計算物理方法Sec

第三部分MonteCarlo方法第一節(jié)用MonteCarlo方法模擬凝聚態(tài)物理系統(tǒng)的基本思想

凝聚態(tài)系統(tǒng)的隨機特性：

1.粒子系統(tǒng)量子態(tài)的量子隨機性

2.大量粒子的熱統(tǒng)計隨機性

----適合用計算機模擬第二節(jié)隨機游動及應用

隨機游動是一種基于運用[0，1]區(qū)間的均勻分布隨機數(shù)序列來進行的計算。早在1906年Pearson就提了“隨機游動”的問題。以后隨著其理論的逐步完善，隨機游動模型在物理學、生物學和社會科學中都得到廣泛的應用。許多教科書中都可以找到它在諸如氣體分子擴散、液體中懸浮物的布朗運動、量子力學中薛定鍔方程的求解、高分子長鏈的特件研究、求解偏微分方程和數(shù)學積分的近似計算等中的成功應用。我們在介紹它的應用之前，有必要首先介紹一下隨機游動模型。

醉漢的一維行走問題初始：電桿位置x=0，步長l，每一步的取向是隨機的，右行幾率為p，左行幾率為q=1-p。問題：醉漢在行走N步以后，離電桿的距離為x的概率。有了后，可以計算：

可用概率理論解析地分析

雖然這里用了很簡單的解析方法得到上式，但是一般情況下，能精確求解游動問題的技術卻不是這樣簡單。有兩種重要的方法可以用于游動問題，它們是查點法和蒙特卡洛方法。查點法：對給定的行走總步數(shù)N及總位移x，要求把游動時可能的每一步的坐標和幾率都確定下來。

從上面的分析可以看出：查點法只有在總步數(shù)較小時才可以應用，N比較大時用起來就比較困難了。對比查點法，蒙特卡洛方法就可以克服在游動中的這個困難，具有可操作性。蒙特卡洛方法可以對許多步的游動過程進行抽樣。我們以隨機游動的蒙特卡洛方法在求解泊松型微分方程中的應用作為例子。若該泊松方程及其邊界條件為

為求解區(qū)域D的邊界，s為邊界上的點。這里我們采用等步長h的正方形格點劃分的差分法。在區(qū)域D內(nèi)的任意正則內(nèi)點o(其相鄰的節(jié)點都在區(qū)域D內(nèi))的函數(shù)值可以用周圍四個鄰近點1，2，3，4上的函數(shù)值來表示。這個表達式有如下差分方程表示

前面所述類型的隨機游動或鏈具有如下特征；它在游走中任一階段的行為都不被先前游動過程的歷史所限制，即區(qū)域內(nèi)的點可以被多次訪問，這種隨機游動過程叫做馬爾科夫過程。又因為游動最終會終止在邊界上，故而上述的這類游動也稱為馬爾科夫鏈。馬爾科夫漣正是這樣生成相繼各狀態(tài)的，它使得后一個狀態(tài)在前一個狀態(tài)的鄰近。由此可以知道相繼各狀態(tài)之間的確存在著關聯(lián)。馬爾科夫鏈是分子動力學中由運動方程生成的軌道在概率方面的對應物。對統(tǒng)計力學系統(tǒng)進行蒙特卡洛模擬計算將在本章第4節(jié)中介紹。另外還有一種非馬爾科夫過程。自規(guī)避隨機游動過程就是屬于這一類。在這個過程中任何一步的游動概率都要考慮前面游動的歷史，因而游動將有可能在碰到邊界前就被強行終止掉。隨機游動對一些更抽象的問題也是非常有用的。兩個重要的概念隨機行走的概念

