數(shù)字信號(hào)處理課件

1.數(shù)學(xué)工具多微積分，概率統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)過程，高等代數(shù)，數(shù)值分析，積分變換，復(fù)變函數(shù)等。2.要求基礎(chǔ)強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)理論、信號(hào)與系統(tǒng)是本課程的理論基礎(chǔ)。3.與其它學(xué)科密切相連與最優(yōu)控制、通信理論、故障診斷、計(jì)算機(jī)、微電子技術(shù)不可分，又是人工智能、模式識(shí)別、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等新興學(xué)科的理論基礎(chǔ)之一。緒論六、本課程的特點(diǎn)緒論七、講授內(nèi)容與參考書1.課程內(nèi)容綱要離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)（時(shí)域）ch1序列的變換域分析（傅立葉變換、z變換）ch2離散傅立葉變換ch3快速傅立葉變換ch4FIR濾波器設(shè)計(jì)ch7IIR濾波器設(shè)計(jì)ch6數(shù)字濾波器基本結(jié)構(gòu)ch5緒論第1章時(shí)域離散信號(hào)與時(shí)域離散系統(tǒng)1.1引言(復(fù)習(xí))

1.2時(shí)域離散信號(hào)(復(fù)習(xí))

1.3時(shí)域離散系統(tǒng)(復(fù)習(xí))1.4時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法（選修）1.5模擬信號(hào)數(shù)字處理方法(重點(diǎn)講解)習(xí)題課一、信號(hào)二、信號(hào)分類三、連續(xù)時(shí)間信號(hào)或模擬信號(hào)四、離散時(shí)間信號(hào)與數(shù)字信號(hào)五、模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)的關(guān)系1.1引言本節(jié)主要內(nèi)容：一、信號(hào)二、信號(hào)分類信號(hào)是傳遞信息的函數(shù),它可表示成一個(gè)或幾個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)。如：f(x)、f(t)和f(x,y)等。依載體：電信號(hào)、磁信號(hào)、聲信號(hào)等。依變量個(gè)數(shù)：一維、二維、多維（矢量）信號(hào)依周期性：周期信號(hào)和非周期信號(hào)。依是否為確定函數(shù)：確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)。依能量或功率是否有限：能量信號(hào)和功率信號(hào)。在連續(xù)時(shí)間范圍內(nèi)定義的信號(hào),幅值為連續(xù)的信號(hào)稱為模擬信號(hào),連續(xù)時(shí)間信號(hào)與模擬信號(hào)常常通用。三、連續(xù)時(shí)間信號(hào)或模擬信號(hào)例：用電壓或電流去模擬其它物理量，如聲音、溫度、壓力、圖象等所得到的信號(hào)。四、離散時(shí)間信號(hào)與數(shù)字信號(hào)nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-1012時(shí)間為離散變量的信號(hào)稱作離散時(shí)間信號(hào),而時(shí)間和幅值都離散化的信號(hào)稱作為數(shù)字信號(hào)。離散時(shí)間信號(hào)與數(shù)字信號(hào)的關(guān)系？五、模擬信號(hào)與數(shù)字信號(hào)的關(guān)系

D/A變換

A/D變換模擬信號(hào)數(shù)字信號(hào)模擬信號(hào)經(jīng)A/D變換得數(shù)字信號(hào)；數(shù)字信號(hào)經(jīng)D/A變換得模擬信號(hào)。1.2時(shí)域離散信號(hào)本節(jié)主要內(nèi)容：一、常用的典型序列二、序列的運(yùn)算1.單位抽樣序列(單位沖激)

1-2-1012n1-2-101mn一、常用的典型序列...0123-1nu(n)2.單位階躍序列3.矩形序列a為實(shí)數(shù),當(dāng)4.實(shí)指數(shù)序列5.復(fù)指數(shù)序列其中，ω0為數(shù)字角頻率。6.正弦型序列如果正弦序列是由模擬信號(hào)xa(t)采樣得到的，那么：xa(t)=sin(Ωt)

xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)

x(n)=sin(ωn)數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為：

ω=ΩT

定義：如果存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，滿足：7.周期序列則序列x(n)為周期性序列，N為周期。上式中，數(shù)字頻率是π/4，由于n取整數(shù)，可以寫成下式：

上式表明周期為8的周期序列，也稱正弦序列,如下圖所示:例：設(shè)x(n)=Asin(ω0n+φ)那么x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+ω0N+φ)如果x(n+N)=x(n)則要求N=(2π/ω0)k，式中k與N均取整數(shù)，且k的取值要保證N是最小的正整數(shù)，滿足這些條件，正弦序列才是以N為周期的周期序列。具體正弦序列有以下三種情況：(1)當(dāng)2π/ω0為整數(shù)時(shí)，k=1，正弦序列是以2π/ω0為周期的周期序列。下面討論一般正弦序列的周期性。(2)2π/ω0不是整數(shù)，是一個(gè)有理數(shù)時(shí)設(shè)2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互為素?cái)?shù)的整數(shù)，取k=Q,那么N=P，則正弦序列是以P為周期的周期序列。(3)2π/ω0是無理數(shù)，任何整數(shù)k都不能使N為正整數(shù)，因此，此時(shí)的正弦序列不是周期序列。思考題：周期信號(hào)經(jīng)等間隔采樣是否還為周期信號(hào)？答案為不一定。1.移位當(dāng)m為正時(shí)，

x(n-m)表示依次右移m位；

x(n+m)表示依次左移m位。二、序列的運(yùn)算-1012x(n)11/21/41/8...-2n例：1/21/41/81x(n+1)n0-1-21

2.翻褶(折迭)

如果有x(n),則x(-n)是以n=0為對(duì)稱軸將x(n)加以翻褶的序列。例：...-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8...-2n3.和兩序列的和是指同序號(hào)(n)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加得一新序列。4.乘積是指同序號(hào)(n)的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。5.累加設(shè)某一序列為x(n),則x(n)的累加序列y(n)定義為：即表示n以前的所有x(n)的和。6.尺度變換（1）抽?。簒(n)x(mn),m為正整數(shù)。例如，

m=2，

x(2n)，相當(dāng)于兩個(gè)點(diǎn)取一點(diǎn)；以此類推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n（2）插值：x(n)x(n/m),m為正整數(shù)。例如，m=2，x(n/2)，相當(dāng)于兩個(gè)點(diǎn)之間插一個(gè)點(diǎn)，以此類推。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。。1.3時(shí)域離散系統(tǒng)本節(jié)主要內(nèi)容：一、線性系統(tǒng)二、移不變系統(tǒng)三、線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系四、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性1.3時(shí)域離散系統(tǒng)設(shè)時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入為x(n)，經(jīng)過規(guī)定的運(yùn)算（或一個(gè)系統(tǒng)），系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設(shè)運(yùn)算關(guān)系用T［·］表示，輸出與輸入之間關(guān)系用下式表示：其框圖如圖所示：

