薄板彎曲問題PPT資料

薄板(báobǎn)彎曲問題第一頁，共150頁?！?-1有關(guān)概念(gàiniàn)及計算假定定義(dìngyì)薄板是厚度(hòudù)板面尺寸的物體。薄板的上下平行面，稱為板面。薄板的側(cè)面，稱為板邊。平分厚度(hòudù)的面,稱為中面。第二頁，共150頁。比較(bǐjiào)薄板受到橫向荷載（⊥板面）的作用(zuòyòng)─薄板的彎曲問題。薄板受到縱向荷載（∥板面）的作用─平面應(yīng)力(yìnglì)問題；桿件受到橫向荷載（⊥桿軸）的作用─

梁的彎曲問題。桿件受到縱向荷載（∥桿軸）的作用─桿件的拉壓問題；第三頁，共150頁。 薄板彎曲問題屬于空間問題。其中，根據(jù)其內(nèi)力及變形的特征，又提出了三個計算假定，用以簡化空間問題的基本(jīběn)方程，并從而建立了薄板的彎曲理論。特點(tèdiǎn)第四頁，共150頁。 當薄板(báobǎn)彎曲時，中面所彎成的曲面，稱為薄板(báobǎn)彈性曲面。小撓度薄板(báobǎn)─這種板雖然薄，但仍有相當?shù)目箯潉偠取Ｋ奶卣魇牵憾x(dìngyì)第五頁，共150頁。(3)在內(nèi)力中，僅由橫向(hénɡxiànɡ)剪力與橫向(hénɡxiànɡ)荷載q成平衡，縱向軸力的作用可以不計。(2)在中面位移中,w是主要(zhǔyào)的，而縱向位移u,v很小，可以不計；(1)具有一定的剛度(ɡānɡdù)，橫向撓度；第六頁，共150頁。1.垂直于中面的線應(yīng)變(yìngbiàn)可以不計。 取，由，得 故中面法線上各點，都具有(jùyǒu)相同的橫向位移，即撓度w。（直法線假設(shè)）本章研究(yánjiū)小撓度薄板的彎曲問題。 根據(jù)其內(nèi)力和變形特征，提出了3個計算假定：克?；舴蚣僭O(shè)計算假定第七頁，共150頁。彎應(yīng)力（合成(héchéng)彎矩）及扭應(yīng)力（合成(héchéng)扭矩）橫向切應(yīng)力（合成(héchéng)橫向剪力）擠壓應(yīng)力2.次要(cìyào)應(yīng)力分量遠小于其他應(yīng)力分量，它們引起的形變可以不計。薄板中的應(yīng)力，與梁相似，也分為三個數(shù)量級：第八頁，共150頁?！酁榇我?cìyào)應(yīng)力，為更次要(cìyào)應(yīng)力。略去它們引起的形變，即得并在空間(kōngjiān)問題的物理方程中，略去引起的形變項。因此，當略去后，薄板彎曲問題的物理方程為

第九頁，共150頁。(1)在薄板彎曲(wānqū)問題中，略去了次要應(yīng)力引起的形變;但在平衡條件中，仍考慮它們的作用。說明(shuōmíng)：第十頁，共150頁。⑵薄板彎曲問題的物理方程(b)與平面(píngmiàn)應(yīng)力問題的物理方程相同。但沿板厚方向，對于平面(píngmiàn)應(yīng)力問題的應(yīng)力為均勻分布，合成軸力而薄板彎曲問題的應(yīng)力為線性分布，在中面為0，合成彎矩和扭矩。第十一頁，共150頁。⑶從計算假定1、2，得出故中面法線在薄板(báobǎn)彎曲時保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線。第十二頁，共150頁。因此，中面在變形(biànxíng)后，其線段和面積在xy面上的投影形狀保持不變。由于(yóuyú)故3.中面的縱向位移(wèiyí)可以不計，即第十三頁，共150頁。實踐證明，只要是小撓度(náodù)的薄板，薄板的彎曲理論就可以應(yīng)用，并具有足夠的精度。類似于梁的彎曲理論，在薄板彎曲問題中提出了上述三個計算假定，并應(yīng)用這三個計算假定,簡化(jiǎnhuà)空間問題的基本方程，建立了小撓度薄板彎曲理論。 第十四頁，共150頁。1.試考慮在材料力學(xué)梁的彎曲問題(wèntí)中，是否也應(yīng)用了這三個計算假定？2.在材料力學(xué)的梁彎曲問題(wèntí)中，采用了平面截面假設(shè)。在薄板中有否采用此假設(shè)？思考題第十五頁，共150頁?！?-2彈性曲面(qūmiàn)的微分方程本節(jié)從空間問題的基本方程出發(fā)，應(yīng)用三個計算(jìsuàn)假定進行簡化，導(dǎo)出按位移求解薄板彎曲問題的基本方程。薄板(báobǎn)問題解法第十六頁，共150頁。薄板(báobǎn)彎曲問題是按位移求解的，主要內(nèi)容是：4.導(dǎo)出板邊的邊界條件。3.導(dǎo)出求解(qiújiě)w的方程。2.將其他未知函數(shù)─縱向位移u,v；主要應(yīng)變分量;主要應(yīng)力分量；次要(cìyào)應(yīng)力分量及最次要(cìyào)應(yīng)力均用w來表示。1.取撓度w(x,y)為基本未知函數(shù)。

