項目拓撲學(xué)作業(yè)廣義第一型淺水波方程和CDGK的

廣義第一型淺水波方程和廣義CDGKBellCDGKn孤：雙線性算子；第一型淺水波方程；CDGK引x【1-2】和Hereman[3-6]證明是完全可積的系統(tǒng)步獲得了n孤子解.Wazwaz[7]將這xauxxtbuutbuxutdxduxhut0a,b,d,ha,b,dh1時，為第一型淺水波方程7]在文獻[7]Wazwaztanh-coth子解和多孤子解，在文獻[8]Cole-Hopf項式的變換求出廣義的第一型淺水波的單孤子解和多孤子解。在文獻[9-10]HirotaCDGK[9-10] 4xu(60u330uu 4xCDGK 4xau(bu3duuhu 4x[1]，Backlund[2]，Hitota1]等。本文也是人的基礎(chǔ)上，通過引入雙線性算子，結(jié)合Bell多項式求解除兩類廣義線性方程的多種孤子解，從而證明出它們具有拓撲孤子不變性?；A(chǔ)知雙線性算子及其性質(zhì)xf(t,x)g(t,x)是關(guān)于變量tx的可微函數(shù)引入微分算子DtDx使得對任意的非負整數(shù)m和n有x DmDnfg(

)m(

)nf(t,x)g(t',x')t't,x'x.當(dāng)mn1DtDxfgft,xgftgxfxgt+fgt,x當(dāng)m0n2D2ff2ff2f

wtkx(0),( DmDne1e2(ww)m

k)ne1 BellBellBellBell各種孤子解。Bell[14-15]，這里y-多項式1 rynx,1 r

DnrDnrFxFGx和tFGF2

DnFFy(0,q2lnF)

nr為奇

nx,,n

+nr為偶

r Px,t(q)qx,t (q)

3q

P(q)

15q

3x,

3x,

2xx, 6

6 2x4 2定理1 利用變換u2(lnf)xx，可將方程變換為關(guān)于q的多項式，再根據(jù)上述變換，將P-多項式直接轉(zhuǎn)換成雙線性算子的形式。方程的孤廣義第一型淺水設(shè)xauxxtbuutbuxutdxduxhut0x令uc(t)q2x，其中c(t關(guān)于tqxact4ac

bc2c4bc2c

bc2q2bc2q

3x

dx dx

hc thc

00x求一次積分，并取c1b3aaq3x,t3aq2xqxtdq2xhqx,t0令qBell

f)xxuc(t)q2xaP3x,tdP2xhPx,t

f)xx1，(aD3DdD2hDD)ff

x xf(xt可按參數(shù)f(j)j,f(x,t)1f(1)f(2)f(j)j,將此帶入（1），并比較af(1)df(1)hf(1)

2(af(2)df(2)hf(2))(aD3DdD2hDD)f(1)f

x xaf(3)df(3)hf(3))(aD3DdD2hDD)f(1)f

x x由（a）f(1)f(1)e1,wtkx(0),w

11

ak2將f(1)代入（b）,根據(jù)雙線性導(dǎo)數(shù)的性af(2)df(2)hf(2)0 2 f(2)0 af(3)df(3) f(3)0f(4)f(5)則當(dāng)1

f(t,x)1e11u2(lnf1

2[ln(1e1)],wtkx(0),w

112

ak2h由于(a) f(1)e1e2,wt 代入（b）af(3)df(3)hf f(2)e12A12[a(kk eA12 [a(kk 于是從(c)和f(1f(2)的表達式推 af(3)df(3) 可取f(3)0，并由此繼續(xù)可導(dǎo)出f(4)f(5) 0，當(dāng)12f(t,x)e1e2e12A122若設(shè)（a）

u2[ln(1e1e2e12A12)]jf(1)e1e2+e3ju2[ln(1e1e2

[a(kjkl [a(kjkl 由此可推導(dǎo)出方程的n jjjlu2[ln(e

其中對數(shù)記號后對的求和應(yīng)取j0,1(j1,2, )的所有可能的組合，所以表示2n加.當(dāng)全為0時，對應(yīng)項為1，當(dāng)取0，其余取1 je 2 廣義CDGK即

au(bu3duuhu) 4x x 5au3bu2u 4x x 5令uc(t)q2xc(t是關(guān)于tq2xx,t

3bc2q2

dcq

dcq

0t

7對xc(t)1，得

dq

0 令bd15h

2x aPxthP6x0令q2(lnf)xxuc(t)q2x2(lnf)xxx (aDDhD6)ffx f(tx可按參數(shù)