*加權(quán)信號(hào)和的響應(yīng)=響應(yīng)的加權(quán)和。*先運(yùn)算后系統(tǒng)操作=先系統(tǒng)操作后運(yùn)算。

一、線性系統(tǒng)滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。如果系統(tǒng)具有：

那么該系統(tǒng)就是線性系統(tǒng)，即線性系統(tǒng)具有均勻性和迭加性。如果T[x(n)]=y(n),

則T[x(n-m)]=y(n-m),

滿足這樣性質(zhì)的系統(tǒng)稱作移不變系統(tǒng)。即系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)，亦即輸出波形不隨輸入加入的時(shí)間而變化的系統(tǒng)。二、移不變系統(tǒng)三、線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系設(shè)系統(tǒng)的輸入x(n)=δ(n)，系統(tǒng)輸出y(n)的初始狀態(tài)為零，定義這種條件下系統(tǒng)輸出稱為系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，用h(n)表示。換句話說，單位取樣響應(yīng)即是系統(tǒng)對(duì)于δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)。用公式表示為：1.線性移不變系統(tǒng)具有移不變特性的線性系統(tǒng)。2.單位抽樣響應(yīng)h(n)線性移不變系統(tǒng)

h(n)x(n)y(n)3.卷積和y(n)=x(n)*h(n)推導(dǎo)過程：卷積的計(jì)算方法：公式法：直接利用卷積公式計(jì)算，此時(shí)要確定求和區(qū)間的上限和下限。圖解法：翻轉(zhuǎn)、移位、相乘和求和四個(gè)過程。3.卷積和(2)結(jié)合律4.線性移不變系統(tǒng)的性質(zhì)(1)交換律(3)對(duì)加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)

h2(n)⊕y(n)x(n)

1.因果系統(tǒng)

定義：某時(shí)刻的輸出只取決于此刻以及以前時(shí)刻的輸入的系統(tǒng)稱作因果系統(tǒng)。四、系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為：

h(n)=0，n<02.穩(wěn)定系統(tǒng)定義：有界的輸入產(chǎn)生有界的輸出系統(tǒng)。線性移不變穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是：1.4時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法由于本節(jié)內(nèi)容在信號(hào)與系統(tǒng)的離散部分進(jìn)行了系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，這里就不重復(fù)介紹了。1.5模擬信號(hào)數(shù)字處理方法本節(jié)主要內(nèi)容：一、抽樣定理及A/D變換器二、將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)在緒論中已介紹了數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)相對(duì)于模擬信號(hào)處理技術(shù)的許多優(yōu)點(diǎn)，因此人們往往希望將模擬信號(hào)經(jīng)過采樣和量化編碼形成數(shù)字信號(hào)，再采用數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)進(jìn)行處理；處理完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)，這種處理方法稱為模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。其原理框圖如下圖所示：1.5模擬信號(hào)數(shù)字處理方法x(t)抗混疊濾波器A/D轉(zhuǎn)換器x(n)y(n)y(t)數(shù)字信號(hào)處理器D/A轉(zhuǎn)換器低通濾波器

①將輸入信號(hào)x(t)進(jìn)行抗混疊濾波，濾掉高于折疊頻率的分量，以防止信號(hào)頻譜的混疊；

②經(jīng)采樣和A/D轉(zhuǎn)換器，將濾波后的信號(hào)轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)x(n)；

③數(shù)字信號(hào)處理器對(duì)x(n)進(jìn)行處理，得數(shù)字信號(hào)y(n)；

④經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換器，將y(n)轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)；

⑤經(jīng)低通濾波器，濾除高頻分量，得到平滑的模擬信號(hào)y(t)。

各模塊的功能：一、抽樣定理及A/D變換器P(t)T對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行抽樣可以看作一個(gè)模擬信號(hào)通過一個(gè)電子開關(guān)S。設(shè)電子開關(guān)每隔周期T合上一次，每次合上的時(shí)間為τ<<T，在電子開關(guān)輸出端得到其采樣信號(hào)1.抽樣實(shí)際抽樣：t0tT為脈沖序列…理想抽樣：tt…（沖激序列）下面討論抽樣信號(hào)的頻譜特性理想抽樣演示我們知道在傅里葉變換中，兩信號(hào)在時(shí)域相乘的傅里葉變換等于兩個(gè)信號(hào)傅里葉變換的卷積。2.抽樣信號(hào)的頻譜特性設(shè)：直接可求得：2.抽樣信號(hào)的頻譜特性上式表明采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜沿頻率軸，每間隔采樣角頻率Ωs重復(fù)出現(xiàn)一次，或者說采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜以Ωs為周期，進(jìn)行周期性延拓而成的。設(shè)xa(t)是帶限信號(hào)，最高截止頻率為Ωc，其頻譜Xa(jΩ)如圖所示：對(duì)帶限信號(hào)的抽樣滿足Ωc≤Ωs/2時(shí),原來頻譜和各次延拓分量的頻譜不重疊,如下圖所示：由上圖可知，用一截止頻率為的低通濾器對(duì)濾波可以得因此，要想抽樣后能不失真的還原出原信號(hào)，抽樣頻率必須大于等于兩倍原信號(hào)最高頻率分量。即這就是奈奎斯特抽樣定理。3.抽樣定理常稱為折疊頻率但如果信號(hào)的最高頻率Ωc超過Ωs/2,則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交集,將無法不失真的還原出原來的連續(xù)信號(hào)，即產(chǎn)生了“混疊失真”，如下圖所示：4.A/D轉(zhuǎn)換器的基本原理A/D轉(zhuǎn)換器包括三個(gè)基本功能：抽樣抽樣保持量化與編碼其框圖如下所示：例如：模擬信號(hào)xa(t)=sin(2πft+π/8))，式中f=50Hz，選采樣頻率fs=200Hz，將t=nT代入Xa(t)中，得到采樣數(shù)據(jù)：當(dāng)n=…0，1，2，3，…時(shí)，得到序列x(n)如下：x(n)={…0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879…}如果抽樣信號(hào)或通過一理想低通濾波器就可恢復(fù)信號(hào)或。理想低通濾波器：T,0,T0二、將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換成模擬信號(hào)1.抽樣的恢復(fù)（1）理想低通濾波器的沖激響應(yīng)h(t)由抽樣信號(hào)恢復(fù)原來的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的過程的數(shù)學(xué)原理：內(nèi)插函數(shù)（2）

低通濾波器(filter)的輸出輸出=原信號(hào)抽樣點(diǎn)的值與內(nèi)插函數(shù)乘積和。在抽樣點(diǎn)mT上，其值為1;其余抽樣點(diǎn)上，其值為0，這保證了各抽樣點(diǎn)上信號(hào)值不變。（3）

內(nèi)插函數(shù)的特性：(m-2)T(m-1)TmT(m+1)T(m+2)T1（a）在抽樣點(diǎn)上，信號(hào)值不變；（b）抽樣點(diǎn)之間的信號(hào)則由各抽樣函數(shù)波形的延伸疊加而成。（4）