第十七頁，共150頁。具體推導(dǎo)如下：1.取撓度(náodù)為基本未知函數(shù)。應(yīng)用幾何方程及計算假定1，

第十八頁，共150頁。2.將，用表示。應(yīng)用幾何方程(fāngchéng)及計算假定2，∴對積分，

又由計算假定3，故得： 第十九頁，共150頁。3.主要應(yīng)變用表示(biǎoshì)。應(yīng)用其余三個幾何方程，并代入式(a)得：(b)第二十頁，共150頁。4.主要應(yīng)力用表示。應(yīng)用薄板的三個物理(wùlǐ)方程及式(b)，得：(c)第二十一頁，共150頁。求w條件(tiáojiàn)因此，常應(yīng)用這個解答于上述這類問題，作為其解答的一部分。第十五頁，共150頁。第四十一頁，共150頁。第六十六頁，共150頁。將w=f(x)代入彈性曲面微分方程，求出f(x)。第九章教學(xué)參考資料薄板是厚度(hòudù)板面尺寸的物體。發(fā)生在薄板的中心點的撓度為其中是待定的函數(shù)(hánshù)，m為正整數(shù)。內(nèi)力(nèilì)符號并且在的大邊界（板面）上，三個應(yīng)力邊界條件也已精確滿足。5、對于圓形薄板，類似于極坐標中的平面問題，可以建立相應(yīng)(xiāngyīng)的圓板彎曲問題的方程。略去它們引起的形變，即得簡支邊邊界條件（x邊界o點）說明(shuōmíng)：5.次要(cìyào)應(yīng)力用表示。應(yīng)用平衡微分方程的前兩式（其中縱向體力），有代入式(c)，并對z積分，得：其中(qízhōng)第二十二頁，共150頁。∵上下板面是大邊界，必須精確滿足(mǎnzú)應(yīng)力邊界條件由此求出及，代入得到(dédào)第二十三頁，共150頁。6.更次要應(yīng)力(yìnglì)用表示。應(yīng)用第三個平衡微分方程，將體力及板面上的面力等效地移置到上板面，有代入式(d)，并對z積分，得第二十四頁，共150頁。由下板面的邊界條件求出，故更次要(cìyào)應(yīng)力為第二十五頁，共150頁。7.導(dǎo)出求解w的基本方程(fāngchéng)。由上板面邊界條件（屬于靜力平衡條件）得出在A域中求w的方程(fāngchéng)(f)(g)為薄板(báobǎn)的抗彎剛度求w方程(fāngchéng)第二十六頁，共150頁。說明：⑴在三個計算假定下，縱向位移u,v；主要應(yīng)變(yìngbiàn)；主要應(yīng)力；沿z向均為線性分布，在中面為0；次要應(yīng)力（橫向切應(yīng)力）沿z向為拋物線分布；均與材料力學(xué)相似。更次要應(yīng)力（擠壓應(yīng)力）沿z為三次曲線分布。第二十七頁，共150頁。⑵按位移求解薄板彎曲問題(wèntí)，只取w為基本未知函數(shù)。在導(dǎo)出求w的基本方程中應(yīng)用了三個計算假定，與材料力學(xué)解梁的彎曲問題(wèntí)相似。第二十八頁，共150頁。⑶從上述推導(dǎo)(tuīdǎo)過程可見,空間問題的6個幾何方程，6個物理方程和3個平衡微分方程都已考慮并滿足（其中應(yīng)用了3個計算假定）；并且在的大邊界（板面）上，三個應(yīng)力邊界條件也已精確滿足。⑷只有板邊的邊界條件尚未考慮，它們(tāmen)將作為求解微分方程（f）的邊界條件。第二十九頁，共150頁。思考題試比較梁的彎曲問題(wèntí)和薄板彎曲問題(wèntí)的異同。第三十頁，共150頁?！?-3薄板(báobǎn)橫截面上的內(nèi)力⑵在板邊（小邊界(biānjiè)）上，要用內(nèi)力的邊界條件代替應(yīng)力的邊界(biānjiè)條件。⑴薄板(báobǎn)是按內(nèi)力設(shè)計的；薄板內(nèi)力，是薄板每單位寬度的橫截面上,由應(yīng)力合成的主矢量和主矩。

