高中數(shù)學(xué)人教A版選修23講義復(fù)習(xí)課（一）計(jì)數(shù)原理

復(fù)習(xí)課(一)計(jì)數(shù)原理兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是學(xué)習(xí)排列與組合的根底，高考中一般以選擇題、填空題的形式消失，難度中等．2．運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解題的關(guān)鍵在于正確區(qū)分“分類〞與“分步〞．分類就是能“一步到位〞——任何一類中任何一種方法都能完成這件事情，而分步那么只能“局部到位〞——任何一步中任何一種方法都不能完成這件事情，只能完成大事的某一局部，只有當(dāng)各步全部完成時(shí)，這件事情才完成．eq\a\vs4\al([考點(diǎn)精要])計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：N＝n1＋n2＋n3＋…＋nm；(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理：N＝n1·n2·n3·…·nm.[典例]如下圖，花壇內(nèi)有五個(gè)花池，有五種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，那么最多的栽種方案有()A．180種 B．240種C．360種 D．420種[解析]由題意知，最少用三種顏色的花卉，依據(jù)花卉選種的顏色可分為三類方案，即用三種顏色，四種顏色，五種顏色．①當(dāng)用三種顏色時(shí)，花池2,4同色和花池3,5同色，此時(shí)共有Aeq\o\al(3,5)種方案．②當(dāng)用四種顏色時(shí)，花池2,4同色或花池3,5同色，故共有2Aeq\o\al(4,5)種方案．③當(dāng)用五種顏色時(shí)有Aeq\o\al(5,5)種方案．因此全部栽種方案為Aeq\o\al(3,5)＋2Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(5,5)＝420(種)．[答案]D[類題通法]使用兩個(gè)原理時(shí)應(yīng)留意的問題(1)對(duì)于一些比擬簡單的既要運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清楚．(2)當(dāng)兩個(gè)原理混合使用時(shí)，一般是先分類，在每類方法里再分步．eq\a\vs4\al([題組訓(xùn)練])1．甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是0,0,2,1,5，為遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人協(xié)商拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，那么不同的用車方案種數(shù)為()A．5 B．24C．32 D．64解析：選D5日至9日，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步支配奇數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)，其次步支配偶數(shù)日出行分兩類，第一類，先選1天支配甲的車，另外一天支配其他車，有2×2＝4(種)．其次類，擔(dān)心排甲的車，每天都有2種選擇，共有22＝4(種)，共計(jì)4＋4＝8，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)共有8×8＝64.2．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出3個(gè)不同的數(shù)，使這3個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．6 D．8解析：選D以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9.以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2,4,8.以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4,6,9.把這4個(gè)數(shù)列的挨次顛倒，又得到4個(gè)數(shù)列，∴所求的數(shù)列共有2×(2＋1＋1)＝8(個(gè)).排列與組合應(yīng)用問題1．高考中往往以實(shí)際問題為背景，考查排列與組合的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查分類爭論的思想方法，常以選擇題、填空題形式消失，有時(shí)與概率結(jié)合考查．2．解決排列組合問題的關(guān)鍵是把握四項(xiàng)根本原那么(1)特別優(yōu)先原那么：假如問題中有特別元素或特別位置，優(yōu)先考慮這些特別元素或特別位置的解題原那么．(2)先取后排原那么：在既有取出又需要對(duì)取出的元素進(jìn)行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再進(jìn)行排列．(3)正難那么反原那么：當(dāng)直接求解困難時(shí)，采納間接法解決問題的原那么．(4)先分組后安排原那么：在安排問題中假如被安排的元素多于位置，這時(shí)要先進(jìn)行分組，再進(jìn)行安排．eq\a\vs4\al([考點(diǎn)精要])1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素依據(jù)肯定的挨次排成一列組合合成一組2．排列數(shù)與組合數(shù)的概念名稱定義排列數(shù)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的全部不同排列的個(gè)數(shù)組合數(shù)組合的個(gè)數(shù)3．排列數(shù)與組合數(shù)公式(1)排列數(shù)公式①Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)；②Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)組合數(shù)公式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！).4．組合數(shù)的性質(zhì)(1)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；(2)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1).[典例](1)一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，假設(shè)每家人坐在一起，那么不同的坐法種數(shù)為()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!(2)某次聯(lián)歡會(huì)要支配3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出挨次，那么同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72 B．120C．144 D．168(3)從6位同學(xué)中選出4位參與一個(gè)座談會(huì)，要求張、王兩同學(xué)中至多有一個(gè)人參與，那么不同選法的種數(shù)為()A．9 B．