復(fù)變函數(shù)與積分變換 復(fù)旦大學(xué)出版社

復(fù)數(shù)和復(fù)平面第一章2021/5/91§1.1復(fù)數(shù)1.復(fù)數(shù)的概念

形如或的數(shù)稱(chēng)為復(fù)數(shù)。a和b為實(shí)數(shù),分別稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部,記作i稱(chēng)為虛單位,即滿(mǎn)足當(dāng)且僅當(dāng)虛部b=0時(shí),z=a是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時(shí),z就是實(shí)數(shù)0；當(dāng)虛部b≠0時(shí),z叫做虛數(shù)；當(dāng)實(shí)部a=0且虛部b≠0時(shí),z=ib稱(chēng)為純虛數(shù).全體復(fù)數(shù)的集合稱(chēng)為復(fù)數(shù)集,用C表示.實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集.2021/5/92如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等,稱(chēng)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.2.復(fù)數(shù)的向量表示和復(fù)平面復(fù)數(shù)可用點(diǎn)z(a,b)表示用直角坐標(biāo)系表示的復(fù)數(shù)的平面稱(chēng)為復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)表示純虛數(shù).當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).任一實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)仍是它本身.2021/5/93

在復(fù)平面上,復(fù)數(shù)還可以用由原點(diǎn)引向點(diǎn)z的向量來(lái)表示,這種表示方式建立了復(fù)數(shù)集C與平面向量所成的集合的一一對(duì)應(yīng)（實(shí)數(shù)0與零向量對(duì)應(yīng)）.向量的長(zhǎng)度稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的模，記為|z|或r.3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算加法減法復(fù)數(shù)的運(yùn)算，有關(guān)復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)2021/5/94乘法除法復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)2021/5/954.復(fù)數(shù)的三角表示和復(fù)數(shù)的方根復(fù)平面C的不為零的點(diǎn)極坐標(biāo)是正實(shí)軸與從原點(diǎn)O到z的射線(xiàn)的夾角，稱(chēng)為復(fù)數(shù)z的幅角，記為滿(mǎn)足條件的幅角稱(chēng)為Argz的主值，記為=argz，于是有=Argz=argz+2k,k=0,±1,±2,….復(fù)數(shù)的三角表示z=r(cos+isin)

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式2021/5/96例1.1

求arg(-3-i4).解：Arg(-3-i4)=arg(-3-i4)+2k,k=0,±1,±2,….點(diǎn)-3-i4位于第三象限

k=0,±1,±2,….例1.2

計(jì)算解：2021/5/97例1.3

把復(fù)數(shù)表示成三角形式和指數(shù)形式.解：對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限2021/5/98復(fù)數(shù)乘法的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的幅角等于這兩個(gè)復(fù)數(shù)的幅角的和.2021/5/99兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們模的商，商的幅角等于被除數(shù)的幅角與除數(shù)的幅角的差.2021/5/910復(fù)數(shù)的乘方r=1時(shí)，得棣莫拂(deMoivre)公式復(fù)數(shù)的開(kāi)方設(shè)是已知的復(fù)數(shù)，n為正整數(shù)，則稱(chēng)滿(mǎn)足方程的所有的復(fù)數(shù)為z的n次方根，并且記為.2021/5/911設(shè)k=0,±1,±2,….k=0,±1,±2,….記k=0,1,2,…,n-1k=0,1,2,…,n-1復(fù)數(shù)的n次方根是n個(gè)復(fù)數(shù)，這些方根的模都等于這個(gè)復(fù)數(shù)的模的n次算術(shù)根，它們均勻分布在一個(gè)圓周上。2021/5/912例1.4

求1-i的立方根.解：1-i的立方根是例1.5

計(jì)算n次單位根.解：立方單位根是2021/5/913§1.2復(fù)平面點(diǎn)集1.平面點(diǎn)集的幾個(gè)概念(1)鄰域

集合

稱(chēng)為z0的鄰域，其中>0,稱(chēng)為z0的去心鄰域.

(2)內(nèi)點(diǎn)、開(kāi)集

若點(diǎn)集E的點(diǎn)z0，有一個(gè)z0的鄰域，則稱(chēng)z0為E的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)；如果點(diǎn)集E中的點(diǎn)全為內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)E為開(kāi)集.