求薄板內(nèi)力的目的：薄板內(nèi)力第三十一頁，共150頁。求內(nèi)力：取出的六面體，x面上，有應(yīng)力，，y面上，有應(yīng)力，，。其中(qízhōng)，，=沿z為直線分布，在中面為0；，沿z為二次分布(fēnbù)，方向∥橫截面。第三十二頁，共150頁。x面面積(miànjī)上，應(yīng)力的主矢量和主矩為：x面內(nèi)力(nèilì)─合成主矢量稱為(chēnɡwéi)橫向剪力,─合成主矢量為0,合成主矩稱為扭矩,─合成主矢量為0,合成主矩稱為彎矩,第三十三頁，共150頁。類似(lèisì)地，求出y面面積上的內(nèi)力：y面內(nèi)力(nèilì)彎矩扭矩橫向(hénɡxiànɡ)剪力內(nèi)力的正負號規(guī)定，根據(jù)應(yīng)力符號確定:正的應(yīng)力方向的主矢量為正;正的應(yīng)力×正的矩臂的力矩方向為正,如圖。第三十四頁，共150頁。xyz內(nèi)力(nèilì)符號第三十五頁，共150頁。內(nèi)力均為單位(dānwèi)寬度上的主矢量和主矩，∴其量綱均應(yīng)降低一次長度量綱。薄板內(nèi)力是橫截面上，應(yīng)力向中面合成的主矢量和主矩。(e)(f)中面內(nèi)力(nèilì)平衡條件考慮(kǎolǜ)上圖的中面平衡條件，可得：第三十六頁，共150頁。再將用w來表示，同樣(tóngyàng)地得出撓曲線微分方程將前兩式代入后式，得第三十七頁，共150頁。§9－4邊界條件

扭矩的等效(děnɡxiào)剪力薄板(báobǎn)的邊界條件：上下板面（大邊界）已精確(jīngquè)地滿足了3個應(yīng)力邊界條件。邊界條件第三十八頁，共150頁。板邊為小邊界(biānjiè)，∴可以應(yīng)用圣維南原理來簡化邊界(biānjiè)條件,將板邊的邊界(biānjiè)條件歸結(jié)為中面的位移邊界(biānjiè)條件或中面的內(nèi)力邊界(biānjiè)條件。板邊（小邊界）的邊界條件尚未考慮,是求解撓曲線(qūxiàn)微分方程的邊界條件。，可看成是中面的撓曲微分(wēifēn)方程,或中面的平衡方程；邊界條件第三十九頁，共150頁。薄板板邊的邊界條件分為三類(sānlèi)：1.固定邊─若為廣義固定邊，則其中(qízhōng)為給定的約束位移。若完全固定，則固定(gùdìng)邊(a)第四十頁，共150頁。2.簡支邊─若為廣義簡支邊，則其中(qízhōng)，分別為給定的約束位移和彎矩。若，則一般的簡支邊條件為簡支邊(zhībiān)第四十一頁，共150頁。

故第二個條件可以(kěyǐ)簡化?！嗪喼н叺臈l件為因簡支邊(zhībiān)第四十二頁，共150頁。3.自由邊─若為一般的自由邊，則上式邊界條件共有3個，與四階微分方程(wēifēnfānɡchénɡ)不相對應(yīng)。經(jīng)過約二十年后，基爾霍夫指出，薄板板邊上的扭矩可化為等效的橫向剪力。自由(zìyóu)邊第四十三頁，共150頁。第四十四頁，共150頁。在EF=dx微分段上，總扭矩，化為E、F上等效的一對(yīduì)力，分別向下（E）和向上（F）；在FG=dx微分(wēifēn)段上，總扭矩，化為F、G上等效的一對力，分別向下（F）和向上（G）。圖中，取出板邊AB（y面），扭矩的等效(děnɡxiào)剪力第四十五頁，共150頁。在F點，合成(héchéng)集中力,向下。再化為寬度上的分布剪力。故AB邊界總的分布剪力為