14C．12 D．15[解析](1)把一家三口看作一個(gè)排列，共有3個(gè)三口之家，然后再排列這3家，所以有(3！)4種．(2)依題意，先僅考慮3個(gè)歌舞類節(jié)目互不相鄰的排法種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144，其中3個(gè)歌舞類節(jié)目互不相鄰但2個(gè)小品類節(jié)目相鄰的排法種數(shù)為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24，因此滿意題意的排法種數(shù)為144－24＝120.(3)法一：(直接法)分兩類，第一類張、王兩同學(xué)都不參與，有Ceq\o\al(4,4)種選法；其次類張、王兩同學(xué)中只有1人參與，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)種選法．故共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)＝9種選法．法二：(間接法)Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(2,4)＝9種．[答案](1)C(2)B(3)A[類題通法]排列與組合綜合問題的常見類型及解題策略(1)相鄰問題捆綁法．在特定條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素視為一個(gè)元素來考慮，待整個(gè)問題排好之后，再考慮它們“內(nèi)部〞的排列．(2)相間問題插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當(dāng)中，它與捆綁法有同等作用．(3)特別元素(位置)優(yōu)先支配法．優(yōu)先考慮問題中的特別元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．eq\a\vs4\al([題組訓(xùn)練])1．某班班會(huì)預(yù)備從甲、乙等7名同學(xué)中選派4名進(jìn)行發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參與．當(dāng)甲、乙同時(shí)參與時(shí)，他們兩人的發(fā)言不能相鄰．那么不同的發(fā)言挨次的種數(shù)為()A．360 B．520C．600 D．720解析：選C當(dāng)甲或乙只有一人參與時(shí)，不同的發(fā)言挨次的種數(shù)為2Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝480，當(dāng)甲、乙同時(shí)參與時(shí)，不同的發(fā)言挨次的種數(shù)為Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,3)＝120，那么不同的發(fā)言挨次的種數(shù)為480＋120＝600.2．記者要為5名志愿者和志愿者關(guān)心的2位老人拍照，要排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共________種．解析：先將5名志愿者排好，有Aeq\o\al(5,5)種排法，再將2位老人“捆綁〞起來插入中間的間隔，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)種插法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(5,5)×Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)＝960種排法．答案：960二項(xiàng)式定理及應(yīng)用1．求二項(xiàng)綻開式中的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)是高考的熱點(diǎn)，通常以選擇題、填空題形式考查，難度中低檔．2．解決此類問題常遵循“知四求一〞的原那么在二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式中共含有a,b，n，k，Tk＋1這五個(gè)元素，只要知道其中的4個(gè)元素，便可求第5個(gè)元素的值，在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題：知道這5個(gè)元素中的假設(shè)干個(gè)(或它們之間的關(guān)系)，求另外幾個(gè)元素.這類問題一般是利用通項(xiàng)公式，把問題歸結(jié)為解方程(組)或不等式(組).這里要留意n為正整數(shù)，k為自然數(shù)，且k≤n.eq\a\vs4\al([考點(diǎn)精要])1．二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)綻開式中各項(xiàng)系數(shù)Ceq\o\al(r,n)(r＝0,1，…，n)二項(xiàng)式通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1項(xiàng)2．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)[典例](1)(1＋ax)(1＋x)5的綻開式中x2的系數(shù)為5，那么a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1(2)(2x－3)10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，那么a1＋a2＋a3＋…＋a10等于()A．1－310 B．－310－1C．310－1 D．0(3)(2017·山東高考)(1＋3x)n的綻開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54，那么n＝________.[解析](1)綻開式中含x2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)＋aCeq\o\al(1,5)＝5，解得a＝－1.(2)令x＝1，得a0＝1，令x＝2，得a0＋a1＋…＋a10＝1，所以a1＋a2＋…＋a10＝0.(3)(1＋3x)n的綻開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(3x)r.令r＝2，得T3＝9Ceq\o\al(2,n)x2.由題意得9Ceq\o\al(2,n)＝54，解得n＝4.[答案](1)D(2)D(3)4[類題通法]求二項(xiàng)式綻開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求綻開式中的特定項(xiàng)．可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可．(2)綻開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù)．可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)公式寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最終求出其參數(shù)．(3)與二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和有關(guān)的問題一般用賦值法求解．eq\a\vs4\al([題組訓(xùn)練])1．在x(1＋x)6的綻開式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為()A．