第03講圓圓的對(duì)稱性確定圓的條件（3大考點(diǎn)7種解題方法）（原卷版）

第03講圓、圓的對(duì)稱性、確定圓的條件（3大考點(diǎn)7種解題方法）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．圓的認(rèn)識(shí)（1）圓的定義定義①：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．定義②：圓可以看做是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合．（2）與圓有關(guān)的概念弦、直徑、半徑、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、等圓、等弧等．連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫圓弧，簡(jiǎn)稱弧，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每條弧都叫做半圓，大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?）圓的基本性質(zhì)：①軸對(duì)稱性．②中心對(duì)稱性．二．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。箯蕉ɡ淼膽?yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說(shuō)明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．五．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．六．確定圓的條件不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫(huà)一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過(guò)一點(diǎn)可畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓，過(guò)兩點(diǎn)也能畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)圓，過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫(huà)且只能畫(huà)一個(gè)圓．七．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說(shuō)明：①“接”是說(shuō)明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無(wú)數(shù)個(gè)．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．圓的認(rèn)識(shí)（共4小題）1．（2022?興化市模擬）如圖所示，MN為⊙O的弦，∠N＝52°，則∠MON的度數(shù)為（）A．38° B．52° C．76° D．104°2．（2021秋?東臺(tái)市月考）如圖，⊙O的半徑OC⊥AB，D為上一點(diǎn)，DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，EF＝3，求直徑AB的長(zhǎng)．3．（2022?廣陵區(qū)二模）如圖，在扇形AOB中，D為上的點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數(shù)為（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°4．（2021秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）AB＝12cm，過(guò)A、B兩點(diǎn)畫(huà)半徑為6cm的圓，能畫(huà)的圓的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)二．垂徑定理（共5小題）5．（2021秋?如皋市期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以P（0，﹣1）為圓心，PO為半徑作圓，M為⊙P上一點(diǎn)，若點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3a，4a+4），則線段MN的最小值為（）A．3 B．2 C．4 D．26．（2021秋?廣陵區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB＝20，CD＝16，則BE的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．5 D．67．（2021秋?南京期中）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，CD⊥AB，垂足為P，若AP＝8，BP＝2．求CD的長(zhǎng)．8．（2021秋?靖江市期中）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長(zhǎng)度．9．（2021秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作DB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)AC．（1）求證：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半徑．三．垂徑定理的應(yīng)用（共6小題）10．（2021秋?姜堰區(qū)期末）《九章算術(shù)》記載：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？翻譯：現(xiàn)有圓柱形木材，埋在墻壁里（如圖①），不知道其直徑的大小，于是用鋸子（沿橫截面）鋸它（如圖②），當(dāng)量得深度CE為1寸時(shí)，鋸開(kāi)的寬度AB為1尺，問(wèn)木材的直徑CD是寸．（1尺＝10寸）11．（2021秋?溧水區(qū)期末）在一個(gè)殘缺的圓形工件上量得弦BC＝8cm，的中點(diǎn)D到弦BC的距離DE＝2cm，則這個(gè)圓形工件的半徑是cm．12．（2021秋?泰興市期中）往水平放置的半徑為13cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面圖如圖所示，若水面寬度AB＝24cm，則水的最大深度是cm．13．（2021秋?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）詩(shī)句“君到姑蘇見(jiàn)，人家盡枕河”所描繪的就是有東方威尼斯之稱的水城蘇州．小勇要幫忙船夫計(jì)算一艘貨船是否能夠安全通過(guò)一座圓弧形的拱橋，現(xiàn)測(cè)得橋下水面AB寬度16m時(shí)，拱頂高出水平面4m，貨船寬12m，船艙頂部為矩形并高出水面3m．（1）請(qǐng)你幫助小勇求此圓弧形拱橋的半徑；（2）小勇在解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)遇到困難，請(qǐng)你判斷一下，此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．14．（2021秋?玄武區(qū)校級(jí)月考）如圖，弓形鐵片所在圓的圓心為點(diǎn)O，半徑為13cm，弓形的高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）CD的長(zhǎng)度為8cm，求弦AB的長(zhǎng)度．15．（2021秋?灌云縣月考）如圖1，點(diǎn)P表示我國(guó)古代水車的一個(gè)盛水筒．如圖2，當(dāng)水車工作時(shí)，盛水筒的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，5m為半徑的圓．若⊙O被水面截得的弦AB長(zhǎng)為8m，求水車工作時(shí)，盛水筒在水面以下的最大深度．四．圓心角、弧、弦的關(guān)系（共5小題）16．（2021秋?東臺(tái)市月考）如圖，在⊙O中，，A、C之間的距離為4，則線段BD＝．17．（2022?江陰市模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上異于A、B的點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC上且AE＝BF，已知AB＝6，EF＝4，若取EF中點(diǎn)G，連接CG，則CG的長(zhǎng)為，AE的最小值為．18．（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，＝＝，∠COD＝34°，則∠AEO的度數(shù)是．19．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點(diǎn)，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點(diǎn)F，D，G，且D是的中點(diǎn)．（1）求證AB＝AC；（2）連接DF，當(dāng)DF∥AC時(shí)，若AB＝10，BC＝12，求CE的長(zhǎng)．20．（2021秋?建鄴區(qū)期中）如圖，⊙O的弦AB、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，且AB＝CD，求證：PB＝PD．五．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（共5小題）21．（2021秋?沭陽(yáng)縣期末）若⊙O的直徑為10，點(diǎn)A到圓心O的距離為6，那么點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在圓外 B．