四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義四年級(jí)奧數(shù)目錄第1講找規(guī)律（一）第2講找規(guī)律（二）第3講簡(jiǎn)單推理第4講應(yīng)用題（一）第5講算式謎（一）第6講算式謎（二）第7講最優(yōu)化問(wèn)題第8講巧妙求和（一）第9講變化規(guī)律（一）第10講變化規(guī)律第11講錯(cuò)中求解第12講簡(jiǎn)單列舉第13講和倍問(wèn)題第14講植樹(shù)問(wèn)題第15講圖形問(wèn)題第16講巧妙求和第17講數(shù)數(shù)圖形第18講數(shù)數(shù)圖形第19講應(yīng)用題四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。第20講速算與巧算四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第1頁(yè)。第二十一周速算與巧算（二）第二十二周平均數(shù)問(wèn)題第二十三周定義新運(yùn)算第二十四周差倍問(wèn)題第二十五周和差問(wèn)題第二十六周巧算年齡第二十七周較復(fù)雜的和差倍問(wèn)題第二十八周周期問(wèn)題第二十九周行程問(wèn)題（一）第三十周用假設(shè)法解題第三十一周還原問(wèn)題第三十二周邏輯推理第三十三周速算與巧算（三）第三十四周行程問(wèn)題（二）第三十五周容斥原理第三十六周二進(jìn)制第三十七周應(yīng)用題（三）第三十八周應(yīng)用題（四）第三十九周盈虧問(wèn)題第四十周數(shù)學(xué)開(kāi)放題四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第2頁(yè)。第1講找規(guī)律（一）一、知識(shí)要點(diǎn)觀察是解決問(wèn)題的根據(jù)。通過(guò)觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個(gè)方面來(lái)找規(guī)律：1．根據(jù)每組相鄰兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2．根據(jù)相隔的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3．要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4．?dāng)?shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來(lái)理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認(rèn)為是正確的。二、精講精練【例題1】先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，4，7，10，（

），16，19【思路導(dǎo)航】在這列數(shù)中，相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都是3，即每一個(gè)數(shù)加上3都等于后面的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為：10+3=13或16－3=13。像上面按照一定的順序排列的一串?dāng)?shù)叫做數(shù)列。練習(xí)1：先找出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）2，6，10，14，（

），22，26（2）3，6，9，12，（

），18，21（3）33，28，23，（

），13，（

），3（4）55，49，43，（

），31，（

），19（5）3，6，12，（

），48，（

），192（6）2，6，18，（

），162，（

）（7）128，64，32，（

），8，（

），2（8）19，3，17，3，15，3，（

），（

），11，3..四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第3頁(yè)?！纠}2】先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，2，4，7，（

），16，22練習(xí)2：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）10，11，13，16，20，（

），31（2）1，4，9，16，25，（

），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（

），（

），11，2（4）53，44，36，29，（

），18，（

），11，9，8（5）81，64，49，36，（

），16，（

），4，1，0（6）28，1，26，1，24，1，（

），（

），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（

），（

），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（

），（

），13，14【例題3】先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。23，4，20，6，17，8，（

），（

），11，12四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第4頁(yè)。練習(xí)3：先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）1，6，5，10，9，14，13，（

），（

）（2）13，2，15，4，17，6，（

），（

）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（

），（

），18，14（4）21，2，19，5，17，8，（

），（

）（5）32，20，29，18，26，16，（

），（

），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（

），（

），13，486（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（

），（

）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（

），（

）【例題4】在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，（

），34，55……中，括號(hào)里應(yīng)填什么數(shù)？練習(xí)4：先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）2，2，4，6，10，16，（

），（

）（2）34，21，13，8，5，（

），2，（

）（3）0，1，3，8，21，（

），144（4）3，7，15，31，63，（

），（

）（5）33，17，9，5，3，（

）（6）0，1，4，15，56，（

）（7）1，3，6，8，16，18，（

），（

），76，78四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)。四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第5頁(yè)。（8）0，1，2，4，7，12，20，（

）【例題5】下面每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)都是按一定的規(guī)律組合的，在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（8，4）（5，7）（10，2）（□，9）練習(xí)5：下面括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)是按一定的規(guī)律組合的，在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）（6，9）（7，8）（10，5）（□，）（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，□）（3）（18，17）（14，10）（10，1）（□，5）（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，□）（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，□）（6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，□）（7）（100，50）（86，43）（64，32）（□，21）（8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，□）四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第6頁(yè)。第2講找規(guī)律（二）一、知識(shí)要點(diǎn)對(duì)于較復(fù)雜的按規(guī)律填數(shù)的問(wèn)題，我們可以從以下幾個(gè)方面來(lái)思考：1.對(duì)于幾列數(shù)組成的一組數(shù)變化規(guī)律的分析，需要我們靈活地思考，沒(méi)有一成不變的方法，有時(shí)需要綜合運(yùn)用其他知識(shí)，一種方法不行，就要及時(shí)調(diào)整思路，換一種方法再分析；2.對(duì)于那些分布在某些圖中的數(shù)，它們之間的變化規(guī)律往往與這些數(shù)在圖形中的特殊位置有關(guān)，這是我們解這類題的突破口。3.對(duì)于找到的規(guī)律，應(yīng)該適合這組數(shù)中的所有數(shù)或這組算式中的所有算式。二、精講精練【例題1】根據(jù)下表中的排列規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。練習(xí)1：找規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。【例題2】根據(jù)前面圖形中的數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個(gè)圖形的括號(hào)里應(yīng)填什么數(shù)？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第7頁(yè)。練習(xí)2：根據(jù)前面圖形中數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個(gè)圖形的空格里應(yīng)填什么數(shù)。（1）

（2）

（3）

【例題3】先計(jì)算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律直接寫出后幾題的得數(shù)。12345679×9=

12345679×18=12345679×54=

12345679×81=練習(xí)3：找規(guī)律，寫得數(shù)。（1）1+0×9=

2+1×9=

3+12×9=

4+123×9=

9+12345678×9=（2）1×1=

11×11=

111×111=

111111111×111111111=（3）19+9×9=

118+98×9=

1117+987×9=11116+98769=

111115+98765×9=四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第8頁(yè)?！纠}4】找規(guī)律計(jì)算。（1）81－18=（8－1）×9=7×9=63（2）72—27=（7－2）×9=5×9=45（3）63－36=（□－□）×9=□×9=□練習(xí)4：1．利用規(guī)律計(jì)算。（1）53－35

（2）82－28

（3）92－29

（4）61－16

（5）95－592．找規(guī)律計(jì)算。（1）62+26=（6+2）×11=8×11=88（2）87+78=（8+7）×11=15×11=165（3）54+45=（□+□）×11=□×11=□【例題5】計(jì)算（1）26×11

（2）38×11練習(xí)5：計(jì)算下面各題。（1）27×11

（2）32×11（3）39×11

（4）46×11（5）92×11

（6）98×11四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第9頁(yè)。

第3講簡(jiǎn)單推理四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第9頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)解答推理問(wèn)題，要從許多條件中找出關(guān)鍵條件作為推理的突破口。推理要有條理地進(jìn)行，要充分利用已經(jīng)得出的結(jié)論，作為進(jìn)一步推理的依據(jù)。二、精講精練【例題1】一包巧克力的重量等于兩袋餅干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋餅干等于幾袋牛肉干的重量？練習(xí)1：（1）一只菠蘿的重量等于4根香蕉的重量，兩只梨子的重量等于一只菠蘿的重量，一只梨子的重量等于幾根香蕉的重量？（2）3包巧克力的重量等于兩袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于幾袋牛肉干的重量？（3）一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量。一只小豬的重量等于幾只鴨的重量？【例題2】一頭象的重量等于4頭牛的重量，一頭牛的重量等于3匹小馬的重量，一匹小馬的重量等于3頭小豬的重量。一頭象的重量等于幾頭小豬的重量？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第10頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第10頁(yè)。練習(xí)2：（1）一只西瓜的重量等于兩個(gè)菠蘿的重量，1個(gè)菠蘿的重量等于4個(gè)蘋果的重量，1個(gè)蘋果的重量等于兩個(gè)橘子的重量。1只西瓜的重量等于幾個(gè)橘子的重量？（2）一頭牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。已知一頭牛每天吃青草18千克（3）一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量，兩只鴨的重量等于6條魚(yú)的重量。問(wèn)：兩只小豬的重量等于幾條魚(yú)的重量？【例題3】根據(jù)下面兩個(gè)算式，求○與□各代表多少？○＋○＋○=18○＋□=10練習(xí)3：（1）根據(jù)下面兩個(gè)算式，求□與△各代表多少？□＋□＋□＋□=32△ －□=20（2）根據(jù)下面兩個(gè)算式，求○與□各代表多少？○＋○＋○=15○＋○＋□＋□＋□=40四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第11頁(yè)。（3）根據(jù)下面兩個(gè)算式，求○與△各代表多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第11頁(yè)?！穑?8△＋△＋△=○四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第12頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第12頁(yè)。【例題4】根據(jù)下面兩個(gè)算式，求○與△各代表多少？△－○=2○＋○＋△＋△＋△=56練習(xí)4：（1）根據(jù)下面兩個(gè)算式求□與○各代表多少？□－○=8□＋□＋○＋○=20（2）根據(jù)下面兩個(gè)算式，求△與○各代表多少？△＋△＋△＋○＋○=78△＋△＋○＋○＋○=72（3）根據(jù)下面兩個(gè)算式，求△與□各代表多少？△＋△＋△－□－□=12□＋□＋□－△－△=2【例題5】甲、乙、丙三人分別是一小、二小和三小的學(xué)生，在區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上他們分別獲得跳高、跳遠(yuǎn)和壘球冠軍。已知：二小的是跳遠(yuǎn)冠軍；一小的不是壘球冠軍，甲不是跳高冠軍；乙既不是二小的也不是跳高冠軍。問(wèn)：他們?nèi)齻€(gè)人分別是哪個(gè)學(xué)校的？獲得哪項(xiàng)冠軍？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第13頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第13頁(yè)。練習(xí)5：（1）有三個(gè)女孩穿著嶄新的連衣裙去參加游園會(huì)。一個(gè)穿花的，一個(gè)穿白的，一個(gè)穿紅的。但不知哪一個(gè)姓王、哪一個(gè)姓李、哪一個(gè)姓劉。只知道姓劉的不喜歡穿紅的，姓王的既不是穿紅裙子，也不是穿花裙子。你能猜出這三個(gè)女孩各姓什么嗎？（2）小兔、小貓、小狗、小猴和小鹿參加100米比賽，比賽結(jié)束后小猴說(shuō)：“我比小貓跑得快?！毙」氛f(shuō)：“小鹿在我前面沖過(guò)終點(diǎn)線?！毙⊥谜f(shuō)：“我們的名次排在小猴前面，小狗在后面?！保?）五個(gè)女孩并排坐著，甲坐在離乙、丙距離相等的座位上，丁坐在離甲、丙距離相等的座位上，戌坐在她兩個(gè)姐姐之間。請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)是戌的姐姐？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第14頁(yè)。

