隨機(jī)過程的應(yīng)用

馬爾可夫鏈(過程)的發(fā)展與應(yīng)用孫啟明41264043金融1211.馬爾可夫過程發(fā)展1.1馬爾可夫過程簡介馬爾科夫過程(MarKovProcess)是一個(gè)典型的隨機(jī)過程。設(shè)X(t)是一隨機(jī)過程，當(dāng)過程在時(shí)刻t0所處的狀態(tài)為已知時(shí)，時(shí)刻t(t>t0)所處的狀態(tài)與過程在t0時(shí)刻之前的狀態(tài)無關(guān)，這個(gè)特性成為無后效性。無后效的隨機(jī)過程稱為馬爾科夫過程。馬爾科夫過程中的時(shí)同和狀態(tài)既可以是連續(xù)的，又可以是離散的。我們稱時(shí)間離散、狀態(tài)離散的馬爾科夫過程為馬爾科夫鏈。馬爾科夫鏈中，各個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)的轉(zhuǎn)變由一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的概率矩陣控制。1.2馬爾可夫過程的發(fā)展20世紀(jì)50年代以前，研究馬爾可夫過程的主要工具是微分方程和半群理論(即分析方法)；1936年前后就開始探討馬爾可夫過程的軌道性質(zhì)， 直到把微分方程和半群理論的分析方法同研究軌道性質(zhì)的概率方法結(jié)合運(yùn)用，才使這方面的研究工作進(jìn)一步深化，并形成了對(duì)軌道分析必不可少的強(qiáng)馬爾可夫性概念。出于擴(kuò)大極限定理應(yīng)用范圍的目的，馬爾科夫在20世紀(jì)初開始考慮相依隨機(jī)變量序列的規(guī)律，并從中選出了最重要的一類加以研究。1906年他在《大數(shù)定律關(guān)于相依變量的擴(kuò)展》一文中，第一次提到這種如同鎖鏈般環(huán)環(huán)相扣的隨機(jī)變量序列，其中某個(gè)變量各以多大的概率取什么值，完全由它前面的一個(gè)變量來決定，而與它更前面的那些變量無關(guān)。這就是被后人稱作馬爾科夫鏈的著名概率模型。也是在這篇論文里，馬爾科夫建立了這種鏈的大數(shù)定律。用一個(gè)通俗的比喻來形容，一只被切除了大腦的白鼠在若干個(gè)洞穴間的躥動(dòng)就構(gòu)成一個(gè)馬爾科夫鏈。因?yàn)檫@只白鼠已沒有了記憶，瞬間而生的念頭決定了它從一個(gè)洞穴躥到另一個(gè)洞穴；當(dāng)其所在位置確定時(shí)，它下一步躥往何處與它以往經(jīng)過的路徑無關(guān)。這一模型的哲學(xué)意義是十分明顯的，用前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽( 1894-1959〕的話來說，就是承認(rèn)客觀世界中有這樣一種現(xiàn)象，其未來由現(xiàn)在決定的程度，使得我們關(guān)于過去的知識(shí)絲毫不影響這種決定性。這種在已知“現(xiàn)在”的條件下，“未來”與“過去”彼此獨(dú)立的特性就被稱為馬爾科夫性，具有這種性質(zhì)的隨機(jī)過程就叫做馬爾科夫過程，其最原始的模型就是馬爾科夫鏈。這既是對(duì)荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯(Ch.Huygens,1629-1659)提出的無后效原理的概率推廣，也是對(duì)法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(P.S.Laplace,1749-1827)機(jī)械決定論的否定。這里應(yīng)該指出，盡管拉普拉斯對(duì)概率論的早期發(fā)展作出過重大貢獻(xiàn)，但是他的部分哲學(xué)觀點(diǎn)是不利于這門學(xué)科的深入發(fā)展的。十八世紀(jì)以來，隨著牛頓力學(xué)的徹底勝利，一種機(jī)械唯物主義的決定論思潮開始在歐洲科學(xué)界蔓延，鼓吹最力者就是拉普拉斯。