2021/5/914(3)邊界點(diǎn)、邊界

如果點(diǎn)z0的任意鄰域內(nèi)，既有屬于E中的點(diǎn)，又有不屬于E中的點(diǎn)，則稱(chēng)z0為E的邊界點(diǎn)；集合E所有邊界點(diǎn)稱(chēng)為E的邊界，記作E

.

(4)區(qū)域

如果集E內(nèi)的任何兩點(diǎn)可以用包含在E內(nèi)的一條折線(xiàn)連接起來(lái)，則稱(chēng)集E為連通集.連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域.區(qū)域D和它的邊界D的并集稱(chēng)為閉區(qū)域，記為(5)有界區(qū)域

如果存在正數(shù)M，使得對(duì)一切zE，有則稱(chēng)E為有界集.若區(qū)域D有界，則稱(chēng)為有界區(qū)域.2021/5/915(6)簡(jiǎn)單曲線(xiàn)、光滑曲線(xiàn)

設(shè)x(t)和y(t)是實(shí)變量t的兩個(gè)實(shí)函數(shù)，它們?cè)陂]區(qū)間[,]上連續(xù)，則由方程組或由復(fù)值函數(shù)定義的集合稱(chēng)為復(fù)平面上的一條曲線(xiàn)，上述方程稱(chēng)為曲線(xiàn)的參數(shù)方程.點(diǎn)A=z()和B=z()分別稱(chēng)為曲線(xiàn)的起點(diǎn)和終點(diǎn).如果當(dāng)時(shí)，有，稱(chēng)曲線(xiàn)為簡(jiǎn)單曲線(xiàn)，也稱(chēng)為約當(dāng)(Jordan)曲線(xiàn).

的簡(jiǎn)單曲線(xiàn)稱(chēng)為簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn).2021/5/916定理1.1一條閉簡(jiǎn)單曲線(xiàn)將平面分成兩個(gè)不相交的區(qū)域，以曲線(xiàn)為公共邊界.

這兩個(gè)區(qū)域，一個(gè)是有界的，稱(chēng)為的內(nèi)部；一個(gè)是無(wú)界的，稱(chēng)為的外部.

如果曲線(xiàn)在上有和存在、連續(xù)，而且不同時(shí)為零，則稱(chēng)曲線(xiàn)為光滑曲線(xiàn).由有限條光滑曲線(xiàn)連接而成的連續(xù)曲線(xiàn)，稱(chēng)為分段光滑的曲線(xiàn).(7)單連通區(qū)域

設(shè)D為復(fù)平面上的區(qū)域，如果在D內(nèi)的任意簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的內(nèi)部均屬于D，則稱(chēng)D為單連通區(qū)域，否則就稱(chēng)為多連通區(qū)域.2021/5/9172.直線(xiàn)和半平面

設(shè)L表示C中的直線(xiàn)，如果a是L上的任一點(diǎn)，b是它的方向向量，那么對(duì)于L上的z，有假定|b|=1，a=0.于是，當(dāng)且僅當(dāng)即.2021/5/918

如果“按照b的方向沿著L前進(jìn)”，H0是位于L的左邊的半平面.

Ha是由半平面H0平移a而得到的，因此，Ha是位于L的左邊的半平面.

是位于L的右邊的半平面.2021/5/919§1.3擴(kuò)充復(fù)平面及其球面表示設(shè)a是異于的一個(gè)復(fù)數(shù)，規(guī)定(1)

，則；(2)

，則；(3)

，則；(4)

，則；(5)

的實(shí)部、虛部、幅角都無(wú)意義；(6)為了避免和算術(shù)定律相矛盾，對(duì)不規(guī)定其意義.

2021/5/920

設(shè)想平面上有一個(gè)理想點(diǎn)和它對(duì)應(yīng).這個(gè)理想點(diǎn)稱(chēng)為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).復(fù)平面加上，稱(chēng)為擴(kuò)充復(fù)平面C=C{}.為使的規(guī)定合理，規(guī)定擴(kuò)充復(fù)平面上只有一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).

記R3中的單位球面為N=(0,0,1)為S上的北極點(diǎn),把C等同于R3中的點(diǎn)集