熱工基礎(chǔ)第九章

熱工基礎(chǔ)第九章1第1頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六研究方法

從連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)出發(fā)，從宏觀的角度來討論導(dǎo)熱熱流量與物體溫度分布及其他影響因素之間的關(guān)系。

連續(xù)介質(zhì)

一般情況下，絕大多數(shù)固體、液體及氣體都可以看作連續(xù)介質(zhì)。但是當(dāng)分子的平均自由行程與物體的宏觀尺寸相比不能忽略時，如壓力降低到一定程度的稀薄氣體，就不能認(rèn)為是連續(xù)介質(zhì)。

2第2頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六9-1

導(dǎo)熱理論基礎(chǔ)

主要內(nèi)容（1）與導(dǎo)熱有關(guān)的基本概念；（2）導(dǎo)熱基本定律；（3）導(dǎo)熱現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述方法。為進一步求解導(dǎo)熱問題奠定必要的理論基礎(chǔ)。1.導(dǎo)熱的基本概念（1）溫度場(temperaturefield)

在時刻，物體內(nèi)所有各點的溫度分布稱為該物體在該時刻的溫度場。3第3頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六

一般溫度場是空間坐標(biāo)和時間的函數(shù)，在直角坐標(biāo)系中，溫度場可表示為非穩(wěn)態(tài)溫度場：溫度隨時間變化的溫度場，其中的導(dǎo)熱稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。穩(wěn)態(tài)溫度場：溫度不隨時間變化的溫度場，其中的導(dǎo)熱稱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。一維溫度場二維溫度場三維溫度場4第4頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六（2）等溫面與等溫線

在同一時刻，溫度場中溫度相同的點連成的線或面稱為等溫線或等溫面。

等溫面上任何一條線都是等溫線。如果用一個平面和一組等溫面相交,就會得到一組等溫線。溫度場可以用一組等溫面或等溫線表示。

等溫面與等溫線的特征：

同一時刻，物體中溫度不同的等溫面或等溫線不能相交；在連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)條件下，等溫面（或等溫線）或者在物體中構(gòu)成封閉的曲面（或曲線），或者終止于物體的邊界，不可能在物體中中斷。

5第5頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六（3）溫度梯度(temperaturegradient)

在溫度場中，溫度沿x方向的變化率(即偏導(dǎo)數(shù))

很明顯,等溫面法線方向的溫度變化率最大，溫度變化最劇烈。溫度梯度：等溫面法線方向的溫度變化率矢量：n—等溫面法線方向的單位矢量，指向溫度增加的方向。溫度梯度是矢量，指向溫度增加的方向。6第6頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六

在直角坐標(biāo)系中，溫度梯度可表示為分別為x、y、z

方向的偏導(dǎo)數(shù);i、j、k

分別為x、y、z方向的單位矢量。（4）熱流密度(heatflux)熱流密度的大小和方向可以用熱流密度矢量q

表示

熱流密度矢量的方向指向溫度降低的方向。ntdAdq7第7頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六

在直角坐標(biāo)系中，熱流密度矢量可表示為

qx、qy、qz分別表示q在三個坐標(biāo)方向的分量的大小。2.導(dǎo)熱的基本定律傅里葉（Fourier）于1822年提出了著名的導(dǎo)熱基本定律，即傅里葉定律，指出了導(dǎo)熱熱流密度矢量與溫度梯度之間的關(guān)系。

對于各向同性物體,傅里葉定律表達式為

傅里葉定律表明,導(dǎo)熱熱流密度的大小與溫度梯度的絕對值成正比，其方向與溫度梯度的方向相反。8第8頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六標(biāo)量形式的傅里葉定律表達式為對于各向同性材料,各方向上的熱導(dǎo)率相等,

由傅里葉定律可知,要計算導(dǎo)熱熱流量,需要知道材料的熱導(dǎo)率,還必須知道溫度場。所以,求解溫度場是導(dǎo)熱分析的主要任務(wù)。9第9頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六傅里葉定律的適用條件：

（1）傅里葉定律只適用于各向同性物體。對于各向異性物體，熱流密度矢量的方向不僅與溫度梯度有關(guān),還與熱導(dǎo)率的方向性有關(guān),因此熱流密度矢量與溫度梯度不一定在同一條直線上。（2）傅里葉定律適用于工程技術(shù)中的一般穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，對于極低溫（接近于0K）的導(dǎo)熱問題和極短時間產(chǎn)生極大熱流密度的瞬態(tài)導(dǎo)熱過程,如大功率、短脈沖(脈沖寬度可達10-12～10-15s)激光瞬態(tài)加熱等,傅里葉定律不再適用。xyqxqyqnxy10第10頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六3.

