2022-2023學年江蘇省南通市如東縣高三數(shù)學第一學期期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。點所在的象限為（）2B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限11的最小值為（）mn25的圓心，則y22A．1B．2C．3D．43．已知復數(shù)zcos23isin23和復數(shù)zcos37isin37，則zz為1212A．1i3B．i2231C．1322iD．i223122底面在同一平面上，且AB//CD，若正方體的4．如圖，正方體的底面與正四面體的六個面所在的平面與直線m，nCE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為，則下列結(jié)論正確的是（）A．mnB．mn21iC．mnD．mn85．在復平面內(nèi)，復數(shù)(1i)2對應的點位于（）A．第一象限6．已知等差數(shù)列的前13項和為52，則aA．256B．第二象限C．第三象限（）(2)a6D．第四象限D(zhuǎn)．-32{a}n8B．-256C．327．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示”，如16511，．在不超過20的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，30723為兩個素數(shù)（即質(zhì)數(shù)）的和其和等于20的概率是（）1A．141B．123C．28D．以上都不對8．某個小區(qū)住戶共200戶，為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調(diào)查，得到本月的(單位：m3)的頻率分布直方圖如圖所示，則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A．10B．50C．60D．140aa01ij9．已知等差數(shù)列的前項和為，且，，若（i,jN*，且），則的取aSa3S24ninn412ij值集合是（）A．1,2,3B．6,7,8C．1,2,3,4,5D．6,7,8,9,1010．下列命題中，真命題的個數(shù)為（）11①命題“若ab”的否命題，則；a2b2“若，則x0或y0”；1②命題2xyxmy0③命題“若m2，則直線2x4y10平行的與直線逆命題”.A．0B．1C．2D．3BAUR11．設全集，集合A{x|log4x1}2B{x|x3x50}，則（）U，3，4D．A．[2，5]B．[2，3]2，4C．a(chǎn)(1,0)，b(1,3)，則與12．已知向量2ab共線的單位向量為()1313,A．,B．22223,131,3,311C．,或D．或22222222二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。613．在面積為的ABC中，NABAC23，若點M是AB的中點，點滿足AN2NC，則的最BNCM2大值是______.14．某地區(qū)教育主管部門為了成績，并根據(jù)這1000名學生的對該地區(qū)模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在[250，400)內(nèi)的學生共有____人．45,cosC1213，b1，則__________.a15．在ABC中，內(nèi)角A，，BC所對的邊分別是a，b，c，若cosBx0，，y0x3y5xyx2y，則的最小值是．__16．已知三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1是等差數(shù)列.Tn17．（12分）設前項積為naaTT的數(shù)列，（為常數(shù)），且nnnn（Ｉ）求的值及數(shù)列的通項公式；Tn，求S2n的最小值Sbn（Ⅱ）設是數(shù)列的前項和，且b2n3TS.nnnn2nnf(x)2ln(x2)(x1)，g(x)k(x1).18．（12分）已知2（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；x1（2）當k2時，求證：對于，f(x)g(x)恒成立；x10x(1,x)0f(x)g(x)（3）若存在，使得當時，恒有成立，試求的取值范圍k.19．（12分）下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費用（百萬元）和產(chǎn)品銷量（萬臺）的具體數(shù)據(jù)：月份56317628910133.511153.512184.5研發(fā)費用（百萬元）2產(chǎn)品銷量（萬臺）1102.5216yyx（Ⅰ）可知與之間存在線性相關關系，求出與的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；制定了如下獎勵制：度以Z（單位：萬臺）表x根據(jù)數(shù)據(jù)Z0.13,0.15Z0,0.13時，不設獎；當（Ⅱ）該公司示日銷售，當Z0.15,0.16Z0.16,每位員工每日元；當時，時，每位員工每日200元；當日400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售Z（萬臺）二十分之一），請你估計每位員工該月（按30天計算）獲得獎勵金額總數(shù)大約多少元.