第三節(jié)一階線(xiàn)性微分方程

（優(yōu)選）第三節(jié)一階線(xiàn)性微分方程當(dāng)前第1頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)齊次方程的通解為1.線(xiàn)性齊次方程一階線(xiàn)性微分方程的解法(使用分離變量法)當(dāng)前第2頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)2.線(xiàn)性非齊次方程討論兩邊積分非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比:解法當(dāng)前第3頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):未知函數(shù)的變量代換.作變換,設(shè)是的解當(dāng)前第4頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)積分得一階線(xiàn)性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解定理6.1(一階非齊次線(xiàn)性方程的解的結(jié)構(gòu))一階非齊次線(xiàn)性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程的通解與一階非齊次線(xiàn)性方程的一個(gè)特解之和當(dāng)前第5頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)常數(shù)變易法的求解步驟：要求大家熟練掌握當(dāng)前第6頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)把所給方程寫(xiě)成

這是一階非齊次線(xiàn)性方程解先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解再用常數(shù)變易法求式的通解，當(dāng)前第7頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)化簡(jiǎn)得積分可得即得所給方程的通解當(dāng)前第8頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)這是一階非齊次線(xiàn)性方程，可用公式，解，其通解為

其中當(dāng)前第9頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)方法一公式法解由公式得原方程的通解當(dāng)前第10頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)方法二常數(shù)變易法所以通解為化簡(jiǎn)，得積分可得由此得到原方程的通解為當(dāng)前第11頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)解將x看作未知函數(shù)，y看作自變量，這是一階線(xiàn)性微分方程，按一階非齊次線(xiàn)性方程的解法可求出其通解為把方程變形為當(dāng)前第12頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)解當(dāng)前第13頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)排出鹽的速率為(克/分)

從而桶內(nèi)鹽的變化率為即當(dāng)前第14頁(yè)\共有15頁(yè)\編于星期三\8點(diǎn)解上面的微分方程，得其通解為由此得所以