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文檔簡介
§2.7
卷積的性質(zhì)*.移不變if
f1
*
f2
=
f3則:f1
(t
-t0
)*
f2
=f3
(t
-t0
)f2
(t
-
t0
)
*
f1
=
f3
(t
-
t0
)性質(zhì)的應(yīng)用參考P84面2－14題p84.2-14f
(t)011tf
(t)011t*=011t2s(t)1.t<0011ts(t)
=
0t
-12.0<t<10t1t
-1ts
(
t
)
=
1
d
t
=
t03.1<t<2tt
-1
11s(t)
=
1dt
=
2
-
tt
-14.t>2t
-1t1s(t)
=
0若f
(t)=u(t
-1)-u(t
-2),求f
(t)*
f
(t)=s(t)f
(t)1
21f
(t)1
21*=123
4s(t)若f1
(t)*
f
2(t)=s(t)則f1
(t
-t1
)*
f
2
(t
-t2
)=s(t
-t1
-t2
)4
-t
3
<
t
<
4s(t)
=
t
-
2 2
<
t
<
30
t
￡
2
t
?
4差別：第二小題就是把第一小題的卷積結(jié)果向右平移兩個單位。利用位移特性及u(t)*
u(t)=
r(t)
，計(jì)算y(t)=f(t)
*
h(t)。解：y(t)=f(t)*
h(t)=(u(t)-u(t-1))*(u(t)-u(t-2))=u(t)
*
u(t)
-
u(t-1)
*
u(t)
-
u(t)
*
u(t-2)
-
u(t-1)
*
u(t-2)=
r(t)
-
r(t-1)
–
r(t
-2)
+
r(t-3)f
(t)t101h(t)201y(t)t011
23t3
-
t*=t一.卷積代數(shù)2.distributi
ve
lawf1
*[
f2
+
f3
]
=
f1
*
f2
+
f1
*
f3f1f2(t)f3(t)f1
*
f
2
+
f1
*
f31.commutative
lawf1
*
f2
=
f2
*
f1h(t)f
*
hh(t
)h
*
ff(t)f
(t)f2(t)f3(t)f3(t)f2(t)3.associativ
e
law
[
f1
*
f2
]*
f3
=
f1
*[
f2
*
f3
]f1f1f1
*[
f
2
*
f
3
]f1
*[
f
3
*
f
2
]dt
dt
dt21
2
2
1*
f
=
f
*]
=
df
1
dfd
[
f
*
f2.兩函數(shù)相卷積后的積分等于兩函數(shù)之一的積分與另一函數(shù)相卷積.f
2
(
t
)
d
tt-
￥t
[
f
1
*
f
2
]
dt
=
f
1
*-
￥dtdtdft12d
2
f-￥t
t*
f
2
(t)dt-￥
-￥= 1
*
f
(t)dt
=2f1
*
f
23.推廣二.卷積的微分和積分1.兩函數(shù)相卷積后的導(dǎo)數(shù)等于兩函數(shù)之一的導(dǎo)數(shù)與另一函數(shù)相卷積.則
:
f
(m
)
(
t
)
*
f
(n
)
(
t
)
=
s
(m
+
n
)
(
t
)1
2三.奇異信號的卷積特性1
.
f
(
t
)
*
d
(
t
)
=
f
(
t
)f
(
t
)
*
d
(
t
-
t
0
)
=f
(
t
-
t
0
)f
(
t
-
t
0
-
t
1
)f
(
t
-
t
1
)
*
d
(
t
-
t
0
)
=.若:
f1
*
f
2
=
s(t)(d(t)及其各階導(dǎo)數(shù)卷積)*
d
(
t
)2 .
d
(
t
)3
.
f
(
t
)=
d
(
t
)=
f
'
(
t
)t(
t
)
*
u
(
t
)
=5.推廣:(
k
)(
k
)f
(
t
)
*
df
(
k
)
(
t
-
t
)0(
t
)
=
f
(
t
))
=f
(
t
)
*
d
(
k
)
(
t
-
t0f
(t
)
fi
相當(dāng)于微分運(yùn)算f
(
t
)
d
tpf
(
t
)
=4
.