時，300每位員工每（其中是年月產(chǎn)品銷20185-12N,0.0001服從正態(tài)分布售平均數(shù)的nxy347nx1308n2iiii1nxynxynxynxyiiriibi1參考公式：相關系數(shù)，其回歸直線ybxa中的，若隨機變量i1x2nxnxnxynynn2222iiii1i1i1P，N,服從正態(tài)分布x0.6826P2x20.9544.x，則220．（12分）已知四棱錐ABCDPAADABCD2，BC4，PABCD中，底面為等腰梯形，ADBC，PA丄底面ABCD.（1）證明：平面PAC平面PAB；（2）過PA的平面交BC于點E，若平面PAE把四棱錐PABCD分成體積相等的余弦值.求二面角APEB的兩部分，21．（12分）已知函數(shù)f(x)xax1lnx1,aR.（1）討論f(x)的單調(diào)性；（2）函數(shù)g(x)x22，若對于fxgx成立，求的取值范圍.x11,,x1,2，使得ax212πcsinBbsin(C)3b.A,B,C的對邊分a,b,c別為，且22．（10分）在ABC中，角3（1）求角C的大小；（2）若c7,ab3，求AB邊上的高.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】分別比較復數(shù)z的實部、虛部與0的大小關系，可判斷出z在復平面內(nèi)對應的點所在的象限.【詳解】因為時，所以1a0，a210，所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點位于第二象限.a1故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何意義，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.2、D【解析】(1,2)圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓(x1)(y2)5的圓心為，(1,2)22由題意可得2m2n2，即mn1，m，n0，1111nm4，當且僅當nm且mn1即mn12)(mn)2mn(mnmn則時取等號，mn故選：．D【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關系，考查運算能力，屬于基礎題．3、C【解析】利用復數(shù)的三角式形的乘法運算法則即可得出．【詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝13i．22故答案為C．【點睛】熟練掌握復數(shù)的三角式形的乘法運算法則是解題的關鍵，復數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數(shù)的對應關系，【詳解】1易知CE與正方體的其余四個面所在平面均相交，∴m4，AQQA11∵EF//平面，平面，且EF與正方體的其余四個面所在平面均相交，BPPBEF//11∴n4，∴結(jié)合四個選項可知，只有mn正確.故選：A.【點睛】本題考查了空間幾何體中直線與平面位置關系的判斷與綜合應用，對空間想象能力要求較高，屬于中檔題.5、B【解析】化簡復數(shù)為abi的形式，然后判斷復數(shù)的對應點所在象限，即可求得答案.【詳解】1i1i(1i)i(1i)22i2ii1i211i22對應的點的坐標為在第二象限11,22故選：B.【點睛】本題主要考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎題.6、A【解析】利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由S13a52，a4，得2256.選A.a6a8281377【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的等和性應用能快速求得結(jié)果.7、A【解析】首先確定不超過20的素數(shù)的個數(shù)，根據(jù)古典概型概率求解方法計算可得結(jié)果.【詳解】不超過20的素數(shù)有2，3，5，，711，13，17，19，共8個，有C28種可能；從這8個素數(shù)中任選2個，287,13其中選取的兩個數(shù)，其和等于20的有，，共2種情況，3,17和等于20的概率P21故隨機選出兩個不同的數(shù)，其．2814故選：A.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎題.8、C【解析】從頻率分布直方圖可知，用水量超過15m3的住戶的頻率為(0.050.01)50.3，即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米1520060，故選C住戶戶數(shù)為50所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的9、C【解析】列即可觀察到滿足aa0的的取值集合首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)【詳解】.iija3a3d3，設公差為，由題知d4112112S2412ad24，121a9d2解得，，1所以數(shù)列為9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,，i1,2,3,4,5.故故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎題.10、C【解析】否命題與逆命題是等價命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】11①的逆命題為“若ab，則”，a2b2令a1，b3可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；“若x0且y0，則2xy1”，該命題為②的逆否命題為真命題，故②為真命題；“若直線xmy0與直線2x4y10平行，則m2”，該命題為③的逆命題為真命題.