----行走方向的幾率

----按該幾率實現(xiàn)行走路徑平均、路徑求和、路徑積分的概念

----某一路徑給出所求物理量的一個值

----不同路徑給出不同值

-----對所有路徑給出的值求平均第三節(jié)量子MonteCarlo方法

量子力學中的波函數(shù)是直接與幾率密度相關的量、我們有分布密度函數(shù)的關系式其中，為歸一化常數(shù)，因此波函數(shù)也被稱為幾率幅度。人們很自然地想到可以利用蒙特卡洛方法來求解量子力學問題。用于求解量子系統(tǒng)的薛定諤方程的蒙特卡洛模擬方法通稱為量子蒙持卡洛方法。在實際應用中主要有變分蒙特卡洛方法(VMC)，路徑積分蒙特卡洛方法(PIMC)和格林函數(shù)蒙特卡洛方法(GFMC)等。在本節(jié)我們將介紹路徑積分量子蒙特卡洛方法和變分量子蒙特卡洛方法，并對格林函數(shù)Monte

Carlo方法作入門的了解。一、量子力學回顧量子力學的基本方程是薛定鍔方程：

為微觀體系的哈密頓算符。對微觀粒子，其哈密頓算符可以寫為

為勢函數(shù)算符。求解哈密頓算符所對應的能量本征態(tài)的波函數(shù)和能量本征值是量子力學的基本內(nèi)容。若知道初始態(tài)的波函數(shù)為，波動方程則有唯一的波函數(shù)解及以后時刻的幾率密度。從費曼的觀點來看，一個粒子在某個時刻t，某空間位置x的波函數(shù)應當是來自所有的初始態(tài)位置“傳播”到該時空點的幅度。即上式中的稱為“傳播子”。它表示在初姑時刻，空間位置點的波函數(shù)值對下一時刻，在x點上的波函數(shù)值的貢獻強度。該傳播子可以表示為如果為與時間無關的哈密頓算符的本征態(tài)波函數(shù)，它滿足的薛定鍔方程為于是刮：其中律：于是座：假定素該等但式在樹延拓呢到t為虛漢值時塌仍成戚立，莫令餡，則贏有當劈燕足夠瞇大時秒，特斗別是逢在居時(是基偽態(tài)能敘量，徒為陷第一必激發(fā)畝態(tài)的呼能量)，上且式的奮右邊盼主要漢是來木自能殿量最壺小的禁基態(tài)透能量鍋的貢她獻。碰如果舍我們叛取蟲并述忽略婦其他興的貢往獻項險，則鼓有于是哀：利用抵歸一勻化的傻要求薪，基寸態(tài)波緣瑞函數(shù)會絕對溫值的炸平方孟可用稈傳播其子表敢示為我們衣現(xiàn)在描必須腰計算雖傳播按子。穩(wěn)將班時驚間間墳隔分云為園個障等時勿間間商隔溪的小揪區(qū)間互，則斤此間消隔為質(zhì)，笨并且禽，(貞)。根菌據(jù)完詳備座史標表奸象的揭關系專式有：取連憤續(xù)極株限得刃到其中釀常數(shù)郵，持為顯沿路趕徑的嶄經(jīng)典筑作用棋量。上式軋表示羊傳播頂子是理由連劃接初田態(tài)方和末虹態(tài)村的藝所有威路徑突，通蜓過相閣因子洲所做戶的貢雁獻。芽其中散是煩系統(tǒng)朽的拉岸氏量溉。上塔式中挖是倡所有羽各種笛可能拒的分段直怪線段有構成單的路澤徑(故)之和即的總仰作用薄量。亭同樣軋，如啦果我轉們假煌定將胡延拓助到虛術數(shù)范盞圍時節(jié)，上玻述等淘式仍琴然成羞立。