熱導(dǎo)率（導(dǎo)熱系數(shù)）

熱導(dǎo)率表明物質(zhì)導(dǎo)熱能力的大小。根據(jù)傅里葉定律表達式絕大多數(shù)材料的熱導(dǎo)率值都可以通過實驗測得。11第11頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六物質(zhì)的熱導(dǎo)率在數(shù)值上具有下述特點:(1)對于同一種物質(zhì),固態(tài)的熱導(dǎo)率值最大,氣態(tài)的熱導(dǎo)率值最??；

(2)一般金屬的熱導(dǎo)率大于非金屬的熱導(dǎo)率；(3)導(dǎo)電性能好的金屬,其導(dǎo)熱性能也好；(4)純金屬的熱導(dǎo)率大于它的合金；

(5)對于各向異性物體,熱導(dǎo)率的數(shù)值與方向有關(guān)；(6)對于同一種物質(zhì),晶體的熱導(dǎo)率要大于非定形態(tài)物體的熱導(dǎo)率。

熱導(dǎo)率數(shù)值的影響因素較多,主要取決于物質(zhì)的種類、物質(zhì)結(jié)構(gòu)與物理狀態(tài),此外溫度、密度、濕度等因素對熱導(dǎo)率也有較大的影響。其中溫度對熱導(dǎo)率的影響尤為重要。12第12頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六溫度對熱導(dǎo)率的影響：

一般地說,所有物質(zhì)的熱導(dǎo)率都是溫度的函數(shù),不同物質(zhì)的熱導(dǎo)率隨溫度的變化規(guī)律不同。

純金屬的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而減小。一般合金和非金屬的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而增大。

大多數(shù)液體（水和甘油除外）的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而減小。13第13頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六

在工業(yè)和日常生活中常見的溫度范圍內(nèi),絕大多數(shù)材料的熱導(dǎo)率可近似地認(rèn)為隨溫度線性變化,并表示為

0為按上式計算的0℃下的熱導(dǎo)率值，并非熱導(dǎo)率的真實值,如圖所示。b為由實驗確定的常數(shù)，其數(shù)值與物質(zhì)的種類有關(guān)。14第14頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六多孔材料的熱導(dǎo)率

絕大多數(shù)建筑材料和保溫材料（或稱絕熱材料）都具有多孔或纖維結(jié)構(gòu)(如磚、混凝土、石棉、爐渣等),不是均勻介質(zhì),統(tǒng)稱多孔材料。

多孔材料的熱導(dǎo)率是指它的表觀熱導(dǎo)率,或稱作折算熱導(dǎo)率。用于保溫或隔熱的材料。國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，溫度低于350℃時熱導(dǎo)率小于0.12

W/(mK)的材料稱為保溫材料。保溫材料（或稱絕熱材料）：15第15頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六

多孔材料的熱導(dǎo)率隨溫度的升高而增大。多孔材料的熱導(dǎo)率與密度和濕度有關(guān)。一般情況下密度和濕度愈大，熱導(dǎo)率愈大。典型材料熱導(dǎo)率的數(shù)值范圍純金屬50～415W/(m·K)

合金12～120W//(m·K)

非金屬固體1～40W//(m·K)

液體(非金屬)0.17～0.7W//(m·K)

絕熱材料0.03～0.12W//(m·K)

氣體0.007～0.17W//(m·K)

16第16頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六4.

導(dǎo)熱問題的數(shù)學(xué)描述（數(shù)學(xué)模型）

（1）導(dǎo)熱微分方程式的導(dǎo)出導(dǎo)熱微分方程式+單值性條件建立數(shù)學(xué)模型的目的：求解溫度場依據(jù)：能量守恒和傅里葉定律。假設(shè)：1）物體由各向同性的連續(xù)介質(zhì)組成；

2）有內(nèi)熱源，強度為，表示單位時間、單位體積內(nèi)的生成熱，單位為W/m3

。1）根據(jù)物體的形狀選擇坐標(biāo)系,選取物體中的微元體作為研究對象；導(dǎo)熱數(shù)學(xué)模型的組成：步驟：2）根據(jù)能量守恒,建立微元體的熱平衡方程式；3）根據(jù)傅里葉定律及已知條件,對熱平衡方程式進行歸納、整理，最后得出導(dǎo)熱微分方程式。17第17頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六導(dǎo)熱過程中微元體的熱平衡：

