2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二十四章圓24.1圓的有關(guān)性質(zhì)課時(shí)2上課課件新版新人教版

24.1.2垂直于弦的直徑圓的有關(guān)性質(zhì)九年級(jí)上冊(cè)RJ初中數(shù)學(xué)連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.(2)圓心為O、半徑為r的圓可以看成是所有到定點(diǎn)O的距離等于定長(zhǎng)r的點(diǎn)的集合．1.圓的定義(1)在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫做圓．2.弦的定義3.弧的定義圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧.知識(shí)回顧1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，了解圓是軸對(duì)稱圖形.2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明和作圖問題.3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m.求趙州橋主橋拱的半徑(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).課堂導(dǎo)入

你知道趙州橋主橋拱的半徑是多少嗎？

知識(shí)點(diǎn)1新知探究剪一張圓形紙片，沿著它的任意一條直徑對(duì)折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？你能證明你的結(jié)論嗎？圓的對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸.O注意：不能說圓的直徑是圓的對(duì)稱軸，因?yàn)閷?duì)稱軸是直線，而直徑是線段.知識(shí)點(diǎn)1新知探究圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱軸.

思路引導(dǎo)：要證明圓是軸對(duì)稱圖形，只需證明圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直徑所在直線（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)也在圓上.求證證明：如圖，CD是⊙O的任意一條直徑，AA′是弦，使AA′⊥CD，垂足為M,M·OAA'CD連接OA，OA′,則OA=OA′.∵AA′⊥CD，∴CD是AA′的垂直平分線.∴對(duì)于圓上任意一點(diǎn)A，在圓上都有關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A′，即⊙O關(guān)于直線CD對(duì)稱.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對(duì)稱軸.

如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB,垂足為E.仔細(xì)觀察，圖形中有哪些相等的線段和??？為什么？·OABCDE知識(shí)點(diǎn)2新知探究垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.已知結(jié)論CD是直徑CD⊥AB

AE=BE

((AD=BD((AC=BC垂徑定理的幾個(gè)基本圖形：ABOCDEABOEDABO

DCABOC

1.下列圖形中能否得到AE=BE，為什么？不能不能能能跟蹤訓(xùn)練新知探究BDAECODCEAOBCADEBOABOE垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.2.如圖,已知⊙O的半徑OB=5，OP⊥AB，垂足為P，且OP=3，則AB=____.8POABCD由OB,OP求得BP求得AB勾股定理垂徑定理解：∵

OB=5，OP=3,∴

BP==4,

∵

OP⊥AB，OP為直徑，∴

AB=2BP=8.

在圓上任意作一條弦AB，你能否找到平分弦AB的直徑嗎?思考：此時(shí)AB與CD的位置關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)3新知探究·OABCDEFMN

如果弦AB是過圓心的弦呢?平分弦AB的直徑CD一定會(huì)垂直弦AB嗎？想一想：·OABCD·OABCD已知結(jié)論

CD過圓心AB不是直徑推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.·OABCDCD⊥AB((AD=BD((AC=BCAE=BEE根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備：過圓心1垂直于弦2平分弦（非直徑）3平分弦所對(duì)的優(yōu)弧4平分弦所對(duì)的劣弧5上述五個(gè)條件中的任意

個(gè)條件，都可以推出其他

個(gè)結(jié)論.(知二推三).兩三問題解決：趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37m，拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離)為7.23m.求趙州橋主橋拱的半徑(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).所以R2=18.52+（R-7.23）2.由題意，可知AB=37m，CD=7.23m，解：如圖，設(shè)趙州橋主橋拱的半徑為Rm.則AD=18.5m，解得R≈27.3.因此，趙州橋的主橋拱半徑約為27.3m.ACBDO3718.5RR-7.237.23在圓中有關(guān)弦長(zhǎng)a，半徑r，弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.涉及垂徑定理時(shí)輔助線的添加方法總結(jié)弓形中重要數(shù)量關(guān)系A(chǔ)BCDOhrd弦a，弦心距d，弓形高h(yuǎn)，半徑r之間有以下關(guān)系：d+h=r