f(j)j.f(t,x)1f(1)f(2)f(j)j.（1，并比較af(1)hf(1)0 2(af(2)hf(2))(aDDhD6)f(1)f(1) x af(3)hf(3)(aDDhD6)f(1)f(2) x 由(a)知f(1有線性指數(shù)函數(shù)形式的f(1)e1,1wtkx(0),（baf(2)hf(2)0

a f(2)0，則從（c）af(3)hf(3)0 故得f(3)0，繼續(xù)這種推理可知f(4)f(5) 0，當(dāng)11f(t,x)1e11

u2[ln(1e1)]由于(a)

hk f(1)e1e2,wtkx(0) 代入(b)

j(j1,aaf(2)hf(2)5hkk

k

k)2kk]e12

1 1

12

(kk

k)2kk

12,e12 12(kk)2[(kk)2kk于是從(c)和f(1f(2)的表達式推

1af(3)hf(3)0 可取f(3)0，并由此繼續(xù)可導(dǎo)出f(4)f(5) 0，當(dāng)12f(t,x)e1e2e12A122u2[ln(1e1e2e12A12)]若設(shè)（a）hk f(1)e1e2

wtkx(0),w

j(j1,2,au2[ln(1e1(kk)2[(kk)2eAjl

(kk)2[(kk)2 由此可推導(dǎo)出方程的n jjjlu2[ln(e

其中對數(shù)記號后對的求和應(yīng)取j0,1(j1,2, )的所有可能的組合，所以表示2n加.當(dāng)全為0時，對應(yīng)項為1，當(dāng)取0，其余取1 je 2 k2,

3eA24，

單孤子解和雙孤子解的三維圖和二維圖。圖3和圖4分別為CDGKk2k1eA1 t=-10,0,-1t=-2t=-3CDGKt=-4CDGK不變，這正是單孤子的理論特征。從圖2和圖4的二維圖可以看出兩列孤波沿著總本文人的基礎(chǔ)上求出了廣義第一型淺水波方程和廣義CDGK方程的單孤參考文J.Hietarinta.AsearchforbilinearequationspassingHirotasthree-condition.I.KdV-typebilinearequations[J].JMathPhys,1987,28(8):1732-J.Hietarinta.AsearchforbilinearequationspassingHirotasthree-solitoncondition.II.mKdV-typebilinearequations[J].JMathPhys,1987,28(9):2094-W.Hereman,WZhuang.AmacsymaprogramfortheHirotamethod[C].Proceedingsofthe13thWorldCongressonComputationandAppliedMathematics,1991,2:842-863.W.Hereman,WZhuang.SymboliccomputationofsolitonswithMacsyma[J].ComputApplMathII:DifferEquat,1992(5):287-296.W.Hereman,WZhuang.AmacsymaprogramfortheHirota method[C].in:Proceedingsofthe13thIMACSWorldCongressonComputationandAppliedMathematics,1991:22-26.W.Hereman,A.Nuseir.Symbolicmethodstoconstructexactsolutionsofnonlinearpartialdifferentialequations[J].MathCompSimul,1997,43:13-27.A.M.Wazwaz.TheHirota’sdirectmethodformultiple-solitonsolutionsforthreemodelequationsofshallowwaterwaves[J].AppliedMathematicsandComputation,2008,201:489-503. 黃華.Caudrey-Dodd-Gibbon-KaeadaHirota雙線性形式和多孤子解.2007（6：31-黃華，姜璐.Hirota雙線性法求Caudrey-Dodd-Gibbon-Kaeada方程的雙孤子解.聯(lián)合大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2008，22（2）:20-23.M.L.Wang.ExactsolutionforacompoundKdV-Burgersequation[J].Phys.Lett.R.Hirota.AnewformofBacklundtransformationsanditsrelationtoinversescatteringproblem[J].ProgrTheorPhys,1974,52:1498-1512.R.K.Bullough,P.J.Caudrey,R.Hirota.Directmethodsinsolitontheory,insolions[J].TopicsinCurrentphysics,1980,17:157-176.陳登遠.孤子引論.：科學(xué),2006：14-C.Gilson,F.Lambert,J.Nimmo,andR.Willox,OntheCombinatoricsoftheHirotaTopologicalsolitoninvarianceofthegeneralizedfirstequationforshallowwaterandthegeneralized:ByusingbilinearoperatorandBellpolynomial,wecangettheone-soliton;two-solitonandthree-solitonsolutionso