說明輸出信號(hào)T2T3T2.D/A轉(zhuǎn)換器的基本原理D/A轉(zhuǎn)換器的框圖如下：由時(shí)域離散信號(hào)xa(nT)恢復(fù)模擬信號(hào)的過程是在采樣點(diǎn)內(nèi)插的過程。理想低通濾波的方法是用h(t)函數(shù)作內(nèi)插函數(shù)，還可以用一階線性函數(shù)作內(nèi)插。零階保持器是將前一個(gè)采樣值進(jìn)行保持，一直到下一個(gè)采樣值來到，再跳到新的采樣值并保持，因此相當(dāng)于進(jìn)行常數(shù)內(nèi)插。零階保持器的單位沖激函數(shù)h(t)以及輸出波形如下圖所示。圖:零階保持器的輸出波形其幅度特性和相位特性如圖所示。由該圖看到零階保持器是一個(gè)低通濾波器，能夠起到將時(shí)域離散信號(hào)恢復(fù)成模擬信號(hào)的作用。圖中虛線表示理想低通濾波器的幅度特性。零階保持器的幅度特性與其有明顯的差別，主要是在|Ω|>π/T區(qū)域有較多的高頻分量，表現(xiàn)在時(shí)域上，就是恢復(fù)出的模擬信號(hào)是臺(tái)階形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通濾波器，濾除多余的高頻分量，對(duì)時(shí)間波形起平滑作用，這也就是在模擬信號(hào)數(shù)字處理框中，最后加平滑濾波的原因。雖然這種零階保持器恢復(fù)的模擬信號(hào)有些失真，但簡單、易實(shí)現(xiàn)，是經(jīng)常使用的方法。圖:零階保持器的頻率特

例1:證明y(n)=ax(n)+b(a和b是常數(shù))，所代表的系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。根據(jù)題意可得：y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+by2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+b

y(n)=T［x1(n)+x2(n)]=ax1(n)+ax2(n)+b所以：y(n)≠y1(n)+y2(n)

因此，該系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。因?yàn)門[x(n)]=y(n)=3x(n)+4

所以T[x(n-m)]=3x(n-m)+4

又y(n-m)=3x(n-m)+4

所以T[x(n-m)]=y(n-m)

因此，y(n)=3x(n)+4是移不變系統(tǒng).

例2：分析y(n)=3x(n)+4是不是移不變系統(tǒng).注意：在判斷系統(tǒng)是否為線性或移不變系統(tǒng)時(shí)，首先要確定系統(tǒng)的輸入是什么.例3：圖解法求：翻轉(zhuǎn).以m=0為對(duì)稱軸，折迭h(m)得到h(-m)，對(duì)應(yīng)序號(hào)相乘，相加得y(0)；移位一個(gè)單元，對(duì)應(yīng)序號(hào)相乘，相加得y(1)；重復(fù)步驟2，得y(2)至y(5),過程如下圖所示。 x(m)01231/213/2m得

y(1)0mh(-m)=h(0-m)-2-1翻褶0mh(1-m)-11位移1對(duì)應(yīng)相乘，逐個(gè)相加得y(0)-1012345y(n)n1/23/235/23/2公式法求解見教材P11h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)例4：已知兩線性移不變系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，其單位抽樣響應(yīng)分別為

當(dāng)輸入

時(shí)，求輸出。例5：設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，式中a是實(shí)常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。由于n<0時(shí)，h(n)=0，所以系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。只有當(dāng)|a|<1時(shí)：因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是|a|<1第3章時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析3.1引言3.2序列的傅立葉變換的定義及性質(zhì)(復(fù)習(xí))3.3周期序列的離散傅立葉級(jí)數(shù)及傅立葉變換表達(dá)式3.4時(shí)域離散信號(hào)的傅立葉變換與模擬信號(hào)傅立葉變換之間的關(guān)系3.5利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性(復(fù)習(xí))習(xí)題課3.1引言我們知道信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時(shí)域分析方法和頻域分析方法。在模擬領(lǐng)域中，信號(hào)一般用連續(xù)變量時(shí)間t的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。為了在頻域進(jìn)行分析，用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時(shí)間域函數(shù)轉(zhuǎn)換到頻率域。而在時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)中，信號(hào)用序列表示，其自變量僅取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無定義，而系統(tǒng)則用差分方程描述。頻域分析是用Z變換或傅里葉變換這一數(shù)學(xué)工具。其中傅里葉變換指的是序列的傅里葉變換，它和模擬域中的傅里葉變換是不一樣的，但都是線性變換，很多性質(zhì)是類似的。3.1引言本章學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號(hào)頻域特性。本章學(xué)習(xí)內(nèi)容是本書也是數(shù)字信號(hào)處理這一領(lǐng)域的基礎(chǔ)。3.2序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)本節(jié)主要內(nèi)容：一、序列傅里葉變換的定義二、序列傅里葉變換的性質(zhì)一、序列傅里葉變換的定義為序列x(n)的傅里葉變換，可以用FT(FourierTransform)縮寫字母表示。1.定義2.FT成立的充分必要條件序列x(n)滿足絕對(duì)可和的條件，即滿足下式：

為求FT的反變換，用

乘FT式兩邊，并在[-π,π]內(nèi)對(duì)ω進(jìn)行積分，得到:3.FT的反變換序列傅里葉變換對(duì)：FT存在的充分必要條件:序列x(n)滿足絕對(duì)可和.

如果引入沖激函數(shù)，一些絕對(duì)不可和的序列，例如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來，這部分內(nèi)容在后面介紹。4.總結(jié)二、序列傅里葉變換的性質(zhì)FT的周期性FT的線性FT的時(shí)移與頻移FT的時(shí)域卷積定理FT的頻域卷積定理FT的帕斯瓦爾定理M為整數(shù)因此序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù)，周期是2π。這樣X(ejω)可以展成傅里葉級(jí)數(shù)，其實(shí)定義式已經(jīng)是傅里葉級(jí)數(shù)的形式，x(n)是其系數(shù)。1.FT的周期性在FT的定義式中，n取整數(shù)，因此下式成立：二、序列傅里葉變換的性質(zhì)2.線性那么設(shè)式中a,b為常數(shù)

二、序列傅里葉變換的性質(zhì)3.時(shí)移與頻移設(shè)X(ejω)=FT［x(n)］，那么：二、序列傅里葉變換的性質(zhì)4.時(shí)域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)*h(n),

則：

Y(e

jω)=X(e

jω)·H(e

jω)該定理說明，兩序列卷積的FT，服從相乘關(guān)系。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出的FT等于輸入信號(hào)的FT乘以單位脈沖響應(yīng)FT。因此求系統(tǒng)的輸出信號(hào)，可以在時(shí)域用卷積公式計(jì)算，也可以在頻域求出輸出的FT，再作逆FT求出輸出信號(hào)。二、序列傅里葉變換的性質(zhì)5.頻域卷積定理設(shè)y(n)=x(n)·h(n)，則:二、序列傅里葉變換的性質(zhì)6.帕斯維爾(Parseval)定理

