初中數(shù)學-勾股定理的逆定理教學設計學情分析教材分析課后反思

教學設計（一）創(chuàng)設問題情境，引入新課（1）總結直角三角形有哪些性質。（2）一個三角形，滿足什么條件是直角三角形？通過對前面所學知識的歸納總結，聯(lián)想到用三邊的關系是否可以判斷一個三角形為直角三角形，提高學生發(fā)現(xiàn)反思問題的能力。學生分組討論，交流總結；教師引導學生回憶。（1）直角三角形有如下性質：①有一個角是直角；②兩個銳角互余；③兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；④在含30°角的直角三角形中，30°的角所對的直角邊是斜邊的一半。（2）有一個內角是90°，那么這個三角形就為直角三角形．大家思考一下還有沒有其他的方法來說明一個三角形是直角三角形呢？前面我們學習了勾股定理，可不可以用三角形三邊的關系來判定它是否為直角三角形呢？我們來看一下古埃及人如何做？（二）講授新課活動1問題：據(jù)說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結，然后以3個結、4個結、5個結的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角。這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5．有下面的關系“32+42=52”．那么圍成的三角形是直角三角形。大家畫一畫、量一量，看看這樣做出的三角形是直角三角形嗎？再畫畫看，如果三角形的三邊分別為2.5cm、6cm、6.5cm，有下面的關系，“2.52+62=6.52，畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4cm、7.5cm、8.5cm．再試一試。讓學生在小組內共同合作，協(xié)手完成此活動。用尺規(guī)作圖的方法作出三角形，經(jīng)過測量后，發(fā)現(xiàn)以上兩組數(shù)組成的三角形是直角三角形，而且三邊滿足a2+b2=c2。我們進而會想：是不是三角形的三邊只要有兩邊的平方和等于第三邊的平方，就能得到一個直角三角形呢？活動2定理正確嗎？如何證明呢？讓學生試著尋找解題思路；教師可引導學生發(fā)現(xiàn)證明的思路。師：ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，如果ABC是直角三角形，它應與直角邊是a，b的直角三角形全等．實際情況是這樣嗎？我們畫一個直角三角形，使（如下圖）把畫好的剪下，放在ABC上，它們重合嗎？生：我們所畫的Rt，又因為c2=a2+b2，所以即。和三邊對應相等，所以兩個三角形全等，為直角三角形。即定理是正確的。從而得出勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長：a，b，c滿足a2+b2=c2那么這個三角形是直角三角形。活動3判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形。（1）a=15，b=8，c=17；（2）a=13，b=14，c=15；（3）求證m2－n2，m2+n2，2mn（m﹥n，m，n是正整數(shù)）是直角三角形的三條邊長。進一步讓學生體會用勾股定理的逆定理，實現(xiàn)數(shù)和形的統(tǒng)一，第（3）題又讓學生從一次從一般形式上去認識勾股數(shù)，如果能讓學生熟記幾組勾股數(shù)，我們在判斷三角形的形狀時，就可以避開很麻煩的運算。生：根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小的邊長的平方和是否等于最大邊長的平方。師：我們把像15、8、7這樣，能夠成為三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。而且我們不難發(fā)現(xiàn)m2－n2、m2+n2、2mn也是一組勾股數(shù)，而且這組勾股數(shù)由于m、n取值的不同會得到不同的勾股數(shù)。例如m=2，n=1時，m2－n2=22－12=3，m2+n2=22+12=5，2mn=2×2×1=4，而3、4、5就是一組勾股數(shù)。