第四十六頁，共150頁。此外，在A，B兩端，還有兩個未被抵消(dǐxiāo)的集中剪力用撓度(náodù)表示為∴自由(zìyóu)邊的邊界條件成為同理可導(dǎo)出的自由邊條件。第四十七頁，共150頁。自由邊交點(jiāodiǎn)的角點條件─在角點B，集中力為若B點有支承(zhīchénɡ)，阻止撓度的發(fā)生，則有若B點無支承(zhīchénɡ)，應(yīng)無集中力，有角點條件第四十八頁，共150頁。角點集中力的正負號及方向，根據(jù)扭矩確定，見習題9-2。固定(gùdìng)邊是位移邊界條件，自由邊是內(nèi)力邊界條件，簡支邊是混合邊界條件。第四十九頁，共150頁?！?－5四邊簡支矩形(jǔxíng)薄板的重三角級數(shù)解小撓度(náodù)薄板的彎曲問題，已經(jīng)歸結(jié)為求解撓度(náodù)w，w應(yīng)滿足撓曲線微分方程和板邊的邊界條件。求w條件(tiáojiàn)第五十頁，共150頁。對于(duìyú)四邊簡支的矩形板，邊界條件為(b)四邊(sìbiān)簡支第五十一頁，共150頁。納維將w表示為重三角級數(shù)，

其中m，n為正整數(shù)。代入式(b)，邊界條件全部(quánbù)滿足。第五十二頁，共150頁。將q(x,y)也展為重三角(sānjiǎo)級數(shù)，再代入式(a)，得將q代入上式，比較(bǐjiào)兩邊系數(shù)，得第五十三頁，共150頁。 納維解答是用多種正弦波形的疊加來表示撓度w的。對于(duìyú)各種形式的荷載q，均可方便地求出解答。它的主要缺點是，只能適用于四邊簡支的薄板。第五十四頁，共150頁。當q為集中荷載F，作用于一點時，可用代替q，并且(bìngqiě)只在處的微分面積上存在，其余區(qū)域q=0，于是中當q為均布荷載時，代入式(f)，便可求出，并得出(déchū)w解答。第五十五頁，共150頁?！?－6矩形(jǔxíng)薄板的單三角級數(shù)解設(shè)矩形板的兩對邊為簡支邊，其余兩邊(liǎngbiān)為任意邊界。兩對邊簡支第五十六頁，共150頁。其中是待定的函數(shù)(hánshù)，m為正整數(shù)。式(a)已滿足了的簡支邊條件,萊維采用單三角(sānjiǎo)級數(shù)表示撓度，將式(a)代入撓曲線(qūxiàn)微分方程，得兩對邊簡支第五十七頁，共150頁。將q/D也展開為單三角(sānjiǎo)級數(shù)，兩對邊簡支代入式(b)，比較系數(shù)，得出(déchū)求的常微分方程，第五十八頁，共150頁。其中為式(d)的特解；其余四項為齊次方程的通解。將代入式(a)，得w解，其中的系數(shù)(xìshù)由其余兩邊界條件來確定。式(d)的解為第五十九頁，共150頁。書中列舉了受均布荷載(hèzài)時,四邊簡支板的解答。矩形薄板應(yīng)用重三角級數(shù)和單三角級數(shù)求解，是非常重要的解法。下面我們(wǒmen)進一步說明幾點。第六十頁，共150頁。從求解薄板彎曲問題(wèntí)來看，兩者比較如下：適用性四邊(sìbiān)簡支兩對邊簡支，另兩邊可任意求解(qiújiě)簡便較困難，須求解系數(shù)

收斂性慢快應(yīng)用局限于四邊簡支可推廣應(yīng)用到其他各種邊界納維解法萊維解法第六十一頁，共150頁。2.應(yīng)用疊加方法，可將萊維提出的單三角級數(shù)解，用于解決各種(ɡèzhǒnɡ)邊界條件的薄板問題。3.納維解法和萊維解法，不僅在薄板的靜力（彎曲）問題(wèntí)中得到了廣泛的應(yīng)用，而且可以推廣應(yīng)用于薄板的動力、穩(wěn)定問題(wèntí),以及能量法中。第六十二頁，共150頁。1.試考慮四邊固定的矩形板，受任意荷載(hèzài)，如何應(yīng)用萊維法求解？2.試考慮一邊固定三邊自由的矩形板，受任意荷載(hèzài)，如何應(yīng)用萊維法求解？思考題第六十三頁，共150頁。 應(yīng)用差分法求解薄板彎曲問題，是比較(bǐjiào)簡便的。 首先將撓曲線(qūxiàn)微分方程變換為差分方程,插分方程(fāngchéng)

