2021年四川省成都市四川浦江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021年四川省成都市四川浦江中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知正方體的棱長為，動(dòng)點(diǎn)在正方體表面上且滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為

A．

B．

C．

D．

參考答案：B2.已知公比不為1的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，若成等差數(shù)列，則數(shù)列

的前5項(xiàng)和為(

)

A.

B.

C.121

D.31參考答案：A3.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限參考答案：B4.已知集合，，若，則的取值范圍是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略5.自點(diǎn)向圓引切線，則切線長度的最小值等于A．

B．

C．

D．參考答案：B6.如圖，偶函數(shù)f（x）的圖象如字母M，奇函數(shù)g（x）的圖象如字母N，若方程f（f（x））=0，f（g（x）=0的實(shí)根個(gè)數(shù)分別為m、n，則m+n=（） A．18 B． 16 C． 14 D． 12參考答案：A略7.已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和，其右支上存在一點(diǎn)滿足，且的面積為3，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3參考答案：B8.設(shè)，則（

）A、

B、

C、

D、10參考答案：C9.某同學(xué)為研究函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個(gè)邊長為的正方形和，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則．則可推知函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A10.已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列四個(gè)結(jié)論：①命題“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“?x∈R，x2﹣x≤0”②“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為真；③已知直線l1：ax+2y﹣1=0，l1：x+by+2=0，則l1⊥l2的充要條件是；④對于任意實(shí)數(shù)x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x）且x＞0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時(shí)，f′（x）＞g′（x）．其中正確結(jié)論的序號(hào)是

（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）參考答案：①④考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用；命題的否定；必要條件、充分條件與充要條件的判斷；兩條直線垂直的判定．專題：綜合題．分析：①命題“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“?x∈R，x2﹣x≤0”，可由命題的否定的書寫規(guī)則進(jìn)行判斷；②“若am2＜bm2，則a＜b”的逆命題為真，可由不等式的運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行判斷；③l1⊥l2時(shí)，a+2b=0，只有當(dāng)b≠0時(shí)，結(jié)論成立；④對于任意實(shí)數(shù)x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時(shí)，f′（x）＞g′（x），可由函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷．解答： 解：①命題“?x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“?x∈R，x2﹣x≤0”，此是一個(gè)正確命題；②由于其逆命題是“若a＜b，則am2＜bm2”，當(dāng)m=0時(shí)不成立，故逆命題為真不正確；③l1⊥l2時(shí)，a+2b=0，只有當(dāng)b≠0時(shí)，結(jié)論成立，故不正確；④對于任意實(shí)數(shù)x，有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且x＞0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＞0，則x＜0時(shí)，f′（x）＞g′（x），由于兩個(gè)函數(shù)是一奇一偶，且在x＞0時(shí)，f′（x）＞0，g′（x）＞0，故當(dāng)x＜0，f′（x）＞g′（x），成立，此命題是真命題．綜上①④是正確命題故答案為①④點(diǎn)評：本題考查命題的否定，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，及不等式關(guān)系的運(yùn)算，涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是對每個(gè)命題涉及的知識(shí)熟練掌握，且能靈活運(yùn)用它們作出判斷．12.給出下列命題：①拋物線的準(zhǔn)線方程是；②在進(jìn)制計(jì)算中，③命題：“”是真命題；④已知線性回歸方程，當(dāng)變量增加2個(gè)單位，其預(yù)報(bào)值平均增加4個(gè)單位；⑤設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則M＋m=4027，其中正確命題的個(gè)數(shù)是

個(gè)。參考答案：4①拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其的準(zhǔn)線方程是，正確；②在進(jìn)制計(jì)算中，③命題：“”是真命題，錯(cuò)誤?；颍虎芤阎€性回歸方程，當(dāng)變量增加2個(gè)單位，其預(yù)報(bào)值平均增加4個(gè)單位，正確；⑤因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，，所以M＋m=4027。13.若一個(gè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面積是底面積的倍，則該圓錐的體積為

