變分法讀書(shū)報(bào)告

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劉懸弓D組131041216

1.變分法的起源

變分法是17世紀(jì)末進(jìn)展起來(lái)的一門(mén)數(shù)學(xué)分支，主要是古典變分法，它理論完整，在力學(xué)、光學(xué)、物理學(xué)、摩擦學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、宇航理論、信息論和自動(dòng)控制論等諸多方面有廣泛應(yīng)用。20世紀(jì)中葉進(jìn)展起來(lái)的有限元法，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一就是變分法。

變分法是處理泛函的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，和處理函數(shù)的一般微積分相對(duì)。譬如，這樣的泛函可以通過(guò)未知函數(shù)的積分和它的導(dǎo)數(shù)來(lái)構(gòu)造。變分法終于尋求的是極值函數(shù)：它們使得泛函取得極大或微小值。有些曲線上的經(jīng)典問(wèn)題采納這種形式表達(dá)：一個(gè)例子是最速降線，在重力作用下一個(gè)粒子沿著該路徑可以在最短時(shí)光從點(diǎn)A到達(dá)不直接在它底下的一點(diǎn)B。在全部從A到B的曲線中必需微小化代表下降時(shí)光的表達(dá)式。

變分法的關(guān)鍵定理是歐拉－拉格朗日方程。它對(duì)應(yīng)于泛函的臨界點(diǎn)。在尋覓函數(shù)的極大和微小值時(shí)，在一個(gè)解附近的極小變化的分析給出一階的一個(gè)近似。它不能辨別是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

變分法在理論物理中十分重要：在拉格朗日力學(xué)中，以及在最小作用量原理在量子力學(xué)的應(yīng)用中。變分法提供了有限元辦法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，它是求解邊界值問(wèn)題的強(qiáng)力工具。它們也在材料學(xué)中討論材料平衡中大量使用。而在純數(shù)學(xué)中的例子有，黎曼在調(diào)和函數(shù)中使用狄力克雷原理。最優(yōu)控制的理論是變分法的一個(gè)推廣。

同樣的材料可以浮現(xiàn)在不同的標(biāo)題中，例如希爾伯特空間技術(shù)，摩爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用于全部極值泛函問(wèn)題。微分幾何中的測(cè)地線的討論是很明顯的變分性質(zhì)的領(lǐng)域。微小曲面（肥皂泡）上也有無(wú)數(shù)討論工作，稱為Plateau問(wèn)題。

2.變分問(wèn)題類型

固定邊界的變分問(wèn)題，可動(dòng)邊界的變分問(wèn)題，條件極值變分問(wèn)題和參數(shù)形式的變分問(wèn)題。

1.古典變分問(wèn)題舉例

1：最速降線問(wèn)題（BrachistoroneorcurveofSteepestdescent）問(wèn)題。這是歷史上出的第一個(gè)變分法問(wèn)題，1696年約翰·伯努利提出的。

設(shè)O、P是沿平面上不在同向來(lái)線上的兩點(diǎn)，在全部銜接O、P兩點(diǎn)的平面直線中，求出一條曲線，使僅受重力作用且初速為零的質(zhì)點(diǎn)從A到B沿該曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)所需時(shí)光最短。

以O(shè)為原點(diǎn)建立平面指標(biāo)坐標(biāo)系，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)11(,)xy，曲線方程設(shè)為()yyx=，10xx≤≤，且滿足端點(diǎn)條件(0)0y=，11()yxy=。

設(shè)(,)Mxy為曲線()yyx=上隨意一點(diǎn)，由能量守恒定律得

212

mgymv=

則

v=

又

v====

dt=

0tC=+?0,0,0

xtC==∴=所需時(shí)光為

0T=?2短程線（測(cè)地線：Geodesic）問(wèn)題：光潔曲面f(x,y,z)=0上給定000(,,)Axyz和111(,,)Bxyz兩點(diǎn)，求銜接這兩點(diǎn)的一條最短曲線。

銜接這兩點(diǎn)的曲線方程為

(),(),yyxzzx==01xxx≤≤

則其滿足

(,,)0fxyz=（1）

長(zhǎng)度為0xxL=?