§9－7矩形板的差分解

第六十四頁，共150頁。對點，即第六十五頁，共150頁。固定邊和簡支邊(zhībiān)附近的w值，如下圖所示。若AB為簡支邊(zhībiān)，對于o點，若AB為固定(gùdìng)邊，則對于o點，第六十六頁，共150頁。(a)固定(gùdìng)邊(b)簡支邊(zhībiān)9-11第六十七頁，共150頁。對于自由邊的情形，邊界點是未知數(shù)，須列式(a)的差分方程，其中涉及邊界外一、二行虛結(jié)點(jiédiǎn)的w值，用自由邊的邊界條件來表示，所以求解時比較麻煩。對于(duìyú)具有支承邊（簡支邊，固定邊）的矩形板，每一內(nèi)結(jié)點的w值為未知數(shù)，對每一內(nèi)結(jié)點應(yīng)列式(a)的方程。其中涉及邊界點和邊界外一行虛結(jié)點的w值，如式(b)或(c)所示。第六十八頁，共150頁。例1四邊簡支的正方形薄板，，受到均布荷載的作用，試取的網(wǎng)格，如圖，用差分法求解(qiújiě)薄板中心點的撓度和應(yīng)力（?。?。21210121209-12第六十九頁，共150頁。網(wǎng)格(wǎnɡɡé)精確(jīngquè)解答案(dáàn):第七十頁，共150頁。例2同上題，但四個邊界(biānjiè)均為固定邊。網(wǎng)格(wǎnɡɡé)精確(jīngquè)解答案:第七十一頁，共150頁。總之，對于具有支承邊的矩形板，采用差分法求解是十分簡便有效的，取較少的網(wǎng)格便可求得精度較好的撓度值w。而由w求內(nèi)力時，∵對近似解w求導(dǎo)數(shù)后會降低精度，所以須適當(shìdàng)地加密網(wǎng)格。第七十二頁，共150頁。對于的正方形薄板，受均布荷載作用，試取的網(wǎng)格，分別求解下列邊界問題的中心點撓度，并進行比較(bǐjiào)：（1）四邊簡支；（2）三邊簡支，一邊固定；思考題第七十三頁，共150頁。（3）兩對邊簡支，另兩對邊固定(gùdìng)；（4）兩鄰邊簡支，另兩鄰邊固定(gùdìng)；（5）一邊簡支，三邊固定(gùdìng)；（6）四邊固定(gùdìng)。第七十四頁，共150頁。§9－8圓形薄板(báobǎn)的彎曲 圓板彎曲問題(wèntí)的方程和公式，都可以從直角坐標系的方程和公式導(dǎo)出。第七十五頁，共150頁。1.撓曲(náoqǔ)微分方程仍為其中(qízhōng)圓板方程(fāngchéng)第七十六頁，共150頁。將對x，y的導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)變換為對的導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)，并代入，得2.內(nèi)力公式(gōngshì)─類似地可利用公式(gōngshì)，例如(lìrú)，內(nèi)力公式第七十七頁，共150頁。同樣(tóngyàng)，得出第七十八頁，共150頁。類似(lèisì)地，橫截面上的總剪力為第七十九頁，共150頁。3.邊界條件可以(kěyǐ)表示為⑵設(shè)為簡支邊(zhībiān)，則⑴設(shè)為固定(gùdìng)邊，則邊界條件第八十頁，共150頁。前一條件使w對的導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)在邊界上均為0，故簡支邊條件為第八十一頁，共150頁。⑶設(shè)為自由(zìyóu)邊，則第八十二頁，共150頁。若圓板的荷載q和邊界條件均為軸對稱，則薄板的撓度(náodù)和內(nèi)力必然也為軸對稱?！嘤小?－9圓形薄板(báobǎn)的軸對稱彎曲撓曲(náoqǔ)微分方程為軸對稱彎矩第八十三頁，共150頁。式(a)的全解為對于無孔板，則除2個外邊界條件外，還應(yīng)考慮撓度和內(nèi)力在的有限(yǒuxiàn)值條件，∴得。對于(duìyú)有孔板，由內(nèi)外邊界共4個邊界條件來確定。通解(tōngjiě)的系數(shù)由邊界條件來確定：其中特解為邊界條件第八十四頁，共150頁。 上述的軸對稱解答(jiědá)(b)，是軸對稱彎曲的一般解，可以應(yīng)用于一切軸對稱彎曲問題。讀者可參考教科書的解答(jiědá)和有關(guān)力學(xué)手冊。第八十五頁，共150頁。第九章例題(lìtí)例題(lìtí)1例題(lìtí)2例題3例題4例題5例題第八十六頁，共150頁。固定邊橢圓板的邊界(biānjiè)方程為