帕斯維爾定理告訴我們，信號(hào)時(shí)域的總能量等于頻域的總能量。要說明一下，這里頻域總能量是指|X(ejω)|2在一個(gè)周期中的積分再乘以1/(2π)。二、序列傅里葉變換的性質(zhì)7.FT的對(duì)稱性二、序列傅里葉變換的性質(zhì)(1)時(shí)域?qū)ΨQ性

共軛對(duì)稱:設(shè)序列滿足下式：則稱為共軛對(duì)稱序列。共軛對(duì)稱序列的性質(zhì)將用其實(shí)部與虛部表示將上式兩邊n用-n代替，并取共軛，得到：對(duì)比上面兩公式，左邊相等，因此得到：結(jié)論：共軛對(duì)稱序列實(shí)部是偶函數(shù)，而虛部是奇函數(shù)。共軛反對(duì)稱序列的性質(zhì)用同樣的方法可得出共軛反對(duì)稱序列實(shí)部是奇函數(shù)，而虛部是偶函數(shù)。共軛反對(duì)稱:設(shè)序列滿足下式：則稱為共軛反對(duì)稱序列。對(duì)于一般序列可用共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列之和表示，即:x(n)=xe(n)+xo(n)

xe(n)，xo(n)

可以分別用原序列x(n)求出:

上式是如何得到的呢？(2)頻域函數(shù)X(ejω)的對(duì)稱性

同樣有下面公式滿足：共軛對(duì)稱部分共軛反對(duì)稱部分即用ω取代n(3)傅立葉變換的對(duì)稱性序列分成實(shí)部和虛部傅立葉變換xr(n)和xi(n)都是實(shí)數(shù)序列。有共軛對(duì)稱性，它的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。具有共軛反對(duì)稱性質(zhì)，實(shí)部是奇函數(shù)，虛部是偶函數(shù)。結(jié)論：序列分成實(shí)部與虛部兩部分，實(shí)部對(duì)應(yīng)的FT具有共軛對(duì)稱性，虛部和j一起對(duì)應(yīng)的FT具有共軛反對(duì)稱性。

序列分成共軛對(duì)稱部分和共軛反對(duì)稱部分傅立葉變換結(jié)論：序列的共軛對(duì)稱部分xe(n)對(duì)應(yīng)著FT的實(shí)部，而序列的共軛反對(duì)稱部分xo(n)對(duì)應(yīng)著FT的虛部。(4)利用傅立葉變換對(duì)稱性分析實(shí)因果序列h(n)的對(duì)稱性因?yàn)閔(n)是實(shí)序列，其FT只有共軛對(duì)稱部分，共軛反對(duì)稱部分為零。因此實(shí)序列的FT的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)，用公式表示為：

h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］

ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因?yàn)閔(n)是實(shí)因果序列，按照上面兩式he(n)

和ho(n)可以用下式表示：

實(shí)因果序列分別用和表示為:本節(jié)主要內(nèi)容：3.3周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)

及傅里葉變換表示式一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)二、周期序列的傅里葉變換表示式一、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)是以N為周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里葉級(jí)數(shù)式中是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。下面求系數(shù)：

將上式兩邊乘以，并對(duì)n在一個(gè)周期N中求和。令，可表示成是周期為N的周期函數(shù)。也是一個(gè)以N為周期的周期序列，稱為的離散傅里葉級(jí)數(shù)，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。上式中，k和n均取整數(shù)，當(dāng)k或者n變化時(shí)，

l取整數(shù)。所以：令同樣得到:上式表明將周期序列分解成N次諧波，第k個(gè)諧波頻率為，k=0,1,2…N-1，幅度為?；ǚ至康念l率是2π/N，幅度是。一個(gè)周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律?？偨Y(jié)：DFS對(duì)注意DFS和序列FT變換對(duì)的區(qū)別在模擬系統(tǒng)中，，其傅里葉變換是在Ω=Ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度是2π，即：二、周期序列的傅里葉變換表示式周期序列的傅立葉變換表達(dá)式：其推導(dǎo)過程見教材P38表2.3.2基本序列的傅里葉變換3.4時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模

擬信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系我們知道模擬信號(hào)xa(t)的一對(duì)傅里葉變換式用下面公式描述：這里t與Ω的域均在±∞之間。從模擬信號(hào)幅度取值考慮，在第一章中遇到兩種信號(hào)，即連續(xù)信號(hào)和采樣信號(hào)，它們之間的關(guān)系用(1.5.2)式描述，重寫如下：

采樣信號(hào)和連續(xù)信號(hào)xa(t)，它們的傅里葉變換之間的關(guān)系，由采樣定理(1.5.5)式描述，重寫如下：

下面我們研究如果時(shí)域離散信號(hào)x(n)，是由對(duì)模擬信號(hào)xa(t)采樣產(chǎn)生的，即在數(shù)值上有下面關(guān)系式成立：

x(n)=xa(nT)

注意上面式中n取整數(shù)，否則無定義。x(n)的一對(duì)傅里葉變換用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示，重寫如下：

X(ejω)與Xa(jΩ)之間有什么關(guān)系，數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω之間有什么關(guān)系，這在模擬信號(hào)數(shù)字處理中，是很重要的問題。為分析上面提出的問題，我們從(2.4.3)式開始研究。將t=nT代入(2.4.2)式中，得到:令

，

代入上式后，再將Ω′用Ω代替，得到：式中，因?yàn)閞和n均取整數(shù)，e-j2πrn=1，交換求和號(hào)和積分號(hào)得到：在第一章中曾得到結(jié)論，如果序列是由一模擬信號(hào)取樣產(chǎn)生，則序列的數(shù)字頻率ω與模擬信號(hào)的頻率Ω成線性關(guān)系如下：式中T是采樣周期T=1/fs，將上式代入得到：和下式對(duì)比：可得：

ω=ΩT

表示序列的傅里葉變換X(ejω)和模擬信號(hào)xa(t)的傅里葉變換Xa(jΩ)之間的關(guān)系式：結(jié)論：序列的傅里葉變換和模擬信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系，與采樣信號(hào)、模擬信號(hào)各自的FT之間的關(guān)系一樣，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T進(jìn)行周期延拓，頻率軸上取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系用下式表示：

和抽樣信號(hào)的FT對(duì)比：

ω=ΩTΩ和ω的關(guān)系：我們知道：Ωs=2π/T，其中Ωs為采樣頻率，它所對(duì)應(yīng)的數(shù)字角頻率為ω=ΩST=2πΩs2πΩ？可以用以下公式來計(jì)算：3.5利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)