第4講應(yīng)用題（一）四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第14頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)解答應(yīng)用題時(shí)，必須認(rèn)真審題，理解題意，深入細(xì)致地分析題目中數(shù)量間的關(guān)系，通過(guò)對(duì)條件進(jìn)行比較、轉(zhuǎn)化、重新組合等多種手段，找到解題的突破口，從而使問(wèn)題得以順利解決。二、精講精練【例題1】某玩具廠把630件玩具分別裝在5個(gè)塑料箱和6個(gè)紙箱里，1個(gè)塑料箱與3個(gè)紙箱裝的玩具同樣多。每個(gè)塑料箱和紙箱各裝多少件玩具？（1）百貨商店運(yùn)來(lái)300雙球鞋分別裝在2個(gè)木箱和6個(gè)紙箱里。如果兩個(gè)紙箱同一個(gè)木箱裝的球鞋同樣多，每個(gè)木箱和每個(gè)紙箱各裝多少雙球鞋？（2）新華小學(xué)買了兩張桌子和5把椅子，共付款195元。已知每張桌子的價(jià)錢是每把椅子的4倍，每張桌子多少元？（3）王叔叔買了3千克荔枝和4千克桂圓，共付款156元。已知5千克【例題2】一桶油，連桶重180千克，用去一半油后，連桶還有100四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第15頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第15頁(yè)。練習(xí)2：（1）一筐梨，連筐重38千克，吃去一半后，連筐還有20（2）一筐蘋果，連筐共重35千克，先拿一半送給幼兒園小朋友，再拿剩下的一半送給一年級(jí)小朋友，余下的蘋果連筐重11（3）一只油桶里有一些油，如果把油加到原來(lái)的2倍，油桶連油重38千克；如果把油加到原來(lái)的4倍，這里油和桶共重46【例題3】有5盒茶葉，如果從每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶葉正好和原來(lái)4練習(xí)3：（1）有6筐梨子，每筐梨子個(gè)數(shù)相等，如果從每筐中拿出40個(gè)，6筐梨子剩下的個(gè)數(shù)總和正好和原來(lái)兩筐的個(gè)數(shù)相等。原來(lái)每筐有多少個(gè)？（2）在5個(gè)木箱中放著同樣多的橘子。如果從每個(gè)木箱中拿出60個(gè)橘子，那么5個(gè)木箱中剩下的橘子的個(gè)數(shù)的總和等于原來(lái)兩個(gè)木箱里橘子個(gè)數(shù)的和。原來(lái)每個(gè)木箱中有多少個(gè)橘子？（3）某食品店有5箱餅干，如果從每個(gè)箱子里取出20千克，那么5個(gè)箱子里剩下的餅干正好等于原來(lái)3四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第16頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第16頁(yè)。【例題4】一個(gè)木器廠要生產(chǎn)一批課桌。原計(jì)劃每天生產(chǎn)60張，實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)4張，結(jié)果提前一天完成任務(wù)。原計(jì)劃要生產(chǎn)多少?gòu)堈n桌？練習(xí)4：（1）電視機(jī)廠接到一批生產(chǎn)任務(wù)，計(jì)劃每天生產(chǎn)90臺(tái)，可以按期完成。實(shí)際每天多生產(chǎn)5臺(tái)，結(jié)果提前1天完成任務(wù)。這批電視機(jī)共有多少臺(tái)？（2）小明看一本故事書(shū)，計(jì)劃每天看12頁(yè)，實(shí)際每天多看8頁(yè)，結(jié)果提前2天看完。這本故事書(shū)有多少頁(yè)？（3）修一條公路，計(jì)劃每天修60米，實(shí)際每天比計(jì)劃多修15米，結(jié)果提前【例題5】有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只，從甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使兩盒中的圖釘相等？練習(xí)5：（1）有兩袋面粉，第一袋面粉有24千克，第二袋面粉有18（2）有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只。每次從甲盒中拿4只放到乙盒，拿幾次才能使兩盒相等？（3）有兩袋糖，一袋是68粒，另一袋是20粒。每次從多的一袋中拿出6粒放到少的一袋里，拿幾次才能使兩袋糖同樣多？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第17頁(yè)。

第5講算式謎（一）四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第17頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)“算式謎”一般是指那些含有未知數(shù)字或缺少運(yùn)算符號(hào)的算式。解決這類問(wèn)題，可以根據(jù)已學(xué)過(guò)的知識(shí)，運(yùn)用正確的分析推理方法，確定算式中的未知數(shù)字和運(yùn)用符號(hào)。由于這類題目的解答過(guò)程類似全平時(shí)進(jìn)行的猜謎語(yǔ)游戲，所以，我們把這類題目稱為“算式謎題”。解答算式謎問(wèn)題時(shí)，要先仔細(xì)審題，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，找到突破口，逐步試驗(yàn)，分析求解，通常要運(yùn)用倒推法、湊整法、估值法等。二、精講精練【例題1】在下面算式的括號(hào)里填上合適的數(shù)。練習(xí)1：（1）在括號(hào)里填上合適的數(shù)。（2）在方框里填上合適的數(shù)。

（3）下面的豎式里，有4個(gè)數(shù)字被遮住了，求豎式中被蓋住的4個(gè)數(shù)字的和?！纠}2】下面各式中“巨”、“龍”、“騰”、“飛”分別代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，下列的算式成立。四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第18頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第18頁(yè)。練習(xí)2：【例題3】下面各式中的“兵”、“炮”、“馬”、“卒”各代表0—9這十個(gè)數(shù)字中的某一個(gè)，相同的漢字代表相同的數(shù)字。這些漢字各代表哪些數(shù)字？練習(xí)3：【例題4】將0、1、2、3、4、5、6這七個(gè)數(shù)字填在圓圈和方格內(nèi)，每個(gè)數(shù)字恰好出現(xiàn)一次，組成一個(gè)整數(shù)算式?！稹痢?□=○÷○四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第19頁(yè)。

四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第19頁(yè)。練習(xí)4：（1）將0、1、3、5、6、8、9這七個(gè)數(shù)字填在圓圈和方筐里，每個(gè)數(shù)字恰好出現(xiàn)一次組成一個(gè)整數(shù)算式?！稹痢?□=○÷○（2）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立?！酢隆?□÷□（3）用1、2、3、7、8這五個(gè)數(shù)字可以列成一個(gè)算式：（1+3）×7=28。請(qǐng)你用0、1、2、3、4、6這六個(gè)數(shù)字列成一個(gè)算式?！纠}5】把“＋、－、×、÷”分別放在適當(dāng)?shù)膱A圈中（運(yùn)算符號(hào)只能用一次），并在方框中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下面的兩個(gè)等式成立。36○0○15=1521○3○5=□練習(xí)5：（1）把“＋、－、×、÷”分別填入下面的圓圈中，并在方框中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使下面每組的兩個(gè)等式成立。①9○13○7=10014○2○5=□②17○6○2=1005○14○7=□（2）將1～9這九個(gè)數(shù)字填入□中（每個(gè)數(shù)字只能用一次），組成三個(gè)等式?！酰?□□－□=□□×□=□四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第20頁(yè)。