故選：C.【點睛】本題考查真假的思路：判斷命題真假.判斷命題(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結(jié)構(gòu)，即它的條件和結(jié)論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關的知識進行判斷．q(2)當一個命題改寫成“若p，則”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：p”邏輯推理，得出“”，則可判定“若pqqq①若由“，則”是真命題；②判定“若p，則”是假命題，只需舉一反例即可．11、D【解析】求解不等式，得到集合A，B，利用交集、補集運算即得解【詳解】log(4x)12x4由于2A2，4故集合x3x50x3x5或B，35，故集合，B|A34U故選：D【點睛】本題考查了集合的交集和補集混合運算，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.12、D【解析】x,y，利用向量共線和x,y單位向量模為1，列式求出即根據(jù)題2ab=1，-3意得，2ab共線的單位向量為設與可得出答案.【詳解】2a2,0因為a(1,0)，b(1,3)，則，所以2ab=1，-3，單位向量為x,y，設與2ab共線的3xy0則，x2y21x1x122解得或y33y2213,或13所以與2ab共線的單位向量為,.2222故選：D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.833由任意三角形面積公式與ABAC23構(gòu)建關系表示|AB||AC|，再由已知與平面向量的線性運算、平面向量數(shù)量積的運算轉(zhuǎn)化，最后由重要不等式求得最值.BNCM【詳解】616△由的面積為得|AB||AC|sin∠BAC=，ABC222所以|AB||AC|sin∠BAC=6，①又ABAC23即,||||cos∠ABACBAC=23，②由①與②的平方和得:||||=，ABAC32又點M是AB的中點，點N滿足AN2NC，1AB2所以BNCMBAANCAAMABACAC3243ABAC2AC21AB23283233AC2128322AC21AB28326，AB233232當且僅當AC312AB23AC時，取等號，322AB83即BNCM的最大值是為26.383故答案為：263【點睛】本題考查平面向量中由線性運算表示未知向量，進而由重要不等式求最值，屬于中檔題.14、750【解析】因為，得，所以。5615、39【解析】sinB,sinC先求得的值，由此求得的值，再利用正弦定理求得的值a.sinA【詳解】，所以sinB1cos2B,sinC1cos2C5345,cosC1213由于cosB，所以513sinAsinBCsinBcosCcosBsinC3124556.由正弦定理得5135136556absinA6556absinAsinB.35sinB3956故答案為：39【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，考查同角三角函數(shù)的基本關系式，考查兩角和的正弦公式，考查三角形的內(nèi)角和定理，屬于中檔題.2616、1．5【解析】113因為x2y(x2y)，展開后利用基本不等式，即可得到本題答案.5yx【詳解】13由x3y5xy5，得，yx1131x6y1x6y26x2y所以(x2y)(52)1，當且僅當55yxx6y，取等號.5yx5yx526故答案為：15【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，考查學生的轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1n11；（Ⅱ）317、（Ⅰ）1，Tn【解析】T1，得到TT1Tn1T（Ⅰ）當n2時，由TTTnn1，得到，兩邊同除以TTnn1nTn1nTnnn1n等差數(shù)列.求解.1n11n2n3n41112n1（Ⅱ）b(2n3)T2S2nS，根據(jù)前n項和的定義得到，令nn2nn1n2n3n41112n1C，研究其增減性即可.n【詳解】TT（Ⅰ）當n2時，，nTnn1所以TTTT，nn1nn1TTTT即，n1nnn11所以TT1.nn11因為是等差數(shù)列.，Tn所以1，d1，，T12，令n1，T1211所以T12(n1)1n1，n1n1即T；n1n1（Ⅱ）b(2n3)T2，nn所以SS2n21n21n31n412n12nn1n2n3n41112n1，1n2n3n41112n1令C，n12n32n2n211所以cc，n1n3n4(2n3)(2n2)(n2)0，ccn即，n1c所以數(shù)列是遞增數(shù)列，n所以cc1，3n1min即SS2n2nn13.min【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，前項和以及數(shù)列的增減性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔n題.35)，單調(diào)增區(qū)間為(35,)(,2).18、（1）單調(diào)減區(qū)間為(2,；（2）詳見解析；（）322【解析】試題分析：（1）對函數(shù)求fx導后，利用導數(shù)和單調(diào)性的關系，可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）構(gòu)造函數(shù)fx，則hxf(x)g(x)，利用導數(shù)求hx得函數(shù)在1,h10hx0，故原不等式成立（.3）最值，由此上遞減，且hxf(x)g(x)，對分成kk2,k2,k2三類，hx同（2）構(gòu)造函數(shù)討論函數(shù)的、極值和單調(diào)性求得k的取值范圍.