你還能找到不同的勾股數(shù)嗎？生：當m=3，n=2時，m2－n2=32－22=5，m2+n2=13，2mn=2×3×2，所以5、12、13也是一組勾股數(shù)。當m=4，n=2時，m2－n2=42－22=12，m2+n2=20，2mn=2×4×2=16，所以12、16、20也是一組勾股數(shù)。鞏固提高例題：—個零件的形狀如下圖所示，按規(guī)定這個零件中和都應為直角．工人師傅量出了這個零件各邊尺寸，那么這個零件符合要求嗎？課時小結你對本節(jié)的內容有哪些認識？掌握勾股定理的逆定理及其應用．熟記幾組勾股數(shù)。板書設計（六）布置作業(yè)必做題：課本P60，習題7.4第1、2、4題。選做題：習題7.4第6題。學情分析通過前面的學習，學生已具備一些平面幾何的知識，能夠進行一般的推理和論證，對動手操作和探求新知充滿熱情但他們思維的局限性還很大，能力也有差距，而利用“構建法”證明勾股定理的逆定理學生第一次見到，根據(jù)學生的智能狀況，學生不容易想到，因此添加輔助線構造全等的直角三角形對學生來說非常困難。一、年齡特征：初中數(shù)學是中學數(shù)學的基礎，打好這個基礎，對減少兩級分化，發(fā)展思維，培養(yǎng)人才是至關重要的。而初二的數(shù)學又是初中數(shù)學的重中之重，因此，提高中學的數(shù)學質量，必須從初中二年級抓起。八年級學生認識結構、心理特征趨于逐漸成熟時期，是學生由試驗幾何向推理幾何過渡的重要階段。這個時期的學生對所學知識有一種急于嘗試和運用的沖動，他們希望老師滿足他們的創(chuàng)造愿望，讓他們實際操作，使他們獲得施展自己創(chuàng)造才能的機會。 二、知識基礎和能力狀況：本節(jié)課的前提是學生學習了命題的概念、勾股定理、三角形全等的判定等相關知識。一般來說，學生能夠靜態(tài)的判別一命題中的題設和結論部分，但根據(jù)以往的教學經(jīng)驗，學生對勾股定理的原命題、逆命題、否命題、逆否命題四個命題之間的關系容易混，導致運用上的混亂。例如：學生在運用逆定理進行判定時其道出的依據(jù)確是勾股定理。在設計教學時，我們既要注意概念的區(qū)別，又注意不要偏離本課的重點。四個命題之間的關系是教師在教學設計時需要把握的一條主線，否則學生在學習逆定理的時候會出現(xiàn)聽時懂、用時錯的現(xiàn)象。三、學習難度分析：在學習逆定理的證明時，學生往往會對書本上的證明方法感到困惑，這種證明方法是以前接觸過的，而且通過這個證明又得到另一種證明直角的方法，邏輯上層層上升，學生學習起來有一定難度。定理與逆定理使用上的錯誤。勾股數(shù)與直角三角形三邊長的混淆，沒有注意到組成勾股數(shù)的前提條件是正整數(shù)。效果分析學生課前已預習了勾股定理逆定理的探究過程，并對例題進行了簡單了解，這樣在講授新課時就比較順利了。在講勾股定理逆定理時，為了讓學生更好地理解和掌握定理的探索過程，先讓學生自己進行探索，然后小組上臺進行演示。這樣可以加深學生的理解，也讓師生間有了互動，讓學生自己感覺并體會到勾股定理逆定理的結論。例題通過小組交流解決，使得這節(jié)課的重難點輕易地突破，大大提高了教學效率，培養(yǎng)了學生解決問題的能力和創(chuàng)新能力。例題2的設計是一道比較常見的勾股定理和勾股定理逆定理相結合運用的題目平時的考試都是比較常見的，然后再通過自學檢測的訓練對知識進行了鞏固。后面的合作探究是為了班里能力較強的學生在課堂上去思考的，同時也調動了其他同學的積極性。在運用勾股定理逆定理時，老是運用公式計算，學生感到比較厭煩，同時為了吸引學生注意力，活躍課堂氣氛，拓寬學生思路，最后讓同學互相討論。就這樣讓學生在開放自由的情況下解決了問題，同時培養(yǎng)了學生的想象力。這堂課將信息技術融入，利于創(chuàng)設教學環(huán)境教學模式從以教師講授為主轉為以學生自主研究小組學習探討為主。學生通過自己的活動得出結論，使創(chuàng)新精神與實踐精神得到了發(fā)展。學生只有用自己創(chuàng)造與體驗的方法來學習數(shù)學，才能真正的掌握數(shù)學。