第6講算式謎（二）四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第20頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)解決算式謎題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)突破口，推理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1．認(rèn)真分析算式中所包含的數(shù)量關(guān)系，找出隱蔽條件，選擇有特征的部分作出局部判斷；2．利用列舉和篩選相結(jié)合的方法，逐步排除不合理的數(shù)字；3．試驗(yàn)時(shí)，應(yīng)借助估值的方法，以縮小所求數(shù)字的取值范圍，達(dá)到快速而準(zhǔn)確的目的；4．算式謎解出后，要驗(yàn)算一遍。二、精講精練【例題1】在下面的方框中填上合適的數(shù)字?！舅悸穼?dǎo)航】由積的末尾是0，可推出第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5；由第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5，并結(jié)合第一個(gè)因數(shù)與5相乘的積的情況考慮，可推出第一人個(gè)因數(shù)的百位是3；由第一個(gè)因數(shù)為376與積為31□□0，可推出第二個(gè)因數(shù)的十?dāng)?shù)上是8。題中別的數(shù)字就容易填了。練習(xí)1：在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。【例題2】在下面方框中填上適合的數(shù)字?！舅悸穼?dǎo)航】由商的十位是1，以及1與除數(shù)的乘積的最高位是1可推知除數(shù)的十位是1。由第一次除后余下的數(shù)是1，可推知被除數(shù)的十位只可能是7、8、9。如果是7，除數(shù)的個(gè)位是0，那么最后必有余數(shù)；如果被除數(shù)是8，除數(shù)的個(gè)位就是1，也不能除盡；只有當(dāng)被除數(shù)的十位是9時(shí)，除數(shù)的個(gè)位是2時(shí)，商的個(gè)位為6，正好除盡。完整的豎式是：練習(xí)2：在□內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列除法豎式成立。四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第21頁(yè)。四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第21頁(yè)。【例題3】下面算式中的a、b、c、d這四個(gè)字母各代表什么數(shù)字？【思路導(dǎo)航】因?yàn)樗奈粩?shù)abcd乘9的積是四位數(shù)，可知a是1；d和9相乘的積的個(gè)位是1，可知d只能是9；因?yàn)榈诙€(gè)因數(shù)9與第一個(gè)因數(shù)百位上的數(shù)b相乘的積不能進(jìn)位，所以b只能是0（1已經(jīng)用過(guò)）；再由b=0，可推知c=8。練習(xí)3：花=紅花=紅=柳=綠=華=羅=庚=金=杯=盼=望=祖=國(guó)=

早=日=統(tǒng)=一=

【例題4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字中間加上“＋、－”兩種運(yùn)算符號(hào)，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。23456789=100【思路導(dǎo)航】先湊出與100比較接近的數(shù)，再根據(jù)需要把相鄰的幾個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)。比如：123與100比較接近，所以把前三個(gè)數(shù)字組成123，后面的數(shù)字湊出23就行。因?yàn)?5與67相差22，8與9相差1，所以得到一種解法：123＋45－67＋8－9=100再比如：89與100比較接近，78與67正好相差11，所此可得另一種解法：123＋45－67＋8－9=100.練習(xí)4：：（1）在下面等號(hào)左邊的數(shù)字之間添上一些加號(hào)，使其結(jié)果等于99（數(shù)字的順序不能改變）。87654321=99（2）一個(gè)乘號(hào)和七個(gè)加號(hào)添在下面的算式中合適的地方，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。123456789=100（3）添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)和括號(hào)，使下列等式成立。12345=100【例題5】在下面的式子里添上括號(hào)，使等式成立。7×9＋12÷3－2=23四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第22頁(yè)?！舅悸穼?dǎo)航】采用逆推法，從最后一步運(yùn)算開(kāi)始考慮。假如最后一步是用前面計(jì)算的結(jié)果減2，那么前面式子的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)等25，又因?yàn)?5×3=75，而前面7×9＋12又正好等于75，所以，應(yīng)給前面兩步運(yùn)算加括號(hào)。（7×9＋12）÷3－2=23四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第22頁(yè)。練習(xí)5：1.在下面的式子里添上括號(hào)，使等式成立。（1）7×9＋12÷3－2=75（2）7×9＋12÷3－2=47（3）88＋33－11÷11×2=52.在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字中間加上“＋、－”兩種運(yùn)算符號(hào)，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第23頁(yè)。

第7講最優(yōu)化問(wèn)題四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第23頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到下面的問(wèn)題：完成一件事情，怎樣合理安排才能做到用的時(shí)間最少，效果最佳。這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)中稱為統(tǒng)籌問(wèn)題。我們還會(huì)遇到“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問(wèn)題，這些問(wèn)題往往可以從極端情況去探討它的最大（?。┲?，這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)中稱為極值問(wèn)題。以上的問(wèn)題實(shí)際上都是“最優(yōu)化問(wèn)題”。二、精講精練【例題1】用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個(gè)，剪一個(gè)餅需要2分鐘（規(guī)定正反面各需要1分鐘）。問(wèn)煎3個(gè)餅至少需要多少分鐘？【思路導(dǎo)航】先將兩個(gè)餅同時(shí)放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個(gè)餅都熟了一面，這時(shí)可將一個(gè)取出，另一個(gè)翻過(guò)去，再放入第三個(gè)。又煎了一分鐘，將兩面都熟的那個(gè)取出，把第三個(gè)翻過(guò)去，再將第一個(gè)放入煎，再煎一分鐘就會(huì)全部煎好。所以，煎3個(gè)餅至少需要3分鐘。練習(xí)1：1.烤面包時(shí)，第一面需要2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。小麗用來(lái)烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分鐘？2.用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時(shí)放兩個(gè)。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現(xiàn)在要烙3個(gè)大餅，最少要用幾分鐘？3.小華用平底鍋烙餅，這只鍋同時(shí)能放4個(gè)大餅，烙一個(gè)要用4分鐘（每面各需要2分鐘）。可小華烙6個(gè)大餅只用了6分鐘，他是怎樣烙的？【例題2】媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開(kāi)水需要15分鐘，洗茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘？【思路導(dǎo)航】經(jīng)驗(yàn)表明，能同時(shí)做的事，盡量同時(shí)做，這樣可以節(jié)省時(shí)間。水壺不洗，不能燒開(kāi)水，因此，洗水壺和燒開(kāi)水不能同時(shí)進(jìn)行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開(kāi)水可以同時(shí)進(jìn)行。根據(jù)以上的分析，可以這樣安排：先洗水壺用1分鐘，接著燒開(kāi)水用15分鐘，同時(shí)洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開(kāi)了就沏茶，共需要16分鐘。練習(xí)2：四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第24頁(yè)。1.小虎早晨要完成這樣幾件事：燒一壺開(kāi)水需要10分鐘，把開(kāi)水灌進(jìn)熱水瓶需要2分鐘，取奶需要5分鐘，整理書(shū)包需要4分鐘。他完成這幾件事最少需要多少分鐘？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第24頁(yè)。2.小強(qiáng)給客人沏茶，燒開(kāi)水需要12分鐘，洗茶杯要2分鐘，買茶葉要8分鐘，放茶葉泡茶要1分鐘。為了讓客人早點(diǎn)喝上茶，你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就可以了？3.在早晨起床后的1小時(shí)內(nèi)，小欣要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉?biāo)⒀?分鐘，讀外語(yǔ)30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收聽(tīng)廣播30分鐘。最少需要多少分鐘？【例題3】五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學(xué)同時(shí)到達(dá)學(xué)校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點(diǎn)眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室只有一位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學(xué)的治病次序，才能使三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短？【思路導(dǎo)航】校醫(yī)應(yīng)該給治療時(shí)間最短的先治病，治療時(shí)間長(zhǎng)的最后治療，才能使三位同學(xué)在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短。這樣，三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間分別是：李佳1分鐘，趙1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘。時(shí)間總和是1+4+9=14分鐘。練習(xí)3：1．甲、乙、丙三人分別拿著2個(gè)、3個(gè)、1個(gè)熱水瓶同時(shí)到達(dá)開(kāi)水供應(yīng)點(diǎn)打熱水。熱水龍頭只有一個(gè)，怎樣安排他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時(shí)間最少？2．甲、乙、丙三人到商場(chǎng)批發(fā)部洽談業(yè)務(wù)，甲、乙、丙三人需要的時(shí)間分別是10分鐘、16分鐘和8分鐘。怎樣安排，使3人所花的時(shí)間最少？最少時(shí)間是多少？3．甲、乙、丙、丁四人同時(shí)到一水龍頭處用水，甲洗托把需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙洗衣服需要10分鐘，丁用桶注水需要1分鐘。怎樣安排四人用水的次序，使他們所花的總時(shí)間最少？最少時(shí)間是多少？【例題4】用18厘米【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，圍成的長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和是18÷2=9厘米。顯然，當(dāng)長(zhǎng)與寬的差越小，圍成的長(zhǎng)方形的面積越大。又已知長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)，因此，當(dāng)長(zhǎng)是5厘米，寬是4厘米時(shí)，圍成的長(zhǎng)方形的面積最大：5練習(xí)4：1.用長(zhǎng)26厘米的鐵絲圍成各種長(zhǎng)方形，要求長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)，圍成的長(zhǎng)方形的面積最大是多少？2.一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是20分米，它的面積最大是多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第25頁(yè)。3.一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是36平方厘米，并且長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少厘米？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第25頁(yè)?！纠}5】用3～6這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大?！舅悸穼?dǎo)航】解決這個(gè)問(wèn)題應(yīng)考慮兩點(diǎn)：（1）盡可能把大數(shù)放在高位；（2）盡可能使兩個(gè)數(shù)的差最小。所以應(yīng)把6和5這兩個(gè)數(shù)字放在十位，4和3放在個(gè)位。根據(jù)“兩個(gè)因數(shù)的差越小，積越大”的規(guī)律，3應(yīng)放在6的后面，4應(yīng)放在5的后面。63×54=3402.練習(xí)5：1.用1～4這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。2.用5～8這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。3.用3～8這六個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)三位數(shù)，使這兩個(gè)三位數(shù)的乘積最大。四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第26頁(yè)。

