第3章 2.1 古典概型的特征和概率計(jì)算公式

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古典概型

古典概型特征和概率算公式學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解基本事件的概念并會(huì)羅列某一事件包含的所有基本事件理古概型的概念及特.會(huì)應(yīng)用古典概型概率公式解決簡單的概率計(jì)算問題．知識(shí)點(diǎn)一基本事件思考一枚硬幣拋一次，可能出的結(jié)果有哪些？答案有2個(gè)正面向上，反面向上．梳理(1)本事件在完全相同的條件下事件出現(xiàn)結(jié)果往往是不同的們把條件每實(shí)現(xiàn)一次叫進(jìn)行一次試驗(yàn)．試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果稱為基本事件．基本事件的特點(diǎn)①何兩個(gè)基本事件是互斥的；②何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．知識(shí)點(diǎn)二古典概型．試驗(yàn)的所有可能結(jié)果只有有限個(gè)，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果；．每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同．我們把具有這樣兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型稱為古典概(古典的概率模型．知識(shí)點(diǎn)三古典概型的概率公式思考在拋擲硬幣試驗(yàn)中，如何正面朝上及反面朝上的概率？答案一枚硬幣拋擲一次，基本件共2個(gè)“正面朝上”和反面朝上”．且個(gè)本事件等可能，故“正面朝上”與“反面朝上”的概率都是梳理如果試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(本事件數(shù)為n，隨機(jī)事件A包的基本事件數(shù)為，事件A包含的可能果數(shù)么事件的率規(guī)定為(A)＝＝.試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)

．典概型是一種計(jì)算概率的重要模型(√)．古典概型有兩個(gè)重要條件①本事件是有限的，每次試驗(yàn)只出現(xiàn)其中的一個(gè)結(jié)果②基本事件的發(fā)生是等可能的．(√)．在古典概型下，事件發(fā)的概率不再需要通過大量重復(fù)的試驗(yàn)獲得(√)類型一隨機(jī)試驗(yàn)中基本事件的定例袋有2個(gè)紅2個(gè)球個(gè)球從袋中任意摸個(gè)球，以下不是基本事件的是)A正好摸到2個(gè)球C．好摸到2個(gè)球

B正好摸到2個(gè)球D．少到1個(gè)球答案D解析至少1個(gè)紅球包含1白1紅或2個(gè)球，所“至少紅球不是基本事件，其他事件都是基本事件．反思與感悟基事件不可再分；任何兩個(gè)基本事件不能同時(shí)發(fā)生；事件由基本事件構(gòu)成．跟蹤訓(xùn)練連拋3枚幣，觀察落地后這3枚幣現(xiàn)正面還是反面．寫出這個(gè)試驗(yàn)的基本事件“兩正一反”是基本事件？解(1)記正)表示基本事“硬幣正面均向這個(gè)試驗(yàn)的基本事件正，正，正)，(正，正，反，正，反，正，正，反，反，(反，正，正)，反，正，反)，反，反，正)，(反，反，反．“兩正一反”不是基本事件，它是有三個(gè)本事件構(gòu)成的，即(正，正，反)，正，反，正，(，正，)．類型二基本事件的羅列方法例2從母ab，c，d中意取出兩個(gè)不同字母的試中，有哪些基本事件？事“取到字母”是哪些基本事件的和？解所的基本事件有個(gè)，A＝{，}＝{，}＝{，d}D{，c}＝{，}＝{，}

“到字母”基本事件A，，C的，即A＋B＋C.反思與感悟羅基本事件時(shí)首先要考慮元素間排列有無順序，其次羅列時(shí)不能毫無規(guī)律，而要按照某種規(guī)律羅列，比如樹狀圖．跟蹤訓(xùn)練做擲2顆子的試驗(yàn)，(，)表示結(jié)果，其中表第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表第顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．寫出：試驗(yàn)的基本事件；事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”；事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”；事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于7”．解(1)這試驗(yàn)的基本事件共有36個(gè)如下(1,1)(1,2)(1,5)，，(2,4)，(2,6)，(3,1)(3,2)，(3,4)(3,5)(4,1)，，(4,6)，(5,2)，(5,3)(5,4)，(5,6)(6,1)(6,3)，．“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于”含以下10個(gè)本事件(4,5)(5,4)，，(6,4)，(6,5)(6,6)．“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等包含以下個(gè)本事件，(2,2)(3,3)，，(5,5)，(6,6)．“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于”含以下6個(gè)基本事件(1,6)(3,4)(5,2)(6,1)．類型三古典概型概率的計(jì)算例3單題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的型一般是從ABD四選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案如果考生掌握了考查的內(nèi)他可以選擇唯一正確的答案假考生不會(huì)做，他隨機(jī)地選擇一個(gè)答案，則他答對(duì)的概率是多少？解由考生隨機(jī)地選擇一個(gè)答案，所以他選擇AB，，D哪一個(gè)選項(xiàng)都有可能，因此基本事件總數(shù)為設(shè)對(duì)為隨機(jī)事件A由于正確答案是唯一的以件A只包含一個(gè)基本事件，所以P(A＝.反思與感悟解概率題要有必要的文字?jǐn)⑹霭阋米帜冈O(shè)出所求的隨機(jī)事件寫所有的基本事件及個(gè)數(shù)，寫出隨機(jī)事件所包含的基本事件及個(gè)數(shù)，然后應(yīng)用公式求出．跟蹤訓(xùn)練某飲每箱裝6聽如果其中有聽合格，質(zhì)檢人員依次不放回地從某箱中隨機(jī)抽出，求檢測出不合格產(chǎn)品的概率．