f*
d
'
(
t
)d
'
(
t
)
*1pf
(
t
)
=
u
(
t
)
*
f
(
t
)-
￥相當(dāng)于積分運(yùn)算f
(t
)
=f
(t
)
*
d
'
(t
)
*
u
(t
)
=f
'
(t
)
*
u
(t
)''
(t
)
*
tu
(t
)f
(t
)
=
f
(t
)
*
d
''
(t
)
*
tu
(t
)
=
f四.例題：1.P85.2-19(a)1f1(t)123tf2(t)-22t解：f1
*
f
2
=
f1
(t)[d(t
-t
+
2)
+
d(t
-t
-
2)]dt￥-￥=
f1
(t
+
2)
+
f1
(t
-
2)13
4
5-5-3
-1f1*f22用P67-68圖2－17示例解如下例題：2af1(t)*t1f2(t)bt2'1*
f
=f2[
Ad
(t
)
-
Ad
(t
-
1)]
*
f1f
'
(t)123*2.計(jì)算f1
*
f
2解:f1(t)
=
Ad(t)
-
Ad(t
-1)=
Ad
(t
)
*
f
2
-
Ad
(t
-
1)
*
f
2=
Af
2
(t
)
-
Af
2
(t
-
1)'f1
(t
)
*
f
2
(t
)
=tab0
￡
t
￡
122ab1
<
t
<
22ab
(1
-
t
)2
<
t
<
321f
*
f
=tdtabt02ab
abt
11
0
2
dt
+
2
tdt12
0
2
(1
-
t
)dt
+
2
tdt
+
2
dtab
ab
2
abt
1123'f1
*
f22abab=24tab2
4ab
abt
-1
￡
t
<
24ab
(3
-
t
2
+
2t)2
￡
t
￡
33.計(jì)算下列函數(shù)的卷積結(jié)果,并化出波形....2
3
5*tf1p85.2
-19(
f
)0
￡
t
￡
11
2f1
*
f
23tf2
=
sin
ptu(t)43abab4￥n
=
0=
[
u
(
t
-
3
n
)
-
u
(
t
-
3
n
-
2
)]解:
f
1f
2
=
sin
ptu(t
)￥1n
=
0f
'
(
t
)
=
[d
(
t
-
3
n
)
-
d
(
t
-
3
n
-
2
)]1(
1
-
cos
p
t
)
u
(
t
)pf
2
(
t
)
d
t
=t0f
(
t
)
d
t2'1t-
￥(
t
)
*r
(
t
)
=
f23'f1
(t)5
*1
24￥￥=1n=0n=0t)[u(t)
-
u(t
-
2)]
*=
1
(1-
cos
t)u(t)r(t)d(t
-
3n)(1-
cosppp
*[d(t
-
3n)
-d(t
-
3n
-
2)]p4.P85.2-19(b)2-￥f1
*
f
=-(t+1)解:方法一:t<0時:t+11·e
dt=e
-e
=e0
-0
=1-(t-t+1)-￥t
+11t>0時:-￥1e-(t
-t+1)
dt
+f1
*
f2
=2e-(t
-t+1)
dt
=
2
-
e-tf111*-(t
+1)f
2
=
e u(t
+1)－1方法二:用微分積分性質(zhì)f1
(t
)tt-￥
-￥
1
dt
=
d
(t
-1)dt
=
u(t
-1)
?dtdf
(t)dfdtdftt-￥f1
=
1
dtf1
*
f2
=
1
*
f2
(t)dt需要t
fi
-￥條件為:lim
f1
(t)=0-(t
+1)s
=
f1
*
f
2
=
[1
+
u(t
-1)]
*[e
u(t
+1)]注意積分常數(shù)的問題。=
e
u(t
+1)-￥
dtf1
=
1
+
u(t
-1)f
2-(t
+1)dt-￥
-￥du
(t
-
1)=
1*
e
-(
t
+1)
u
(t
+
1)
+
u
(t
-1)
*
e
-(
t
+1)
u
(t
+
1)t*
e
-(t
+1)
u
(t
+
1)dt￥=
e
-(t
+1)
u
(t
+
1)dt
+￥
t＝
e
-(t
+1)
dt
+
d
(t
-1)
*
e
-(t
+1)
dtu
(t
+
1)-1
-1t
-1=
1
+
e
-(t
+1)
dt
=
1
+
(1
-
e
-t
)u
(t
)-1注意
:
1
*
e
-(
t
+1)
u
(t
+
1)
?