單位時間內(nèi)，凈導(dǎo)入微元體的熱流量d與微元體內(nèi)熱源的生成熱dV之和等于微元體熱力學(xué)能的增加dU,即

d+dV=dU

d

=dx+dy+dz

dx=dx－dx+dx

=qxdydz－qx+dx

dydz18第18頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六同理可得從y和z方向凈導(dǎo)入微元體的熱流量分別為于是,在單位時間內(nèi)凈導(dǎo)入微元體的熱流量為單位時間內(nèi)微元體內(nèi)熱源的生成熱：單位時間內(nèi)微元熱力學(xué)能的增加：根據(jù)微元體的熱平衡表達式

d+dV=dU可得導(dǎo)熱微分方程式19第19頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六導(dǎo)熱微分方程式建立了導(dǎo)熱過程中物體的溫度隨時間和空間變化的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)熱導(dǎo)率為常數(shù)時,導(dǎo)熱微分方程式可簡化為

式中2是拉普拉斯算子,在直角坐標(biāo)系中或?qū)懗?/p>

稱為熱擴散率,也稱導(dǎo)溫系數(shù),單位為m2/s。

其大小反映物體被瞬態(tài)加熱或冷卻時溫度變化的快慢。木材a=1.5×10-7

紫銅a=5.33×10-5

20第20頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六導(dǎo)熱微分方程式的簡化

(1)物體無內(nèi)熱源：(2)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：(3)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱、無內(nèi)熱源：2t=0，即

21第21頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六圓柱坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程式

如果為常數(shù)：22第22頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六球坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱微分方程式為常數(shù)時23第23頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六

（2）單值性條件

導(dǎo)熱微分方程式推導(dǎo)過程中沒有涉及導(dǎo)熱過程的具體特點,適用于無窮多個導(dǎo)熱過程,也就是說有無窮多個解。

為完整地描寫某個具體的導(dǎo)熱過程，必須說明導(dǎo)熱過程的具體特點,即給出導(dǎo)熱微分方程的單值性條件（或稱定解條件），使導(dǎo)熱微分方程式具有唯一解。

導(dǎo)熱微分方程式與單值性條件一起構(gòu)成具體導(dǎo)熱過程完整的數(shù)學(xué)描述。

單值性條件一般包括：幾何條件、物理條件、時間條件、邊界條件。24第24頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六1)幾何條件說明參與導(dǎo)熱物體的幾何形狀及尺寸。幾何條件決定溫度場的空間分布特點和分析時所采用的坐標(biāo)系。2)物理條件說明導(dǎo)熱物體的物理性質(zhì),例如物體有無內(nèi)熱源以及內(nèi)熱源的分布規(guī)律，給出熱物性參數(shù)(、、c、a等)的數(shù)值及其特點等。3)時間條件

說明導(dǎo)熱過程時間上的特點,是穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱還是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。對于非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,應(yīng)該給出過程開始時物體內(nèi)部的溫度分布規(guī)律（稱為初始條件）：25第25頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六4)邊界條件

說明導(dǎo)熱物體邊界上的熱狀態(tài)以及與周圍環(huán)境之間的相互作用。例如,邊界上的溫度、熱流密度分布以及邊界與周圍環(huán)境之間的熱量交換情況等。

常見的邊界條件分為以下三類:(a)第一類邊界條件

給出邊界上的溫度分布及其隨時間的變化規(guī)律：(b)第二類邊界條件

給出邊界上的熱流密度分布及其隨時間的變化規(guī)律：26第26頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六(c)第三類邊界條件給出了與物體表面進行對流換熱的流體的溫度tf及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h。

如果物體的某一表面是絕熱的,即qw=0,則物體內(nèi)部的等溫面或等溫線與該絕熱表面垂直相交。

根據(jù)邊界面的熱平衡，由傅里葉定律和牛頓冷卻公式可得

第三類邊界條件建立了物體內(nèi)部溫度在邊界處的變化率與邊界處對流換熱之間的關(guān)系，也稱為對流換熱邊界條件。27第27頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六上式描述的第三類邊界條件是線性的,所以也稱為線性邊界條件，反映了導(dǎo)熱問題的大部分實際情況。