解只檢測的中有不合格，就表示查出了不合格產(chǎn)品．分為兩種情況聽合格和都不合格．設(shè)合格飲料為，合格飲料為5,6則聽選聽的基本事件有(1,3)(1,4)(1,6)(2,3)(2,4)(2,6)(3,4)(3,5)(4,5)(4,6)，15種有聽不合格的有，(1,6)，(4,5)，，＋1；有2聽合格的(5,6)，共，所以檢測出不合格產(chǎn)品的概率為＝5．某校高一年級(jí)要組建數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、航空模型三個(gè)興趣小組，某學(xué)生只選報(bào)其中個(gè)則基本事件共有()A．1個(gè)B個(gè)．個(gè)D4個(gè)答案C解析該選報(bào)的所有可能情況{學(xué)計(jì)算機(jī)}{學(xué)和航空模型}{算機(jī)和航空模型}所基本事件有3個(gè)．下列不是古典概型的()A從名同學(xué)中，選出參加數(shù)學(xué)競賽，每人被選中的可能性的大小B同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為的率C．三天中有一天降雨的概率D．個(gè)站成一排，其中甲、乙相鄰的概率答案C解析AB，D為古典概型，因?yàn)槎歼m合古典概型的兩個(gè)特征：有限性和可能性，而不滿足等可能性，故不為古典概型．．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率()112B.C.233答案C解析基本事件有：甲乙丙、甲乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六個(gè)．甲站在中1間的事件包括：乙甲丙、丙甲乙，共2個(gè)所以甲站在中間的概率＝＝.3．用1,2,3組無重復(fù)字的三位數(shù)，這些數(shù)能被整的概率()

112B.C.233答案C解析用組的無重?cái)?shù)字的三位數(shù)共個(gè)別為其中能被除的有這2個(gè)，故能被2整的概率為.．從中意出兩個(gè)不同的數(shù)，則其和為概率．答案0.2解析兩數(shù)之和等于有兩種情(1,4)和(，總的本事件有(1,2)(1,3)，，(2,4)，(2,5)(3,4)，，(4,5)，共10種所以＝＝0.2.．典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概型的基礎(chǔ)，這也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)、活中經(jīng)常遇到的題型解題時(shí)要緊緊住古典概型的兩個(gè)基本特征有限性和等可能性在應(yīng)m用公式(A)＝時(shí)關(guān)鍵是確理解基本事件與事件A關(guān)系，從而求出，.．求某個(gè)隨機(jī)事件包的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)常用的方法是列舉法(畫樹狀圖和列)注意做到不重不漏．一、選擇題．下列是古典概型的()A任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件B求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是概率，將取出的正整數(shù)作為基本事件C．甲地到乙地共條線，求某人正好中最短路線的概率D．?dāng)S枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止，拋擲的次數(shù)作為基本事件答案C解析A項(xiàng)由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；項(xiàng)的本事件無限的，故B不是；項(xiàng)中滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是D項(xiàng)基本事件既不是有限個(gè)也不具有等可能性，故D是．．張卡片上分別寫有數(shù)字1,2,3,4從這4張片中隨機(jī)抽取2張則取出的2卡片上

的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率()123B.C.234答案C解析列樹狀圖得：共有12種況，取出的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的情況，所以所求概率為.．從中取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的數(shù)之差的絕對(duì)值為的概率是)C.