憑令陣，狂則上殼式中映的作乖用量可以膀推出晝?yōu)橛谑桥剩侯愃埔睬懊尜N的推榜導，良上式撫中指籃數(shù)中布有一智個路形徑積爪分，終它的毅積分沾是沿鵲路徑雄，即炭我們蠢把路洗徑積拐分的孤空間岸起終戰(zhàn)點鐘和黃分別別放在結上，男則該盒積分部為因而捷對于紗每一傘條路按徑，服就有渡一個目能量惠。上剩式于稀是有咸如下熟形式屑；由于辨，并銅對扭進曬行積故分，翻此時吳須加期進一本個函數(shù)宮在被廈積函印數(shù)中嫩，則蠅上式炒可等練價寫憑為上面事的公尋式顯匹示出柜量子茫力學胡中的描費曼亞路徑譽積分原在歐觸氏時鬼空的足表示秩，揭商示出押量子富理論慎與統(tǒng)盒計力消學之染間的符深刻多聯(lián)系鍋。這叛時的撓路徑浮積分就與配波分函個數(shù)兩衰者在盈數(shù)學餡上是中相同票的，蓮因而撫我們逗可以趁用計某算經(jīng)餡典統(tǒng)孫計力君學配展分函梯數(shù)的贈做法細來計漏算路撈徑積刑分問敬題。二、蔽路徑疼積分坦量子肚蒙特確卡洛潑方法下面吩我們扇就用驅路徑框積分懲蒙特負卡洛筑方法次求解緒薛定讀鍔方釀程的號基態(tài)蒼能量惱和基訴態(tài)波漲函數(shù)冒的數(shù)務值。胳從上盡面兩封個公奸式可滿以使皮我們從聯(lián)想溉到?？緺柶濜B曼分券布。赴變量因的圈位形驅分布威密度嗚函數(shù)范正好庸是將革玻爾筍茲曼桌分布肅中的哄換啟成啟。搞可以匙被視率為函史數(shù)鄙在泉位形(每個桑位形俘對應尋一條獅路徑)在此永分布醉下的牙平均宗位。某其分構布的幫數(shù)學喉表示嬌為這里環(huán)存在頸的一侵個關咸鍵問并題是逮：上憂面公閥式中話給出儉的克具體偽形式彈計算啦起來盒并不支方便匪。在憶計算吩歸一檔化常隆數(shù)掩時稿，包痕含了甲一個兩積分所。這這個計的算實艦際上學是一派個高舒維的云多重陪積分張的計甩算。貌費曼噸路徑栗積分竊量子揀化的岔歐氏橡積分繡表示貓中的馬積分假計算刮也仍肢然主驗要是葉個蒙止特卡執(zhí)洛計嫩算問虜題，廳對它居們的卻積分幅計算貴可以截離散慈化為下對路德徑的沾求和畢。但央是采泄用一臟般隨句機抽抵取位殃形點野的辦余法，怎效率猜是很判低的大。尤允其是饒在此夕高級痰空間救中做祖均勻爸抽樣怖時，蜂由于指數(shù)春項的后緣故弱，大早量的固點會們落到珍對求頂和貢幻玉獻非蓄常小跑的區(qū)析域。衰此時冷如果靠我們蚊采用碰馬爾序科夫珍隨機獵游動奴的重掏要抽凝樣方休法——漲Me都tr柄op乞ol殘is方法翁，將掛是十介分有祥效的容。利上用Me復tr稠op糕ol嬌is方法篇，按奶照類棟似玻瞎爾茲潑曼分帖布的功分布菊函數(shù)鍬來抽洲取若槐干位匆形截，歸便可窗以計并算出罷基態(tài)制波函相數(shù)的估碼計值晃，然娛后對冒該估飼計值沉求平報均便蠶得到的值封。這種芹方法筒在求們解一疑維基竹態(tài)波股函數(shù)犁時優(yōu)職越性率并不邊明顯惠。但聰是在妙更復價雜的冰量子殺力學絞計算采中，水采用怒路徑造職分略方法舌就顯抵示出址極大注的優(yōu)怖越性瞇。這膽半要稠是由樹于在蛇傳統(tǒng)瓦的場謠論計斑算中狗，勢展函數(shù)夫的作濤用是恥用在滲真空處上的耗微擾夠方法砌來處龍理的毅；而踩在路豪徑積矩分中距，是坦將勢樓函數(shù)摸插入細到作石用量秋積分跳中去閥求數(shù)斷值解捷，事遠實上帽是在序做精沫確計窯算的穴嘗試恨。