▲

.參考答案：14.如圖，某地區(qū)有四個(gè)單位分別位于矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，且AB=2km，BC=4km，四個(gè)單位商量準(zhǔn)備在矩形空地中規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域AMN種植花草，其中M，N分別在變BC，CD上運(yùn)動(dòng)，若∠MAN=，則△AMN面積的最小值為km2．參考答案：8﹣8【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值．【分析】設(shè)∠BAM=α，由題意可知，AM=，AN=，可求三角形面積，利用三角函數(shù)的恒等變換化簡得到S△AMN關(guān)于α的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合α的范圍即可計(jì)算得解．【解答】解：設(shè)∠BAM=α，由題意可知，AM=，AN=，則S△AMN=AM?ANsin=×××=，當(dāng)α=22.5°時(shí)，三角形AMN面積最小，最小值為（8﹣8）km2．故答案為：8﹣8．【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角形的面積公式，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．15.若關(guān)于的不等式對任意的正實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：略16.已知冪函數(shù)在處有定義，則實(shí)數(shù)

.參考答案：2略17.四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩相互垂直，且其長別分為1、、3，若四面體的四個(gè)頂點(diǎn)同在一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積為_________________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分18分）已知二次函數(shù)（R，0）．（Ⅰ）當(dāng)０＜＜時(shí)，（Ｒ）的最大值為，求的最小值．（Ⅱ）如果[0，1]時(shí)，總有||．試求的取值范圍．（Ⅲ）令，當(dāng)時(shí)，的所有整數(shù)值的個(gè)數(shù)為，求數(shù)列的前項(xiàng)的和．參考答案：⑴由知故當(dāng)時(shí)取得最大值為，即，所以的最小值為；⑵由得對于任意恒成立，當(dāng)時(shí)，使成立；當(dāng)時(shí)，有

對于任意的恒成立；，則,故要使①式成立，則有，又；又，則有，綜上所述：；⑶當(dāng)時(shí)，，則此二次函數(shù)的對稱軸為，開口向上，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，均為整數(shù)，故，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故

①又

②由①—②得.19.（Ⅰ）已知x2+y2=1，求2x+3y的取值范圍；（Ⅱ）已知a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，求證：．參考答案：【考點(diǎn)】不等式的證明．【專題】選作題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；不等式．【分析】（Ⅰ）已知x2+y2=1，由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，即可求2x+3y的取值范圍；（Ⅱ）由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2，即可證明結(jié)論．【解答】（Ⅰ）解：由柯西公式（x2+y2）（4+9）≥（2x+3y）2，則|2x+3y|，∴﹣≤2x+3y≤．（Ⅱ）證明：由a2+b2+c2﹣2a﹣2b﹣2c=0，得（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2=3，由柯西公式[（a﹣1）2+（1﹣b）2+（1﹣c）2]（4+1+1）≥[2（a+1）+（1﹣b）+（1﹣c）]2得證：18≥（2a﹣b﹣c）2，所以．【點(diǎn)評】本題考查柯西公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20.如圖,三棱柱ABC—A1B1C1中,側(cè)棱與底面垂直，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，M是BC中點(diǎn)。 (Ⅰ)求證：A1B∥平面AMC1； (Ⅱ)求直線CC1與平面AMC1所成角的正弦值； （Ⅲ）試問：在棱A1B1上是否存在點(diǎn)N，使AN與MC1成角60°？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請說明理由。參考答案：解：（Ⅰ）連接交于,連接.在三角形中，是三角形的中位線，所以∥,又因平面，平面所以∥平面.

……………4分（Ⅱ）（法一）設(shè)直線與平面所成角為，點(diǎn)到平面的距離為，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以.

……………5分因?yàn)椋?..，，.

……………8分（法二）如圖以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,以所在的直線為軸，以的長度為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,，,,.設(shè)直線與平面所成角為，平面的法向量為.則有,,，令,得，∴.

……………8分（Ⅲ）假設(shè)直線上存在點(diǎn)，使與成角為.設(shè)，則，.，或（舍去），故.所以在棱上存在棱的中點(diǎn)，使與成角.

········12分21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小值和最小正周期；（2）設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為且，，若，求的值．參考答案：，

則的最小值是，

最小正周期是；

，則，

，，，

，由正弦定理，得，

由余弦定理，得，即，由解得．

略22.某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)中，數(shù)學(xué)學(xué)院志愿者有8人，其中含5名男生，3名女生；外語學(xué)院志愿者有4人，其中含1名男生，3名女生．現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣）從兩個(gè)學(xué)院中共抽取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)．（1）求從數(shù)學(xué)學(xué)院抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率；（2）記ξ為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）由已知得理科組抽取2人，文科組抽取1人，從理科組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的情況有：一男一女、兩女，由此能求出從數(shù)學(xué)學(xué)院抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率．（2）由題意可知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（1）兩小組的總?cè)藬?shù)之比為8：4=2：1，共抽取3人，所以理科組抽取2人，文科組抽取1