點(diǎn)A在圓上 C．點(diǎn)A在圓內(nèi) D．不能確定22．（2021秋?大豐區(qū)期末）已知⊙O的半徑是4，點(diǎn)P到圓心O的距離為5，則點(diǎn)P在（）A．⊙O的內(nèi)部 B．⊙O的外部 C．⊙O上或⊙O的內(nèi)部 D．⊙O上或⊙O的外部23．（2021秋?灌南縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，若以點(diǎn)D為圓心，r為半徑作⊙D，使點(diǎn)B在⊙D內(nèi)，點(diǎn)C在⊙D外，試求r的取值范圍．24．（2022?蘇州模擬）如圖，點(diǎn)A，C，N的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（2，0），（4，3），以點(diǎn)C為圓心、2為半徑畫(huà)⊙C，點(diǎn)P在⊙C上運(yùn)動(dòng)，連接AP，交⊙C于點(diǎn)Q，點(diǎn)M為線段QP的中點(diǎn)，連接MN，則線段MN的最小值為（）A． B．3 C． D．25．（2022?睢寧縣模擬）如圖，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（3，0）、B（0，3），點(diǎn)C為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且BC＝2，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)，連接OM，則OM的最大值為（）A． B． C． D．3六．確定圓的條件（共3小題）26．（2021秋?建鄴區(qū)期中）當(dāng)A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，則n需要滿足的條件為．27．（2021秋?江都區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．在同一平面內(nèi)，三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．等弧所對(duì)的圓心角相等 C．旋轉(zhuǎn)會(huì)改變圖形的形狀和大小 D．平分弦的直徑垂直于弦28．（2018秋?泉山區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，BD，CE是△ABC的高，求證：E，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．七．三角形的外接圓與外心（共7小題）29．（2021秋?通州區(qū)期末）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，若⊙O的半徑為2，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．30．（2021秋?泗陽(yáng)縣期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓 B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 C．長(zhǎng)度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等31．（2021秋?無(wú)錫期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）32．（2021秋?無(wú)錫期末）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為r，求這個(gè)正三角形的周長(zhǎng)和面積．33．（2020?鼓樓區(qū)一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足為D，BD＝6，DC＝4．（1）求⊙O的半徑；（2）求AD的長(zhǎng)．34．（2021秋?海州區(qū)校級(jí)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長(zhǎng)線交邊AC于點(diǎn)D．（1）求證：∠BAC＝2∠ABD；（2）當(dāng)△BCD是等腰三角形時(shí)，求∠BCD的大?。?5．（2021?蘇州模擬）如圖，點(diǎn)A和動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圓O．點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC＝4，過(guò)點(diǎn)C作直線m⊥l，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥m于點(diǎn)D，交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E．在射線CD上取點(diǎn)F，使DF＝，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設(shè)AQ＝3x．（1）用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ＝，DF＝．（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長(zhǎng)．（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，作直線BG交⊙O于點(diǎn)N，若BN的弦心距為1，求AP的長(zhǎng)．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·江蘇泰州市·）的半徑為，點(diǎn)到圓心的距離為，點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在內(nèi) B．點(diǎn)在上 C．點(diǎn)在外 D．無(wú)法確定2．（江蘇泰州市·八年級(jí)期中）如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點(diǎn)，且OM最小值為4，⊙O的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．23．（2020·射陽(yáng)縣第二初級(jí)中學(xué)）平面內(nèi)，若⊙O的半徑為3，OP＝2，則點(diǎn)P在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O上 C．⊙O外 D．以上都有可能4．（2020·江蘇宿遷市·八年級(jí)期中）直角三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位于三角形的（）A．三角形內(nèi) B．三角形外 C．斜邊的中點(diǎn) D．不能確定5.給出下列4個(gè)命題，其中是真命題的是（）A．經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)一定可以作圓． B．等弧所對(duì)的圓周角相等．C．相等的圓周角所對(duì)的弧相等． D．圓的對(duì)稱軸是直徑．6.下列判斷中正確的是（）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．垂直于弦的直線平分弦所對(duì)的弧C．平分弧的直徑平分弧所對(duì)的的弦 D．三點(diǎn)確定一個(gè)圓7.下列命題：①長(zhǎng)度相等的弧是等?。虎谌我馊c(diǎn)確定一個(gè)圓；③相等的圓心角所對(duì)的弦相等；④外心在三角形的一條邊上的三角形是直角三角形，其中真命題共有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)8.下列說(shuō)法正確的是（）A．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 B．三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 D．平分弦的直徑垂直于弦9.下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①任意三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②相等的圓心角所對(duì)的弧相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧，④三角形的外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等．其中錯(cuò)誤的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)10．（2020·鎮(zhèn)江市江南學(xué)校八年級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)是分別為（0,3）、（4,3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．6個(gè)C．7個(gè) D．8個(gè)11．（2020·蘇州市吳江區(qū)盛澤第二中學(xué)）往直徑為的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬，則水的最大深度為（）A． B． C． D．12．（2020·江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校八年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，1)、B(0，3)、C(0，-1)、D(4，4)，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足PC⊥PB，則線段PD的最大值為（）A．10 B．8 C．7 D．9二、填空題13．（202