這一課的學習就主要通過讓學生自主地探索知識，從而將其轉化吸收，真正做到了先激發(fā)興趣，在合作交流，最后展示成果的自主學習。通過最后的達標測評可以看出，學生對這節(jié)課的掌握還是不錯的，達到了預期的學習目標。對于這堂課，我認為為了培養(yǎng)學生的能力，讓學生充分了解到知識的來源，用從特殊到一般的方法得出結論，是比較成功的。教無定法，怎樣使得學生在一節(jié)課內收獲得更多，能力發(fā)展的更快，就是我們教學的最終目標，也是我努力的方向。教材分析本節(jié)內容選自《青島版》義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學八年級下冊第七章《勾股定理的逆定理》,是在上節(jié)“勾股定理”之后，繼續(xù)學習的一個直角三角形的判斷定理，它是前面知識的繼續(xù)和深化，勾股定理的逆定理是初中幾何學習中的重要內容之一，是今后判斷某三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解題中，將有十分廣泛的應用，同時在應用中滲透了利用代數(shù)計算的方法證明幾何問題的思想，為將來學習解析幾何埋下了伏筆。一、本課的地位與應用：從教材編寫角度看，教材以學生的年齡特征，認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎，通過動手做、動腦思考、交流探討、歸納總結，升華得出結論。這樣的安排更能引發(fā)學生的數(shù)學思考，并能在活動中體驗到探索的樂趣。二、本課的教學目標：1、探索并證明勾股定理的逆定理。2、能運用勾股定理的逆定理判斷已知三邊長度的三角形是不是直角三角形。3、能靈活運用勾股定理及逆定理理解題。4、體會數(shù)形結合的思想。三、本課的重點與難點：重點：會運用勾股定理的逆定理判斷已知三邊長度的三角形是不是直角三角形。難點：勾股定理逆定理的靈活運用。四、本課教材的結構：教材先引導學生說出勾股定理的逆命題，然后通過實驗、操作等活動，由邊長分別為3，4，5，和5，12，13的三角形的具體列子出發(fā)，通過檢驗發(fā)現(xiàn)他們都是直角三角形，且三邊長度都滿足，從而做出猜想：如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。勾股定理的逆定理給出了判定一個三角形是不是直角三角形的方法，和前面學過的一些判定方法不同，它通過計算來判斷。教材編寫者設置例題1，讓學生學會這種方法判斷一個三角形是不是直角三角形。由于在上節(jié)中已經(jīng)出現(xiàn)了長度為無理數(shù)的線段，所以例題1（1）中給出的三角形的三邊中有的邊長為無理數(shù)；（2）的解答的根據(jù)實際上是運用了勾股定理的逆否定理：邊長不滿足（c為最大邊）的三角形不是直角三角形（3）題蘊含了相似三角形的觀點，把邊長為3，4，5的直角三角形的各邊長同時放大（或縮小）相同的倍數(shù)，得到的三角形還是直角三角形，也可以解釋為邊長之比為3：4：5的三角形是直角三角形。例題2是勾股定理及其逆定理的綜合運用。先運用勾股定理求出BD的長，在運用其逆定理判定△BCD為直角三角形。評測練習1.分別以下列四組數(shù)為一個三角形的邊長：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能構成直角三角形的有（）A.4組B.3組C.2組D.1組2.三角形的三邊長分別為a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整數(shù)），則這個三角形是（）A．直角三角形B．鈍角三角形C．銳角三角形D．不能確定3.如果把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，那么斜邊擴大到原來的()A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍4.三角形的三邊長為a、b、c，且滿足等式(a+b)2-c2=2ab，則此三角形是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形5.下列命題中的假命題是()A.在△ABC中，若∠A=∠C-∠B，則△ABC是直角三角形B.