1759年他在巴黎高等師范學(xué)院發(fā)表了一篇題為《概率論的哲學(xué)探討》的演講，淋漓盡致地表達(dá)出了這種思想。他說：“假如有人知道了某一時(shí)刻支配自然的一切力，以及它的一切組成部分的相對(duì)位置，又假如他的智力充分發(fā)達(dá)，能把這一切數(shù)據(jù)加以充分的分析，把整個(gè)宇宙中從最巨大的天體到最微小的原子的一切運(yùn)動(dòng)完全包括在一個(gè)公式里面，這樣對(duì)他就沒有什么東西是不確定的了，未來也好，過去也好，他都能縱覽無遺。 ”1812年，拉普拉斯又進(jìn)一步提出“神圣計(jì)算者”的觀念，認(rèn)為這個(gè)理想的數(shù)學(xué)家只須知道世界某一時(shí)刻的初始狀態(tài)，就可以從一個(gè)無所不包的微分方程中算出過去和未來的一切狀態(tài)。換句話說，他認(rèn)為任意系統(tǒng)在t>t0時(shí)的狀態(tài)x可由其初始時(shí)刻t0和初始狀態(tài)x0唯一決定。這可真是筆判終身、細(xì)評(píng)流年，數(shù)學(xué)家可以擺個(gè)卦攤了。馬爾科夫的概率模型從根本上否定了系統(tǒng)中任一狀態(tài)x與其初始狀態(tài)x0之間的因果必然性，從而也否定了“神圣計(jì)算者”的神話。還應(yīng)該指出，馬爾科夫所建立的概率模型不但具有深刻的哲學(xué)意義，而且具有真實(shí)的物質(zhì)背景，在他的工作之前或同時(shí)，一些馬爾科夫鏈或更復(fù)雜的隨機(jī)過程的例子已出現(xiàn)在某些人的研究中，只不過這些人沒有自覺地認(rèn)識(shí)到這類模型的普遍意義或用精確的數(shù)學(xué)語言表述出來罷了。例如蘇格蘭植物學(xué)家布朗(R.Brown,1773-1858)于1827年發(fā)現(xiàn)的懸浮微粒的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)、英格蘭遺傳學(xué)家高爾頓( F.Galton,1822-1911)于1889年提出的家族遺傳規(guī)律、荷蘭物理學(xué)家埃倫費(fèi)斯特(P.Ehrenfest,1880-1933)于1907年關(guān)于容器中分子擴(kuò)散的實(shí)驗(yàn)，以及傳染病感染的人數(shù)，謠言的傳播，原子核中自由電子的躍遷，人口增長的過程等等，都可用馬爾科夫鏈或過程來描述。也正是在統(tǒng)計(jì)物理、量子力學(xué)、遺傳學(xué)以及社會(huì)科學(xué)的若干新課題、新事實(shí)面前，決定論的方法顯得百孔千瘡、踵決肘見。有趣的是，馬爾科夫本人沒有提到他的概率模型在物理世界的應(yīng)用，但是他利用了語言文學(xué)方面的材料來說明鏈的性質(zhì)。在《概率演算》第四版中，他統(tǒng)計(jì)了長詩《葉甫蓋尼奧涅金》中元音字母和輔音字母交替變化的規(guī)律：這是長詩開頭的兩句，意為： 我不想取悅驕狂的人生，只希望博得朋友的欣賞?！痹娙四腔鹨话愕脑娖跀?shù)學(xué)家那里變成了一條冷冰冰的鎖鏈：在這條鎖鏈上只有兩種鏈環(huán)，C代表輔音、代表元音(為了使問題簡化起見，不仿把兩個(gè)無音字母算作輔音)。馬爾科夫分別統(tǒng)計(jì)了在C后面出現(xiàn)C和的概率p和1—p,以及在后出現(xiàn)C和的概率q和1—q,把結(jié)果與按照俄語拼音規(guī)則計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行比較，證實(shí)了語言文字中隨機(jī)的(從概率的意義上講)字母序列符合他所建立的概率模型。完成了關(guān)于鏈的大數(shù)定律的證明之后，馬爾科夫又開始在一系列論文中研究鏈的中心極限定理。1907年他在《一種不平常的相依試驗(yàn)》中證明了齊次馬爾科夫鏈的漸近正態(tài)性；1908年在《一個(gè)鏈中變量和的概率計(jì)算的極限定理推廣》中作了進(jìn)一步的推廣；1910年他發(fā)表了重要的論文《成連鎖的試驗(yàn)》，在其中證明了兩種情況的非齊次馬爾科夫鏈的中心極限定理。