試題解析：2（1）f'xx22x12x3x12(x2)，x2當f'x0時，310xx.235．2解得x當f'x035．2時，解得2x352,fx所以單調(diào)減區(qū)間為，235,單調(diào)增區(qū)間為．2hxfxgx（2）設2lnx2x12kx1(x1)，當k2時，由題意，當1,x時，hx0恒成立．2x3x12h'x2x22x3x1x2，h'x0hx恒成立，單調(diào)∴當x1時，遞減．又h10，hxh10fxgx0．恒成立，即∴當x1,時，∴對于x1，fxgx恒成立．2x3x12k（3）因為h'xx22x2k6x2k2x2．k2時，fxgx恒成立，2）知，當由（2x1，即對于x1，2lnx2x12不存在滿足條件的x；0當k2時，對于x1，x10，2x1kx1此時．∴2lnx2x12x1kx1，2即fxgx恒成立，不存在滿足條件的x；0當k2時，令tx2xk6x2k2，2txh'x可知與符號相同，xx,tx0h'x0，當時，，0hx單調(diào)遞減．x1,xhxh10，時，∴當0fxgx0恒成立．即,2綜上，k的取值范圍為．點睛：本題主要考查導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，導數(shù)與不等式的證明，導數(shù)與恒成立問題的求解方法.第一問求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導數(shù)問題的基本題型，也是基本功，先求定義域，然后求導，要注意通分和因式分解.二、三兩問一個是恒成立問題，一個是存在性問題，要注意取值是最大值還是最小值.19、（Ⅰ）y0.24x0.32（Ⅱ）7839.3元【解析】（Ⅰ）由題意計算x、的y（Ⅱ）由題意μ，得出z~N(μ,2)，求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率，計算獎金總數(shù)是多少.平均值出回歸系數(shù)和寫出回歸直線方,進而由公式求ba,即可程;計算平均數(shù)【詳解】23610211315188811，（Ⅰ）因為x88y1122.563.53.53.54.5243，88nxynxy3478113830.244，13088121340iib因為i1nx2nx2ii1所以aybx30.244110.32，所以y0.24x0.32；y30.15，（Ⅱ）因為2020所以zN0.15,0.0001，0.0001即0.01，故20.9544的概率為20.6826的概率為2z0.13,0.15日銷量0.4772，0.3413，z0.15,0.16日銷量10.6826z0.16,日銷量的概率為0.1587，20.47722000.34133000.1587400307839.3所以獎金總數(shù)大約為：（元）.【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，還考查了利用正態(tài)分布計算概率，進而估計總體情況，屬于中檔題.41）見證明；（2）720、（【解析】（1）先證明等腰梯形ABCD中ACAB，然后證明PAAC，即可得到AC丄平面PAB，從而可證明平面PAC三棱錐PABEV四棱錐PABCD，可得到SABE梯形AECD丄平面PAB；（2）由VS，列出式子可求空出BE，然后建立如圖的nncosn,n12間坐標系，求出平面PAE的法向量為n，平面PBE的法向量為n，由可得到答案．1212nn12【詳解】ADBC，ADABCD2，（1）證明：在等腰梯形ABCD，易得ABC60在ABC中，ACAB2BC22ABBCcosABC416812，2則有AB2AC2BC2，故ACAB，又PA平面ABCD，AC平面ABCD，PAAC，ACABAC平面PAB，故平面PAC丄平面PAB.即ACPA（2）在梯形ABCD中，設BEa，V三棱錐PABEV四棱錐PABCDSSABE，，梯形AECDCEADh1BABEsinABEh2123,，而2224a23122a3，a3.即22yxA為坐標原點，AB所在直線為軸，AC所在直線為軸，AP所在直線為以點軸，建立如圖的空間坐標系，則z13322，，,0，，，133nx,y,zAE,1，,0AP0,0,2設平面PAE的法向量為，22133y0，22z0nAE1x由得2nAP133取x1，得1y，z0，n1,,0，99，3n1,,12同理可求得平面PBE的法向量為3APEB的平面角為，設二面角1330193nn47則coscosn,n110111，1212nn122734APEB的余弦值為.所以二面角7【點睛】本題考查了兩平面垂直的判定，考查了利用空間向量的方法求二面角，考查了棱錐的體積的計算，考查了空間想象能力及計算能力，屬于中檔題．f(x)1,a2上減，a2,上增（2）21、（1）當a1時，在f(x)1,上增；當a1時，在在a,1e【解析】（1）求出導函數(shù)f(x)，分類討論確定f(x)的正負，確定單調(diào)區(qū)間；f(x)gx1min（2）題意說明,g(x)1利用導數(shù)求出的最小值，由（）可得f(x)的最小值，從而得出結(jié)論．2min【詳解】,f(x)1,解：（1）定義域為xa2x121,在上增；當a1時，即a21,f(x)