如果導(dǎo)熱物體的邊界處除了對流換熱還存在與周圍環(huán)境之間的輻射換熱,則邊界面的熱平衡表達式為

qr

為物體邊界面與周圍環(huán)境之間的凈輻射換熱熱流密度，它與物體邊界和周圍環(huán)境的溫度和輻射特性有關(guān),是溫度的復(fù)雜函數(shù)。這種對流換熱與輻射換熱疊加的復(fù)合換熱邊界條件是非線性的邊界條件。本書只限于討論具有線性邊界條件的導(dǎo)熱問題。28第28頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六對一個具體導(dǎo)熱過程完整的數(shù)學(xué)描述（即導(dǎo)熱數(shù)學(xué)模型）應(yīng)該包括

建立合理的數(shù)學(xué)模型,是求解導(dǎo)熱問題的第一步,也是最重要的一步。

目前應(yīng)用最廣泛的求解導(dǎo)熱問題的方法有:(1)分析解法、

(2)數(shù)值解法、

(3)實驗方法。這也是求解所有傳熱學(xué)問題的三種基本方法。(1)導(dǎo)熱微分方程式;(2)單值性條件。對數(shù)學(xué)模型進行求解,就可以得到物體的溫度場,進而根據(jù)傅里葉定律就可以確定相應(yīng)的熱流分布。本章主要介紹導(dǎo)熱問題的分析解法和數(shù)值解法。

29第29頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六9-2

穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱是指溫度場不隨時間變化的導(dǎo)熱過程.

下面分別討論日常生活和工程上常見的平壁、圓筒壁、球壁及肋壁的一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。1.平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

當(dāng)平壁的兩表面分別維持均勻恒定的溫度時，平壁的導(dǎo)熱為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。假設(shè)：表面面積為A、厚度為、為常數(shù)、無內(nèi)熱源，兩側(cè)表面分別維持均勻恒定的溫度tw1、tw2，且tw1

>tw2

。（1）單層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

選取坐標(biāo)軸x與壁面垂直,如圖所示。30第30頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六數(shù)學(xué)模型：

x=0,t=tw1

x=

,t=tw2

求解結(jié)果：

可見，當(dāng)為常數(shù)時,平壁內(nèi)溫度分布曲線為直線，其斜率為

由傅里葉定律可得熱流密度通過整個平壁的熱流量為上式與第八章中給出的公式完全相同。31第31頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六變熱導(dǎo)率問題：

當(dāng)平壁材料的熱導(dǎo)率是溫度的函數(shù)時,平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)模型為x=0,t=tw1

x=

,t=tw2

當(dāng)溫度變化范圍不大時,可以近似地認(rèn)為材料的熱導(dǎo)率隨溫度作線性變化,即可見,當(dāng)平壁材料的熱導(dǎo)率隨溫度作線性變化時,平壁內(nèi)的溫度分布為二次曲線。求解數(shù)學(xué)模型可得平壁內(nèi)的溫度分布為32第32頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六根據(jù)傅里葉定律表達式

（1）當(dāng)tw1

>tw2

時，熱流方向與x軸同向，q為正值,而熱導(dǎo)率數(shù)值永遠(yuǎn)為正,所以由上式可見,溫度變化率為負(fù)值。（2）如果b>0,沿x方向隨溫度的降低而減小,溫度曲線斜率的絕對值增大,曲線向上彎曲（上凸）；（3）如果b<0,溫度曲線向下彎曲。平壁內(nèi)的溫度分布二次曲線形狀的討論：tw1tw20xtb>0b<033第33頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六根據(jù)傅里葉定律，可由溫度分布求得平壁的熱流密度為平壁的算術(shù)平均溫度；為平壁的算術(shù)平均溫度下的熱導(dǎo)率。

上式說明，當(dāng)熱導(dǎo)率隨溫度線性變化時,通過平壁的熱流量可用熱導(dǎo)率為常數(shù)時的計算公式來計算,但公式中的熱導(dǎo)率為平壁算術(shù)平均溫度下的熱導(dǎo)率m。

式中對照34第34頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六（2）多層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

多層平壁由多層不同材料組成，當(dāng)兩表面分別維持均勻恒定的溫度時，其導(dǎo)熱也是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。

以三層平壁為例，假設(shè)（1）各層厚度分別為1、2、3，各層材料的熱導(dǎo)率分別為1、2、3,且分別為常數(shù)；

（2）各層之間接觸緊密,相互接觸的表面具有相同的溫度；

（3）平壁兩側(cè)外表面分別保持均勻恒定的溫度tw1、tw4。

顯然，通過此三層平壁的導(dǎo)熱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,各層的熱流量相同。