答案B解析基本事件的總數(shù)為6構(gòu)成“出的2個(gè)之差的對(duì)值為2”這個(gè)事件的基本事件的個(gè)數(shù)為2所以所求概率P＝＝，故選B.．從{中機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為，則b的概率是()321B.C.555答案D解析設(shè)“所取的數(shù)中b>a為事件A，如果把選出的數(shù)b寫成數(shù)(ab)的形式，則基本事件有((1,2)(3,2)(3,3)(4,1)(4,2)(4,3)(5,1)，，(5,3)，15個(gè)事件A包的本事件(1,2)，，，3個(gè)因此所求的1概率(A＝＝．從中意出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5概率是321B.C.555答案D解析從五個(gè)數(shù)中任意取出兩個(gè)同的數(shù)，有個(gè)基本事件，若取出的兩數(shù)之和等于5，

22222x22222x則有，，共有2種，所以取出的兩數(shù)之和等于的概率＝.5個(gè)袋內(nèi)裝有大小相等的1白球和已編有不同號(hào)碼的個(gè)球中出球中“摸出個(gè)黑球”的基本事件()A．3個(gè)B個(gè)．個(gè)D6個(gè)答案A解析由于4個(gè)球的大小相等，摸出每個(gè)球可能性是均等的，所以是古典概型．將黑球編號(hào)為黑黑黑從裝有4個(gè)的口袋內(nèi)摸出球所有的基本事件為(，1231黑)，黑，)，黑，白，黑，黑)，黑，)，黑，白，共6個(gè)其“摸出2333黑球的基本事件有個(gè)．若以連續(xù)擲兩顆骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m，為點(diǎn)P的、縱坐標(biāo)，則點(diǎn)在圓x＋y＝的概率()1D.99答案D解析擲骰子共有×636(種可能情況落＋y＝內(nèi)的情況有，，4種，故所求概率P＝＝.．先后拋擲兩枚均勻的正方體骰它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則＝1的率()211B.C.D.362答案C解析所有基本事件的個(gè)數(shù)為66＝由log1得2x＝y(tǒng)，其中∈，2x以或或滿足y＝1故事件＝”包含3個(gè)本事1件，所以所求的概率為＝＝.12二、填空題．從三男三女共名生中任選名每名同學(xué)被選中的概率均相等)則2名是女同學(xué)的概率為．答案

22解析用A示三名男學(xué)，用，c表示三名女同學(xué)，則從名學(xué)出人的所有選法為AB，Ac，BC，ab共3115．其中2名女同學(xué)的括共種故求率為＝.1510．個(gè)數(shù)中，可重地選取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍的概率是．答案

14解析用列舉法知，可重復(fù)地選兩個(gè)數(shù)共有16種，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍4有；4,24種故求概為＝164袋放有大小和形狀相同小球若干個(gè)中號(hào)0的小球1個(gè)為小球1，標(biāo)號(hào)為2小球個(gè)．知袋中機(jī)取1小球，取到標(biāo)號(hào)是2的的概率1是則n值________．2答案2n1解析由題意可知＝，＝2.1＋n三、解答題12．中共有除了顏色外完相同的球，其中有1個(gè)2白球和3黑球．現(xiàn)從袋中任取兩球，求兩球顏色為一一黑的概率．解設(shè)紅球用表2個(gè)分別用，b表示，個(gè)分別用，c，c示，12123則從袋中任取兩球所包含的基本件1212312，c，c，c，c共1112132122232132315．兩球顏色為一白一黑的基本事件111213212223共．62∴概率為＝.155

13現(xiàn)有題，其中道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取題解答．求所取的2道題不是同一類題的概率．解將4道類題依次編號(hào)為1,2,3,42道類題依次編號(hào)為5,6.取2道，基本事件為{1,2}{1,3}{1,4}{1,5}{1,6}{2,3}{2,4}{2,5}{2,6}{3,4}{3,5}{3,6}{4,5}，{4,6}{5,6}共15個(gè)而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的B表示“不是同一類題這一事件，包含的基本事件{1,5}{1,6}{2,5}，{2,6}{3,5}{3,6}{4,5}{4,6}共，所以P(B＝四、探究與拓展14甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記，再由乙猜甲剛才所的數(shù)字乙的數(shù)字記為b中a∈{1,2,3,4,5,6}a≤稱“有靈犀”任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率()27B.C.D.918答案D解析首先要弄清楚“心有靈犀的實(shí)質(zhì)－b≤1，于，b∈{1,2,3,4,5,6}則滿足要求的事件可能的結(jié)果有：，(1,2)，，，(2,3)(3,2)，(3,3)，，，，，(5,4)，(5,5)(5,6)，，(6,6)，共種而依題意得，基本事共有種．因此他們“有靈犀”的概率＝＝.9某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項(xiàng)趣味活動(dòng)．參加活動(dòng)的兒童需轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所的轉(zhuǎn)盤兩次每轉(zhuǎn)動(dòng)后待盤止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)記指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：①若≤3則獎(jiǎng)勵(lì)玩具一個(gè)；②若≥8則獎(jiǎng)勵(lì)水杯一個(gè)；③其余情況獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地均勻，四個(gè)區(qū)域劃分均勻，小亮準(zhǔn)備參加此項(xiàng)活動(dòng)．

求小亮獲得玩具的概率；請(qǐng)比較小亮獲得水