30 B．20C．15 D．10解析：選C只需求(1＋x)6的綻開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)即可，而含x2項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(2,6)＝15.2．假設(shè)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，那么a0＋a2＋a4的值為()A．9 B．8C．6 D．5解析：選B令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，那么a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，∴a0＋a2＋a4＝8.1．在(a＋x)7綻開式中x4的系數(shù)為280，那么實(shí)數(shù)a的值為()A．1 B．±1C．2 D．±2解析：選C由題知，Ceq\o\al(4,7)a3＝280，得a＝2.2．教室里有6盞燈，由3個(gè)開關(guān)掌握，每個(gè)開關(guān)掌握2盞燈，那么不同的照明方法有()A．63種 B．31種C．8種 D．7種解析：選D由題意知，可以開2盞、4盞、6盞燈照明，不同方法有Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(3,3)＝7(種)．3．安排4名水暖工去3戶不同的居民家里檢查暖氣管道．要求4名水暖工都安排出去，且每戶居民家都要有人去檢查，那么安排的方案共有()A．Aeq\o\al(3,4)種 B．Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,3)種C．Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種 D．Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)種解析：選C先將4名水暖工選出2人分成一組，然后將三組水暖工安排到3戶不同的居民家，故有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種．4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，那么該綻開式中常數(shù)項(xiàng)為()A．－40 B．－20C．20 D．40解析：選D令x＝1，依題意得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1，又∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的綻開式通項(xiàng)Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,5)·25－r·x5－2r，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(3,5)(－1)3·22＋Ceq\o\al(2,5)(－1)2·23＝40.5．(x2－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x)))5的綻開式中x－1的系數(shù)為()A．60 B．50C．40 D．20解析：選A由通項(xiàng)公式得綻開式中x－1的系數(shù)為23Ceq\o\al(3,5)－22Ceq\o\al(1,5)＝60.6．7人站成兩排，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人參加隊(duì)列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對(duì)位置不變，那么不同的參加方法種數(shù)為()A．120 B．240C．360 D．480解析：選C第一步：從甲、乙、丙3人中任選1人加到前排有3種不同方法．其次步：將第一步選出的1人加到前排，要保持前排4人中原3人挨次不變，那么有eq\f(A\o\al(4,4),A\o\al(3,3))種不同方法；第三步：后排6人中，原4人挨次不變有eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(4,4))種不同方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有不同參加方法3×eq\f(A\o\al(4,4),A\o\al(3,3))·eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(4,4))＝360(種)．7．(2016·全國卷Ⅰ)(2x＋eq\r(x))5的綻開式中，x3的系數(shù)是________．(用數(shù)字填寫答案)解析：(2x＋eq\r(x))5綻開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－r(eq\r(x))r＝25－r·Ceq\o\al(r,5)·x.令5－eq\f(r,2)＝3，得r＝4.故x3的系數(shù)為25－4·Ceq\o\al(4,5)＝2Ceq\o\al(4,5)＝10.答案：108．農(nóng)科院小李在做某項(xiàng)試驗(yàn)中，方案從花生、大白菜、大豆、玉米、小麥、高粱這6種種子中選出4種，分別種植在4塊不同的空地上(1塊空地只能種1種作物)，假設(shè)小李已打算在第1塊空地上種玉米或高粱，那么不同的種植方案有________種．(用數(shù)字作答)解析：由條件可得第1塊地有Ceq\o\al(1,2)種種植方法，那么第2～4塊地共有Aeq\o\al(3,5)種種植方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的種植方案有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,5)＝120種．答案：1209．把5件不同產(chǎn)品擺成一排，假設(shè)產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，那么不同的擺法有________種．解析：將A，B捆綁在一起，有Aeq\o\al(2,2)種擺法，再將它們與其他3件產(chǎn)品全排列，有Aeq\o\al(4,4)種擺法，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48種擺法，而A，B，C3件在一起，且A，B相鄰，A，C相鄰有CAB，BAC兩種狀況，將這3件與剩下2件全排列，有2×Aeq\o\al(3,3)＝12種擺法，故A，B相鄰，A，C不相鄰的擺法有48－12＝36種．答案：3610．為了鼓舞足球隊(duì)員的士氣，足協(xié)想派五名官員給A，B，C，D四支球隊(duì)做發(fā)動(dòng)工作，每支球隊(duì)至少派一名官員，且甲、乙兩名官員不能去同一支球隊(duì)，共有多少種不同的支配方法？解：可依據(jù)甲、乙兩人所去球隊(duì)的狀況進(jìn)行分類：①甲、乙兩人都單獨(dú)去一支球隊(duì)，剩余三人中必有兩人去同一支球隊(duì)，先從三人中選出兩人組成一組，與其他三人進(jìn)行全排列，那么不同的支配方法有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝3×24＝72(種)．②甲、乙兩人去的球隊(duì)中有一個(gè)是兩個(gè)人，從剩余三人中選出一人與甲或乙組成一組，和其他三人進(jìn)行全排列，那么不同的支配方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)Aeq