第8講巧妙求和（一）四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第26頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)。其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)，數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。在這一章要用到兩個(gè)非常重要的公式：“通項(xiàng)公式”和“項(xiàng)數(shù)公式”。通項(xiàng)公式：第n項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)－1）×公差項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋1二、精講精練【例題1】有一個(gè)數(shù)列：4，10，16，22.…，52.這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？【思路導(dǎo)航】容易看出這是一個(gè)等差數(shù)列，公差為6，首項(xiàng)是4，末項(xiàng)是52.要求項(xiàng)數(shù)，可直接帶入項(xiàng)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。項(xiàng)數(shù)=（52－4）÷6＋1=9，即這個(gè)數(shù)列共有9項(xiàng)。練習(xí)1：1.等差數(shù)列中，首項(xiàng)=1.末項(xiàng)=39，公差=2.這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？2.有一個(gè)等差數(shù)列：2.5，8，11.…，101.這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？3.已知等差數(shù)列11.16，21.26，…，1001.這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？【例題2】有一等差數(shù)列：3.7，11.15，……，這個(gè)等差數(shù)列的第100項(xiàng)是多少？【思路導(dǎo)航】這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是3.公差是4，項(xiàng)數(shù)是100。要求第100項(xiàng)，可根據(jù)“末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)－1）”進(jìn)行計(jì)算。第100項(xiàng)=3+4×（100－1）=399.練習(xí)2：1.一等差數(shù)列，首項(xiàng)=3.公差=2.項(xiàng)數(shù)=10，它的末項(xiàng)是多少？2.求1.4，7，10……這個(gè)等差數(shù)列的第30項(xiàng)。3.求等差數(shù)列2.6，10，14……的第100項(xiàng)?！纠}3】有這樣一個(gè)數(shù)列：，…，99，100四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第27頁(yè)?！舅悸穼?dǎo)航】如果我們把，…，99，100與列100，99，…，3.2.1相加，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每個(gè)小括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)數(shù)的和都是101.一共有100個(gè)101相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2.就是所求數(shù)列的和。四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第27頁(yè)。1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，所有的等差數(shù)列都可以用下面的公式求和：等差數(shù)列總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2這個(gè)公式也叫做等差數(shù)列求和公式。練習(xí)3：計(jì)算下面各題。（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60【例題4】求等差數(shù)列2，4，6，…，48，50的和?！舅悸穼?dǎo)航】這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用公式計(jì)算。要求這一數(shù)列的和，首先要求出項(xiàng)數(shù)是多少：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25首項(xiàng)=2.末項(xiàng)=50，項(xiàng)數(shù)=25等差數(shù)列的和=（2+50）×25÷2=650.練習(xí)4：計(jì)算下面各題。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200（3）9+18+27+36+…+261+270【例題5】計(jì)算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）【思路導(dǎo)航】容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減。進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)數(shù)列其實(shí)是把1～100這100個(gè)數(shù)分成了奇數(shù)與偶數(shù)兩個(gè)等差數(shù)列，每個(gè)數(shù)列都有50個(gè)項(xiàng)。因此，我們也可以把這兩個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)相減，可得到50個(gè)差，再求出所有差的和。（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1=50練習(xí)5：四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第28頁(yè)。用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題。四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第28頁(yè)。（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999）（3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第29頁(yè)。

第9講變化規(guī)律（一）四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第29頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)和、差的規(guī)律見(jiàn)下表（m≠0）一個(gè)加數(shù)（a）另一個(gè)加數(shù)（b）和（c）±m(xù)不變±m(xù)不變±m(xù)±m(xù)±m(xù)m不變被減數(shù)（a）減數(shù)（b）差（c）±m(xù)不變±m(xù)不變±m(xù)m±m(xù)±m(xù)不變二、精講精練【例題1】?jī)蓚€(gè)數(shù)相加，一個(gè)加數(shù)增加9，另一個(gè)加數(shù)減少9，和是否發(fā)生變化？【思路導(dǎo)航】一個(gè)加數(shù)增加9，假如另一個(gè)加數(shù)不變，和就增加9；假如一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)減少9，和就減少9；和先增加9，接著又減少9，所以不發(fā)生變化。練習(xí)1：1.兩個(gè)數(shù)相加，一個(gè)數(shù)減8，另一個(gè)數(shù)加8，和是否變化？2.兩個(gè)數(shù)相加，一個(gè)數(shù)加3.另一個(gè)數(shù)也加3.和起什么變化？3.兩個(gè)數(shù)相加，一個(gè)數(shù)減6，另一個(gè)數(shù)減2.和起什么變化？【例題2】?jī)蓚€(gè)數(shù)相加，如果一個(gè)加數(shù)增加10，要使和增加6，那么另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化？【思路導(dǎo)航】一個(gè)加數(shù)增加10，假如另一個(gè)加數(shù)不變，和就增加10?，F(xiàn)在要使和增加6，那么另一個(gè)加數(shù)應(yīng)減少10－6=4。練習(xí)2：1.兩個(gè)數(shù)相加，如果一個(gè)加數(shù)增加8，要使和增加15，另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第30頁(yè)。2.兩個(gè)數(shù)相加，如果一個(gè)加數(shù)增加8，要使和減少15，另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第30頁(yè)。3.兩個(gè)數(shù)相加，如果一個(gè)加數(shù)減少8，要使和減少8，另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化？【例題3】?jī)蓴?shù)相減，如果被減數(shù)增加8，減數(shù)也增加8，差是否起變化？【思路導(dǎo)航】被減數(shù)增加8，假如減數(shù)不變，差就增加8；假如被減數(shù)不變，減數(shù)增加8，差就減少8。兩個(gè)數(shù)的差先增加8，接著又減少8，所以不起什么變化。練習(xí)3：1.兩數(shù)相減，被減數(shù)減少6，減數(shù)也減少6，差是否起變化？2.兩數(shù)相減，被減數(shù)增加12.減數(shù)減少12.差起什么變化？3.兩數(shù)相減，被減數(shù)減少10，減數(shù)增加10，差起什么變化？【例題4】?jī)蓴?shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大8倍，另一個(gè)因數(shù)縮小2倍，積將有什么變化？【思路導(dǎo)航】如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大8倍，另一個(gè)因數(shù)不變，積將擴(kuò)大8倍；如果一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)縮小2倍，積將縮小2倍。積先擴(kuò)大8倍又縮小2倍，因此，積擴(kuò)大了8÷2=4倍。練習(xí)4：1.兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)縮小4倍，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大4倍，和是否起變化？2.兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大3倍，另一個(gè)因數(shù)縮小12倍，積將有什么變化？3.兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大3倍，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大6倍，積將有什么變化？【例題5】?jī)蓴?shù)相除，如果被除數(shù)擴(kuò)大4倍，除數(shù)縮小2倍，商將怎樣變化？【思路導(dǎo)航】如果被除數(shù)擴(kuò)大4倍，除數(shù)不變，商就擴(kuò)大4倍；如果被除數(shù)不變，除數(shù)縮小2倍，商就擴(kuò)大2倍。商先擴(kuò)大4倍，接著又?jǐn)U大2倍，商將擴(kuò)大4×2=8倍。練習(xí)5：1.兩數(shù)相除，被除數(shù)擴(kuò)大30倍，除數(shù)縮小5倍，商將怎樣變化？2.兩數(shù)相除，被除數(shù)縮小12倍，除數(shù)縮小2倍，商將怎樣變化？3.兩數(shù)相除，除數(shù)擴(kuò)大6倍，要使商擴(kuò)大3倍，被除數(shù)應(yīng)怎樣變化？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第31頁(yè)。