前堤一種須方法同對電撇弱作帽用的泛計算柏很有公效，凝但對萌于有吩強相噸互作繭用的螞問題貢，其踐使用盞價值轎不大搬。在蚊強相煮互作猶用中餅，矩帆陣元冷不能潛夠以佳強耦騾合常牌數(shù)展件開為贈收斂固的級活數(shù)。防另一故個優(yōu)逼點是耽該方灘法將比時空油離散鏈化為茶格點爸，這曠將帶腦來數(shù)厲值計伴算上背的方注便。勵此外掏，采墾用Me電tr聾op鏈ol姑is游走愉方法鳴來選先擇具怒有代漁表性養(yǎng)的態(tài)炭是非悶常有保用的冠。該袍方法刷不僅蹄可以艱以簡脹潔的蟻數(shù)組殿方式音給出浴場的騾描述乎，還市能夠扎對積宴分加末上截遭斷，跪以保幕證在才將格拘點上針的離拼散時隆空延疑拓到請連續(xù)冒時空坦時微視擾理渴論的旋重整尖化。三、Me雅tr挎op共ol騰is隨機虹抽樣壯方法在隨漠機游叛動的Mo政nt暮e雹Ca腦rl妖o方法葡中，蜘有一鳳種最駝常用度方法量稱為Me瓜tr丹op嘆ol砌is方法僵，它雙是重釋要抽孩樣法諷的一正個特勉殊情杠況；狂采用威此方執(zhí)法可貴以產(chǎn)紋生任獻意分貪布的駱隨機殘數(shù)，羽包拈急無法斗歸一灘化的尖分布磚密度佩函數(shù)葬。Me鬼tr接op從ol零is方法蔑是通門過某譽種方背式的色”隨抹機游粱動”角來實走現(xiàn)的肆。只扭要這笛個隨遵機游換動過跌程拉得照一份定規(guī)遼則來配進行左，那蹄么在剩進行濾大量皇的游腐動，場并達攀到平勿衡之鋪后所織產(chǎn)生膀的點鉛的分或布就蟲滿足襲所要辮求的鍬分布恭。Me授tr書op捉ol奧is方法策所采壘用的賀游動法規(guī)則獲是選屠擇一皺個從x點游庫動到x’點的磁“過堪渡幾策率”熟，使蒼得它緩在游庭動中胳所走津過的刻點紙的錦分布掩收斂掀到系飯統(tǒng)達渴到平宋衡時溜的分而布快。要恒達到床這樣淹的重中要抽青樣的院目的鞭，就縫需要錄對過攻渡幾遞率硬的選刃擇加葡上適像當?shù)母煜拗铺耍簩τ趷u相空有間中架點集夢的一候切互恩補的休對偶協(xié)集派，存您在著泉和罩，價使得市。及這是陪相空陪間區(qū)右域的睜連通思性和摸遍歷朱性的遭陳述送。由于繩概率度正定洞性的變要求殊，對汗于一碰切淋，。概率盲歸一此化要禮求，仍對所望有的賺，宗。由于電要求畏極限樸分布仔為平省衡分旬布，論所以追對所觀有的x，可以標證明里，只掘要游次動所拔選的杠”過召渡幾煮率”丹滿足坐如下友的細艇致平終衡條支件．栗就可雷以達勺到平椅衡時身分布娛為擁這樣去的目流的：第五玩項中姓的細捕致平額衡條秩件實惑際只衰是一亮個充劑分條廈件，捆并不恐是一目個必春要條孝件。蠅該條植件并布不能容唯一鍵確定珠過渡漆幾率娘。學所以色，過小渡幾咽率簡的筐選擇劍有很寧大的怪自由身度。凝不同待的選蔥取即卡是不成同的驚方法呼；在Me認tr傳op革ol雨is方法罷中一遷般采癢用一冷個簡毒單的圍選擇葬過渡賞幾率蕉的方收法：設游沖動到假了遼點暮，以該下的趨具體佳操作稿步驟翼為：（1）首侍先選撒取一恢個試論探位祖置，咱假定美該點丈位置芽為：，其獸中輔為腿在間安隔內(nèi)均覺勻分腸布的曲隨機默數(shù)。（2）計翁算燭的數(shù)死值。（3）如結果不差等式介滿艦足，擁那么掏進行避這一養(yǎng)游動牧，并暑取其，夫返回躁（1）開獄始對床游動腰到鞭點的遼試探舍。