的頻域特性本節(jié)主要內(nèi)容：一、傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)二、用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性三、利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為零，輸出端對(duì)輸入為單位脈沖序列δ(n)的響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)，對(duì)h(n)進(jìn)行傅里葉變換得到H(ejω)一般稱H(ejω)為系統(tǒng)的傳輸函數(shù)，它表征系統(tǒng)的頻率特性。一、傳輸函數(shù)與系統(tǒng)函數(shù)設(shè)h(n)的Z變換為H(z)，一般稱H(z)為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它表征了系統(tǒng)的復(fù)頻域特性。對(duì)N階差分方程進(jìn)行Z變換，得到系統(tǒng)函數(shù)的一般表示式如果H(z)的收斂域包含單位圓|z|=1，H(ejω)與H(z)之間關(guān)系如下式：因果(可實(shí)現(xiàn))系統(tǒng)其單位脈響應(yīng)h(n)一定滿足當(dāng)n<0時(shí)，h(n)=0，那么其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域一定包含∞點(diǎn)，即∞點(diǎn)不是極點(diǎn)，極點(diǎn)分布在某個(gè)圓的圓內(nèi)，收斂域在某個(gè)圓外。系統(tǒng)穩(wěn)定要求，對(duì)照Z變換定義，系統(tǒng)穩(wěn)定要求收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)因果且穩(wěn)定，收斂域包含∞點(diǎn)和單位圓，那么收斂域可表示為

r<|z|≤∞，0<r<1二、用系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性將H(z)式因式分解，得到: 式中A=b0/a0，cr是H(z)的零點(diǎn)，dr是其極點(diǎn)。A參數(shù)影響傳輸函數(shù)的幅度大小，影響系統(tǒng)特性的是零點(diǎn)cr和極點(diǎn)dr的分布。三、利用系統(tǒng)的極零點(diǎn)分布分析系統(tǒng)的頻率特性下面我們采用幾何方法研究系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響。設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，將z=ejω，得到傳輸函數(shù)：設(shè)N=M，可得到：將上式重寫如下：在z平面上，ejω-cr用向量表示，ejω-dr用向量表示，如右圖所示：將和表示式代入下式：將它們用極坐標(biāo)表示：系統(tǒng)的幅度特性:系統(tǒng)的相位特性:下圖表示具有一個(gè)零點(diǎn)和二個(gè)極點(diǎn)的頻率特性。結(jié)論：極點(diǎn)附近的頻率出現(xiàn)峰值，極點(diǎn)越接近單位圓，峰值就越尖銳。在零點(diǎn)附近的頻率出現(xiàn)低谷，當(dāng)零點(diǎn)在單位圓上時(shí)，該零點(diǎn)就是傳輸零點(diǎn)。零原點(diǎn)處的零極點(diǎn)不影響系統(tǒng)的幅度特性。

題0：設(shè)X(ejω)和Y(ejω)分別是x(n)和y(n)的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換：(1)x*(n)(2)x(2n)

2.已知

1,|ω|<ω0 0，ω0<|ω|≤π

求X(ejω)的傅里葉反變換x(n)。X(ejω)=

10.若序列h(n)是實(shí)因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式：

HR(ejω)=1+cosω

求序列h(n)及其傅里葉變換H(ejω)。

22.設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為 ，a為實(shí)數(shù) (1)在z平面上用幾何法證明該系統(tǒng)是全通網(wǎng)絡(luò)，即|H(ejω)|=常數(shù)。

(2)參數(shù)a如何取值，才能使系統(tǒng)因果穩(wěn)定?并畫出其極零點(diǎn)分布及收斂域。

例1:設(shè)x(n)=RN(n)，求x(n)的FT設(shè)N=4，幅度與相位隨ω變化曲線如圖1所示。例圖1：

R4(n)的幅度與相位曲線例2:試分析x(n)=ejωn的對(duì)稱性將x(n)的n用-n代替，再取共軛得到：

x*(-n)=ejωn

因此x(n)=x*(-n),x(n)是共軛對(duì)稱序列。如展成實(shí)部與虛部，得到

x(n)=cosωn+jsinωn

由上式表明，共軛對(duì)稱序列的實(shí)部確實(shí)是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)。?例3:已知求其偶函數(shù)

和奇函數(shù)

。

直接由公式得到：例3:函數(shù)波形圖例1:設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期進(jìn)行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列，求序列的DFS。其幅度特性如下圖所示。圖：幅度特性例2：求圖中周期序列的FT。解題思路：將前面中得到代入公式中得到：對(duì)比上圖

(b)(c)，對(duì)于同一個(gè)周期信號(hào)，其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的，不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示(用帶箭頭的豎線表示)。因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以，但畫圖時(shí)應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫法。例3：令，

2π/ω0為有理數(shù)，求其FT。將用歐拉公式展開上式表明的FT，是在ω=±ω0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為π，且以2π為周期進(jìn)行延拓，如圖所示。例題：設(shè)xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50Hz以采樣頻率fs=200Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣，得到采相信號(hào)和時(shí)域離散信號(hào)x(n)，求xa(t)和的傅里葉變換以及x(n)的FT。Xa(jΩ)是Ω=±2πf0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為π，如圖下圖所示：以fs=200Hz對(duì)xa(t)進(jìn)行采樣得到采樣信號(hào)，按照(1.5.2)式，與xa(t)的關(guān)系式為：的傅里葉變換用(1.5.5)式確定，即以Ωs=2πfs為周期，將Xa(jΩ)周期延拓形成，得到：抽樣信號(hào)的傅里葉變換

如下圖所示：將采樣信號(hào)轉(zhuǎn)換成序列x(n)，用下式表示：

x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)按照(2.4.7)式，得到x(n)的FT，實(shí)際上只要將Ω=ω/T=ωfs代入中即可。序列的傅里葉變換將fs=200Hz，f0=50Hz，代入上式，求括弧中公式為零時(shí)的ω值，ω=2πk±π/2，因此X(ejω)用下式表示：序列的傅里葉變換三種頻譜的對(duì)比例1：已知分析其因果性和穩(wěn)定性.H(z)的極點(diǎn)為z=a，z=a-1，(1)收斂域a-1<|z|≤∞，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)h(n)=(an-a-n)u(n)，這是一個(gè)因果序列，但不收斂。(2)收斂域0≤|z|＜a,對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，這是一個(gè)非因果且不收斂的序列。(3)收斂域a<|z|<a-1，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是一個(gè)非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)h(n)=a|n|，這是一個(gè)收斂的雙邊序列，如圖所示。圖：例1圖示由H(z)=z-1，極點(diǎn)為z=0，幅度特性

|H(ejω)|=1,相位特性φ(ω)=-ω，頻響如下圖所示：

例題：已知H(z)=z-1，分析其頻率特性。用幾何方法也容易確定，當(dāng)ω=0轉(zhuǎn)到ω=2π時(shí)，極點(diǎn)矢量的長度始終為1。由系統(tǒng)差分方程得到系統(tǒng)函數(shù)為：

系統(tǒng)極點(diǎn)z=b，零點(diǎn)z=0，當(dāng)B點(diǎn)從ω=0逆時(shí)旋轉(zhuǎn)時(shí)，在ω=0點(diǎn)由于極點(diǎn)矢量長度最短，形成波峰。在ω=π時(shí)形成波谷。z=0處零點(diǎn)不影響頻響。極零點(diǎn)分布及幅度特性如圖所示。例題：設(shè)一階系統(tǒng)的差分方程為

y(n)=by(n-1)+x(n)