第10講變化規(guī)律四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第31頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)乘、除變化規(guī)律見(jiàn)下表（m≠0）被乘數(shù)（a）乘數(shù)（b）積（c）×÷m不變×÷m不變×÷m×÷m×÷m÷×m不變被除數(shù)（a）除數(shù)（b）商（c）×÷m不變×÷m不變×÷m÷×m×÷m×÷m不變我們學(xué)習(xí)了和、差、積、商的變化規(guī)律，這一周，我們利用這些規(guī)律來(lái)解決一些較簡(jiǎn)單的問(wèn)題。二、精講精練【例題1】?jī)蓴?shù)相減，被減數(shù)減少8，要使差減少12.減數(shù)應(yīng)有什么變化？【思路導(dǎo)航】被減數(shù)減少8，假如減數(shù)不變，差也減少8；現(xiàn)在要使差減少12.減數(shù)應(yīng)增加12－8=4。練習(xí)1：1.兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加6，要使差增加15，減數(shù)應(yīng)有什么變化？2.兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加20，要使差減少12.減數(shù)應(yīng)有什么變化？3.兩數(shù)相減，減數(shù)減少9，要使差增加16，被減數(shù)應(yīng)有什么變化？【例題2】?jī)蓚€(gè)數(shù)相除，商是8，余數(shù)是20，如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍，商是多少？余數(shù)是多少？【思路導(dǎo)航】?jī)蓴?shù)相除，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，商不變，余數(shù)擴(kuò)大相同的倍數(shù)。所以商是8，余數(shù)是20×10=200。練習(xí)2：1.兩數(shù)相除，商是6，余數(shù)是30，如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍，商是多少？余數(shù)是多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第32頁(yè)。2.兩個(gè)數(shù)相除，商是9，余數(shù)是3。如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大120倍，商是多少？余數(shù)是多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第32頁(yè)。3.兩個(gè)數(shù)相除，商是8，余數(shù)是600。如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小100倍，商是多少？余數(shù)是多少？【例題3】?jī)蓴?shù)相乘，積是48。如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大2倍，另一個(gè)因數(shù)縮小3倍，那么積是多少？【思路導(dǎo)航】一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大2倍，積擴(kuò)大2倍；另一個(gè)因數(shù)縮小3倍，積縮小3倍。所以最后的積是48×2÷3=32。練習(xí)3：1.兩數(shù)相乘，積是20。如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大3倍，另一個(gè)因數(shù)縮小4倍，那么積是多少？2.兩數(shù)相除，商是19。如果被除數(shù)擴(kuò)大20倍，除數(shù)縮小4倍，那么商是多少？3.兩數(shù)相除，商是27。如果被除數(shù)擴(kuò)大12倍，除數(shù)擴(kuò)大6倍，那么商是多少？【例題4】小華在計(jì)算兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的1錯(cuò)誤地寫成7，把另一個(gè)加數(shù)十位上的3錯(cuò)誤地寫成8，所得的和是1996。原來(lái)兩個(gè)數(shù)相加的正確答案是多少？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的1被寫成了7，這樣錯(cuò)寫一個(gè)加數(shù)比原來(lái)增加了6；另一個(gè)加數(shù)十位上的3寫成8，增加了50。這樣，所得的結(jié)果就比原來(lái)增加了6+50=56。所以，原來(lái)兩數(shù)相加的正確答案是：1996－（6＋56）=1940。練習(xí)4：1.小明在計(jì)算加法時(shí)，把一個(gè)加數(shù)十位上的0錯(cuò)寫成8，把另一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的6錯(cuò)寫成9，所得的和是532。正確的和是多少？2.小強(qiáng)在計(jì)算加法時(shí)，把一個(gè)加數(shù)十位上的7錯(cuò)寫成1.把個(gè)位上的8錯(cuò)寫成0，所得的和是285。正確的和是多少？3.小亮在計(jì)算加法時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的5錯(cuò)寫成3.把另一個(gè)加數(shù)十位上的3錯(cuò)寫成8，所得的和是650。正確的和是多少？【例題5】王霞在計(jì)算題時(shí)，由于粗心大意，把被減數(shù)個(gè)位上的3錯(cuò)寫成5，把十位上的6錯(cuò)寫成0，這樣算得差是189。正確的差是多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第33頁(yè)?！舅悸穼?dǎo)航】根據(jù)題意，被減數(shù)個(gè)位上的3寫成5，因此增加了2；十位上的6寫成0，因此減少60。這樣錯(cuò)寫的被減數(shù)比原來(lái)減少了60－2=58。因?yàn)闇p數(shù)不變，根據(jù)差的變化規(guī)律，正確的差要比錯(cuò)誤的差多50。正確的差是：189＋58=247。四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第33頁(yè)。練習(xí)5：1.小軍在做題時(shí)，把被減數(shù)個(gè)位上的3錯(cuò)寫成8，把十位上的0錯(cuò)寫成6，這樣算得的差是198。正確的差是多少？2.小剛在做題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的9錯(cuò)寫成6，把十位上的3錯(cuò)寫成8，這樣算得的差是268。正確的差是多少？3.小紅在做題時(shí)，把被減數(shù)十位上的0錯(cuò)寫成8，把減數(shù)個(gè)位上的8錯(cuò)寫成3.這樣算得的差是632。正確的差是多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第34頁(yè)。

第11講錯(cuò)中求解四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第34頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)在加、減、乘、除式的計(jì)算中，如果粗心大意將算式中的一些運(yùn)算數(shù)或符號(hào)抄錯(cuò)，就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果發(fā)生錯(cuò)誤。這一周，我們就來(lái)討論怎樣利用錯(cuò)誤的答案求出正確的結(jié)論。二、精講精練【例題1】小玲在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)65寫成56，結(jié)果得到的商是13.還余52。正確的商是多少？【思路導(dǎo)航】要求出正確的商，必須先求出被除數(shù)是多少。我們可以先抓住錯(cuò)誤的得數(shù)，求出被除數(shù)：13×56＋52=780。所以，正確的商是：780÷65=12。練習(xí)1：1.小星在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)87錯(cuò)寫成78，結(jié)果得到的商是5，余數(shù)是45。正確的商應(yīng)該是多少？2.甜甜和蜜蜜在用同一個(gè)數(shù)做被除數(shù)。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32還余6，蜜蜜計(jì)算的結(jié)果應(yīng)該是多少？3.小虎在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)1250寫成1205，結(jié)果得到的商是48，余數(shù)是5。正確的商應(yīng)該是多少？【例題2】小芳在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)32錯(cuò)寫成320，結(jié)果得到商是48。正確的商應(yīng)該是多少？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，把除數(shù)32改成320擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，又因?yàn)楸怀龜?shù)不變，根據(jù)商的變化規(guī)律，正確的商應(yīng)該是錯(cuò)誤商的10倍。所以正確的商應(yīng)該是48×10=480。練習(xí)2：1.小麗在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)530末尾的0漏寫了，得到的商是40。正確的商應(yīng)該是多少？2.小馬在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)1280誤寫成12800，得到的商是32。正確的商應(yīng)該是多少？3.小欣在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)420錯(cuò)寫成240，結(jié)果得到商是48。正確的商應(yīng)該是多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第35頁(yè)?！纠}3】小冬在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)137錯(cuò)寫成173.這樣商比原來(lái)多了3.而余數(shù)正好相同。正確的商和余數(shù)是多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第35頁(yè)。【思路導(dǎo)航】因?yàn)楸怀龜?shù)137被錯(cuò)寫成了173.被除數(shù)比原來(lái)多了173－137=36，又因?yàn)樯瘫仍瓉?lái)多了3.而且余數(shù)相同，所以除數(shù)是36÷3=12。又由137÷12=11……5，所以余數(shù)是5。練習(xí)3：1.小軍在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)208錯(cuò)寫成268，結(jié)果商增加了5，而余數(shù)正好相同。正確的除數(shù)和余數(shù)是多少？2.李明在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)171錯(cuò)寫成117，結(jié)果商比原來(lái)少了3.而余數(shù)正好相同。求這道除法算式正確的商和余數(shù)。3.劉強(qiáng)在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)137錯(cuò)寫成174，結(jié)果商比原來(lái)多3.余數(shù)比原來(lái)多1。求這道除法算式的除數(shù)和余數(shù)?！纠}4】小龍?jiān)谧鰞晌粩?shù)乘兩位數(shù)的題時(shí)，把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字4錯(cuò)當(dāng)作1.乘得的結(jié)果是525，實(shí)際應(yīng)為600。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？【思路導(dǎo)航】一個(gè)因數(shù)的個(gè)位4錯(cuò)當(dāng)作1.所得的結(jié)果比原來(lái)少了（4－1）個(gè)另一個(gè)因數(shù)；實(shí)際的結(jié)果與錯(cuò)誤的結(jié)果相差600－525=75，75÷3=25，600÷25=24。所以一個(gè)因數(shù)是24，另一個(gè)因數(shù)是25。練習(xí)4：1.小鋒在計(jì)算乘法時(shí)，把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)8錯(cuò)當(dāng)作3.得345，實(shí)際應(yīng)為420。這兩個(gè)因數(shù)各是多少？2.小菊做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法時(shí)，把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字1誤寫成7，結(jié)果得646，實(shí)際應(yīng)為418。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？3.李曉在計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目時(shí)，把一個(gè)因數(shù)十位上的3誤當(dāng)作8，結(jié)果得2150，這道題的正確積應(yīng)是900。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？【例題5】方方和圓圓做一道乘法式題，方方誤將一個(gè)因數(shù)增加14，計(jì)算的積增加了84，圓圓誤將另一個(gè)因數(shù)增加14，積增加了168。那么，正確的積應(yīng)是多少？【思路導(dǎo)航】由“方方將一個(gè)因數(shù)增加14，計(jì)算結(jié)果增加了84”可知另一個(gè)因數(shù)是84÷14=6；又由“圓圓誤將另一個(gè)因數(shù)增加14，積增加了168”可知，這個(gè)因數(shù)是168÷14=12。所以正確的積應(yīng)是12×練習(xí)5：1.兩個(gè)數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)增加10，另一個(gè)因數(shù)不變，那么積增加80；如果一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)增加6，那么積增加72。原來(lái)的積是多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第36頁(yè)。2.兩個(gè)數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)增加3.另一個(gè)因數(shù)不變，那么積增加18；如果一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)減少4，那么積減少200。原來(lái)的積是多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第36頁(yè)。3.小敏在做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題時(shí)，把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字5誤寫成3.得出的乘積是552；另一個(gè)學(xué)生卻把這個(gè)5寫成8，得出的乘積是672。正確的乘積是多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第37頁(yè)。