35第35頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六三層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的總導(dǎo)熱熱阻為各層導(dǎo)熱熱阻之和，由單層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的計算公式可得三層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱可以由三個相互串聯(lián)的熱阻網(wǎng)絡(luò)表示。

由此類推,對于n層平壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

利用熱阻的概念,可以很容易求得通過多層平壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的熱流量,進而求出各層間接觸面的溫度。

36第36頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六

2.圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

（1）單層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

主要討論圓筒壁穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中的壁內(nèi)溫度分布及導(dǎo)熱熱流量。假設(shè)：內(nèi)、外半徑分別為

r1、r2，長度為l，為常數(shù)，無內(nèi)熱源，內(nèi)外壁溫度tw1、tw2均勻恒定。

按上述條件，壁內(nèi)溫度只沿徑向變化，如果采用圓柱坐標(biāo),則圓筒壁內(nèi)的導(dǎo)熱為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，數(shù)學(xué)模型

r=r1

:t=tw1

r=r2:t=tw2

37第37頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六

對導(dǎo)熱微分方程式進行兩次積分,可得通解為圓筒壁內(nèi)的溫度分布為對數(shù)曲線。代入邊界條件,可得溫度沿r

方向的變化率為其絕對值沿r

方向逐漸減小。

根據(jù)傅里葉定律,沿圓筒壁r

方向的熱流密度為熱流密度是r的函數(shù)。

38第38頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六但對于穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,通過整個圓筒壁的熱流量是不變的,R為整個圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻,單位是K/W。單位長度圓筒壁的熱流量為Rl為單位長度圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻,單位是m·K/W。

實際上，由于l為常數(shù),根據(jù)傅里葉定律，

將該式分離變量積分，同樣可求得上面的公式。39第39頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六（2）多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

運用熱阻的概念，很容易分析多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。

以三層圓筒壁為例，無內(nèi)熱源，各層的熱導(dǎo)率1、2、3均為常數(shù)，內(nèi)、外壁面維持均勻恒定的溫度tw1、tw2。這顯然也是一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。通過各層圓筒壁的熱流量相等，總導(dǎo)熱熱阻等于各層導(dǎo)熱熱阻之和:40第40頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六對于n層不同材料組成的多層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,單位長度的熱流量為41第41頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六9-3

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：溫度場隨時間變化的導(dǎo)熱過程。

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的類型：（1）周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：（2）非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：在周期性變化邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，如內(nèi)燃機汽缸壁的導(dǎo)熱、一年四季大地土壤的導(dǎo)熱等。

在瞬間變化的邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，例如熱處理工件的加熱或冷卻等。討論一維非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解法及求解特殊非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的集總參數(shù)法。

了解和掌握非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中溫度場的變化規(guī)律及換熱量的計算方法。本節(jié)主要內(nèi)容：主要目的：42第42頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六1.

一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的分析解

第三類邊界條件下大平壁、長圓柱及球體的加熱或冷卻是工程上常見的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。（1）無限大平壁冷卻或加熱問題的分析解簡介假設(shè)：

厚度為2、熱導(dǎo)率、熱擴散率a為常數(shù)，無內(nèi)熱源，初始溫度與兩側(cè)的流體相同并為t0。兩側(cè)流體溫度突然降低為t∞，并保持不變，平壁表面與流體間對流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h為常數(shù)。

考慮溫度場的對稱性，選取坐標(biāo)系如圖，僅需討論半個平壁的導(dǎo)熱問題。

這是一維的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。

43第43頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六1)數(shù)學(xué)模型：

（對稱性）

引進無量綱過余溫度、無量綱坐標(biāo)，F(xiàn)o是無量綱特征數(shù)，稱為傅里葉數(shù)

稱為畢渥數(shù)

令

過余溫度44第44頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六傅里葉數(shù)的物理意義：

Fo為兩個時間之比，是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的無量綱時間。畢渥數(shù)的物理意義：

Bi為物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻與邊界處的對流換熱熱阻之比。由無量綱數(shù)學(xué)模型可知，是Fo、Bi、X三個無量綱參數(shù)的函數(shù)

確定此函數(shù)關(guān)系是求解該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的主要任務(wù)。2）求解結(jié)果：

45第45頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六解的函數(shù)形式為無窮級數(shù)，式中β1,β2,···，βn是下面超越方程的根根有無窮多個，是Bi的函數(shù)。無論Bi取任何值，β1,β2,···，βn都是正的遞增數(shù)列，的解是一個快速收斂的無窮級數(shù)。

