上海洋涇中學(xué)東校高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

上海洋涇中學(xué)東校高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.棱長(zhǎng)為2的正四面體的表面積是（

）A. B.4 C. D.16參考答案：C【分析】根據(jù)題意求出一個(gè)面的面積，然后乘以4即可得到正四面體的表面積?！驹斀狻棵總€(gè)面的面積為，∴正四面體的表面積為.【點(diǎn)睛】本題考查正四面體的表面積，正四面體四個(gè)面均為正三角形。2.設(shè)集合A=，集合B=，那么AB=（

）A.

B.C.

D.

參考答案：B3.圓與直線有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是：A

BC

D參考答案：D4.如果等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…a7=（）A．14 B．21 C．28 D．35參考答案：C【考點(diǎn)】8F：等差數(shù)列的性質(zhì)．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和題意求出a4的值，再由等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)所求的式子，把a(bǔ)4代入求值即可．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得，3a4=a3+a4+a5=12，解得a4=4，所以a1+a2+…a7=7a4=28，故選：C．5.已知函數(shù)f(x)=，則f[f()]=（

）

A.

9

B.

C.－9

D.－參考答案：B6.已知滿足和，當(dāng)時(shí)，，則（

）

A、

B、2

C、

D、98參考答案：A略7.若上述函數(shù)是冪函數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè)

B．個(gè)

C．個(gè)

D．個(gè)參考答案：C略8.在三棱錐中,底面，，，，，,則點(diǎn)到平面的距離是(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.當(dāng)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.下列所給4個(gè)圖象中，與所給3件事吻合最好的順序?yàn)?/p>

（

）（1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué)；（2）我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；（3）我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時(shí)間開始加速。A、（1）（2）（4）

B、（4）（2）（3）

C、（4）（1）（3）

D、（4）（1）（2）參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．參考答案：[，1）和（1，+∞）【考點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．【解答】解：由x（1﹣x）≠0得x≠0且x≠1，即函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0且x≠1}，設(shè)t=x（1﹣x）=﹣x2+x，對(duì)稱軸為x=，則函數(shù)等價(jià)y=，由t=x（1﹣x）＞0得0＜x＜1，此時(shí)y=為減函數(shù)，要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，則求函數(shù)t=x（1﹣x）在0＜x＜1上的遞減區(qū)間，∵當(dāng)≤x＜1時(shí)，函數(shù)t=x（1﹣x）單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[，1）．由t=x（1﹣x）＜0得x＞1或x＜0，此時(shí)y=為減函數(shù)，要求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，則求函數(shù)t=x（1﹣x）在x＞1或x＜0的遞減區(qū)間，∵當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)t=x（1﹣x）單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[，1）和（1，+∞）．故答案為：[，1）和（1，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，利用換元法，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意要對(duì)分母進(jìn)行討論．12.已知，，則值為________________.參考答案：因?yàn)椋?，所以，所?3.以邊長(zhǎng)為2的正三角形的一條高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為

．參考答案：3π以邊長(zhǎng)為2的正三角形的一條高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該三角形旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓錐，圓錐的底面半徑，母線長(zhǎng)，該幾何體的表面積為：.

14.設(shè)關(guān)于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P(x0，y0)滿足x0－2y0=2，則m的取值范圍是

參考答案：15.單個(gè)的蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形圖形。如圖，這是一組蜂巢的圖形：已知第（1）圖有1個(gè)蜂巢，第（2）圖有7個(gè)蜂巢，第（3）圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，第（4）圖中有

個(gè)蜂巢，第（n）圖共有

個(gè)蜂巢.參考答案：37；.16.連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為，記向量與向量的夾角為，則的概率是