OABC·dr如圖，AB是圓O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，若圓O的半徑為5，AB=8，則CD的長(zhǎng)是()A.2 B.3 C.4 D.5A解：∵OC⊥AB，跟蹤訓(xùn)練新知探究·OABCD

在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，

∴CD=OC-OD=5-3=2．1.下列說法正確的是(

)A.每一條直徑都是圓的對(duì)稱軸B.圓的對(duì)稱軸是唯一的C.圓的對(duì)稱軸一定經(jīng)過圓心D.圓的對(duì)稱軸是經(jīng)過圓內(nèi)任意一點(diǎn)的直線隨堂練習(xí)C圓的對(duì)稱軸是直線，不是線段.無數(shù)條一定經(jīng)過圓心2.AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，則下列結(jié)論不一定正確的是()A.CM=DMB.BC=BD

C.∠ACD=∠ADCD.OM=MBDM·OABCD在△ACM和△ADM,∵AM=AM,∠AMC=∠AMD=90°，CM=DM,∴△ACM≌△ADM，∴∠ACD=∠ADC，而OM與MB不一定相等，選項(xiàng)D不一定正確.故選項(xiàng)C正確；((解析：根據(jù)垂徑定理，可得CM=DM，

,故選項(xiàng)A,B

正確；BC=BD((3.已知圓O的半徑為10cm，AB，CD是圓O的兩條弦，AB//CD，AB=16cm，CD=12cm，則弦AB和CD之間的距離是

cm.解：分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖1，過點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為F，交AB于點(diǎn)E，連接OC，OA.∵AB//CD，∴OE⊥AB.∵AB=16cm，CD=12cm,∴AE=8cm，CF=6cm，∵OA=OC=10cm，由勾股定理,得EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2

cm.BCDEFOA圖1②當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí),過點(diǎn)O作OE⊥CD,交CD于點(diǎn)E,延長(zhǎng)EO交AB于點(diǎn)F,連接OC,OA,如圖2所示，OABCD圖2EF∵AB//CD，∴OF⊥AB.∵AB=16cm，CD=12cm，由勾股定理，得OE=8cm，OF=6cm，∴EF=OF+OE=14cm.綜上所述：AB和CD之間的距離為2cm或14cm.∴AF=8cm，CE=6cm.∵OA=OC=10cm，垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦（不是直徑）;④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧;⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件就可以推出其他三個(gè)結(jié)論（“知二推三”）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧兩條輔助線：連半徑，作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計(jì)算或建立方程.基本圖形及變式圖形課堂小結(jié)

對(duì)接中考解：∵⊙O的直徑CD=10

cm，AB⊥CD，·OABCDM圖1

①當(dāng)AC的位置如圖1所示時(shí)，連接AO.∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，

∴CM=OC+OM=8

cm，

②當(dāng)AC的位置如圖2所示時(shí)，·OABCDM圖2同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴CM=5-3=2（cm），

故選C．

本題源于《教材幫》24.1節(jié)方法幫xyOABP解：作PC⊥x軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E，連接PB，如圖.xyOABPDE∵⊙P的圓心坐標(biāo)是(3，a)，∴OC=3，PC=a.把x=3代入y=x，得y=3，∴CD=3，∴△OCD為等腰直角三角形，∴∠ODC=45°，∴∠PDE=∠ODC=45°.∵PE⊥AB,∴△PED也為等腰直角三角形.xyOABPDE∵PE⊥AB，

在Rt△PBE中，PB=3，∴PE=1，

3.某地有一座弧形的拱橋，橋下的水面寬度為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，此貨船能順利通過這座拱橋嗎?解：如圖，設(shè)這座拱橋的截面為AB，AB為水面，O為AB所在圓的圓心，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交A