（4）如仁果涼，產(chǎn)倉生一如個非區(qū)間島內(nèi)的抄隨機乘數(shù)寧。（5）如及果此疾時為，麥那么于還接么受這騎步游進動，至并取姻這步怖游動顛所到儀達的聚點為譯，然嗎后返溉回到滿步驟璃（1），座開始嶼下一車步到脖達守點伯的游始動。（6）如朋果此偉時估，嗓就拒觀絕游番動，泉仍留忌在玩的叉位置葉不變度。（7）返捷回到成步驟網(wǎng)（1），匹重新墊開始個對游素動到魄點的強又一波次試僚探。必須汗指出殿：采翁用這催樣的瘋游動紀過程融，只你有在雖產(chǎn)生獸了大猶量的違點抓后．相才能劃得到凳收斂檢到滿臭足分素布堂的候集。術這里壘有一宏個明志顯的焰重要絞問題巨，就鑄是如汁何選友擇深的大茂小，清才能尤提高攻游動天的效縣率?如果選得泛太大緞，那犁么絕妙大部旬分試櫻探的談步子淋都將儲會被嘆舍棄酒，就散很難晴達到撈平衡興分布懸：反殘之，印如果史取得聚太小禁，那嫩么絕醋大部倘分試欲探步射子都到會被揉接受織，這剛同樣寶難以添達到淺所要湖求的除平衡孫分布瘋。根滲據(jù)實防際應資用的克經(jīng)驗護，選花取埋的一始個粗午略標雪準應在當是沸：選趟擇適梨當鍵大例小的不原則惡是要林在游材動的辮試探捷過程番中，慶有1／3到1／2的試喂探步準子將自被接越受。墓按照坐這樣血的標育準選她擇得打到的仙，就嚼可以層大大稍提高驚游動吩的效弊率。另一墳個在Me墊tr細op獻ol仁is方法鈔中的傅問題朗是：珍進行鐵這樣羅的隨然機游玻動，騾從哪瞇一點叔出發(fā)包才可具以比著較快躺地達津到平尺衡分唱布呢?原則扯上講房誠，從喚任何稻一個引初始煙位置擋出發(fā)筋均可雀達到槳平衡氧分布塵，但我是為巴了盡膀快地談達到盞平衡輛分布臂，我反們最加好是味要選匠擇一察個合湯適的蘋初始吵位置讓．這顫個初拒始位孩置應仗當是聞在游縱動范琴圍內(nèi)趣所要是求的包幾率墳分布蛛密度慈最大哭的區(qū)腎域。四、啟例子--松-一維垂簡諧忠振子假定婦有一晉個質(zhì)倒量為m的粒野子，鋪在一歌維簡既單簡臘諧勢中運第動。賽取鴨為嗎長度搞單位錢，辣為時匙間坊中的單爭位。利有首先扣，選酒擇任核意的階、連緞接剩個時斯間間毅隔、筒且的一焰條路克徑，葵計算股上式沾的能翠量，櫻然后北再選息一系迫列路元徑，濟每條況路徑狂與前焰條路帥徑最皮多只蠅有在濾一個撐時刻嘆（例座如夢），功有不燒相同著的空嗓間點豪（見陶圖）根。采魔用Me獵tr嘆op淺ol脹is方法敗來確姜定滿制足上網(wǎng)面要居求的咐新徑鼠跡。涌其中割將隨貧機定六下的朝坐標向改湯變到半的過黃渡幾倍率為援，豆為分盾別包恨括在險時刻薪坐標潛為浙和雕的挑兩條熔徑跡壯的能篇量差俊，可釣由上執(zhí)式算判出。工這樣閱的隨芝機游扔動抽余樣得辮到的貌徑跡籠也許妻會與少前一徒個徑殼跡相夠同。赴每當屯新徑申跡選案出后莫，就有利用體前式欄計算飾被積賀函數(shù)犁的估各計值衡，并肅累加銅到求械和之枕中。叉最終膀該求修和所伙得的憲值與默抽樣躬路徑昆的總椅數(shù)相妨除所惠得到尋平均瘋值．輪就得液到弊的津數(shù)值性結果蒜。按狠上述貪方法侍，游議動足宰夠多腰的步拼數(shù)后膜，找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