與此同時(shí)他在一些假定的前提下證明了模型的各態(tài)歷經(jīng)性，成為在統(tǒng)計(jì)物理中具有重要作用的遍歷理論中第一個(gè)被嚴(yán)格證明的結(jié)果。遍歷理論亦稱ergodic理論,是奧地利物理學(xué)家玻耳茲曼(L.Boltzmann,1844-1906)于1781年提出來的，其大意是：一個(gè)系統(tǒng)必將經(jīng)過或已經(jīng)經(jīng)過其總能量與當(dāng)時(shí)狀態(tài)相同的另外的任何狀態(tài)。馬爾科夫鏈的引入，在物理、化學(xué)、天文、生物、經(jīng)濟(jì)、軍事等科學(xué)領(lǐng)域都產(chǎn)生了連鎖性的反應(yīng)，很快地涌現(xiàn)出一系列新的課題、新的理論和新的學(xué)科，并揭開了概率論中一個(gè)重要分支--隨機(jī)過程理論蓬勃發(fā)展的序幕。2馬爾可夫過程的應(yīng)用2.1馬爾可夫應(yīng)用概述馬爾可夫隨機(jī)過程的發(fā)展史說明了理論與實(shí)際之間的密切關(guān)系。許多研究方向的提出，歸根到底是有其實(shí)際背景的。反過來，當(dāng)這些方向被深入研究后，又可指導(dǎo)實(shí)踐，進(jìn)一步擴(kuò)大和深化應(yīng)用范圍。下面簡略介紹一下馬爾可夫隨機(jī)過程本身在各方面的應(yīng)用情況。在物理學(xué)方面，高能電子或核子穿過吸收體時(shí)，產(chǎn)生級(jí)聯(lián)（或倍增）現(xiàn)象 ，在研究電了-光子級(jí)聯(lián)過程的起伏問題時(shí)，要用到隨機(jī)過程，常以泊松過程、弗瑞過程或波伊亞過程作為實(shí)際級(jí)聯(lián)的近似，有時(shí)還要用到更新過程（見點(diǎn)過程）的概念。當(dāng)核子穿到吸收體的某一深度時(shí)，則可用擴(kuò)散方程來計(jì)算核子的概率分布。物理學(xué)中的放射性衰變，粒子計(jì)數(shù)器，原子核照相乳膠中的徑跡理論和原子核反應(yīng)堆中的問題等的研究，都要用到泊松過程和更新理論。湍流理論以及天文學(xué)中的星云密度起伏、輻射傳遞等研究要用到隨機(jī)場的理論。探討太陽黑子的規(guī)律及其預(yù)測時(shí)，時(shí)間序列方法非常有用?；瘜W(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)中，研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率及影響這些時(shí)變率的因素問題 ，自動(dòng)催化反應(yīng)，單分子反應(yīng)，雙分子反應(yīng)及一些連鎖反應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型等，都要以生滅過程（見馬爾可夫過程）來描述。隨機(jī)過程理論所提供的方法對(duì)于生物數(shù)學(xué)具有很大的重要性，許多研究工作者以此來構(gòu)造生物現(xiàn)象的模型。研究群體的增長問題時(shí)，提出了生滅型隨機(jī)模型，兩性增長模型，群體間競爭與生剋模型，群體遷移模型，增長過程的擴(kuò)散模型等等。有些生物現(xiàn)象還可以利用時(shí)間序列模型來進(jìn)行預(yù)報(bào)。傳染病流行問題要用到具有有限個(gè)狀態(tài)的多變量非線性生滅過程。在遺傳問題中，著重研究群體經(jīng)過多少代遺傳后，進(jìn)入某一固定類和首次進(jìn)入此固定類的時(shí)間，以及最大基因頻率的分布等。許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信，船舶裝卸，機(jī)器損修，病人候診，紅綠燈交換，存貨控制，水庫調(diào)度，購貨排隊(duì)，等等，都可用一類概率模型來描述。這類概率模型涉及的過程叫排隊(duì)過程，它是點(diǎn)過程的特例。排隊(duì)過程一般不是馬爾可夫型的。當(dāng)把顧客到