第12講簡(jiǎn)單列舉四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第37頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)有些題目，因其所求問(wèn)題的答案有多種，直接列式解答比較困難，在這種情況下，我們不妨采用一一列舉的方法解決。這種根據(jù)題目的要求，通過(guò)一一列舉各種情況最終達(dá)到解答整個(gè)問(wèn)題的方法叫做列舉法。二、精講精練【例題1】從南通到上海有兩條路可走，從上海到南京有3條路可走。王叔叔從南通經(jīng)過(guò)上海到南京去，有幾種走法？【思路導(dǎo)航】為了幫助理解，先畫(huà)一個(gè)線路示意圖，并用①、②、③、④、⑤表示其中的5條路。我們把王叔叔的各種走法一一列舉如下：根據(jù)以上列舉可以發(fā)現(xiàn)，從南通經(jīng)過(guò)①到上海再到南京有3種方法，從南通經(jīng)過(guò)②到上海再到南京也有3種方法，共有兩個(gè)3種方法，即3×2=6（種）。練習(xí)1：1.小明從家到學(xué)校有3條路可走，從學(xué)校到少年宮有兩條路，小明從家經(jīng)過(guò)學(xué)校到少年宮有幾種走法？2.從甲地到乙地，有兩條走達(dá)鐵路和4條直達(dá)公路，那么從甲地到乙地有多少種不同走法？3.從甲地到乙地，有兩條直達(dá)鐵路，從乙地到丙地，有4條直達(dá)公路。那么，從甲地到丙地有多少種不同的走法？【例題2】用紅、黃、藍(lán)三種信號(hào)燈組成一種信號(hào)，可以組成多少種不同的信號(hào)？【思路導(dǎo)航】要使信號(hào)不同，就要求每一種信號(hào)顏色的順序不同，我們把這些不同的信號(hào)一一列舉如下：從上面的排列中可以發(fā)現(xiàn)，紅色信號(hào)燈排在第一位置時(shí)，有兩種不同的信號(hào)，黃色信號(hào)燈排在第一位置時(shí)，也有兩種不同的信號(hào)，藍(lán)色信號(hào)燈排在第一位置時(shí)，也有兩種不同的信號(hào)。因此，共有2×3=6種不同的排法。練習(xí)2：1．甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)排成一排，有幾種不同的排法？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第38頁(yè)。2．小紅有3種不同顏色的上衣，4種不同顏色的裙子，問(wèn)她共有多少種不同的穿法？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第38頁(yè)。3．用3、4、5、6四個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？【例題3】有三張數(shù)字卡片，分別為3、6、0。從中挑出兩張排成一個(gè)兩位數(shù)，一共可以排成多少個(gè)兩位數(shù)？【思路導(dǎo)航】排成時(shí)要注意“0”不能排在最高位，下面我們進(jìn)行分類考慮。（1）十位上排6，個(gè)位上有兩個(gè)數(shù)字可選，這樣的數(shù)共有兩個(gè)：60，63；（2）十位上排3.個(gè)位上也有兩個(gè)數(shù)字可選，這樣的數(shù)也有兩個(gè)：30，60。從以上列舉容易發(fā)現(xiàn)，一共可以排成2×【例題3】有三張數(shù)字卡片，分別為3、6、0。從中挑出兩張排成一個(gè)兩位數(shù)，一共可以排成多少個(gè)兩位數(shù)？【思路導(dǎo)航】排成時(shí)要注意“0”不能排在最高位，下面我們進(jìn)行分類考慮。（1）十位上排6，個(gè)位上有兩個(gè)數(shù)字可選，這樣的數(shù)共有兩個(gè)：60，63；（2）十位上排3.個(gè)位上也有兩個(gè)數(shù)字可選，這樣的數(shù)也有兩個(gè)：30，60。從以上列舉容易發(fā)現(xiàn)，一共可以排成2×練習(xí)3：1.用0、2、9這三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)不同的兩位數(shù)？2.用8、6、3、0這四個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？最大的一個(gè)是多少？3.用0、1、5、6這四個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？從小到大排列，1650是第幾個(gè)？【例題4】從1～～8這八個(gè)數(shù)字中，每次取出兩個(gè)數(shù)字，要使它們的和大于8，有多少種取法？【思路導(dǎo)航】為了既不重復(fù)，又不遺漏地統(tǒng)計(jì)出結(jié)果，應(yīng)該按一定的順序來(lái)分類列舉，可以按“幾＋8、幾＋7、幾＋5、幾＋6、幾＋5”1＋8、2＋8、3＋8、……7＋8，共7個(gè)；2＋7、3＋7、4＋7、……6＋7，共5個(gè)；3＋6、4＋6、5＋6，共3個(gè)；4＋5共1個(gè)。這樣，兩個(gè)數(shù)的和大于8的算式共有7＋5＋3＋1=16（個(gè)），所以，共有16種不同的取法。練習(xí)4：1.從1～6這六個(gè)數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)，要使它們的和大于6，有多少種取法？2.從1～9這九個(gè)數(shù)中，每次取兩個(gè)數(shù)，要使它們的和大于10，有多少種取法？3.營(yíng)業(yè)員有一個(gè)伍分幣，4個(gè)貳分幣，8個(gè)壹分幣，他要找給顧客9分錢，有幾種找法？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第39頁(yè)?！纠}5】在一次足球比賽中，4個(gè)隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，需要比賽多少場(chǎng)？（兩個(gè)隊(duì)之間比賽一次稱為1場(chǎng)）四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第39頁(yè)。【思路導(dǎo)航】4個(gè)隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，也就是說(shuō)4個(gè)隊(duì)每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要賽一場(chǎng)，設(shè)4個(gè)隊(duì)分別為A、B、C、D，我們可以用圖表示4個(gè)隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽的情況。A隊(duì)和其他3個(gè)隊(duì)各比賽1次，要賽3場(chǎng)；B隊(duì)和其他兩個(gè)隊(duì)還要各比賽1次，要賽2場(chǎng)；C隊(duì)還要和D隊(duì)比賽1次，要賽1場(chǎng)。這樣，一共需要比賽3＋2＋1=6（場(chǎng)）。練習(xí)5：1.在一次羽毛球賽中，8個(gè)隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，需要比賽多少場(chǎng)？2.在一次乒乓球賽中，參加比賽的隊(duì)進(jìn)行循環(huán)賽，一共賽了15場(chǎng)。問(wèn)有幾個(gè)隊(duì)參加比賽？3.某學(xué)區(qū)舉行“苗苗杯”小學(xué)生足球賽，共有6所學(xué)校的足球隊(duì)比賽，比賽采取循環(huán)制，每個(gè)隊(duì)都要和其他各隊(duì)賽一場(chǎng)，根據(jù)積分排名次。這些比賽分別安排在3個(gè)學(xué)校的球場(chǎng)上進(jìn)行，平均每個(gè)學(xué)校要安排幾場(chǎng)比賽？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第40頁(yè)。