e
-(
t
+1)
u
(t
+
1)5.圖示a線性時不變系統(tǒng)是由三個子系統(tǒng)組成，已知總系統(tǒng)的h(t)和h1(t),h2
(t)分別為b,c,d所示，求子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h3
(t).h1(t)h3
(t)h2
(t)d(t)h(t)(a)24
5h(t)0
1(b)1h1
(t)40(c)h2
(t)120
1(d)解：由圖(a)可知，系統(tǒng)的總響應(yīng)為h(t)
=
h1
(t)
*[h2
(t)
+
h3
(t)]因h(t)為一梯形波，而h1
(t)為一炬形波\h2(t)+h3
(t)也應(yīng)為矩形波21h2
(t)
+
h3(t)
=
2[u(t)
-
u(t
-1)]h3
(t)
=
2[u(t)
-
u(t
-1)]
-
h2
(t)=
2[u(t)
-
u(t
-1)]
-{t[u(t)
-
u(t
-1)]
+
(t
-1)[u(t
-1)
-
u(t
-
2)]}=
(2
-
t)[u(t)
-
u(t
-1)]
-
(t
-1)[u(t
-1)
-
u(t
-
2)]3h
(t)1122此題的關(guān)鍵是利用了兩個不同寬度的矩形波的卷積結(jié)果是梯形波。6.線性系統(tǒng)如圖所示,它由幾個子系統(tǒng)組成,已知部分子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h1
(t
)
=
d
(t
-
1),
h2
(t
)
=
-2d
(t
-
1)h2(t)h1(t)h1(t)h3(t)rzs(t)
12t若整個系統(tǒng)對sintu(t)的零狀態(tài)響應(yīng)如(b)所示,求子系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h3(t)。rzs(t)1圖b0h(t)
=
d
(t)
+
h1
(t)
*h1
(t)
+
h2
(t)
+
h3
(t)=
d(t)
+
d(t
-1)
*d(t
-1)
-
2d(t
-1)
+
h3
(t)=
d
(t)
-
2d
(t
-1)
+
d
(t
-
2)
+
h3
(t)求h3
(t)?r(t)
=
sin
tu(t)
*h(t)2dt
2d
2
r(t)dt
2dtdtd
2
sin
tu(t)fisin
tu(t)
fi
r(t)d
2
sin
tu(t)
d
sin
tu(t)
=
cos
tu(t)
+
d(t)
sin(
t)r(t)r
''
(t)=
d(t)
-
sin(
t)u(t)r‘
(t)012()
(
)(2
)(1)1
+
2d
2
r*
h
(
t
)d
2
r d
2
sin
tu
(
t
)d
2
t
=
d
2
tr
(
t
)
=
sin(
t
)u
(
t
)
*
h
(
t
)\
h
(
t
)
=
d
(
t
)
+
r
(
t
)
-
2d
(
t
-
1)
+
d
(
t
-
2
)d
(
t
)
*
h
(
t
)
=
h
(
t
)
=
r
(
t
)
+d
2
t=
[d
(
t
)
-
sin
tu
(
t
)]
*
h
(
t
)\
h3
(t)
=
r(t)點(diǎn)評:本題是求反卷積的問題。利用了sintu(t)兩次求導(dǎo)后出現(xiàn)沖激函數(shù)
和自身，具有這一特點(diǎn)的函數(shù)，求反卷積用本例的方法比較簡單。例8.某LTI系統(tǒng),當(dāng)輸入f(t)
=e-tu(t)時，其零狀態(tài)響應(yīng)為-(t
+T
)
-(t
-T
)yzs
(t)
=[1
-
e
]u(t
+
T
)
-[1
-
e
]u(t
-T
)式中,T為常數(shù)。試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解:由于yzs
(t)=f
(t)*h(t),利用卷積的性質(zhì),有y‘zs
(t)=f
’(t)*h(t)f
'(t
)=d(t
)-e-tu
(t
)帶入上式，有y'zs(t)
=[d(t)
-
e-tu(t)]
*h(t)
=
h(t)
-[e-tu(t)]
*h(t)而[e-tu(t)]
*h(t)
=
y
(t),故zszs'zs(t)
=
u(t
+
T
)
-
u(t
-T
)h(t)
=
y
(t)
+
y對yzs
(t)求導(dǎo)時,要利用f(t)d(t-t0
)=f
(t0
)d(t
-t0
)的性質(zhì),f
(t)tth(-t)f
(t)h(t
-
t)較麻煩,利用移不變特性。計(jì)算f
(t)*
h(t),f
(t)=u(t),h(t)=e-tu(t)f
(t)h(t)h(t)0t
?
0f
(t)
*
h(t)
=t-tte
dt
=
1
-
e-(t
-t)1
2
1
22.
f
*
f
的寬度為f
和
f
的寬度之和1
2
1
27.若
f
(t)和
f
(t)為有限寬度的脈沖,
證明1
21.
f
*
f
的面積為f
與
f
的面積之積ff
f2[[121dt]dt(t)f
(t
-t)
￥
￥-￥
-￥-￥*
]dt
=證明：1;￥ff￥-￥￥￥-￥
-￥]dt
=12[
f
1
*
f(t
-t)dtdt2(t)令t
-t
=x,dt
=dx對上式交換積分次序得fffff
f
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