用幾何法分析其幅度特性。

H(z)的極點(diǎn)為z=0，這是一個(gè)N階極點(diǎn)，它不影響系統(tǒng)的頻響。零點(diǎn)有N個(gè)，由分子多項(xiàng)式的根決定。

例題：已知H(z)=1-z-N，試定性畫出系統(tǒng)的幅頻特性。

N個(gè)零點(diǎn)等間隔分布在單位圓上，設(shè)N=8，極零點(diǎn)分布如圖2.7.5所示。當(dāng)ω從零變化到2π時(shí)，每遇到一個(gè)零點(diǎn)，幅度為零，在兩個(gè)零點(diǎn)的中間幅度最大，形成峰值。幅度谷值點(diǎn)頻率為：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。一般將具有如圖所示的幅度特性的濾波器稱為梳狀濾波器。4.1引言4.2有限長序列離散傅里葉變換（DFT）4.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.4頻域采樣理論

4.5DFT的應(yīng)用舉例習(xí)題課第4章離散傅里葉變換4.1

引言本節(jié)主要內(nèi)容：一、傅立葉變換的幾種形式二、傅里葉變換形式的歸納4.1

引言DFT是分析有限長序列的重要工具，是現(xiàn)代信號(hào)處理的橋梁。DFT解決了頻域離散化的問題，在信號(hào)處理的理論上有重要意義。DFT實(shí)現(xiàn)了多種快速算法，在信號(hào)實(shí)時(shí)處理的運(yùn)算方法方面起核心作用，使譜分析、卷積運(yùn)算、相關(guān)運(yùn)算都可以通過DFT在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。一、傅立葉變換的幾種形式傅立葉變換實(shí)質(zhì)上是在以時(shí)間為自變量的“信號(hào)”和以頻率為自變量的頻譜之間建立某種變換關(guān)系，所以當(dāng)自變量“時(shí)間”或“頻率”取連續(xù)值或離散值時(shí)，就會(huì)形成不同形式的傅立葉變換對(duì)。傅氏變換的幾種形式：連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率——傅立葉變換連續(xù)時(shí)間、離散頻率——傅立葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間、連續(xù)頻率——序列的傅立葉變換離散時(shí)間、離散頻率——離散傅立葉變換/級(jí)數(shù)1.連續(xù)時(shí)間、連續(xù)頻率的傅氏變換時(shí)域：連續(xù)、非周期←→頻域：非周期、連續(xù)00t2.連續(xù)時(shí)間、離散頻率傅里葉變換0t------0時(shí)域：連續(xù)、周期←→頻域：非周期、離散Tp為時(shí)域周期，Ω0為頻域相鄰譜線之間的角頻率間隔，k為諧波序號(hào)3.離散時(shí)間、連續(xù)頻率的傅氏變換時(shí)域：離散、非周期←→頻域：周期、連續(xù)T為時(shí)域取樣間隔，Ωs為頻域的周期x(n)T-T0T2Tt------0

0123kx(nT)=x(n)t0T2T…12…NnNT4.離散時(shí)間、離散頻率的傅氏變換時(shí)域：離散、周期←→頻域：周期、離散結(jié)論：由上述分析可知，一個(gè)域的離散，會(huì)在另一個(gè)域產(chǎn)生周期延拓，要想在時(shí)域和頻域都是離散的，那么兩域必須都是周期的。二、傅里葉變換形式的歸納時(shí)間函數(shù)

頻率函數(shù)

連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期非周期和離散離散和非周期周期和連續(xù)離散和周期周期和離散討論在四種傅立葉變換中，只有第四種適合于在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。第四種變換對(duì)，稱為周期序列的離散傅氏級(jí)數(shù)（DFS）。這一變換對(duì)是針對(duì)有限長序列或周期序列才存在的。周期序列取其主值區(qū)間[0,N-1]可以得到有限長序列。有限長序列也可以通過周期延拓得到周期序列。4.2有限長序列離散傅里葉變換本節(jié)主要內(nèi)容：一、DFT的定義二、DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系一、DFT的定義前面我們討論的周期序列實(shí)際上只有有限個(gè)序列值有意義，因而它和有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。下面將根據(jù)周期序列和有限長序列之間的關(guān)系，由周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)表示式推導(dǎo)得到有限長序列的離散頻域表示，即離散傅里葉變換（DFT）。設(shè)x(n)為有限長序列，長度為N，即x(n)只在n=0到N-1點(diǎn)上有值，其他n時(shí)，x(n)=0。即：

為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N的周期序列的一個(gè)周期，而把看成x(n)的以N為周期的周期延拓，即表示成:

這個(gè)關(guān)系可以用下圖來表示。通常把的第一個(gè)周期n=0到n=N-1定義為“主值區(qū)間”，故x(n)是 的“主值序列”，即主值區(qū)間上的序列。而稱為x(n)的周期延拓。對(duì)不同r值x(n+rN)之間彼此并不重疊，故上式可寫成:

用((n))N表示(nmodN)，其數(shù)學(xué)上就是表示“n對(duì)N取余數(shù)”，或稱“n對(duì)N取模值”。令0≤n1≤N-1,m為整數(shù)

則n1為n對(duì)N的余數(shù)。

例如,是周期為N=9的序列，則有：

同理頻域的周期序列和有限長序列X(k)的關(guān)系如下：我們?cè)倏碊FS與IDFS表達(dá)式：總結(jié)：和的關(guān)系如下：

這兩個(gè)公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0

到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行，它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可以得到有限長序列的離散傅里葉變換的定義:0≤k≤N-1

0≤n≤N-1長度為M的有限長序列的N點(diǎn)DFT定義（M≤N）:二、DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系設(shè)序列x(n)的長度為N，其相應(yīng)的變換分別為：比較上面二式可得關(guān)系式:表明序列x(n)的N點(diǎn)DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣。表明序列X(k)為x(n)的傅立葉變換在區(qū)間[0,2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣。顯而易見，DFT的變換區(qū)間長度N不同，表示對(duì)X(ejω)在區(qū)間［0,2π］上的采樣間隔和采樣點(diǎn)數(shù)不同，所以DFT的變換結(jié)果也不同。關(guān)系演示圖4-2:X(k)與X(ejω)的關(guān)系4.3離散傅里葉變換的性質(zhì)本節(jié)主要內(nèi)容：一、線性二、圓周/循環(huán)移位三、圓周卷積四、共軛對(duì)稱性五、DFT的共軛對(duì)稱性

本節(jié)討論DFT的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關(guān)，而且是由有限長序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長序列，用DFT［·］表示N點(diǎn)DFT，且設(shè):DFT［x1(n)］=X1(k)DFT［x2(n)］=X2(k)4.3離散傅里葉變換的性質(zhì)一、線性式中，a,b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。

1.定義一個(gè)長度為N的有限長序列x(n)的圓周移位定義為：

y(n)=x((n+m))NRN(n)