第13講和倍問(wèn)題四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第40頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)已知兩個(gè)數(shù)的和與它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問(wèn)題。解答和倍應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是：和÷（倍數(shù)＋1）=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)（和－小數(shù)=大數(shù)）二、精講精練【例題1】學(xué)校有科技書(shū)和故事書(shū)共480本，科技書(shū)的本數(shù)是故事書(shū)的3倍。兩種書(shū)各有多少本？【思路導(dǎo)航】為了便于理解題意，我們畫(huà)圖來(lái)分析：由圖可知，如果把故事書(shū)的本數(shù)看作一份，那么科技書(shū)的本數(shù)就是這樣的3份，兩種書(shū)的總本數(shù)就是這樣的1＋3=4份。把480本書(shū)平均分成4份，1份是故事書(shū)的本數(shù)，3份是科技書(shū)的本數(shù)。480÷（1＋3）=120（本）120×3=360（本）.練習(xí)1：1.用錫和鋁制成的合金是720千克，其中鋁的重量是錫的5倍。鋁和錫各用了多少千克？2.甲、乙兩數(shù)的和是112.甲數(shù)除以乙數(shù)的商是6，甲、乙兩數(shù)各是多少？3.一塊長(zhǎng)方形黑板的周長(zhǎng)是96分米，長(zhǎng)是寬的3倍。這塊長(zhǎng)方形黑板的長(zhǎng)和寬各是多少分米？【例題2】果園里有梨樹(shù)、桃樹(shù)和蘋果樹(shù)共1200棵，其中梨樹(shù)的棵數(shù)是蘋果樹(shù)的3倍，桃樹(shù)的棵數(shù)是蘋果樹(shù)的4倍。求梨樹(shù)、桃樹(shù)和蘋果樹(shù)各有多少棵？【思路導(dǎo)航】如果把蘋果樹(shù)的棵數(shù)看作1份，三種樹(shù)的總棵數(shù)是這樣的1+3+4=8份。所以，蘋果樹(shù)有1200÷8=150（棵），梨樹(shù)有150×3=450（棵），桃樹(shù)有150×4=600（棵）.練習(xí)2：1.李大伯養(yǎng)雞、鴨、鵝共960只，養(yǎng)雞的只數(shù)是鵝的3倍，養(yǎng)鴨的只數(shù)是鵝的4倍。雞、鴨、鵝各養(yǎng)了多少只？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第41頁(yè)。2.甲、乙、丙三數(shù)之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第41頁(yè)。3.商店有鉛筆、鋼筆、圓珠筆共560支，圓珠筆的支數(shù)是鋼筆的3倍，鉛筆的支數(shù)與圓珠筆的支數(shù)同樣多。鉛筆、鋼筆和圓珠筆各有多少支？【例題3】有三個(gè)書(shū)櫥共放了330本書(shū)，第二個(gè)書(shū)櫥里的書(shū)是第一個(gè)的2倍，第三個(gè)書(shū)櫥里的書(shū)是第二個(gè)的4倍。每個(gè)書(shū)櫥里各放了多少本書(shū)？【思路導(dǎo)航】把第一個(gè)書(shū)櫥里的本數(shù)看作1份，那么第二個(gè)書(shū)櫥里的本數(shù)是這樣的2份，第三個(gè)就是這樣的2×4=8份，三個(gè)書(shū)櫥里的總本數(shù)就是這樣的1+2+8=11份。所以，第一個(gè)書(shū)櫥里放了330÷11=30（本），第二個(gè)書(shū)櫥里放了30×2=60（本），第三個(gè)書(shū)櫥里放了60×4=240（本）。練習(xí)3：1．甲、乙、丙三個(gè)數(shù)之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。2．三塊鋼板共重621千克，第一塊的重量是第二塊的3倍，第二塊的重量是第三塊的2倍。三塊鋼板各重多少千克？3．甲、乙、丙三個(gè)修路隊(duì)共修路1200米，甲隊(duì)修的米數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)修的數(shù)數(shù)是丙隊(duì)的3【例題4】少先隊(duì)員種柳樹(shù)和楊樹(shù)共216棵，楊樹(shù)的棵數(shù)比柳樹(shù)的3倍多20棵，兩種樹(shù)各種了多少棵？【思路導(dǎo)航】如果楊樹(shù)少種20棵，那么柳樹(shù)和楊樹(shù)的總棵數(shù)是216－20=196（棵），這里楊樹(shù)的棵數(shù)恰好是柳樹(shù)的3倍。所以，柳樹(shù)的棵數(shù)是196÷（1＋3）=49（棵），楊樹(shù)的棵數(shù)是216－49=167（棵）。練習(xí)4：1.糧站有大米和面粉共6300千克，大米的重量比面粉的4倍還多300千克，大米和面粉各有多少千克？2.小華和小明兩人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，兩人共得168分，小華的得分比小明的2倍少42分。兩人各得多少分？3.學(xué)校購(gòu)買了720本圖書(shū)分給高、中、低三個(gè)年級(jí)，高年級(jí)分得的比低年級(jí)的3倍多8本，中年級(jí)分得的比低年級(jí)的2倍多4本。高、中、低年級(jí)各分得圖書(shū)多少本？【例題5】三個(gè)筑路隊(duì)共筑路1360米，甲隊(duì)筑的米數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)比丙隊(duì)多240四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第42頁(yè)?！舅悸穼?dǎo)航】把乙隊(duì)的米數(shù)看作1份，甲隊(duì)筑的米數(shù)是這樣的2份。假設(shè)丙隊(duì)多筑240米，那么三個(gè)隊(duì)共筑了1360＋240=1600米，正好是乙隊(duì)的2＋1＋1=4倍。所以，乙隊(duì)筑了1600÷4=400米，甲隊(duì)筑了400×2=800米，丙隊(duì)筑了400四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第42頁(yè)。練習(xí)5：1.三個(gè)植樹(shù)隊(duì)共植樹(shù)1900棵，甲隊(duì)植樹(shù)的棵數(shù)是乙隊(duì)的2倍，乙隊(duì)比丙隊(duì)少植300棵。三個(gè)隊(duì)各植樹(shù)多少棵？2.三個(gè)數(shù)的和是1540，甲數(shù)是丙數(shù)的7倍，乙數(shù)比甲數(shù)多40。三個(gè)數(shù)各是多少？3.城東小學(xué)共有籃球、足球和排球共95個(gè)，其中足球比排球少5個(gè)，排球的個(gè)數(shù)是籃球個(gè)數(shù)的2倍。籃球、足球、排球各有多少個(gè)？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第43頁(yè)。

第14講植樹(shù)問(wèn)題四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第43頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)1．線段上的植樹(shù)問(wèn)題可以分為以下三種情形：（1）如果植樹(shù)線路的兩端都要植樹(shù)，那么植樹(shù)的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多1.即：棵數(shù)=段數(shù)＋1；（2）如果一端植樹(shù)，另一端不植樹(shù)，那么棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)；（3）如果兩端都不植樹(shù)，那么棵數(shù)應(yīng)比段數(shù)少1.即：棵數(shù)=段數(shù)－1。2．在封閉的路線上植數(shù)，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù)=段數(shù)。二、精講精練【例題1】城中小學(xué)在一條大路邊從頭至尾栽樹(shù)28棵，每隔6米【思路導(dǎo)航】題中已知栽樹(shù)28棵，28棵樹(shù)之間有28－1=27段，每隔6米為一段，所以這條大路長(zhǎng)6×27=162練習(xí)1：1.在一條馬路一邊從頭至尾植樹(shù)36棵，每相鄰兩棵樹(shù)之間隔8米2.同學(xué)們做早操，21個(gè)同學(xué)排成一排，每相鄰兩個(gè)同學(xué)之間的距離相等，第一個(gè)人到最后一個(gè)人的距離是40米3.一條路長(zhǎng)200米，在路的一旁從頭至尾每隔5【例題2】在一個(gè)周長(zhǎng)是240米的游泳池周圍栽樹(shù)，每隔5【思路導(dǎo)航】這道題是封閉線路上的植樹(shù)問(wèn)題，植樹(shù)的棵數(shù)和段數(shù)相等。240÷5=48（棵）練習(xí)2：四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第44頁(yè)。1.一個(gè)魚(yú)塘的周長(zhǎng)是1500米，沿魚(yú)塘周圍每隔6四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第44頁(yè)。2.在圓形的水池邊，每隔3米種一棵樹(shù)，共種樹(shù)603.在一塊長(zhǎng)80米，寬60米的長(zhǎng)方形地的周圍種樹(shù)，每隔【例題3】在一座長(zhǎng)800米的大橋兩邊掛彩燈，起點(diǎn)和終點(diǎn)都掛，一共掛了202【思路導(dǎo)航】大橋兩邊一共掛了202盞彩燈，每邊各掛202÷2=101盞，101盞彩燈把800米長(zhǎng)的大橋分成101－1=100段，所以，相鄰兩盞彩燈之間的距離是800÷100=8練習(xí)3：1.在一條長(zhǎng)100米的大路兩旁各栽一行樹(shù)，起點(diǎn)和終點(diǎn)都栽，一共栽52棵，相鄰的兩棵樹(shù)之間的距離相等。求相鄰2.一座長(zhǎng)400米的大橋兩旁掛彩燈，每?jī)蓚€(gè)相隔43.六年級(jí)學(xué)生參加廣播操比賽，排了5路縱隊(duì)，隊(duì)伍長(zhǎng)20米，前后兩排相距1【例題4】一個(gè)木工鋸一根19米的木料，他先把一頭損壞部分鋸下來(lái)1米，然后鋸了【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，把長(zhǎng)19－1=18米的木條鋸了5次，可以鋸成5＋1=6段，所以每根短木條長(zhǎng)18÷6=3練習(xí)4：1.一個(gè)木工鋸一根長(zhǎng)17米的木料，他先把一頭損壞的部分鋸下來(lái)2米，然后鋸了2.有一根圓鋼長(zhǎng)22米，先鋸下2米，剩下的鋸成每根都是3.有一個(gè)工人把長(zhǎng)12米的圓鋼鋸成了3米長(zhǎng)的小段，鋸斷一次要四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第45頁(yè)?！纠}5】有一幢10層的大樓，由于停電電梯停開(kāi)。某人從1層走到3層需要30秒，照這樣計(jì)算，他從3層走到10需要多少秒？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第45頁(yè)?！舅悸穼?dǎo)航】把每一層樓所需要的時(shí)間看作一個(gè)間隔，1層至3層有兩個(gè)時(shí)間間隔，所以每個(gè)間隔用去的時(shí)間是30÷（3－1）=15秒，3層到10層經(jīng)過(guò)了10－3=7個(gè)時(shí)間間隔，所以，他從3層到10層需要15×7=105秒。練習(xí)5：1.把6米長(zhǎng)的木料平均鋸成3段要6分鐘，照這樣計(jì)算，如果鋸成62.時(shí)鐘4點(diǎn)敲4下，6秒鐘敲完。那么12點(diǎn)鐘敲12下，多少秒鐘敲完？3.一游人以等速在一條小路上散步，路邊相鄰兩棵樹(shù)的距離都相等，他從第一棵樹(shù)走到第10棵樹(shù)用了11分鐘，如果這個(gè)游人走22分鐘，應(yīng)走到第幾棵樹(shù)？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第46頁(yè)。