Oabyx受均布荷載作用，如圖，試求其撓度(náodù)和內(nèi)力。例題(lìtí)1第八十七頁，共150頁。由，顯然(xiǎnrán)。因此，從方向解：固定(gùdìng)邊的邊界條件是(a)(b)導(dǎo)數(shù)(dǎoshù)的公式可推出，為了滿足邊界條件(a)，可以令第八十八頁，共150頁。便可滿足(mǎnzú)式(a)的邊界條件。對于均布荷載，將式(c)代入方程得出，并從而得因此(yīncǐ)，只需取(c)第八十九頁，共150頁。內(nèi)力(nèilì)為讀者可以(kěyǐ)檢驗，最大和最小彎矩為第九十頁，共150頁。當時，便由上述解得出圓板的解答，若令則橢圓板成為(chéngwéi)跨度為的平面應(yīng)變問題的固端梁。第九十一頁，共150頁。四邊簡支矩形板，如圖，受有分布荷載(hèzài)的作用，試用重三角級數(shù)求解其撓度。例題(lìtí)2第九十二頁，共150頁。解：將代入積分(jīfēn)式，由三角函數(shù)(sānjiǎhánshù)的正交性，及第九十三頁，共150頁。得代入，得撓度(náodù)的表達式為第九十四頁，共150頁。四邊簡支矩形板，如圖，在的直線上，受有線分布荷載F的作用，F(xiàn)為單位長度上的作用力。試用重三角級數(shù)(jíshù)求解其撓度。yxabOFa例題(lìtí)3第九十五頁，共150頁。解：板中的荷載只作用在的線上，對荷載的積分項只有(zhǐyǒu)在此線上才存在，其余區(qū)域上的積分全為0，在的線上，荷載強度可表示為代入系數(shù)(xìshù)的公式，第九十六頁，共150頁。(n=1,3,5…)第九十七頁，共150頁。得出(déchū)撓度為第九十八頁，共150頁。四邊簡支矩形板，受靜水壓力作用，，如圖，試用(shìyòng)單三角級數(shù)求解其撓度。xyaO例題(lìtí)4第九十九頁，共150頁。解：應(yīng)用萊維法的單三角級數(shù)求解(qiújiě)，將代入書中§9－6式(d)右邊的自由項，即代入式(d)，方程的特解可取為第一百頁，共150頁。從而得到和撓度的表達式。在本題中，由于結(jié)構(gòu)及荷載對稱(duìchèn)于軸，應(yīng)為的偶函數(shù)，由此，。于是的表達式為第一百零一頁，共150頁。在的邊界(biānjiè)，有簡支邊條件

將撓度(náodù)代入邊界條件，記，得第一百零二頁，共150頁。解出從而(cóngér)得撓度解答第一百零三頁，共150頁。發(fā)生在薄板的中心點的撓度為與板上作用有均布荷載的解答(jiědá)相比，本題的中心點撓度為均布荷載下中心點撓度的1/2。又由的條件，求出最大撓度為第一百零四頁，共150頁。例題5設(shè)有內(nèi)半徑為r而外半徑為R的圓環(huán)形薄板，其內(nèi)邊界簡支，外邊界為自由，并受到均布力矩荷載M的作用，如圖，試求其撓度(náodù)和內(nèi)力。MMOzrRRr第一百零五頁，共150頁。解：本題屬于圓板的軸對稱問題，可引用§9－9中軸對稱圓板的一般解。由于板上無橫向(hénɡxiànɡ)荷載，特解，于是撓度為代入內(nèi)力(nèilì)公式，得第一百零六頁，共150頁。內(nèi)外(nèiwài)邊界的四個邊界條件為第一百零七頁，共150頁。將撓度(náodù)及內(nèi)力代入邊界條件，求出，最后得解答如下：第一百零八頁，共150頁。第九章習題提示(tíshì)和答案9－1撓度w應(yīng)滿足彈性曲面(qūmiàn)的微分方程，x=0的簡支邊條件，以及橢圓邊界上的固定邊條件，。校核橢圓邊界的固定邊條件時，可參見例題4。 求撓度及彎矩等的最大值時，應(yīng)考慮函數(shù)的極值點（其導(dǎo)數(shù)為0）和邊界點，從中找出其最大值。第一百零九頁，共150頁。9－2在重三角級數(shù)(jíshù)中只取一項就可以滿足的彈性曲面微分方程，并可以求出系數(shù)m。而四個簡支邊的條件已經(jīng)滿足。關(guān)于角點反力的方向、符號的規(guī)定，可參見§9－4中的圖9－5。第一百一十頁，共150頁。9－3本題中無橫向荷載，q=0，只有(zhǐyǒu)在角點B有集中力F的作用。注意w=mxy應(yīng)滿足：彈性曲面的微分方程，x=0和y=0的簡支邊條件,x=a和y=b的自由邊條件，以及角點的條件（見圖9－5中關(guān)于角點反力的符號規(guī)定）。