．參考答案：略17.已知數(shù)列滿足：，則連乘積…=

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知||=4，||=8，與的夾角是120°．（1）計(jì)算：|+|（2）當(dāng)k為何值時(shí)，（+2）⊥（k﹣）？參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】（1）利用向量的數(shù)量積求出兩個(gè)向量的數(shù)量積；利用向量模的平方等于向量的平方求出向量的模．（2）利用向量垂直的充要條件列出方程求出k的值．【解答】解：由已知得，=||?||cos120°=4×8×（﹣）=﹣16．（1）①∵|+|2=||2+||2+2?=16+2×（﹣16）+64=48，∴|+|=4．（2）∵（+2）⊥（k﹣），∴（+2）?（k﹣）=0，∴k||2﹣2||2+（2k﹣1）?=0，即16k﹣16（2k﹣1）﹣2×64=0．∴k=﹣7．即k=﹣7時(shí)，（+2）⊥（k﹣）．19.已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線l：上.（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，問在直線上是否存在定點(diǎn)N，使得恒成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：（1）（2）在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立，詳見解析【分析】（1）求出弦中垂線方程，由中垂線和直線相交得圓心坐標(biāo)，再求出圓半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，代入圓的方程，得的一元二次方程，同時(shí)設(shè)交點(diǎn)為由韋達(dá)定理得，假設(shè)定點(diǎn)存在，設(shè)其為，由求得，再驗(yàn)證所作直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)也滿足題意．【詳解】（1）的中點(diǎn)為，∴的垂直平分線的斜率為，∴的垂直平分線的方程為，∴的垂直平分線與直線交點(diǎn)為圓心，則，解得，又．∴圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則過點(diǎn)的直線方程為，故由，整理得，設(shè)，設(shè)，則，，，即，當(dāng)斜率不存在時(shí)，成立，∴在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立【點(diǎn)睛】本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查與圓有關(guān)的定點(diǎn)問題．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可先求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，然后得標(biāo)準(zhǔn)方程，注意圓心一定在弦的中垂線上．定點(diǎn)問題，通常用設(shè)而不求思想，即設(shè)直線方程與圓方程聯(lián)立消元后得一元二次方程，設(shè)直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由韋達(dá)定理得，然后設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)如本題，再由條件求出，若不能求出說明定點(diǎn)不存在，如能求出值，注意驗(yàn)證直線斜率不存在時(shí)，此定點(diǎn)也滿足題意．20.已知圓C：()，定點(diǎn)，，其中m，n為正實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，判斷直線AB與圓C的位置關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于圓C上任意一點(diǎn)P均有成立(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)于線段AB上的任意一點(diǎn)P，若在圓C上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：(1)當(dāng)時(shí),圓心為,半徑為,

當(dāng)時(shí),直線方程為,

所以,圓心到直線距離為,……………2分因?yàn)?所以,直線與圓相離.……………3分（2）設(shè)點(diǎn)，則，，∵，∴，，………………5分由得，∴，代入得，，化簡(jiǎn)得，………7分因?yàn)闉閳A上任意一點(diǎn)，所以，……………9分又，解得，．………10分(3)法一:直線的方程為，設(shè)()，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，又都在圓：上，所以即……………12分因?yàn)樵撽P(guān)于的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有公共點(diǎn)，所以，，…………

……13分又為線段上的任意一點(diǎn)，所以對(duì)所有成立．而在上的值域?yàn)?，所以所以．…?5分又線段與圓無公共點(diǎn)，所以，∴.故實(shí)數(shù)的取值范圍為．

…………16分法二:過圓心作直線的垂線，垂足為，設(shè)，，則則消去得，，…………11分直線方程為點(diǎn)到直線的距離為且又為線段上的任意一點(diǎn)，……13分，，…………15分故實(shí)數(shù)的取值范圍為．……………16分21.已知直線l：在x軸上的截距為m，在y軸上的截距為n.（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；（2）求點(diǎn)(m,n)到直線l的距離.參考答案：(1),.(2).分析：（1）在直線方程中，令可得在軸上的截距，令可得軸上的截距．（2）由（1）可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得結(jié)果．詳解：（1）在方程中，令，得，所以；令，得，所以．（2）由（1）得點(diǎn)即為，所以點(diǎn)到直線的距離為.點(diǎn)睛：直線在坐標(biāo)軸上的“截距”不是“距離”，截距是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，故截距可為負(fù)值、零或?yàn)檎担笾本€在軸（軸）上的截距時(shí)，只需令直線方程中的或等于零即可．22.某投資公司計(jì)劃投資A、B兩種金融產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資量x成正比例，其關(guān)系如圖1，B產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資量x的算術(shù)平方根成正比例，其關(guān)系如圖2，（注：利潤(rùn)與投資量單位：萬元）（1）分別將A、B兩產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資量的函數(shù)關(guān)系式；（2）該公司已有10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品中，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使公司獲得最大利潤(rùn)？其最大利潤(rùn)為多少萬元？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．【分析】（1）由于A產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資量x成正比例，B產(chǎn)品的利潤(rùn)y與投資量x的算術(shù)平方根成正比例，故可設(shè)函數(shù)關(guān)系式，利用圖象中的特殊點(diǎn)，可求函數(shù)解析式；（2）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬元，則B產(chǎn)品投入10﹣x萬元，設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為y萬元．利用（1）由此可建立函數(shù)，采用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)