第15講圖形問(wèn)題四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第46頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)解答有關(guān)“圖形面積”問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1.細(xì)心觀察，把握?qǐng)D形特點(diǎn)，合理地進(jìn)行切拼，從而使問(wèn)題得以順利地解決；2.從整體上觀察圖形特征，掌握?qǐng)D形本質(zhì)，結(jié)合必要的分析推理和計(jì)算，使隱蔽的數(shù)量關(guān)系明朗化。二、精講精練【例題1】人民路小學(xué)操場(chǎng)長(zhǎng)90米，寬45米。改造后，長(zhǎng)增加10米，寬增加5米?，F(xiàn)在操場(chǎng)面積比原來(lái)增加了多少平方米？【思路導(dǎo)航】用操場(chǎng)現(xiàn)在的面積減去操場(chǎng)原來(lái)的面積，就得到增加的面積。操場(chǎng)現(xiàn)在的面積是（90+10）×（45+5）=5000平方米，操場(chǎng)原來(lái)的面積是90×45=4050平方米練習(xí)1：1.有一塊長(zhǎng)方形的木板，長(zhǎng)22分米，寬8分米。如果長(zhǎng)和寬分別減少10分米、3分米，面積比原來(lái)減少多少平方分米？2.一塊長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)18分米，寬13分米。如果長(zhǎng)和寬各減少2分米，面積比原來(lái)減少多少平方分米？3.一塊長(zhǎng)方形地，長(zhǎng)是80米，寬是45米。如果把寬增加【例題2】一個(gè)長(zhǎng)方形，如果寬不變，長(zhǎng)增加6米，那么它的面積增加54平方米；如果長(zhǎng)不變，寬減少3米，那么它的面積減少36平方米。這個(gè)長(zhǎng)方形原來(lái)的面積是多少平方米？【思路導(dǎo)航】由“寬不變，長(zhǎng)增加6米，面積增加54平方米”可知，它的寬為54÷6=9米；由“長(zhǎng)不變，寬減少3米，面積減少36平方米”可知，它的長(zhǎng)為36練習(xí)2：1.一個(gè)長(zhǎng)方形，如果寬不變，長(zhǎng)減少3米，那么它的面積減少24平方米；如果長(zhǎng)不變，寬增加4米，那么它的面積增加2.一個(gè)長(zhǎng)方形，如果寬不變，長(zhǎng)增加5米，那么它的面積增加30平方米；如果長(zhǎng)不變，寬增加3米，那么它的面積增加48四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第47頁(yè)。3.一個(gè)長(zhǎng)方形，如果它的長(zhǎng)減少3米，或它的寬減少2米，那么它的面積都減少36四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第47頁(yè)?！纠}3】下圖是一個(gè)養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段16米【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，因?yàn)橐幻胬弥鴫?，所以兩條長(zhǎng)加一條寬等于16米。而寬是4米，那么長(zhǎng)是（16－4）÷2=6米，占地面積是6×練習(xí)3：1.右圖是某個(gè)養(yǎng)禽專業(yè)戶用一段長(zhǎng)13米的籬笆圍成的一個(gè)長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，求養(yǎng)雞場(chǎng)的占地面積。2.用56米長(zhǎng)的木欄圍成長(zhǎng)或?qū)捠?03.用15米長(zhǎng)的柵欄沿著圍墻圍一個(gè)種【例題4】街心花園中一個(gè)正方形的花壇四周有1米寬的水泥路，如果水泥路的總面積是12平方米，中間花壇的面積是多少平方米？【思路導(dǎo)航】把水泥路分成四個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方形（如下圖）。因此，一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是12÷4=3平方米。因?yàn)樗嗦穼?米，所以小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是3÷1=3米。從圖中可以看出正方形花壇的邊長(zhǎng)是小長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的差，所以小正方形的邊長(zhǎng)是3－1=2米。中間花壇的面積是2×練習(xí)4：1.有一個(gè)正方形的水池，如下圖的陰影部分，在它的周圍修一個(gè)寬8米的花池，花池的面積是480平方米，求水池的邊長(zhǎng)。

2.四個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形和一個(gè)小正方形拼成了一個(gè)大正方形（如圖），大正方形的面積是64平方米，小正方形的面積是4平方米，長(zhǎng)方形的短邊是多少米？3.已知大正方形比小正方形的邊長(zhǎng)多4厘米，大正方形的面積比小正方形面積大96平方厘米（如下圖）。問(wèn)大小正方形的面積各是多少？【例題5】一塊正方形的鋼板，先截去寬5分米的長(zhǎng)方形，又截去寬8分米的長(zhǎng)方形（如圖），面積比原來(lái)的正方形減少181平方分米。原正方形的邊長(zhǎng)是多少？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第48頁(yè)?！舅悸穼?dǎo)航】把陰影部分剪下來(lái)，并把剪下的兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼起來(lái)（如圖），再被上長(zhǎng)、寬分別是8分米、5分米的小長(zhǎng)方形，這個(gè)拼合成的長(zhǎng)方形的面積是181+8×5=221平方分米，長(zhǎng)是原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)，寬是8+5=13分米。所以，原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)是221÷13=17分米。四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第48頁(yè)。練習(xí)5：1.一個(gè)正方形一條邊減少6分米，另一條邊減少10分米后變?yōu)橐粋€(gè)長(zhǎng)方形，這個(gè)長(zhǎng)方形的面積比正方形的面積少260平方米，求原來(lái)正方形的邊長(zhǎng)。2.一個(gè)長(zhǎng)方形的木板，如果長(zhǎng)減少5分米，寬減少2分米，那么它的面積就減少66平方分米，這時(shí)剩下的部分恰好是一個(gè)正方形。求原來(lái)長(zhǎng)方形的面積。3.一塊正方形的的玻璃，長(zhǎng)、寬都截去8厘米后，剩下的正方形比原來(lái)少448平方厘米，這塊正方形玻璃原來(lái)的面積是多大？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第49頁(yè)。

第16講巧妙求和四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第49頁(yè)。一、知識(shí)要點(diǎn)某些問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求若干個(gè)數(shù)的和，在解決這些問(wèn)題時(shí)，同樣要先判斷是否求某個(gè)等差數(shù)列的和。如果是等差數(shù)列求和，才可用等差數(shù)列求和公式。在解決自然數(shù)的數(shù)字問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目的具體特點(diǎn)，有時(shí)可考慮將題中的數(shù)適當(dāng)分組，并將每組中的數(shù)合理配對(duì)，使問(wèn)題得以順利解決。二、精講精練【例題1】劉俊讀一本長(zhǎng)篇小說(shuō)，他第一天讀30頁(yè)，從第二天起，他每天讀的頁(yè)數(shù)都前一天多3頁(yè)，第11天讀了60頁(yè)，正好讀完。這本書(shū)共有多少頁(yè)？【思路導(dǎo)航】根據(jù)條件“他每天讀的頁(yè)數(shù)都比前一天多3頁(yè)”可以知道他每天讀的頁(yè)數(shù)是按一定規(guī)律排列的數(shù)，即30、33、36、……57、60。要求這本書(shū)共多少頁(yè)也就是求出這列數(shù)的和。這列數(shù)是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)=30，末項(xiàng)=60，項(xiàng)數(shù)=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（頁(yè)）想一想：如果把“第11天”改為“最后一天”該怎樣解答？練習(xí)1：1.劉師傅做一批零件，第一天做了30個(gè)，以的每天都比前一天多做2個(gè)，第15天做了48個(gè)，正好做完。這批零件共有多少個(gè)？2.胡茜讀一本故事書(shū)，她第一天讀了20頁(yè)，從第二天起，每天讀的頁(yè)數(shù)都比前一天多5頁(yè)。最后一天讀了50頁(yè)恰好讀完，這本書(shū)共有多少頁(yè)？3.麗麗學(xué)英語(yǔ)單詞，第一天學(xué)會(huì)了6個(gè)，以后每天都比前一天多學(xué)1個(gè)，最后一天學(xué)會(huì)了16個(gè)。麗麗在這些天中學(xué)會(huì)了多少個(gè)英語(yǔ)單詞？【例題2】30把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試幾次？【思路導(dǎo)航】開(kāi)第一把鎖時(shí)，如果不湊巧，試了29把鑰匙還不行，那所剩的一把就一定能把它打開(kāi)，即開(kāi)第一把鎖至多需要試29次；同理，開(kāi)第二把鎖至多需試28次，開(kāi)第三把鎖至多需試27次……等打開(kāi)第29把鎖，剩下的最后一把不用試，一定能打開(kāi)。所以，至多需試29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。練習(xí)2：四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第50頁(yè)。1.有80把鎖的鑰匙搞亂了，為了使每把鎖都配上自己的鑰匙，至多要試多少次？四年級(jí)奧數(shù)培優(yōu)講義全文共127頁(yè)，當(dāng)前為第50頁(yè)。2.有一些鎖的鑰匙搞亂了，已知至多要試28次，就能使每把鎖都配上自己的鑰匙。一共有幾把鎖的鑰匙搞亂了？3.有10只盒子，44只羽毛球。能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各個(gè)盒子里的羽毛球只數(shù)不相等？【例題3】某班有51個(gè)同學(xué)，畢業(yè)時(shí)每人都和其他的每個(gè)人握一次手。那么共握了多少次手？【思路導(dǎo)航】假設(shè)51個(gè)同學(xué)排成一排，第一個(gè)人依次和其他人握手，一共握了50次，第二個(gè)依次和剩下的人握手，共握了49次，第三個(gè)人握了48次。依次類推，第50個(gè)人和剩下的一人握了1次手，這樣，他們握手的次數(shù)和為：50＋49＋48＋…＋2＋1=（50＋1）×50÷2=1275（次）.練習(xí)3：1.學(xué)校進(jìn)行乒乓球賽，每個(gè)選手都要和其他所有選手各賽一場(chǎng)。如果有21人參加比賽，一共要進(jìn)行多少