第一百一十一頁，共150頁。在應(yīng)用萊維解法求解各種邊界條件的矩形(jǔxíng)板時，這個解答可以用來處理有兩個自由邊相交的問題，以滿足角點的條件。因此，常應(yīng)用這個解答于上述這類問題，作為其解答的一部分。讀者可參考§9－6中圖9-9的例題。第一百一十二頁，共150頁。9-4本題中也無橫向荷載，q=0，但在邊界(biānjiè)上均有彎矩作用。x=0,a是廣義的簡支邊，其邊界(biānjiè)條件是

而y=0,b為廣義(guǎngyì)的自由邊，其邊界條件是第一百一十三頁，共150頁。將w=f(x)代入彈性曲面微分方程，求出f(x)。再校核上述邊界條件并求出其中(qízhōng)的待定系數(shù)。第一百一十四頁，共150頁。9-5參見(cānjiàn)§9－7及例題1，2。第一百一十五頁，共150頁。只有在的區(qū)域有均布荷載作用，應(yīng)進行積分(jīfēn)；而其余區(qū)域，積分(jīfēn)必然為零。9-6應(yīng)用納維解法，取w為重三角級數(shù)，可以滿足四邊簡支的條件。在求重三角級數(shù)的系數(shù)中，其中(qízhōng)對荷載的積分第一百一十六頁，共150頁。9-7對于無孔圓板，由的撓度和內(nèi)力的有限(yǒuxiàn)值條件，得出書中§9－9式(d)的解中，，然后再校核簡支邊的條件，求出。求最大值時，應(yīng)考慮從函數(shù)的極值點和邊界點中選取最大的值。第一百一十七頁，共150頁。9-8本題也是無孔圓板，由有限值條件，取。相應(yīng)于荷載(hèzài)的特解，可根據(jù)書中§9－9的式(c)求出。然后再校核的固定邊的條件。求最大值時，應(yīng)從函數(shù)的極值點和邊界點的函數(shù)值中選取。第一百一十八頁，共150頁。9-9由，代入及的公式，兩邊相比(xiānɡbǐ)便可得出等用等表示的表達式。由，將w對x,y的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換為對的導(dǎo)數(shù)。然后再與式(a)相比(xiānɡbǐ)，便可得出等用撓度表示的公式。第一百一十九頁，共150頁。9-10參見上題，可以(kěyǐ)用類似的方法出。第一百二十頁，共150頁。（一）本章學(xué)習(xuéxí)重點及要求1、桿件受到縱向（平行于桿軸）荷載(hèzài)的作用，這是桿件的拉壓問題；桿件受到橫向（垂直于桿軸）荷載(hèzài)的作用，這是梁的彎曲問題。與此相似，薄板受到縱向（平行于板面）荷載的作用，這是平面應(yīng)力問題；薄板受到橫向（垂直于板面）荷載的作用，這就是(jiùshì)薄板的彎曲問題。薄板的彎曲，可以認為是梁的彎曲的推廣，是雙向的彎曲問題。第九章教學(xué)參考資料