短程線問(wèn)題即求上式在約束條件（1）下的最小值問(wèn)題—條件最小值問(wèn)題。

3等周問(wèn)題：在平面上給定長(zhǎng)度為L(zhǎng)的全部不相交的光潔封閉曲線中，求出一條能?chē)勺畲竺娣e的曲線。

設(shè)封閉曲線的參數(shù)方程為

(),(),xxtyyt==01ttt≤≤（1）

中式()xt，()yt延續(xù)可微，且0101()(),()(),xtxtytyt==其長(zhǎng)度為

0ttL=?

（2）

所圍成的面積為

12LAxdyydx=-?（3）等周問(wèn)題就是在滿足等周條件（2）的全部曲線（1）中，求使積分（3）取得最大值的曲線。

（2）最簡(jiǎn)泛函的變分問(wèn)題求解

設(shè)函數(shù)1

0[()](,,')xxJyxFxyydx=?的極值曲線()yyx=一端固定，另一端在直線1xx=上移動(dòng)，則另一端必滿足自然邊界條件1'|0xxFy==

若極值曲線()yyx=的端點(diǎn)在已知曲線()yx?=上移動(dòng)，則變分1xδ與1yδ有關(guān)。

若設(shè)函數(shù)1

0[()](,,')xxJyxFxyydx=?的極值曲線()yyx=左端固定，另一端在已知曲線()yx?=上移動(dòng)，則另一端在直線1xx=處必滿足

1'[('')]|0

y

xxFyF?=+-=（3）條件極值的變分問(wèn)題4：試求泛函220

1''2Jydx=?的最小值。這里()yyx=滿足端點(diǎn)(0)1y=，'(0)1y=，(2)0y=，'(2)0y=。

解：引入兩個(gè)變量1y，2y，令1yy=，2'yy=于是泛函變?yōu)?/p>

220

1''2Jydx=?（1）約束條件為

2'0yy-=（2）

做輔助函數(shù)

222210

1['(')2Jyyydxλ*

=+-?（3）泛函（3）的歐拉方程組為20()0(')0ddxdydxλλ?--=????-=??

即2'0''0yλλ=??-=?（4）由式（4）得323

0dydx=積分得

22yax

bx

c=++式中,,abc是積分常數(shù)，由于21''yyy==，故

32122

abyxxcxd=+++于是有3213211712437122

yxxxyxx?=+++????=++??

最后求得最小值為

2202213(3)224

Jxdx=-=?3應(yīng)用

物理學(xué)中泛函極值問(wèn)題的提出促進(jìn)了變分學(xué)的建立和進(jìn)展，而變分學(xué)的理論成績(jī)則不斷滲透到物理學(xué)中。

P.de費(fèi)馬從歐幾里得確立的光的反射定律動(dòng)身提出了光的最小時(shí)光原理：光芒永久沿用時(shí)最短的路徑傳揚(yáng)。他原先疑惑光的折射定律，但在1661年費(fèi)馬發(fā)覺(jué)從他的光的最小時(shí)光原理能夠推導(dǎo)出折射定律，不僅消退了早先的疑惑，而且越發(fā)堅(jiān)信他的原理。拉格朗日把變分法用到動(dòng)力學(xué)上。他引進(jìn)廣義坐標(biāo)q1,q2,…qn動(dòng)能T是q=(q1,q2,…,qn)的函數(shù),q表示廣義速度。他又假定力有位勢(shì)

V，V是q的函數(shù),又假定T+V是常量,即系統(tǒng)無(wú)耗散,令L=T-V，稱為作用量，拉格朗日的最小作用原理是說(shuō)真切的運(yùn)動(dòng)使作用量取微小值。通過(guò)歐拉方程，拉格朗日建立他的運(yùn)動(dòng)方程，據(jù)此推出了力學(xué)的主要定律，并解決了一些新的問(wèn)題。這些工作都記載在他在1788年出版的《分析力學(xué)》一書(shū)中。

二.直接法

各種變分法的最后求解都可歸結(jié)為解歐拉方程的邊值問(wèn)題。然而在一些特別狀況之下歐拉方程才干求出精確解，在大多數(shù)狀況下，歐拉方程的精確解無(wú)法求

出，因此需要另外的求解辦法。1990年8月，其次屆國(guó)際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)在巴黎進(jìn)行，希爾伯特在會(huì)上作了“數(shù)知識(shí)題”的報(bào)告，提出了23