我們可以這樣來理解上式所表達(dá)的圓周移位的含義。首先，將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到周期序列;再將加以移位得：二、圓周/循環(huán)移位然后，再對(duì)移位的周期序列 取主值區(qū)間（n=0到N-1）上的序列值，得x((n+m))NRN(n)。所以，一個(gè)長度為N得有限長序列x(n)的圓周移位序列y(n)仍然是一個(gè)長度為N的有限長序列.從上圖可以看出，由于是周期序列的移位，當(dāng)我們只觀察0≤n≤N-1這一主值區(qū)間時(shí)，某一采樣從該區(qū)間的一端移出時(shí)，與其相同值的采樣又從該區(qū)間的另一端循環(huán)移進(jìn)。因而，可以想象x(n)是排列在一個(gè)N等分的圓周上，序列x(n)的圓周移位，就相當(dāng)于x(n)在此圓周上旋轉(zhuǎn)，如上圖的（e）、（f）、(g)所示，因而稱為圓周移位。2.時(shí)域圓周移位定理設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)圓周移位，即

則圓周移位后的DFT為：

證：利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。

再利用DFS和DFT關(guān)系

這表明，有限長序列的圓周移位在離散頻域中引入一個(gè)和頻率成正比的線性相移，而對(duì)頻譜的幅度沒有影響。

3.頻域圓周移位定理

對(duì)于頻域有限長序列X(k)，也可看成是分布在一個(gè)N等分的圓周上，所以對(duì)于X(k)的圓周移位，利用頻域與時(shí)域的對(duì)偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)：

若

則:

這就是調(diào)制特性。它說明時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。

三、圓周卷積設(shè)x1(n)和x2(n)都是長度為N的有限長序列（0≤n≤N-1），且有：若

則

一般稱式所表示的運(yùn)算為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)圓周卷積，用下面符號(hào)表示：N下面說明其計(jì)算方法。

N圓周卷積利用上面公式，求和變量為m,n為參變量。先將x2(m)周期化，形成x2((m))N，再反轉(zhuǎn)形成x2((-m))N，取主值序列則得到x2((-m))NRN(m)，通常稱之為x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)。對(duì)x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)序列圓周右移n，形成x2((n-m))NRN(m)，當(dāng)n=0,1,2,…,N-1時(shí)，分別將x1(m)與x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1

區(qū)間內(nèi)求和，便得到圓周卷積y(n)。注意圓周卷積和線性卷積的區(qū)別。圖4-3:圓周卷積過程示意圖①②③⑤④⑥

四、共軛對(duì)稱性設(shè)x*(n)為x(n)的共軛復(fù)序列，則：DFT［x*(n)］=X*(N-k)0≤k≤N-1

且X(N)=X(0)

證0≤k≤N-1這里利用了因?yàn)閄(k)的隱含周期性，故有X(N)=X(0)。

用同樣的方法可以證明五、DFT的共軛對(duì)稱性

1.有限長共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列為了區(qū)別于傅里葉變換中所定義的共軛對(duì)稱(或共軛反對(duì)稱)序列，下面用xep(n)和xop(n)分別表示有限長共軛對(duì)稱序列和共軛反對(duì)稱序列，則二者滿足如下定義式：當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，將上式中的n換成N/2-n可得到：圖3.2.3：共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱序列示意圖

如同任何實(shí)函數(shù)都可以分解成偶對(duì)稱分量和奇對(duì)稱分量一樣，任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對(duì)稱分量和共軛反對(duì)稱分量之和，即

x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N-1(3.2.11)

將上式中的n換成N-n，并取復(fù)共軛，再將(3.2.9)式和(3.2.10)式代入得到

x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)(3.2.12)根據(jù)上面兩個(gè)式子可得：

xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］

(3.2.13)

xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］

(3.2.14)

2.DFT的共軛對(duì)稱性

(1)如果x(n)=xr(n)+jxi(n)

其中

xr(n)

=Re［x(n)=1/2［x(n)+x*(n)］

jxi(n)=jIm［x(n)=1/2［x(n)-x*(n)］

由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得：

DFT［xr(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(n)］

=1/2［X(k)+X*(N-k)］

=Xep(k)由(3.2.7)式和(3.2.14)式得：

DFT［jx

i(n)］=1/2DFT［x(n)-x

*(n)］

=1/2［X(k)-X*(N-k)］

=Xop(k)由DFT的線性性質(zhì)即可得

X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)(3.2.16)

其中

Xep(k)=DFT［xr(n)］,X(k)的共軛對(duì)稱分量

Xop(k)=DFT［jxi(n)］,X(k)的共軛反對(duì)稱分量x(n)=xr(n)+jxi(n)X(k)=Xep(k)+Xop(k)DFT

(2)如果x(n)=xep(n)+xop(n)，0≤n≤N-1

其中

xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］,x(n)的共軛對(duì)稱分量

xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］,x(n)的共軛反對(duì)稱分由(3.2.8)式得

DFT［xep(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(N-n)］

=1/2［X(k)+X*(k)］

=Re［X(k)］

DFT［xop(n)］=1/2DFT［x(n)-x*(N-n)］

=1/2［X(k)-X*(k)］

=jIm［X(k)］因此

X(k)=DFT［x

(n)］=XR(k)+jXI(k)其中

XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］

jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］x(n)=xep(n)+xop(n)X(k)=XR(k)+jXI(k)DFT（3）設(shè)x(n)是長度為N的實(shí)序列且X(k)=DFT［x(n)］，則：

(a)X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.19)(b)如果x(n)=x(N-n)，則X(k)實(shí)偶對(duì)稱，即

X(k)=X(N-k)(3.2.20)(c)如果x(n)=-x(N-n)，則X(k)純虛奇對(duì)稱，即

X(k)=-X(N-k)(3.2.21)

利用DFT的共軛對(duì)稱性，通過計(jì)算一個(gè)N點(diǎn)DFT，可以得到兩個(gè)不同實(shí)序列的N點(diǎn)DFT。設(shè)x1(n)和x2(n)為兩個(gè)實(shí)序列，構(gòu)成新序列x(n)如下：