在△ABC中，若a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形C.在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的度數(shù)比是5∶2∶3，則△ABC是直角三角形D.在△ABC中，若三邊長a∶b∶c=2∶2∶3，則△ABC是直角三角形6．下列各組數(shù)能構成直角三角形三邊長的是（）．A．1，2，3B．4，5，6C．12，13，14D．9，40，417.直角△的兩條直角邊長分別為1cm和2cm，一個正方形的邊長恰好等于這個直角△的斜邊長，則這個正方形的面積為__________.8.已知一個直角△的兩邊長分別為3,4，則第三邊的平方為________.9.測得一個三角形花壇的三邊長分別為6m、8m、10m,則這個花壇的面積是____________10.如圖，已知長方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點E，將△ADE折疊使點D恰好落在BC邊上的點F，求CE的長.11．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中線BD=5cm。求證：△ABC是等腰三角形。課后反思一、本節(jié)課的成功之處：1、這節(jié)課的設計思路比較合理：著重體現(xiàn)“探究”這一主題，從“古埃及人得到直角三角形的方法”到學生用繩子模仿操作，再到猜想、自己證明等一系列活動，得出“勾股定理逆定理”，把這節(jié)課的重點放在了如何讓學生通過三角形三邊關系判斷是否是直角三角形。再經(jīng)過課堂練習及課堂檢測來強化學生對勾股定理逆定理的理解，分別從三角形的邊和角這方面來引導學生。2、本課PPT的使用是想凸顯“特征讓學生觀察，思路讓學生探索，方法讓學生思考，意義讓學生概括，結論讓學生驗證，難點讓學生突破，以學生為主體”的教學思路，每個環(huán)節(jié)都是緊密相接的。3、在本節(jié)教學活動過程中，我經(jīng)常走下講臺，到學生中去，以學生身份和學生一起探討問題。用一切可能的方式，激勵回答問題的學生，激發(fā)學生的求知欲，使師生在和諧的教學環(huán)境中零距離的接觸。二、本節(jié)課的不足之處及改進方法：不足：課堂檢測做完后應讓學生自己講解，但時間不夠導致這一環(huán)節(jié)沒能讓學生完成而是投影對了答案。改進：在以后教學中，我會不斷地更新教育理念,結合學生的認知規(guī)律、生活經(jīng)驗對教材進行再創(chuàng)造,選取密切聯(lián)系學生現(xiàn)實生活和生動有趣的數(shù)學素材,為學生提供充分的數(shù)學活動和交流的空間,真正把創(chuàng)造還給學生,讓學生動起來,讓課堂煥發(fā)新的活力。我覺得作為教師，在課堂教學中應該始終牢記：學生才是學習的主體，學生才是課堂的主體。教師只是課堂教學活動的組織者，引導者與合作者。因此，課堂教學過程的設計，也必須充分體現(xiàn)出學生的主體性。在重難點的突破上還應加一些遞進的習題，降低題的難度，使優(yōu)生學好，中等生也能跟上。課標分析一、本課的地位與作用：勾股定理逆定理是初中幾何學習中的重要內容之一，是今后判斷三角形是直角三角形的重要方法之一，在以后的解題中，將有十分廣泛的應用。同時在應用中滲透了利用代數(shù)計算的方法證明幾何問題的思想，為將來學習解析幾何埋下了伏筆，所以本節(jié)也是本章的重要內容之一，課標要求學生必須掌握。二、具體含義：1、把勾股定理的題設和結論互換，可以得到它的逆命題，這個命題是一個真命題，在這一對互逆定理中，勾股定理是直角三角形的一個性質定理，而其逆定理是直角三角形的一個判定定理。要通過這兩個定理的學習，使學生進一步加深判定和性質之間關系的認識。2、學生對通過計算來證明幾何問題比較陌生，實際上計算在幾何問題中也是很重要的。從數(shù)學方法這個意義上講，學習勾股定理的逆定理，對拓展學生思維，進一步體會數(shù)學中的各種方法有很大的意義。三、教材的教學目標：根據(jù)數(shù)學課標的要求和教材的具體內容，結合學生實際我確定了本節(jié)課的教學目標。知識技