=0z=0表示Oy軸所在直線zxyO現(xiàn)在是64頁\一共有81頁\編輯于星期六例4.將直線的一般方程化為標準式方程.解：先找出直線上的一點：取x0=1，代入方程組解得y0=0，z0=–2即得到直線上一點(1,0,–2).再找出直線的方向向量，取故得對稱式化為一般式？現(xiàn)在是65頁\一共有81頁\編輯于星期六對稱式化為一般式，例如上例有得容易理解，通過一直線L的平面可以有無限多，故L的一般方程不是唯一的.現(xiàn)在是66頁\一共有81頁\編輯于星期六例5.

求過點M0(–3,2,5)且與兩平面2x–y–5z=1,x–4z=3平行的直線方程.解：可取

s=n1n2={2,–1,–5}{1,0,–4}={4,3,1}故所求直線為M0現(xiàn)在是67頁\一共有81頁\編輯于星期六例6.

求通過x軸和點M0(3,2,–5)的平面與另一平面3x–y–7z+9=0相交的交線方程.解：先求通過x軸和點M0的平面取n=i故5(y–2)+2(z+5)=0即5y+2z=0M0x0所求直線5y+2z=03x–y–7z+9=0現(xiàn)在是68頁\一共有81頁\編輯于星期六3.平面和直線間的位置關系(1).

兩平面之間的相互位置.法向量之間的夾角(銳角)定義為兩平面之間的夾角.

設平面為

Π1：

A1x+B1y+C1z+D1=0,

Π2：A2x+B2y+C2z+D2=0,那么平面1和2的夾角可由確定.現(xiàn)在是69頁\一共有81頁\編輯于星期六兩平面垂直A1A2+B1B2+C1C2=0兩平面平行

例7

求兩平面

x-y+2z-6=0和2x+y+z-5=0的夾角.n1=(1,-1,2),n2=(2,1,1).解

現(xiàn)在是70頁\一共有81頁\編輯于星期六(2).

兩直線之間的相互位置.方向向量之間的夾角定義為兩直線之間的夾角.設直線為則直線L1和L2的夾角可由確定.兩直線垂直/平行的充分必要條件？現(xiàn)在是71頁\一共有81頁\編輯于星期六兩直線垂直m1m2+n1n2+p1p2=0兩直線平行(3).

直線與平面之間的相互位置.

直線和它在平面上的投影直線的夾角j定義為該直線與該平面之間的夾角.并規(guī)定0j/2.

ns設Π：

Ax+By+Cz+D=0,

因為n=(A,B,C)與s=(m,n,p)的夾角為，而,所以現(xiàn)在是72頁\一共有81頁\編輯于星期六直線與平面平行Am+Bn+Cp=0直線與平面垂直

例8

一平面過M1(1,1,1)和M2(0,1,–1)且垂直于x+y+z=0，求它的方程.解1

設平面為Ax+By+Cz+D=0,

M1代入：A+B+C+D=0,

M2代入：B–C+D=0,

與已知平面垂直：A+B+C=0,

聯(lián)立解得D=0,

B=C,A=–2B,

故–2Bx+By+Bz=0,

約去B(0)得

2x–y–z=0.

現(xiàn)在是73頁\一共有81頁\編輯于星期六

例8

一平面過M1(1,1,1)和M2(0,1,–1)

且垂直于x+y+z=0，求它的方程.解2

向量M1M2=(–1,0,–2)在所求平面上；而已知平面的法向量n1=(1,1,1)平行于所求平面；故取

n2=M1M2

n1=(2,–1,–1)為所求平面法向量.于是得到2(x–1)

–(y–1)–(z–1)=0,

即2x–y–z=0.

現(xiàn)在是74頁\一共有81頁\編輯于星期六例9.

求由平行線和決定的平面.解1：由兩直線方程知

s=(3,–2,1)M1(–3,–2,0),M2(–3,–4,–1)取n=s=(3,–2,1)

(0,–2,–1)=(4,3,–6)??sL1L2M1M2所求平面為4(x+3)+3(y+2)–6z=0即