x(n)=x1(n)+jx2(n)對(duì)x(n)進(jìn)行DFT，得到

X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)由性質(zhì)可得到：

Xep(k)=DFT［x1(n)］=1/2［X(k)+X*(N-k)］

Xop(k)=DFT［jx2(n)］=1/2［X(k)-X*(N-k)］

所以：

X1(k)=DFT［x1(n)］=1/2［X(k)+X*(N-k)］

X2(k)=DFT［x2(n)］=-j1/2［X(k)-X*(N-k)］4.4頻域采樣理論本節(jié)主要內(nèi)容：一、頻域抽樣理論二、頻域內(nèi)插公式復(fù)習(xí)：時(shí)域抽樣定理奈奎斯特抽樣定理：要想抽樣后能夠不失真的還原出原信號(hào)，則抽樣頻率必須大于兩倍信號(hào)譜的最高頻率。經(jīng)采樣所得離散序列的頻譜是原模擬信號(hào)頻譜的周期延拓，周期為?；謴?fù)連續(xù)信號(hào)xa(t)的抽樣內(nèi)插公式:DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系有限長序列x(n)的DFT的X(k)序列的各點(diǎn)值=x(n)的Z變換后在單位圓上N等分抽樣的各點(diǎn)處所得的Z變換值,即：X(k)也可以看作序列x(n)的傅里葉變換X(ejω)在區(qū)間［0,2π］上的N點(diǎn)等間隔采樣，其采樣間隔為ωN=2π/N，即：問題引入：怎樣實(shí)現(xiàn)對(duì)頻域抽樣呢？由Z變換與DFT的關(guān)系,知道：x(n)的離散傅里葉變換X(k)序列值和x(n)的Z變換在單位圓N個(gè)等分點(diǎn)上的抽樣值相等,這就是說實(shí)現(xiàn)了頻域的抽樣,便于計(jì)算機(jī)計(jì)算而提出的.是否任何一序列都能用頻域抽樣的辦法去逼近呢?其限制條件是什么?設(shè)任意序列x(n)的Z變換為：

且X(z)收斂域包含單位圓(即x(n)存在傅里葉變換)。在單位圓上對(duì)X(z)等間隔采樣N點(diǎn)得到：一、頻域抽樣理論取主值區(qū)間

將X(k)看成長度為N的有限長序列xN(n)的DFT，即：xN(n)=IDFT［X(k)］，0≤n≤N-1下面推導(dǎo)xN(n)和原序列x

(n)的關(guān)系。思路：代入得由DFT與DFS的關(guān)系可知，X(k)是xN(n)以N為周期的周期延拓序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的主值序列，即:式中

如果序列x(n)的長度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N≥M時(shí)，才有xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n)

即可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列x(n)，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。這就是所謂的頻域采樣定理。m=n+rN,r為任意整數(shù)

其他m

頻域抽樣，時(shí)域產(chǎn)生周期延拓！頻域采樣定理結(jié)論1.長度為M的有限長序列,頻域抽樣不失真的條件：頻域抽樣點(diǎn)數(shù)N要大于或等于序列長度M,即滿足N≥M.此時(shí)可得到：2.表明長度為N(或小于N)的有限長序列可用它的Z變換在單位圓上的N個(gè)均分點(diǎn)上的抽樣值精確地表示.抽樣后序列能否無失真恢復(fù)原時(shí)域信號(hào)?有限長序列非有限長序列

長度為M，當(dāng)頻域抽樣不夠密，即N<M,以N為周期延拓造成混疊，不能無失真恢復(fù)原信號(hào)。

長度為<=N，可利用其Z變換在單位圓上的N個(gè)均分點(diǎn)上的抽樣值精確地表示。時(shí)域周期延拓必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會(huì)產(chǎn)生誤差。當(dāng)n增加時(shí)信號(hào)衰減得越快，或抽樣越密（即抽樣點(diǎn)數(shù)N越大），則誤差越小例子：頻域抽樣：看一個(gè)矩形序列，頻域抽樣是指對(duì)時(shí)域已是離散，頻域仍是連續(xù)信號(hào)。現(xiàn)在頻域上進(jìn)行抽樣處理，使其頻域也離散化。分析：頻域抽樣，按N=5點(diǎn)，頻域抽樣，時(shí)域延拓相加……,時(shí)域延拓的周期等于頻域的抽樣點(diǎn)數(shù)N=5，由于N=M，所以時(shí)域延拓恰好無混疊現(xiàn)象。按N=4時(shí)進(jìn)行抽樣，由于N=4，而序列長度為M=5，N<M,時(shí)域延拓后產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。（原信號(hào)為紅色，延拓取主值區(qū)間后的恢復(fù)信號(hào)為蘭色。）混疊N個(gè)頻域抽樣X(k)能不失真的還原出長度為N的有限長序列

x(n)。那么用N個(gè)X(k)也一定能完整地表示出X(z)以及頻率響應(yīng)(即內(nèi)插公式)。過程很簡單,先把N個(gè)X(k)作IDFT得到x(n),再把x(n)作Z變換便得到X(z)。從頻域抽樣不失真條件可以知道：

下面推導(dǎo)用頻域采樣X(k)表示X(z)的內(nèi)插公式和內(nèi)插函數(shù)。設(shè)序列x(n)長度為M，在頻域0~2π之間等間隔采樣N點(diǎn)，N≥M，則有：式中

二、內(nèi)插公式將它代入X(z)式子中，得到

由于WN-Nk=1，因此

這就是用N個(gè)頻率采樣X(k)來表示X(z)的內(nèi)插公式。它可表示為:

現(xiàn)在來討論頻率響應(yīng)，即求單位圓上z=ejω的Z變換。由式（3.6.5）可得而可將Φk(ejω)表示成更為方便的形式:

式中：

這樣式（3.6.6）又可改寫為

在以后章節(jié)中，我們將會(huì)看到，頻率采樣理論為FIR濾波器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，以及FIR濾波器傳遞函數(shù)的逼近提供了又一個(gè)有力的工具。4.5DFT的應(yīng)用舉例本節(jié)主要內(nèi)容：一、用DFT計(jì)算線性卷積二、用DFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行譜分析DFT及FFT在數(shù)字濾波、功率譜分析、仿真、系統(tǒng)分析、通訊理論方面有廣泛的應(yīng)用。歸結(jié)起來,有兩個(gè)大方面,一是計(jì)算線性卷積、線性相關(guān)；二是用DFT(FFT)作為連續(xù)傅里葉變換的近似.FFT并不是什么新的變換,只是DFT在計(jì)算機(jī)上的一種快速算法，雖實(shí)際中廣泛使用的是FFT,但其應(yīng)用的理論基礎(chǔ)仍是DFT.通過考察計(jì)算線性卷積(相關(guān))和連續(xù)傅里葉逼近這兩種DFT應(yīng)用,就可以說我們建立了一般FFT應(yīng)用的基本理論基礎(chǔ).4.5DFT的應(yīng)用舉例一、用DFT計(jì)算線性卷積思路：循環(huán)卷積-------------DFT乘積線性卷積-------------FT乘積如何用DFT計(jì)算線性卷積？------線性卷積和循環(huán)卷積的關(guān)系?0≤k≤L-1則由時(shí)域循環(huán)卷積定理有:

Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),0≤k≤L-11.用DFT計(jì)算循環(huán)卷積

設(shè)：由此可見，循環(huán)卷積既可在時(shí)域直接計(jì)算，也可以按照?qǐng)D所示的計(jì)算框圖在頻域計(jì)算。由于DFT有快速算法FFT，當(dāng)N很大時(shí)，在頻域計(jì)算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)計(jì)算循環(huán)卷積。圖:用DFT計(jì)算循環(huán)卷積

2.線性卷積和循環(huán)卷積之間的關(guān)系在實(shí)際應(yīng)