由解的函數(shù)形式可以看出，確實是Fo、Bi、X三個無量綱特征數(shù)的函數(shù)46第46頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六（2）分析解的討論1）傅里葉數(shù)Fo對溫度分布的影響分析解的計算結(jié)果表明，當(dāng)Fo≥0.2時，可近似取級數(shù)的第一項，對工程計算已足夠精確，即

因為，所以將上式左、右兩邊取對數(shù)，可得，m為一與時間、地點無關(guān)的常數(shù)，只取決于第三類邊界條件、平壁的物性與幾何尺寸。式中式右邊的第二項只與Bi、x/有關(guān)，與時間無關(guān)。47第47頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六上式可改寫為該式說明，當(dāng)Fo≥0.2時，即時，平壁內(nèi)所有各點過余溫度的對數(shù)都隨時間線性變化，并且變化曲線的斜率都相等，這一溫度變化階段稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段。上式兩邊求導(dǎo)，可得m的物理意義是過余溫度對時間的相對變化率，單位是s－1，稱為冷卻率（或加熱率）。上式說明，當(dāng)Fo

≥0.2，進入正規(guī)狀況階段后，所有各點的冷卻率都相同，且不隨時間而變化，其大小取決于物體的物性、幾何形狀與尺寸及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。48第48頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六對于平壁中心，上面兩式之比可見，當(dāng)Fo≥0.2，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進入正規(guī)狀況階段以后，雖然與m都隨時間變化，但它們的比值與時間無關(guān)，只取決于畢渥數(shù)Bi與幾何位置x/。

認(rèn)識正規(guī)狀況階段的溫度變化規(guī)律具有重要的實際意義，因為工程技術(shù)中的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程絕大部分時間都處于正規(guī)狀況階段

。

49第49頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六2）畢渥數(shù)Bi對溫度分布的影響平壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三類邊界條件表達式上式的幾何意義：在整個非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程中平壁內(nèi)過余溫度分布曲線在邊界處的切線都通點,即，該點稱為第三類邊界條件的定向點。50第50頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六畢渥數(shù)Bi對溫度分布的影響分析(a)

Bi0:

平壁的導(dǎo)熱熱阻趨于零，平壁內(nèi)部各點溫度在任一時刻都趨于一致，只隨時間而變化，變化的快慢取決于平壁表面的對流換熱強度。定向點在無窮遠(yuǎn)處。工程上只要Bi≤0.1，就可以近似地按這種情況處理，用集總參數(shù)法進行計算。51第51頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六

對流換熱熱阻趨于零，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一開始平壁表面溫度就立即變?yōu)榱黧w溫度，相當(dāng)于給定了壁面溫度，即給定了第一類邊界條件，平壁內(nèi)部的溫度變化完全取決于平壁的導(dǎo)熱熱阻。定向點位于平壁表面上。當(dāng)Bi>100時可近似按此處理。

(b)

Bi∞:(c)0<Bi<100，按一般情況處理。52第52頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六3）平壁與周圍流體之間交換的熱量在0~時間內(nèi)，微元薄層dx單位面積放出的熱量等于其熱力學(xué)能的變化，在0~時間內(nèi)，單位面積平壁放出的熱量將Fo≥0.2時無量綱過余溫度的近似解代入上式，得？=0xdx0053第53頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六（3）諾謨圖1）54第54頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六2）55第55頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六3）56第56頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六幾點說明：

(1)上述分析是針對平壁被冷卻的情況進行的，但分析結(jié)果對平壁被加熱的情況同樣適用；(2)由于平壁溫度場是對稱的，所以分析時只取半個平壁作為研究對象，這相當(dāng)于一側(cè)（中心面）絕熱、另一側(cè)具有第三類邊界條件的情況，因此分析結(jié)果也適用于同樣條件的平壁；(3)線算圖只適用于Fo≥0.2的情況;57第57頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六(4)對于圓柱體和球體在第三類邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，分別在柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下進行分析，也可以求得溫度分布的分析解，解的形式也是快速收斂的無窮級數(shù)，并且是Bi、Fo和r/R的函數(shù),(5)當(dāng)Fo≥0.2時，圓柱和球體的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程也都進入正規(guī)狀況階段，分析解可以近似地取無窮級數(shù)的第一項，近似結(jié)果也被繪成了線算圖。（P217）58第58頁，共66頁，2023年，2月20日，星期六3.

集總參數(shù)法（Bi≤0.1）

當(dāng)Bi≤0.1時，物體內(nèi)部的導(dǎo)熱熱阻遠(yuǎn)小于其表面的對流換熱熱阻，可以忽略，