第一百二十一頁，共150頁。但讀者不可簡單地將板的彎曲(wānqū)看成是縱、橫梁彎曲(wānqū)的迭加。否則，這會重復(fù)板的彎曲(wānqū)理論發(fā)展史中的錯誤。2、與平面問題和空間問題不同的是，除了前述的彈性力學(xué)的五個基本假定之外，在薄板彎曲問題中，根據(jù)其內(nèi)力和變形的特征，又提出了三個計算假定，用以簡化空間問題的基本方程，并從而建立了薄板的彎曲理論。這點與材料力學(xué)的解法相似。因此，常將薄板和殼體的理論歸入高等材料力學(xué)。但由于其應(yīng)用的數(shù)學(xué)(shùxué)工具較為復(fù)雜，所以這些內(nèi)容又稱為實用彈性力學(xué)。第一百二十二頁，共150頁。3、薄板彎曲問題屬于空間問題。薄板彎曲理論，是從空間問題的基本方程和條件出發(fā)，應(yīng)用薄板的三個計算假定進行簡化，并按位移法導(dǎo)出薄板彎曲問題的基本方程和邊界條件的。最后歸結(jié)(guījié)的基本未知函數(shù)（撓度w）和相應(yīng)的方程、邊界條件都只含（x,y）兩個自變量，因此，薄板彎曲問題也屬于二維問題。第一百二十三頁，共150頁。5、對于圓形薄板，類似于極坐標中的平面問題，可以建立相應(yīng)(xiāngyīng)的圓板彎曲問題的方程。對于軸對稱圓板的彎曲問題，其中只包含一個自變量，其方程為常微分方程，它的通解已經(jīng)求出。4、對于矩形薄板(báobǎn)，基本的解法是納維法和萊維法。第一百二十四頁，共150頁。（二）本章(běnzhānɡ)內(nèi)容提要1.薄板小撓度彎曲問題的基本方程和邊界條件，是從空間(kōngjiān)問題的基本方程和邊界條件出發(fā)，引用三個計算假定進行簡化，并由按位移求解的方法導(dǎo)出的。第一百二十五頁，共150頁。2.在薄板彎曲問題(wèntí)中，取撓度為基本未知函數(shù)，它應(yīng)滿足：區(qū)域內(nèi)的彈性(tánxìng)曲面微分方程固定邊邊界條件或簡支邊邊界條件或自由邊邊界條件第一百二十六頁，共150頁。薄板橫截面上的內(nèi)力(nèilì)公式為：彎矩扭矩剪力第一百二十七頁，共150頁。3.四邊(sìbiān)簡支矩形板的重三角級數(shù)解（納維解法）第一百二十八頁，共150頁。4.兩對邊簡支矩形(jǔxíng)板的單三角級數(shù)解（萊維解法）其中為特解，并由其余兩邊界的條件(tiáojiàn)求出系數(shù)第一百二十九頁，共150頁。5.薄板(báobǎn)彎曲問題的差分法是:o點的差分公式為：固定邊邊界條件（x邊界o點）簡支邊邊界條件（x邊界o點）第一百三十頁，共150頁。6.圓形薄板彎曲問題(wèntí)的基本方程是：其中固定(gùdìng)邊邊界條件簡支邊邊界條件自由邊邊界條件第一百三十一頁，共150頁。7.圓板軸對稱彎曲(wānqū)的一般解是其中(qízhōng)由邊界條件確定。第一百三十二頁，共150頁。（三）板的分類(fēnlèi)不同厚度的板具有不同的內(nèi)力和變形特征。按板的厚度，可以分為：1.厚板—其板厚與板面尺寸之比，約為即三個方向的幾何尺寸接近(jiējìn)于同階大小。因此，空間問題的各物理量也為同階大小，均應(yīng)考慮而不宜忽略。第一百三十三頁，共150頁。2、薄板(báobǎn)—大約為又按抗彎剛度的大小分為：小撓度薄板—這種板雖然薄，但仍有相當?shù)目箯潉偠取Ｋ奶卣魇?，?）由于具有一定的剛度，其橫向撓度即符合小變形假定；（2）在中面位移中，w是主要的，而縱向位移u,v很小，可以不計；（3）在內(nèi)力(nèilì)中，僅由橫向剪力與橫向荷載q成平衡，縱向軸力（平行于中面的內(nèi)力(nèilì)）N的作用可以不計。第一百三十四頁，共150頁。大撓度薄板(báobǎn)—其抗彎剛度較小，因此，（1）撓度w與板厚為同階大??；（2）在中面位移中，u,v不能忽略；（3）縱向軸力N也應(yīng)考慮入橫向的平衡條件之中。3、薄膜—大約為其抗彎剛度(ɡānɡdù)極小，相應(yīng)的彎曲內(nèi)力主要由縱向軸力N與橫向荷載q成平衡。第一百三十五頁，共150頁。（四）薄板(báobǎn)彎曲問題的變分法下面我們來介紹一下薄板彎曲問題的變分法。這也是解決實際問題的很有效的方法(fāngfǎ)。在薄板彎曲問題中，由于不計形變分量因此形變勢能為(a)將形變分量(fènliàng)